Unesp Universidade Estadual Paulista FACULDADE DE ENGENHARIA

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1 Uesp Uiversidade Estadual Paulista FACULDADE DE ENGENHARIA CAMPUS DE GUARATINGUETÁ MBA-PRO ESTATÍSTICA PARA A TOMADA DE DECISÃO Prof. Dr. Messias Borges Silva e Prof. M.Sc. Fabricio Maciel Gomes GUARATINGUETÁ, SP Outubro de 015

2 Prof. Dr. Messias Borges Silva Egeheiro Idustrial Químico (EEL-USP-FAENQUIL) Certified Quality Egieer (America Society for Quality-USA) Pós-graduado em Ciêcias Térmicas (ITA) Pós-graduado em Qualidade (USJT) Mestre em Egeharia Mecâica (UNESP) Doutor em Egeharia Química (UNICAMP) Livre Docete em Egeharia da Qualidade (UNESP) Pós Doutorado pela Harvard Uiversity Esp. em Desig of Experimets, Lea Eterprise, Lea Product Developmet (Massachusetts Istitute of Techology-MIT-USA) Editor Chefe do livro Desig of Experimets: Applicatios Pesquisador Visitate da Harvard Uiversity (HARVARD-USA) Professor da UNESP, USP e Ex-Diretor Geral da EEL-USP-FAENQUIL Coordeador do Curso de Pós-graduação em Egeharia da Qualidade da EEL-USP Cosultor de empresas Prof. MSc. Fabrício Maciel Gomes Egeheiro Idustrial Químico (EEL-USP) Mestre em Egeharia Química (EEL-US) Doutorado em Egeharia de Produção (UNESP) Professor da Escola de Egeharia de Lorea EEL/USP Professor da Faculdade de Egeharia de Guaratiguetá FEG/UNESP Professor do Curso de Especialização em Egeharia da Qualidade EEL/USP Professor Covidado de MBA da UNESP e Istituto de Pós-graduação IPOG Especialista em Moitorameto de Processos; Simulação e Otimização de Processos. Ex- professor Titular da Uiversidade Paulista UNIP. Ex-Professor do Cetro Uiversitário Salesiao. Cosultor de Empresas

3 Capítulo 1: Uma breve revisão de Estatística Descritiva Fote: Pedro Paulo Balestrassi (UNIFEI) A essêcia da ciêcia é a observação. A ciêcia que se preocupa com a orgaização, descrição, aálise e iterpretação dos dados experimetais é deomiada de Estatística, um ramo da Matemática Aplicada. A palavra estatística provêm de Status. 1.1 Grades Áreas O diagrama seguite mostra o cotexto em que se situa o estudo da Estatística, aqui subdividido em Estatística Descritiva e Estatística Idutiva (ou Iferecial). A Estatística Descritiva está relacioada com a orgaização e descrição de dados associada a cálculos de médias, variâcias, estudo de gráficos, tabelas, etc. É a parte mais cohecida. A Estatística Idutiva é o objetivo básico da ciêcia. A ela está associada, Estimação de Parâmetros, Testes de Hipóteses, Modelameto, etc. No Cálculo de Probabilidades, está a essêcia dos modelos Não-Determiísticos e a corroboração de que toda iferêcia estatística está sujeita a erros. A Amostragem é o poto de partida (a prática) para todo um Estudo Estatístico. Aqui pode se ter origem um problema bastate comum em Egeharia: Aálise profuda sobre dados superficiais! 1. Medidas Estatísticas As pricipais medidas estatísticas (ou simplesmete estatísticas) referem-se às medidas de posição (locação ou tedêcia cetral) ou às medidas de dispersão (ou variabilidade): 3

4 1..1 Medidas de Posição Mostram o valor represetativo em toro do qual os dados tedem a agrupar-se com maior ou meor freqüêcia. * Média Aritmética simples (x ) x x x x x i 1 1 i Usada em dados ão agrupados em classes. * Média Aritmética poderada (também x ) x x1 p1 x p x p p p p 1 i 1 i1 x p i p i i ode, pi = peso da amostra xi Agora, para dados agrupados em classes, temos: xi i i1 1 x xi i i i1 i 1 i1 A média aritmética simples pode ser vista como a média poderada com todos os pesos iguais. Para efeito de omeclatura sempre trataremos a média aritmética simples ou poderada simplesmete por média (x ). * Mediaa ( ~ x ) É o valor do meio de um cojuto de dados, quado os dados estão dispostos em ordem crescete ou decrescete. Para dados ão agrupados em classes: x f Se é ímpar ~ 1 x termo o i i 4

5 o Se é par ~ x termo 1 termo o Ex.: * Média Mediaa 35, 36, 37, 38, 40, 40, 41, 43, 46 x ~ , 14, 14, 15, 16, 16, 17, 0 ~ x 15, 5 A média é muito sesível a valores extremos de um cojuto de observações, equato a mediaa ão sofre muito com a preseça de algus valores muito altos ou muito baixos. A mediaa é mais robusta do que a média. Devemos preferir a mediaa como medida sitetizadora quado o histograma do cojuto de valores é assimétrico, isto é, quado há predomiâcia de valores elevados em uma das caudas. Ex.: { 00, 50, 50, 300, 450, 460, 510 } x 345, 7 x ~ 300 Tato x como ~ x são boas medidas de posição. Ex.: { 00, 50, 50, 300, 450, 460, 300 } x = 601 ~ x = 300 Devido ao valor 300, ~ x é preferível a x. * A Média Aparada É obtida elimiado do cojuto as m maiores e as m meores observações. Geralmete,,5% m 5% dos dados. Esta elimiação correspode, a realidade, à supressão dos valores extremos - muito altos ou muito baixos. Tal média represeta um valor etre x e ~ x. Ex.: {00, 50, 50, 300, 450, 460, 300} x( m 1) 34 5 * A moda e a classe modal (mo) 5

6 É o valor que represeta a maior freqüêcia em um cojuto de observações idividuais. Para dados agrupados temos a classe modal. Em algus casos pode haver mais de uma moda. Assim temos uma distribuição bimodal, trimodal, etc. Ex.: m o x xi i Classe Modal Distribuição Bimodal m o I m o II x Obs.: A moda geralmete ão é forecida em calculadoras. 1.. Medidas de Dispersão ou Variabilidade Quase uca uma úica medida é suficiete para descrever de modo satisfatório um cojuto de dados. Tora-se etão ecessário estabelecer medidas que idiquem o grau de dispersão em relação ao valor cetral. Nos seguites cojutos de dados, por exemplo: A = { 3, 4, 5, 6, 7 } B = { 1, 3, 5, 7, 9 } C = { 5, 5, 5, 5 } D = { 3, 5, 5, 7 } E = { 3.5, 5, 6.5 } 6

7 Temos em todos eles a mesma média. A idetificação de cada um desses cojutos de dados pela sua média ada iforma sobre as diferetes variabilidades dos mesmas. Algumas medidas que sitetizam essa variabilidade são: * Amplitude (R): Como ateriormete defiida, R tem o icoveiete de levar em cota somete os dois valores extremos, o maior e o meor deles. * Desvio Médio (DM(x)), Variâcia (S,Var() ou ) e Desvio Padrão (S,DP() ou ): Aqui o pricípio básico é aalisar os desvios das observações em relação à média das observações. Em A = {3, 4, 5, 6, 7}, por exemplo, os desvios xi - x são: -, -1, 0, 1,. É fácil ver que a soma dos desvios, é ideticamete ula e que portato ão serve como medida de dispersão: i 1 ( x x) x x x x 0 1 i 1 1 i 1 Duas opções para aalisar os desvios das observações são: a) cosiderar o total dos desvios em valor absoluto ou; b) cosiderar o total dos quadrados dos desvios. Assim, para o cojuto A, teríamos, respectivamete: 5 i 1 x i x e 5 i 1 x i x Associado estas medidas à média, temos: DM(x)= i 1 x i x que é o desvio médio. xi x S = i 1 que é a variâcia ( Var(x)) 7

8 Sedo a variâcia uma medida que expressa um desvio quadrático médio, é coveiete usar uma medida que expresse a mesma uidade dos dados origiais. Tal medida é o desvio padrão S (ou DP(x)), dada por: S S O uso do DM(x) pode causar dificuldades quado comparamos cojutos de dados com úmero diferetes de observações. Ex.: Em A = { 3, 4, 5, 6, 7 } temos: DM(x) = 6/5 = 1. e S = 10/5 = Em D = { 3, 5, 5, 7 } temos: DM(x) = 1,0 S =,0 e Assim, podemos dizer que, segudo o Desvio Médio, o Grupo D é mais homogêeo (tem meor dispersão) do que A, equato que ambos tem a mesma homogeeidade segudo a variâcia. O desvio médio possui pequea utilização em estatística e em geral vale 0.8 vezes o desvio padrão O cálculo do desvio padrão exige o cálculo prévio da variâcia e uma fórmula alterativa para S é dada por: S i 1 x i x xi i 1 x Relacioados à iferêcia estatística, algus autores usam ( - 1) como divisor para a variâcia: S i 1 x i x 1, e isto será visto adiate (tedeciosidade). Obs.: Muitas calculadoras cietíficas possuem duas medidas para desvio padrão. Uma associada à divisão por (simbolizada geralmete por ou ) e outra associada à divisão por - 1 (simbolizada geralmete por S ou -1). Verifique a simbologia usada pela sua calculadora, caso você possua uma! Para dados agrupados em classes, a variâcia é dada por: 8

9 S K x x i i i 1 ou K S x x f i 1 i i É ituitivamete claro que a multiplicação de cada parcela (xi - x ) por i sigifica a repetição dos desvios quadrados (xi - x ), i vezes. 1.3 Histogramas Fote: Messias Borges Silva Os dados obtidos de uma amostra servem como base para a decisão sobre uma população. Quato maior for o tamaho da amostra maior será a iformação sobre a população. Mas à medida que aumeta o tamaho da amostra fica difícil o etedimeto da população, se estes dados estiverem dispostos apeas em uma tabela. Para facilitar etão o etedimeto, costruímos o histograma, que permitirá eteder a população de forma objetiva Como costruir Histogramas a) Costrução da Tabela de Freqüêcias. Exemplo: A Tabela 1 mostra as medidas de ph de 90 amostras de uma solução ácida. Costruir o histograma desses dados. 9

10 Tabela 1. Medidas de ph de 90 amostras de solução ácida Nº amostra ph medido 1 10,510,517,5,5,510,511,519,53,543, ,57,536,506,541,51,515,51,536,59, ,59,53,53,53,519,58,543,538,518, ,50,514,51,534,56,530,53,56,53, ,535,53,56,55,53,5,50,530,5, ,533,510,54,54,530,51,5,535,540, ,55,515,50,519,56,57,5,54,540, ,531,545,54,5,50,519,519,59,5, ,518,57,511,519,531,57,59,58,519,51 10

11 Nº amostra ph medido Máximo Valor Liha Míimo Valor da Liha 1 10,510,517,5,5,510,511,519,53,543,55,543, ,57,536,506,541,51,515,51,536,59,54,541, ,59,53,53,53,519,58,543,538,518,534,543, ,50,514,51,534,56,530,53,56,53,50,534, ,535,53,56,55,53,5,50,530,5,514,535, ,533,510,54,54,530,51,5,535,540,58,54, ,55,515,50,519,56,57,5,54,540,58,54, ,531,545,54,5,50,519,519,59,5,513,485, ,518,57,511,519,531,57,59,58,519,51,531,511 Maior Valor,545 Meor Valor,50 11

12 Passo 1: Calcular a Amplitude de R. R = Maior valor Meor valor R =, R = 0,043 Passo : Determiação dos itervalos de classe: No exemplo: 0, ,00 = 1,5 itervalos 0, ,005 = 8,6 9 itervalos 0, ,01 = 4,3 4 itervalos Portato o itervalo de classe determiado é 0,005 Passo 3 : Preparação da tabela de freqüêcia Nesta tabela teremos as classes, poto médio, º de observações, freqüêcia, etc. 1

13 Passo 4: Determiação dos Extremos de cada classe. Primeiro determie o meor valor da 1ª classe e adicioe o valor calculado do itervalo de classe(o exemplo 0,005). Etão o itervalo da 1ª classe fica etre,5005 e,5055 de forma que a classe iclui o meor valor,50. O itervalo da ª classe fica etre,5055 e,5105 e assim por diate. Registrar esses itervalos a tabela. Passo 5: Cálculo do poto médio da classe. Poto médio = Soma do valor superior e iferior da classe Poto médio 1ª classe =,5005 +,5055 =,503 Poto médio ª classe =,5055 +,5105 =,508 Passo 6: Obteção da Freqüêcia Verificar os valores observados detro dos itervalos registrado o úmero de vezes em que este valor apareceu. Registrar os valores a tabela (vide tabela aterior) Como costruir graficamete o Histograma Passo 1: Numa tabela quadrada, marcar o eixo vertical do lado esquerdo, a freqüêcia de observações e do lado direito a porcetagem. No eixo horizotal os itervalos de classes. Passo : Em cada itervalo de classe, levatar um retâgulo (barra) correspodete à freqüêcia de classes. Passo 3: Nos espaços em braco, registrar dados iformativos: tamaho de amostra, média, desvio padrão. 13

14 14

15 1.3.3 Tipos de Histogramas a) Geral (simétrico) b) Combiado (Multi-modal) c) Positivamete desviado d) Precipício à esquerda e) Platô f) Picos (Bimodal) 15

16 g) Pico Isolado Iterpretação do Histograma a) Geral (simétrico): O valor médio do histograma está equadrado o cetro da amplitude dos dados. A freqüêcia é maior o cetro e tora-se gradualmete meor à medida que os aproximamos dos extremos. Obs. Este tipo é o que aparece a maior parte dos casos. b) Combiado (multi-modal): Muitas classes possuem uma freqüêcia baixa. Obs. Este tipo ocorre quado o úmero de uidades de dados icluídos as classes varia de classe ou quado existe uma tedêcia particular em fução do arredodameto dos dados. c) Positivamete Desviada (Negativamete Desviada): O valor médio histograma está localizado do lado esquerdo (direito) do cetro da amplitude. A freqüêcia dimiui um tato abruptamete em direção ao lado esquerdo (direito). É assimétrica. d) Precipício à esquerda (Precipício à direita): O valor médio de histograma está localizado loge do lado esquerda (direito) do cetro da amplitude. A freqüêcia dimiui abruptamete do lado esquerdo e bradamete segue em direção ao lado direito (esquerdo). É assimétrica. Obs. Este tipo ocorre frequetemete quado 100% da classificação é feita com dados de processo de baixa capabilidade. e) Platô: A freqüêcia em cada classe forma um platô pelo fato das classes possuirem mais ou meos a mesma freqüêcia exceto para aqueles que estão o fial. Obs. Este tipo ocorre com mistura de diversas distribuições possuido valores diferetes de médias. f) Dois Picos (Bimodal): A freqüêcia é baixa o cetro da amplitude dos dados e existe um pico de cada lado. Obs. Este tipo ocorre quado duas distribuições com diferetes valores de médias são misturados. g) Pico Isolado: Existe um pequeo pico isolado em adição ao tipo geral. Obs. Este caso aparece quado existem pequeas iclusões de dados oriudos de diferetes distribuições, 16

17 como o caso de aormalidade o processo, erro de medida ou iclusão de dados oriudos de diferetes processos Comparado Histogramas com Limites de Especificação Se existe uma especificação devemos levatar lihas dos limites superior e iferior de especificação (LSE) e (LIE) o histograma para comparar a distribuição com a especificação. A partir daí verificar se o histograma está bem localizado detro dos limites. Casos típicos: 1) Histograma satisfaz as especificações a) Mater a presete situação, desde que o histograma satisfaça amplamete as especificações. b) A especificação é satisfeita, mas ão há margem de seguraça. Portato, é melhor reduzir a variação. 17

18 ) Histograma ão satisfaz as especificações c) É ecessário tomar as medidas para trazer a média para o cetro da especificação. d) Este requer ação para reduzir a variação. e) Tomar as medidas descritas em c e d. 18

19 . Distribuições de Probabilidade O histograma é usado para apresetar dados amostrais (Amostra = cojuto de observações extra das de uma população). Por exemplo, 50 valores de satisfação dos clietes são iterpretados como uma amostra da satisfação de todos os clietes. O uso de métodos estatísticos permite que se aalise essa amostra e se tire alguma coclusão sobre a satisfação dos clietes. Uma distribuição de probabilidade é um modelo matemático que relacioa um certo valor da variável em estudo com a sua probabilidade de ocorrêcia. Há dois tipos de distribuição de probabilidade. Distribuições Cotíuas: Quado a variável que está sedo medida é expressa em uma escala cotíua, como por exemplo, o peso de peças produzidas, diâmetro, etc. Distribuições Discretas: Quado a variável que está sedo medida só pode assumir certos valores, como por exemplo, os valores iteiros 0, 1,, etc. No caso de distribuições discretas, a probabilidade que a variável assuma um valor específico 0 é dada por: P { = 0} = P(0) No caso de variáveis cotíuas, as probabilidades são especificadas em termos de itervalos: P a b Relembrado: uma variável aleatória é uma fução com valores uméricos, cujos valores são determiados por fatores de chace. Uma variável aleatória é cosiderada discreta se toma valores que podem ser cotados. Uma variável aleatória é cosiderada cotíua quado pode tomar qualquer valor em determiado itervalo. Os gráficos a seguir apresetam exemplos de distribuições de probabilidades discreta e cotíua. 19

20 Exemplo: Distribuição de probabilidade para a variável aleatória úmero de caras em duas jogadas de uma moeda. Resultado cara cara cara coroa coroa cara coroa - coroa Número de caras Valor da VA Prob. do Resultado ½ x ½ = ¼ ½ x ½ = ¼ ½ x ½ = ¼ ½ x ½ = ¼ Soma =1 Número de caras Valor da VA 1 0 Prob. do Resultado ¼ ¼ + ¼ = ½ ¼ Soma =1 O valor esperado, ou esperaça matemática, de uma variável aleatória é E(x), que cosiste o valor esperado para ela, ou seja, o valor médio da variável. ou E( ) p i i sedo a V.A. discreta E ) i 1 ( f d sedo a V.A. cotíua E a variâcia de é dada por: Var() = E( ) [E()] O desvio padrão é: Var() No Exemplo o valor esperado é:

21 A variâcia: Var ( ) , O desvio padrão: 0,5 0,71.1. Distribuições Discretas mais Importates As pricipais distribuições discretas são a Distribuição de Beroulli, Distribuição Biomial e Distribuição de Poisso Distribuição de Beroulli A distribuição de Beroulli cosiste em uma distribuição adequada à variável aleatória de Beroulli, que por sua vez é uma v.a. que assume apeas os valores 0 e 1, com fução de probabilidade tal que: P( 0) P( x 0) 1 p P( 1) P( 1) p Etão, E( ) p e Var ( ) p 1 p Distribuição Biomial Seja um processo composto de uma seqüêcia de observações idepedetes, ode o resultado de cada observação pode ser um sucesso ou uma falha. Se a probabilidade de sucesso é costate e igual a p, a distribuição do úmero de sucessos seguirá o modelo Biomial. A distribuição Biomial é usada com freqüêcia o cotrole de qualidade. É o modelo apropriado quado a amostragem é feita sobre uma população ifiita ou muito grade. A distribuição biomial possui quatro propriedades esseciais: 1. As observações possíveis podem ser obtidas através de dois diferetes métodos de amostragem. Cada observação pode ser cosiderada como se tivesse sido selecioada a partir de uma população ifiita sem reposição ou a partir de uma população fiita com reposição.. Cada observação pode ser classificada em uma de duas categorias mutuamete excludetes e coletivamete exaustivas, usualmete chamadas sucesso ou falha. 3. A probabilidade de uma observação ser classificada como sucesso (p) é costate de observação para observação. Assim sedo, a probabilidade de fracasso 1-p também é costate. 1

22 4. O resultado (isto é, sucesso ou fracasso) de qualquer observação idepede do resultado de qualquer outra observação. Em aplicações de cotrole da qualidade, em geral represeta o úmero de defeituosos observados em uma amostra de ites. P ( ) p 1 p e!!( )! ode: represeta o úmero de combiações de objetos tomados de cada vez. P() = probabilidade de sucessos uma vez que e p são cohecidos. = tamaho da amostra. p = probabilidade de sucesso 1-p = probabilidade de falha = úmero de sucessos a amostra ( = 0, 1,,..., ) A média de uma variável aleatória com distribuição biomial é: E a variâcia é dada por: p p 1 p ode p é a proporção de sucessos a amostra p Exemplo: Um processo idustrial opera com média de 1% de defeituosos. Baseado em amostras de 100 uidades, calcule as probabilidades de uma amostra apresetar 0, 1,, 3 e 4 defeituosos. Plote a distribuição de probabilidade correspodete. P ( ) 0, ,01 0, 366 P ( P ( ) 0, ) 0, ,01 0, ,01 0, 185

23 P ( P ( ) 0, ) 0, ,01 0, ,01 0, Distribuição de Poisso A aplicação típica da distribuição de Poisso o cotrole da qualidade é como um modelo para o úmero de defeitos (ão-coformidades) que ocorre por uidade de produto (por m, por volume ou por tempo). Diz-se que existe um processo de Poisso se pudermos observar evetos discretos uma área de oportuidade um itervalo cotíuo (de tempo, de comprimeto, de área,...) de maeira tal que, se ecurtarmos a área de oportuidade ou itervalo suficietemete: 1. A probabilidade de se observar exatamete um sucesso o itervalo é estável.. A probabilidade de se observar mais de um sucesso o itervalo é zero. 3. A ocorrêcia de um sucesso em qualquer itervalo é estatisticamete idepedete da ocorrêcia em qualquer outro itervalo. A distribuição de Poisso tem um parâmetro (lambda) que é a média ou o úmero esperado de sucessos por uidade. A variâcia desta distribuição é =. O úmero de sucessos da variável aleatória de Poisso varia de 0 a. A expressão matemática para a distribuição de Poisso para se obterem sucessos, dado que sucessos são esperados é: e P( )! ode = 0, 1,,... ode: P() = probabilidade de sucessos, dado o cohecimeto de. = úmero esperado de sucessos. e = costate matemática (aproximadamete,7188) 3

24 = úmero de sucessos por uidade. Exemplo: Supoha que o úmero de defeitos o cordão de solda de uma carroceria siga uma distribuição de Poisso com =. Etão a probabilidade de uma carroceria apresetar mais de 3 defeitos será: 0 P 1 P P 3 P ( 3) 1 P( 3) 1 P P ( e 0) 0! 0 0,135 P ( e 1) 1! 1 0,71 P ( e )! 0,71 P ( e 3) 3! 3 0,180 P ( 3) 1 [0,135 0,71 0,71 0,180] 0,143 14,3% Exemplo : Se chegam em média carros por miuto em um posto de gasolia, qual a probabilidade de que cheguem exatamete 5 carros em dois miutos? Neste caso o tempo é diferete do tempo correspodete ao. Etão deve-se trasformar o para que ele correspoda ao tempo de miutos. Chegam em média carros por miuto, portato chegam em média 4 carros em miutos = 4. P ( e 5) 4 5! 5 0,0, ,63%.. Distribuições Cotíuas A distribuição mais importate e mais utilizada a prática é a Distribuição Normal. Outros modelos importates de distribuições cotíuas são: Uiforme, Expoecial, Gama, Qui-Quadrado, t de Studet e F de Sedecor Distribuição Normal A Distribuição Normal é essecialmete importate a estatística por três razões pricipais: 4

25 1. Iúmeros feômeos cotíuos parecem seguí-la ou podem ser aproximados por meio dela.. Podemos utilizá-la para aproximar várias distribuições de probabilidade discretas. 3. Ela oferece a base para a iferêcia estatística clássica, devido à sua afiidade com o teorema do limite cetral. Os parâmetros da distribuição Normal são a média e o desvio padrão. Trata-se de uma distribuição simétrica, uimodal, em forma de sio. A fução de probabilidade da distribuição ormal é dada por: 1 f ( ) e 1 ode: e = costate matemática (aproximada por,7188). = costate matemática (aproximada por 3,14159). µ = média aritmética da população. = desvio padrão da população. = qualquer valor da variável aleatória cotíua ode -. 5

26 Para simplificar a otação de uma v.a.c. com distribuição ormal, com média µ e variâcia utiliza-se: ~ N (, ) A distribuição Normal acumulada é obtida calculado a probabilidade de ser meor que um dado valor a. a P ( a) F( a) f ( ) d fução de desidade açumulada Essa itegral ão pode ser resolvida em forma fechada, mas a solução está apresetada em tabelas ode se etra com a variável reduzida ou variável padroizada Z e ecotra-se F(Z) ou vice-versa. a P( a) PZ F( ) Valor Tabelado (Procurar a tabela da distribuição Normal padroizada) Exemplo: O peso de um produto é uma característica muito importate. Sabe-se que o peso segue um modelo ormal com média de 1000 gramas e desvio padrão 40 gramas. Se a especificação técica estabelece que o peso deve ser maior que 950 gramas, qual a probabilidade de que um pacote selecioado aleatoriamete satisfaça a especificação? P ( 950) PZ P( Z 1,5) 0,3944 0,5 0, ,44% 40 A probabilidade de que um pacote selecioado aleatoriamete satisfaça a especificação é de 89,44%. Exemplo : Sabe-se que represeta medições feitas em um processo que segue o modelo Normal com média de 100 e desvio padrão 10. Se forem feitas 4000 medições, quatas estarão etre 95 e 11? 6

27 P ( 95 11) P Z P ( 95 11) P( 0,5 Z 0,) P ( 95 11) 0,1915 0,3849 P ( 95 11) 0, ,64% Se forem feitas 4000 medições, aproximadamete 305 estarão etre 95 e 11. (4000 x 57,64%) 3. Teoria Elemetar da Amostragem A teoria da amostragem é o estudo das relações existetes etre uma população e as amostras dela extraídas. É muito utilizada para a estimação das gradezas descohecidas da população (parâmetros) através de cohecimeto das gradezas correspodetes as amostras (estatísticas amostrais). A teoria da amostragem é também útil para determiar se as difereças observadas etre duas amostras são devidas a uma variação casual ou são verdadeiramete sigificativas. Por exemplo: queremos testar se os tempos de processameto da matéria prima de dois sistemas de produção são diferetes ou ão. A resposta a esta questão implica o uso de testes de hipótese, que será visto mais adiate. Deomia-se iferêcia estatística a iferêcia de parâmetros (da população) com base os resultados obtidos a amostra. Para que as coclusões sejam válidas, é ecessário que a amostra selecioada seja represetativa da população. Para isso podem ser utilizados os métodos de amostragem probabilísticos apresetados o capítulo 1: aleatória, sistemática, estratificada ou por coglomerados. O método mais utilizado é o por amostragem aleatória Amostragem Com e Sem Reposição Quado selecioamos uma amostra devemos aalisar se esta amostragem é com ou sem reposição. Na amostragem com reposição o mesmo elemeto pode ser escolhido mais de uma vez. Na amostragem sem reposição cada elemeto só pode ser selecioado uma úica vez. Exemplo: uma ura cotém dez bolas, umeradas de 0 a 9. Retira-se a primeira bola, aotase o úmero, 3 por exemplo, e ão se recoloca a bola a ura. Os outros úmeros que podem ser sorteados são 0, 1,, 4, 5, 6, 7, 8 e 9. Este sistema é o sistema sem reposição. Etretato, se tivéssemos recolocado a bola 3 a ura, etão todos os úmeros poderiam ser selecioados a seguda extração, iclusive o 3. Este sistema é chamado sistema com reposição. 7

28 Em geral, quado uma amostragem é sem reposição, dizemos que a população é fiita. Quado uma amostragem é com reposição, etão dizemos que a população é ifiita, pois a população uca será exaurida. Para fis práticos a amostragem de uma população fiita muito grade pode ser cosiderada ifiita. 3.. Distribuições Amostrais Cosideremos todas as amostras possíveis de tamaho que podem ser retiradas de uma população dada (com ou sem reposição). Para cada amostra podemos calcular uma gradeza estatística, por exemplo, a média. Deste modo obtemos a distribuição amostral da média. Da mesma forma podemos calcular a distribuição amostral do desvio padrão, da variâcia, das proporções, Distribuição Amostral das Médias Uma distribuição amostral de médias é uma distribuição de probabilidade que idica quão prováveis são diversas médias amostrais. A distribuição é fução da média, do desvio padrão da população e do tamaho da amostra. Para cada combiação da média, desvio padrão e tamaho da amostra haverá uma úica distribuição amostral de médias. Sejam: = média da população = µ = média da distribuição amostral. = desvio padrão da população = = desvio padrão da distribuição amostral. N = tamaho da população. = tamaho da amostra. Admita-se que todas as amostras possíveis de tamaho sejam retiradas de uma população fiita de tamaho N >. Etão: População fiita: e N N 1 Se a população for ifiita, ou se amostragem for tomada com reposição, os resultados serão: População ifiita: e 8

29 A fórmula do desvio padrão os diz que a quatidade de dispersão a distribuição amostral depede de dois fatores: a dispersão da população o tamaho da amostra (utilizado raiz quadrada) Por exemplo, em qualquer população, o aumeto do tamaho das amostras extraídas resultará em meor variabilidade etre as possíveis médias amostrais. E se o mesmo tamaho de amostra é usado com diferetes populações, as populações com maior quatidade de dispersão tederão a gerar maior quatidade de variabilidade etre as médias de amostras extra das delas. Para amostras grades > 30 a distribuição amostral das médias é aproximadamete ormal, com média e desvio padrão, idepedete da população, desde que a variâcia e a média da população sejam fiitas e o tamaho da população seja, o míimo, o dobro da amostra. Este resultado para população ifiita é um caso especial do Teorema do Limite Cetral da teoria avaçada de probabilidade, que mostra que a precisão da aproximação melhora quado cresce. Isto é idicado, algumas vezes, dizedo-se que a população é assitoticamete ormal. No caso da população ser ormalmete distribuída, a distribuição amostral das médias também o será, mesmo para pequeos valores de (< 30). Teorema do Limite Cetral 1. Se a população sob amostragem tem distribuição ormal, a distribuição das médias amostrais também será ormal para todos os tamahos de amostra.. Se a população básica é ão ormal, a distribuição de médias amostrais será aproximadamete ormal para grades amostras. Exemplo: Calcule o desvio padrão da distribuição amostral de médias ode o desvio padrão da distribuição populacioal é e o tamaho da amostra é ,316 Determie a média das distribuições de médias amostrais, sedo que a média populacioal é Exemplo : A média de uma distribuição amostral de médias é 50 e seu desvio padrão é 10 (desvio padrão da distribuição amostral das médias). Supoha ormal a distribuição amostral. Que percetagem das médias amostrais estará etre 45 e 55? 9

30 O procedimeto é aálogo ao visto o capítulo referete à distribuição ormal, etretato deve-se utilizar o valor de = 50 e =10. Etão: P , ,30% Exemplo 3: Um fabricate de baterias alega que seu artigo de primeira categoria tem uma vida esperada (média) de 50 meses. Sabe-se que o desvio padrão correspodete é de 4 meses. Que percetagem de amostras de 36 observações acusará vida média o itervalo de 1 mês em toro de 50 meses, admitido ser de 50 meses a verdadeira vida média das baterias? Sabemos que, como > 30, a distribuição das médias amostrais será aproximadamete ormal com média igual à média populacioal e desvio padrão igual ao desvio padrão populacioal dividido pela raiz quadrada do tamaho da amostra. Além disso, vamos pressupor população ifiita, pois a produção de baterias ão termia (teoricamete!). A solução evolve a determiação do úmero de desvios padrões que 49 e 51 distam da média (amostral). Determiemos primeiro o desvio padrão da distribuição amostral: 4 0,67 para = Etão devemos trabalhar com ~ N50;0,67 P Z 1, 5 0,67 30

31 P P Z 1, 5 0, P( 1,5 Z 1,5) 0,433 0,433 0, ,64% Etão o percetual de amostras que apresetará problemas etre 49 e 51 meses é de 87% Distribuição Amostral das Proporções Sedo a probabilidade de ocorrêcia de um eveto p (sucesso) e a probabilidade de ão ocorrêcia 1-p (fracasso). Cosideram-se todas as amostras possíveis de tamaho de uma população ifiita e, para cada amostra, determia-se a proporção de sucessos. Assim obtém-se a distribuição amostral das proporções. A média da distribuição amostral é sempre igual à proporção p = p ode: p = proporção populacioal. p = média da distribuição amostral das proporções. Quado a população é muito grade ou ifiita, o desvio padrão da distribuição amostral se calcula: p p 1 p e pode-se fazer uma aproximação para a distribuição ormal quado > 30. Exemplo: Determie a média da distribuição de proporções amostrais, quado a proporção a população é 7,3% p p 7,3% Exemplo : Determie o desvio padrão da distribuição amostral de proporções para =100 e uma proporção populacioal de 60%. p p 1 p 0,6 1 0, ,049 Exemplo 3: Verificou-se que % das ferrametas produzidas por uma certa máquia são defeituosas. Qual a probabilidade de que, em uma remessa de 400 dessas ferrametas, 3% ou mais revelarem-se defeituosas? 31

32 p p % e p p 1 p 0,0 1 0, ,007 P 4. Estimação Como > 30 pode-se utilizar a distribuição ormal, etão: 0,03 0,0 0,007 p 0,03 PZ PZ 1,43 0, ,34% A estimação é o processo que cosiste em utilizar dados amostrais para estimar parâmetros populacioais. As estatísticas amostrais são utilizadas como estimadores de parâmetros populacioais. Assim, uma média amostral é usada como estimativa da média populacioal, a proporção de defeituosos de uma caixa é utilizada para estimar a proporção de defeituosos a produção toda, etc. Tais estimativas chamam-se estimativas potuais, porque origiam apeas uma úica estimativa do parâmetro. Em virtude da variabilidade amostral, é usual icluir uma estimativa itervalar para acompahar a estimativa potual. Esta ova estimativa proporcioa um itervalo, ou âmbito, de possíveis valores do parâmetro populacioal. Estimativa potual: estimativa úica de um parâmetro populacioal Estimativa itervalar: itervalo de valores possíveis, o qual se admite que esteja cotedo o parâmetro. Um itervalo de cofiaça dá um itervalo de valores, cetrado a estatística amostral, o qual julgamos, com um risco cohecido de erro, estar o parâmetro da população. Exemplos: Parâmetro Populacioal Média Tipo de Estimativa Potual Itervalar Um carro de motor 1.0 ada, em Um carro de motor 1.0 ada, em média, 14 km com um litro de média, etre 1 e 16 km com 1 litro combustível. de combustível. Proporção Desvio Padrão A proporção de peças defeituosas é de %. O desvio padrão da temperatura uma piscia ão aquecida é da A proporção de peças defeituosas está etre 1,5 % e,5 %. O desvio padrão da temperatura uma piscia ão aquecida está 3

33 ordem de º C. etre 1º C e 3º C. Os itervalos de cofiaça podem ser uilaterais (por exemplo, a proporção de defeitos é maior de 3%) ou bilaterais (a proporção de defeitos está etre % e 4%). A capacidade de estimar parâmetros populacioais por meio de dados amostrais está ligada diretamete ao cohecimeto da distribuição amostral da estatística que está sedo usada como estimador. Os itervalos de cofiaça para os parâmetros são costruídos de forma que se cosidera uma variação em toro do valor amostral e, assim, pode-se escrever que o parâmetro situa-se etre dois limites: Valor do parâmetro = estimativa potual ± erro de amostragem O erro de amostragem depede da distribuição amostral do parâmetro, do ível de cofiaça adotado e do tamaho da amostra. A tabela a seguir apresetada resume as iformações ecessárias para itervalos de cofiaça. População Ifiita Fiita Estimativa de médias: Potual Itervalar cohecido Z Z N 1 descohecido S t S t N N 1 Estimativa das Proporções: Potual p p Itervalar p 1 p p 1 p p p N N 1 Ode: Z represeta o valor tabelado da distribuição Normal, com ível de cofiaça. 33

34 t represeta o valor tabelado da distribuição t de Studet, com ível de cofiaça e GL graus de liberdade. N é o tamaho da população. é o tamaho da amostra. Exemplo: Itervalo de cofiaça para a média µ quado se cohece a variâcia de população. Seja uma amostra de tamaho 36 de uma população ifiita, sabe-se que = 3 e = 4,. Cofiaça Z desejada (tabelado) 90% 1,65 Fórmula Cálculo E Itervalo Z 3 4, 0,85 3,375 a 5,05 4, 1, % 1,96 Z 4, 1, , 0,980 3,0 a 5,180 99%,58 Z 4,, , 1,90 3,110 a 5, Tamaho da Amostra Uma das pergutas mais freqüetes em estatística é: Qual o tamaho da amostra que devemos tomar?. O tamaho da amostra depederá do grau de cofiaça desejado (Z), da quatidade de dispersão etre os valores idividuais ( ), e de certa quatidade específica de erro tolerável (e). O tamaho da amostra que você afial selecioará depederá de seu orçameto, da importâcia ecoômica das decisões e da variabilidade a população. Desses três problemas, dois são de ordem gerecial, cabedo a você a decisão; apeas o terceiro (variabilidade) está fora do seu cotrole. (Breda Lady). A fórmula do erro pode ser resolvida em relação a. Assim, para o caso de estimação de médias, tem-se: e Z Z e Z e E para estimação de proporções: 34

35 e Z p 1 p p 1 p e Z p (1 p) Z e Exemplo: Que tamaho de amostra será ecessário para produzir um itervalo de 90% de cofiaça para a verdadeira média da população, com erro de 1,0 em qualquer dos setidos, se o desvio padrão da população é 10? Sabemos que = 10 e e = 1 e queremos um itervalo 90% de cofiaça para a média, o que implica utilizar um valor de Z = 1,65. Z e 10 1,65 1 7,5 tamaho da amostra 73 Exemplo : As compahias de seguro estão ficado preocupadas com o fato de que o úmero crescete de telefoes celulares resulte em maior úmero de colisões de carros. Estão, por isso, pesado em cobrar prêmios mais elevados para os motoristas que utilizam celulares. Desejamos estimar, com uma margem de erro de três potos percetuais, a percetagem de motoristas que falam ao celular equato dirigem. Supodo que se pretede um ível de cofiaça de 95% os resultados, quatos motoristas devem ser ivestigados? Supoha que ão tehamos ehuma iformação sobre p. Z p (1 p) 1,96 0,5 1 0,5 1067,11 tamaho da amostra 1068 e 0,03 5. Teste de Hipóteses Os testes de hipóteses são também cohecidos como testes de sigificâcia. A fialidade dos testes de hipóteses é avaliar afirmações sobre os valores de parâmetros populacioais. Os testes de hipóteses e a estimação são dois ramos pricipais da iferêcia estatística. Equato o objetivo da estimação é estimar algum parâmetro populacioal, o objetivo dos testes de hipóteses é decidir se determiada afirmação sobre um parâmetro populacioal é verdadeira. Por exemplo, podemos querer determiar se são verdadeiras as afirmações: o tempo médio de realização do teste é 80 miutos. três por ceto da população (de determiado item) é defeituosa. os percetuais de ão coformes dos dois processos são iguais. Utilizam-se duas hipóteses, sedo chamadas de hipótese ula (H0) e hipótese alterativa (H1). 35

36 A hipótese ula H0 é uma afirmação que diz que o parâmetro populacioal é tal como especificado (isto é, a afirmação é verdadeira). A hipótese alterativa H1 é uma afirmação que oferece uma alterativa à alegação (isto é, o parâmetro é maior, ou meor, que o valor alegado). Exemplo: O estudo de uma amostra de tamaho 55 peças idicou que o diâmetro médio é de 7,5 mm. Etão: H0: o diâmetro médio da população (de peças) é 7,5 mm. H1: o diâmetro médio da população (de peças) é diferete de 7,5 mm. Os testes de hipótese utilizam a sigificâcia adotada pelo pesquisador. A sigificâcia é a probabilidade de uma hipótese ula ser rejeitada, quado verdadeira. Que coicide com o erro tipo 1. Ao testar uma hipótese, há dois tipos de erros que podemos cometer: = P {rejeitar H0/H0 é verdadeira} = erro do tipo 1. = P {aceitar H0/H0 é falsa} = erro do tipo. O procedimeto usual é fixar o valor de e verificar o valor de. O risco é uma fução do tamaho da amostra, e é cotrolado idiretamete. Quato maior o tamaho da amostra, meor será o risco. Ação Se H0 é Verdadeira Falsa Aceitar H0 Decisão Correta Erro Tipo () Rejeitar H0 Erro Tipo 1 () Decisão Correta Basicamete os testes de hipótese evolvem as seguites etapas: 1. Estabelecer as hipóteses ula e alterativa;. Idetificar a distribuição amostral adequada; 3. Escolher um ível de sigificâcia (e assim os valores críticos); 4. Calcular a estatística do teste e compará-la com os valores críticos; 5. Rejeitar a hipótese de ulidade se a estatística do teste excede o(s) valor(es) crítico(s); caso cotrário, aceitá-la. Os testes de hipótese podem ser uilaterais ou bilaterais. Nos testes uilaterais a hipótese alterativa H1 é do tipo µ > 33 ou µ < 33, por exemplo. Nos testes bilaterais a hipótese alterativa é do tipo µ 33. A hipótese ula permaece igual os dois casos. A área de rejeição é dividida quado o teste é bilateral. 36

37 5.1. Teste de Hipóteses para Médias Cohecido Quado se cohece o desvio padrão da população, a distribuição amostral adequada é a distribuição ormal. Se a população é ormal, a distribuição amostral será ormal para todos os tamahos de amostra. Se a população é ão ormal, ou se sua forma é descohecida, pode-se usar um teste de uma amostra só para tamahos de amostras superiores a 30 observações. Assim, pequeas amostras de população ão ormais ão podem ser tratadas por este processo. Supoha que é uma variável aleatória com média µ descohecida e variâcia cohecida. E queremos testar a hipótese de que a média é igual a um certo valor especificado µ0. O teste de hipótese pode ser formulado como segue: H0 : µ = µ0 H1 : µ µ0 Para testar a hipótese, toma-se uma amostra aleatória de observações e calcula-se a estatística: Exemplo: Uma máquia de usiagem deveria produzir etalhes com 0,85 mm de profudidade. O egeheiro descofia que os etalhes que estão sedo produzidos são diferetes que o especificado. Uma amostra de 8 valores foi coletada e idicou = 0,847. Sabedo que o desvio padrão é = 0,010, teste a hipótese do egeheiro usado um ível de sigificâcia = 0,05. H0: µ = 0,850; H1: µ 0,850. Z teste 0,847 0,850 0, ,85 Como Zteste = -0,85 > - Z0,05 = - 1,96. H0 ão pode ser rejeitada. Coclusão: ão podemos afirmar que os etalhes sejam diferetes que o especificado, ao ível de sigificâcia de 0,05. 37

38 5.1.. Descohecido Quado ão se cohece o desvio padrão da população, deve-se estimá-lo a partir dos dados amostrais usado o desvio padrão amostral. Quado isso ocorre (a maioria das situações reais é descohecido), a distribuição t é a distribuição amostral adequada. Supoha que é uma variável aleatória Normal com média µ e variâcia descohecidas. Para testar a hipótese de que a média é igual a um valor especificado µo. formulamos: H0: µ = µ0 H1: µ µ0 Esse problema é idêtico àquele da seção aterior, exceto que agora a variâcia é descohecida. Como ão é cohecido, usa-se a distribuição de Studet para costruir a estatística do teste: t teste S E a hipótese ula H0 é rejeitada se [tteste] > t/, ode t/, -1 é um valor limite da distribuição de Studet tal que a probabilidade de se obter valores exteros a t/ é. 5. Testes de Duas Amostras para Médias Os testes de duas amostras são usados para decidir se as médias de duas populações são iguais. Exigem-se amostras idepedetes, ou seja, uma de cada população. Eles são freqüetemete utilizados para comparar dois métodos de esio, duas cidades, duas marcas, duas fábricas,... OBS: dados proveietes de ates-depois são depedetes, ão podedo, portato, serem tratados por este método Cohecido Quado há duas populações com médias descohecidas, digamos µa e µb e desvios padrões cohecidos, a e b, o teste para verificar a hipótese que as médias sejam iguais é o seguite: H0: 1 = H1: 1 38

39 Z teste E rejeita-se H0 se [Zteste] > Z/ 5... Descohecido Similarmete, quado, a e b, ão são cohecidos, o teste para verificar a hipótese que as médias sejam iguais é: t teste 1 S 1 1 S E rejeita-se H0 se [tteste] > t/, Teste para Proporções Este tipo de teste é apropriado quado os dados sob aálise cosistem de cotagem ou freqüêcias de ites em duas ou mais classes. A fialidade de tal teste é avaliar afirmações sobre a proporção (ou percetagem) de uma população. O teste se baseia a premissa de que uma proporção amostral será igual à verdadeira proporção populacioal, a meos da variabilidade amostral. O teste foca a difereça etre o úmero esperado de ocorrêcias (supodo-se verdadeira uma afirmação) e o úmero efetivamete observado. A difereça é etão comparada com a variabilidade prescrita por uma distribuição amostral baseada a hipótese de que H0 é realmete verdadeira. Quado a fialidade da amostragem é julgar a validade de uma alegação acerca de uma proporção populacioal, é apropriado o teste para proporções. Ode: H0: p = p0 H1: p p0 O valor da estatística de teste é dado por: Z teste p 0 p 1 p 0 e deve ser comparada com o valor cr tico de Z (retirado de uma tabela da distribuição ormal) 39

40 Exemplo: Um fabricate afirma que uma remessa de pregos cotém meos de 1% de defeituosos. Uma amostra aleatória de 00 pregos acusa 4 defeituosos. Teste a afirmação ao ível 0,01. H0: p = 1% H1: p > 1% pois desejamos evitar a aceitação de uma remessa com mais de 1% de defeituosos, mas ada há cotra aceitar o fato da remessa apresetar qualidade superior à acordada. Z teste p p ,01 1 p 0,01 1 0, ,4 Na tabela da distribuição ormal, Z0,01 =,33. Aceita-se H0, e pode-se dizer que a quatidade de pregos defeituosos é 1% ou meos, ao ível de sigificâcia 0, Teste do Qui-Quadrado (k amostras para proporções) A fialidade de um teste de k amostras é avaliar se as proporções de k amostras idepedetes proveham de populações que coteham a mesma proporção de determiado item. Coseqüetemete, tem-se: H0: As proporções populacioais são todas iguais H1: As proporções populacioais ão são iguais Ou seja, estamos testado se as duas variáveis são ou ão associadas, por exemplo, se queremos testar se a proporção de mulheres e de homes que trabalham o horário oturo em uma fábrica são iguais, automaticamete estaremos testado se sexo e turo de trabalho são variáveis associadas. Este teste baseia-se a distribuição qui-quadrado, ode o valor calculado deve ser comparado com o valor tabelado. A decisão de aceitar ou rejeitar H0 depederá da comparação deste valor com o valor tabelado da distribuição qui-quadrado. Por exemplo, tem-se a distribuição de peças produzidas por turo e se essas peças são boas ou apresetam algum tipo de defeito. No turo da mahã foram produzidas 967 peças, ode 183 apresetaram algum tipo de defeito. Turo de Produção Total Mahã Tarde Noite Peças com algum defeito Peças boas Total

41 O teste baseia-se a pressuposição que, se as duas variáveis fossem idepedetes, etão o valor esperado de cada célula poderia ser ecotrado fazedo-se: Frequêcia Esperada (total da liha) total da colua total geral Freqüêcias Esperadas Turo de Produção Total Mahã Tarde Noite Peças com algum defeito 137,1 41,7 45, 4 Peças boas 89,9 5,3 73, Total Frequêcia Esperada ,1 teste de idepedêcia qui-quadrado é obtido utilizado-se a estatística: O E E Se o valor obtido for maior que o valor crítico obtido a tabela etão diz-se que as variáveis NÃO são idepedetes. Se o valor ecotrado for meor, etão diz-se que as variáveis são idepedetes. O valor dos GRAUS DE LIBERDADE é obtido através do cálculo: No exemplo apresetado: graus de liberdade = (coluas-1)(lihas-1) , , ,8 137,1 41, ,8 51,88 e o valor crítico ecotrado a tabela para (-1) x (3-1) = graus de liberdade e ível de sigificâcia 0,05 é 5,991. Tem-se valor calculado > valor tabelado etão diz-se que as variáveis NÃO são idepedetes. OU SEJA, a proporção de peças boas produzidas depede do turo de 41

42 trabalho. A proporção de peças boas o turo da mahã é 81%, a tarde 90% e a oite 97%. 4

43 Capítulo : Projeto de Experimetos Projeto de Experimetos (DOE, Desig of Experimets), ferrameta que vem sedo utilizada para verificar o fucioameto de sistemas ou processos produtivos, permitido melhoria destes, redução a variabilidade, e coformidade próxima do resultado desejado, além de redução o tempo de processo e, cosequetemete, os custos operacioais. Podemos, brevemete, citar algus beefícios do DOE: Larga aplicação em todas as áreas; Mostra as variáveis mais importates do processo; Permite otimização; Requer meor úmero de experimetos que os métodos covecioais; Maior cotrole dos processos; Redução sigificate dos custos; Redução o tempo de desevolvimeto de um produto; Redução a variabilidade dos produtos e maior aproximação com os requisitos exigidos pelos clietes; As etapas do DOE são divididas em: Plaejameto; Execução dos experimetos; Aálise dos dados; Experimeto de cofirmação; Coclusão..1 Defiições 43

44 Experimeto: Um cojuto plaejado de operações com o objetivo de descobrir ovos fatos ou cofirmar ou egar resultados de ivestigações ateriores. Fator: (Variável idepedete) Um fator é uma das variáveis cotroladas ou ão, que exercem ifluêcia sobre a resposta que está sedo estudada o experimeto. Um fator pode ser quatitativo, isto é, a temperatura em graus, o tempo em segudos. Um fator pode, também, por exemplo, ser qualitativo, ter diferetes máquias, diferetes operadores, iterruptor ligado ou desligado, catalisador A ou B. Nível: Os Níveis de um fator são os valores do fator examiado o experimeto. Para os fatores quatitativos, cada valor escolhido costituiu um ível, isto é, se o experimeto deve ser coduzido em quatro temperaturas diferetes, etão o fator temperatura possuiu quatro íveis. No caso dos fatores qualitativos, o iterruptor ligado ou desligado represeta dois íveis para o fator iterruptor; caso estejam sedo utilizadas seis máquias por três operadores, etão o fator máquia tem seis íveis, equato o fator operador tem três íveis. Tratameto: Um Tratameto é um ível atribuído a um fator úico durate um experimeto, por exemplo, a temperatura a 800 graus. Uma combiação de tratameto é o cojuto de íveis para todos os fatores um dado experimeto. Por exemplo, um experimeto utilizado temperatura de 800 graus, máquia 3, operador A, e iterruptor desligado costituir-se-ia uma combiação de tratameto. Uidades Experimetais: As Uidades Experimetais cosistem em objetos, materiais ou uidades aos quais se aplicam os tratametos. Podem ser etidades biológicas, materiais aturais, produtos maufaturados etc. Ambiete Experimetal: O Ambiete Experimetal compreede as codições ambietais que podem vir a iflueciar os resultados do experimeto de modo cohecido ou descohecido. Delieameto de Experimeto: O plao formal para a codução do experimeto é chamado delieameto de experimeto ou modelo experimetal. Ele iclui a escolha de respostas, fatores, íveis, blocos e tratametos, além da utilização de determiadas ferrametas chamadas agrupameto plaejado, aleatorização e replicação. Aleatorização: A seqüêcia de experimetos e/ou a atribuição de amostras a diferetes combiações de tratameto de maeira puramete casual é deomiada 44

45 Aleatorização. Tal atribuição aumeta a probabilidade de que o feito de variáveis icotroláveis seja elimiado. Também aprimora a validade das estimativas da variâcia dos erros experimetais e tora possível a aplicação de testes estatístico de sigificâcia, além de costrução de itervalos de cofiaça. Sempre que possível, a aleatorização deve fazer parte do experimeto. Replicação: A Replicação é a repetição de uma observação ou medição de forma a aumetar a precisão ou forecer os meios para medir a precisão. Uma replicação úica cosiste de uma úica observação ou realização do experimeto. Proporcioa uma oportuidade para que se elimiem os efeitos de fatores icotroláveis ou de fatores descohecidos pelo experimetador e assim, com a aleatorização, atua como ferrameta dimiuidora de tedêcias. A replicação também ajuda a detectar erros graves as medições. Nas replicações de grupos de experimetos, diferetes aleatorização devem ser aplicadas a cada grupo.. Experimetos Fatoriais (covecioais) No passado, a realização de experimetos que evolviam mais de um fator, e cada fator com mais de um ível, adotava-se o seguite procedimeto: Escolhia-se um fator, o qual era experimetado variado o seu ível, equato os outros fatores tiham seus íveis fixados. Termiada a experimetação com o primeiro fator escolhido, assumia-se para o mesmo o melhor valor desejado (máximo, míimo, etc) e repetia-se o procedimeto com os outros fatores, um de cada vez. Este processo ão leva em cosideração as evetuais iterações existetes etre os fatores. Para tetar suprir esta lacua foram usados os Experimetos Fatoriais, que passamos a detalhar...1 Experimetos Fatoriais com K Fatores (cada fator com dois íveis) Os delieametos fatoriais k possuem ampla aplicação idustrial. Tais delieametos permitem a avaliação em separado dos efeitos idividuais e dos efeitos de 45

46 iteração dos fatores um experimeto o qual todos os fatores variam simultaeamete um padrão de tetativas cuidadosamete orgaizado. Um experimeto fatorial com fatores, cada um com dois íveis, é cohecido como o experimeto fatorial k. O experimeto cosiste de k tetativas, uma tetativa em cada combiação dos dois íveis dos fatores. Para idetificar as tetativas idividuais é utilizada, detre outras, a seguite otação: - Os fatores são represetados por letras - Os íveis pelos siais de mais (+) e de (-) - O sial de mais (+) represeta o ível iferior, a codição ou a ausêcia de fator. Obs.: Os japoeses costumam utilizar o úmero 1 ao ivés de (-) e o úmero ao ivés de (+) Experimetos Fatoriais com K Completos 3 Assim, se há 3 fatores a serem experimetados, teremos um fatorial de 3 com 8 experimetos, os fatores represetados pelas letras A,B e C, e o plaejameto do experimeto será represetado coforme a Tabela 1. Tabela 1. Matriz Experimetal 3 ENSAIO FATORES Resposta A B C

47 .. Estimativa dos Efeitos Pricipais e Iterações Os experimetos fatoriais k permitem a estimativa de todos os K efeitos pricipais (efeitos de primeira ordem) de todas as iterações de dois fatores, de todas as iterações de três fatores, etc. Cada efeito estimado é uma estatística da forma (+) - (-), ou seja, é expresso pela difereça etre as duas médias, cada uma cotedo k-1 observações. Em um experimeto 4 o aalista seria, assim, capaz de estimar, além da média geral, quatro efeitos pricipais, seis iterações de dois fatores, quatro iterações de três fatores, e uma iteração de quatro fatores, totalizado um total de 16 estatísticas. Notavelmete, todas estas estatísticas são distitas (ortogoais) umas das outras, isto é, as magitudes e siais de cada estatística ão são de maeira alguma iflueciadas pelas magitudes e siais das demais. Para o exemplo de 3 temos: Exp. A B C Resposta Y Y Y Y Y Y Y Y8...1 Estimativa dos Efeitos Pricipais E = R(+) + R(-) 47

48 O maior resultado tem o maior efeito.... Estimativa dos Efeitos das Iterações Lembrar que: - e + é igual a - 1 Etão, o modelo matemático pode ser escrito como: 48

49 Variável reduzida: Variâcia (S ): Desvio Padrão (S): Variâcia Global (Sp ): i úmero de graus de liberdade = 1 ( úmero de repetições ).. Teste t Testará a sigificâcia de cada efeito calculado; 49

50 .3 Cases Critério: tcalc > ttab ; o efeito é sigificate.3.1 Experimeto do Helicóptero Fote: Ferado Braco Costa Fatores Nível Baixo ( - ) Nível Alto ( + ) A-Comprimeto da Asa 80mm 130mm B- Comprimeto da Haste 80mm 130mm C-Largura da haste 0mm 40mm D-Clip de papel sem com 50

51 Experimetos Fatores Tempo de vôo (segudos) 1 A B C D.. 16 Tempo Médio Si.3. Otimização do Alcace utilizado o Projeto Experimetal Fatorial Completo k Processo: Arremesso de uma bola com o uso de uma catapulta. Fator Nível (-) (+) A Posição do dispositivo de arremesso Baixo Alto B Âgulo C Posição do dispositivo de tesão Baixo Alto D Turo A B Resposta: Distâcia (cm) 51

52 Experimeto Fatores Distâcia (cm) A B C D 1ª ª 3ª Média S i Tarefa: Executar os experimetos, calcular os efeitos pricipais e de iteração, fazer o teste t para testar a sigificâcia dos efeitos dos fatores, propor um modelo matemático e testá-lo. Lembrado-se que: Abaixo, os efeitos pricipais e das iterações: EPA = 0 EAB = 16 EBC = 15 EABC = 19 EPB = -55 EAC = -6 EBD = -6,5 EABD = 0 EPC = 91 EAD = ECD = 3,5 EACD = 16 5

53 EPD = -14 EBCD = -7 EABCD = -16,5 = 3-1 = S p = (109+ +) / (16) = 96 Sp = S p = 30,4 Teste t : Agora testaremos a sigificâcia de cada efeito calculado; Critério: tcalc > ttab ; o efeito é sigificate Da tabela de estatística T, para o ível de sigificâcia de 95% e grau de liberdade 3! ta = 0,66 <,04 Não é sigificate tb = 0,18 <,04 Não é sigificate tc =,99 >,04 Sigificate td = 0,46 <,04 Não é sigificate ttabelado 95% =,04 Para todos os t s das iterações => ão sigificates! 53

54 Ajuste sugerido da Catapulta: A + B - C + D - Em relação ao turo (D), pode se utilizar os dois a prática, etretato tomado-se medidas para miimizar EP(D). Etretato, o experimeto a maior média foi obtida com: A + B + C + D -! Efeito CD Alcace ( - ) ( + ) ível baixo ível alto C 54

55 650 Efeito AB Alcace ( - ) ( + ) ível baixo ível alto B 650 Efeito BC Alcace ( - ) ( + ) ível baixo ível alto C Os gráficos de iterações levam a: A + B + C + D + 55

56 .3.3 Atividade 1 em Grupo Fatorial 5 Reactor Example Variable Low (-) High (+) 1-A Feed Rate (liters/mi) B Catalyst (%) 1 3-C Agitatio Rate (rpm) D Temperature ( C) E Cocetratio (%) 3 6 Calcular os efeitos pricipais e de iteração e discutir os resultados. Gerar um relatório Variable % Reacted

57 .4 Fatoriais Fracioados k-p São frações de um fatorial completo K. São muito úteis em etapas ivestigatórias (exploratórias) quado se iicia o estudo do processo. Requerem um meor úmero de experimetos, se comparados com os fatoriais completos. Usualmete utilizados quado se tem muitos fatores para ivestigar e poucos recursos para a execução dos experimetos. Ex.: Fatorial Fracioado 5-1! p => grau de redução do fatorial! *5 => fatores *1 => grau de redução 5-1 ~ 4 => 16 experimetos Como motar a matriz fracioada?! 57

58 .4.1 Atividade em Grupo Fatorial Fracioado 7-4 Bottleeck at the Filtratio Stage of a Idustrial Plat Várias platas químicas operaram com sucesso por vários aos em diferetes localidades. Nas platas atigas o tempo para completar um ciclo particular de filtração foi 40 mi, mas uma plata ova este ciclo demorou duas vezes mais, causado prejuízos. Qual foi a causa desta demora? Uma reuião com técicos foi feita para tetar determiar as causas do problema. Possibilidades: 1) Egeheiro da plata suspeitou da fote de água Plata ova - reserva da cidade Platas velhas poços particulares (Coteúdo mieral de água pode afetar a filtração) ) Superitedete do processo suspeitou da origem da matéria prima Fote deste material a plata ova era diferete do que as fotes das platas atigas. 3) Químico suspeitou do ível de temperatura de filtração. Temperatura a plata ova era um pouco mais baixa do que as outras platas. 4) Preseça de um dispositivo de reciclagem a plata ova que ão existe as platas atigas. 5) Velocidade de adição de soda cáustica. Estava mais alta a plata ova. O chefe dos operadores sugeriu que esta velocidade seja dimiuída para resolver o problema. 6) Tipo de pao de filtro. Um ovo tipo foi usado a plata ova. O superitedete do processo falou que seria relativamete simples de substituir este pao. 7) holdup time. Este tempo foi mais baixo a plata ova. O egeheiro de cotrole de qualidade sugeriu que talvez este tempo fosse a causa do problema. A pessoa resposável por este estudo achou que provavelmete somete uma ou duas destas codições foram resposáveis pelo problema. A chace de que mais do que duas variáveis sejam sigificates foi cosiderada remota. 58

59 Foi decidido usar um plaejameto fatorial fracioado 7-4 que tem resolução III (efeitos pricipais e de iteração de ª ordem são misturados). Fatores Níveis (-) (+) A Fote de Água Reserva Poço B Matéria Prima Nova Velha C Temperatura Baixa Alta D Reciclagem Sim Não E Soda Cáustica Rápida Devagar F- Pao de Filtro Novo Velho G Hold up tima Baixo Alto Exp A B C AB AC BC ABC Tempo de Filtração (mi) D E F G Pedem-se : a) calcular os efeitos dos fatores b) discutir os resultado e fazer uma primeira proposta de ajuste do processo, com as decisões ecessárias 59

60 .4 Método de Plackett-Burma São experimetos fatoriais fracioados saturados. N = N = N = N = Permite ivestigar (N-1) fatores! Matriz N = 1 Exp Resposta Resultado com 6 variáveis reais e 5 variáveis (fatasmas) ou iertes. - a experiêcia 1 sempre traz os siais da matriz iicial - e a última experiêcia sempre teremos - para todos os fatores 60

61 .4.1 Atividade 3 em Grupo Variável resposta: dureza de um material Colua Fator Variável Nível A Cotrole de Tesão Maual Automático B Máquia 1 3 C Vazão (gal/mi) D Mistura Simples dupla 5 E Temperatura ( o C) F Umidade (%) G Fatasma 8 H Fatasma 9 I Fatasma 10 J Fatasma 11 K Fatasma 61

62 .4. Atividade 4 em Grupo Juta de Vedação Num problema idustrial, deseja-se verificar exploratoriamete, a ifluêcia de 6 variáveis de processo (fatores) as variáveis resposta de uma Juta de Fibra (produto). Para tal, optou-se por um Plaejameto Plackett-Burma com N=1, sedo 6 variáveis reais e 5 variáveis iertes (fatasmas). As variáveis estão descritas a tabela a seguir: Fatores Níveis (+) (-) A Teor de Ligate Alto Baixo B Fatasma * * C Teor total de Fibras (%) Alto Baixo D Cargas A B E Teor de Fibras Orgâicas Alto Baixo F Fibras Orgâicas A B G Fatasma * * H Fatasma * * I Fatasma * * J Fibras Iorgâicas A B K Fatasmas * * Variáveis Respostas 1 Espessura Desidade 3 Resistêcia à Tração 4 Compressão 5000 psi 5 Relaxação 5000 psi 6 Compressão 1000 psi 8 Flexibilidade 9 Reteção 10 Creep 6

63 Os resultados estão a tabela a seguir Exp Fatores Variáveis Resposta A B C D E F G H I J K ,07 1, , , 0, , ,1 0, , ,3 0, , ,87 1, ,1 1, ,97 1, , ,11 1, , ,83 1, , ,0 1, ,93 1, , ,71 1, , Pedem-se : a) Efeitos pricipais do fatores sobre as 10 respostas b) Testar a sigificâcia dos efeitos ( teste t usar fatasmas para estimar Sp ) c) Propor uma codição de ajuste do processo que ateda à maior parte das ecessidades das variáveis resposta. Deseja-se miimizar a variável resposta 1 e maximizar as demais.

64 .4 Método de Taguchi: Egeharia Robusta Ferrametas do Método: Arrajos Ortogoais (Matrizes Experimetais) Aalise de Variâcia (ANAVA ou ANOVA) Razão Sial/Ruído => S/N ou Codições Comus: Maior-é-melhor => S/N = -10 log ( 1/y )/ Meor-é-melhor => S/N = -10 log ( y )/ Nomial-é-melhor => S/N = 10 log (y )/(S ) y => valor da resposta => de repetições S => variâcia Arrajos Ortogoais (Matrizes Experimetais) matriz. Recebem a desigação L, ode represeta o de codições experimetais da

65 Matrizes Experimetais Arrajos Ortogoais Covecioais Nível Alto + 3 Nível Itermediário 0 Nível Baixo - 1 L9 => até 4 fatores!.4.1 Case: Taguchi Efeitos dos fatores sobre (S/N) ou Colum Number ad Fator Assiged Exp Observatio Temperature Pressure Setlig Cleaig N (A) (B) (C) (D) (db) Cálculo dos Efeitos : Fator A MA1 = = -0 3

66 MA = = MA3 = = Fator B MB1 = = MB = = MB3 = = Fator C MC1 = = MC = = MC3 = = Fator D MD1 = = MD = = MD3 = = Média: -41,67 A e B iflueciam mais!

67 Represetação gráfica A B C D A1B1CD3 ou => meor variabilidade possível! Aálise de Variâcia (ANOVA) de Variâcia. Usaremos o exercício aterior para mostrar como se mota uma Tabela de Aálise Soma Total dos Quadrados (STQ): STQ = (i - médio) médio = -41,67 STQ = (-0+41,67) + (-30+41,67) (-70+41,67) STQ = 3800 Soma dos Quadrados dos Fatores (SQF)

68 Fator A: SQF(A) = 3 (ma1 - médio) + 3 (ma - médio) + 3 (ma3 - médio) Ode: 3 => de codições experimetais o ível i. Assim: SQF(A) SQF(B) SQF(C) SQF(D) Soma Quadrática do Erro (SQerro) SQ(Erro) = STQ - SQF SQ(Erro) = = 0 (erro calculado) => deve-se estimar o erro! TABELA ANOVA Fote de Variação SQF g.l SMQF F Fator A ,5 Fator B ,75 Fator C * 350 * Fator D * 50 * 5 - ERRO (*) 400 (*) Ode: SMQF = SQF/g.l e F = SMQF/SMQFERRO => usados para estimar o erro! Se F >=,0 => efeito é sigificate!

69 Capítulo 4: Relatórios Gereciais Fote: Leadro Valim de Freitas A seguir serão apresetadas as pricipais etapas para geração de relatórios gereciais o software empresarial Miitab. Cada etapa será explorada em detalhes a sala de aula. 1ª. Etapa: Criar um experimeto: Stat / DOE / Factorial / Create Factorial Desig Nessa etapa é possível escolher o úmero de íveis e fatores. Em seguida, etre a opção Desigs para determiar se trata de um experimeto fatorial completo ou fracioado e, se serão realizadas réplicas.

70 ª. Etapa: Cálculo dos efeitos, coeficietes e ANOVA. Stat / DOE / Factorial / Aalyse Factorial Desig Os relatórios serão reportados a Sessio:

71 3ª. Etapa: Geração dos gráficos dos efeitos dos fatores. Stat / DOE / Factorial / Factorial Plots

72

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