CONTROLO. 3º ano 2º semestre 2005/2006. Transparências de apoio às aulas teóricas

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1 Liceciatura em Egeharia Electrotécica e de Computadore (LEEC) Departameto de Egeharia Electrotécica e de Computadore (DEEC) CONTROLO 3º ao º emetre 005/006 Traparêcia de apoio à aula teórica Capítulo Modelação de Sitema Fíico e Repota o Tempo PARTE I Maria Iabel Ribeiro Atóio Pacoal Setembro de 00 revita em Março de 00, Setembro de 004 e Setembro de 005 Todo o direito reervado Eta ota ão podem er uada para fi ditito daquele para que foram elaborada (leccioação o Itituto Superior Técico) em autorização do autore INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO Cotrolo 005/006 Setembro.005 /Cap. M. Iabel Ribeiro, Atóio Pacoal

2 MODELAÇÃO REPRESENTAÇÃO MATEMÁTICA e RESPOSTA NO TEMPO de itema fíico Sitema mecâico Circuito eléctrico Sitema electromecâico Sitema térmico Sitema hidráulico Diâmica de populaçõe... r(t) Etrada Sitema y(t) Saída Repreetação matemática De etrada-aída relacioa directamete a etrada com a aída Equação diferecial Fução de Traferêcia (para SLIT) De etado relacioa a etrada, a aída e variávei itera do itema INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO Cotrolo 005/006 Setembro.005 /Cap. M. Iabel Ribeiro, Atóio Pacoal

3 Sitema mecâico de tralação Lei de Newto (éc. XVII) F d(mv)/ F oma da força aplicada ao corpo (N) v vector velocidade do corpo (m/) m maa do corpo (Kg) mv mometo liear Kgm/ A força total aplicada a um corpo rígido é igual à derivada em ordem ao tempo do eu mometo liear INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO Cotrolo 005/006 Setembro.005 3/Cap. M. Iabel Ribeiro, Atóio Pacoal

4 Sitema mecâico de tralação Elemeto báico Maa m X f(t) d x(t) f (t) m Armazea eergia ciética Mola X K (t) f K x(t) K K x(t) Mola armazea eergia potecial Kcotate da mola f (t) Kx(t) é a força que é eceário exercer para efectuar o alogameto (x(t)>0) ou a compreão (x(t)<0) f (t) força de retituição da mola, reultado de uma deformação (alogameto ou compreão). INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO Cotrolo 005/006 Setembro.005 4/Cap. M. Iabel Ribeiro, Atóio Pacoal

5 Sitema mecâico de tralação Elemeto báico Atrito X x(t) X (t) f d dx(t) f d (t) dx(t) Atrito - Elemeto diipador de eergia coeficiete de atrito vicoo A força de atrito, f d (t), que e opõe ao movimeto, é proporcioal à velocidade implificação da realidade é uualmete uma fução ão liear da velocidade INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO Cotrolo 005/006 Setembro.005 5/Cap. M. Iabel Ribeiro, Atóio Pacoal

6 Sitema mecâico de tralação exemplo-ªordem X m f(t) Força extera aplicada f(t) Sitema v (t) dx(t) Lei de Newto d x(t) força aplicada m dv(t) m Força extera f(t) + fd (t) f(t) v(t) Força do atrito dv(t) m A força de atrito opõe-e ao movimeto dv(t) m + v(t) Repreetação de etrada-aída o o domíio do tempo INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO Cotrolo 005/006 f(t) o Equação diferecial liear de coeficiete cotate de ª ordem o Sitema de ª ordem Setembro.005 6/Cap. M. Iabel Ribeiro, Atóio Pacoal

7 Sitema mecâico de tralação exemplo dv(t) m + v(t) f(t) Para F Uma etrada f(t)f para t 0 A maa iicialmete em repouo, v(0)0 Como é a evolução temporal da velocidade? t v(t) t m Reolução da equação diferecial F F e Para t 0 Repota forçada Repota atural INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO Cotrolo 005/006 aída Setembro.005 F F Gaho em regime etacioário 7/Cap. M. Iabel Ribeiro, Atóio Pacoal

8 Sitema mecâico de tralação exemplo-ªordem dv(t) m + v(t) f(t) EQUAÇÃO DIFERENCIAL Repreetação matemática do itema o domíio do tempo para uma dada etrada a aída pode obter-e por reolução da equação diferecial Sitema Liear Ivariate o Tempo Aplicado Traformada de Laplace uilateral e coiderado codiçõe iiciai ula mv () + V() F() V() TL[v(t)] F() TL[f(t)] X() 0 x( τ)e τ d τ Traformada de Laplace uilateral V() F() m + FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA Repreetação matemática do itema o domíio da variável complexa INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO Cotrolo 005/006 Setembro.005 8/Cap. M. Iabel Ribeiro, Atóio Pacoal

9 Traformada de Laplace Uilateral X() 0 x( τ)e τ d τ Traformada de Laplace uilateral TL u deempeha papel importate a aálie de itema cauai epecificado por equaçõe difereciai com codiçõe iiciai ão ula. pode er coiderada como a traformada bilateral de um ial cujo valor para t<0 é zero. x(t) Traformada bilateral Traformada uilateral Região de covergêcia t ROC Propriedade da TL uilateral verificação 0 dx( t) e t Propriedade emelhate à da TL bilateral, ma x(t) dx(t) d x(t) x(0 TL TL TL INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO Cotrolo 005/006 ) X() X() x( 0 & ) X() x( 0 t ( e ) t x( t) e x( t) X ( ) Setembro.005 ) x( 0 ) 9/Cap. M. Iabel Ribeiro, Atóio Pacoal

10 Fução de Traferêcia Cao Geral r(t) SLIT y(t) FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA Quociete da traformada de Laplace do ial de aída pela traformada de Laplace do ial de etrada coiderado ula a codiçõe iiciai G() Y() R() c.i. 0 R() G() Y() Para codiçõe iiciai ula Y () G().R( ) Obteção da olução da equação diferecial que é a repreetação do comportameto de etrada-aída r(t) Reolução da eq.diferecial y(t) TL TL - R() Y () G().R() INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO Cotrolo 005/006 Y() Se a codiçõe iiciai forem ula A fução de traferêcia é um coceito potete para decrever o comportameto de itema do poto de vita de etrada/aída Setembro.005 0/Cap. M. Iabel Ribeiro, Atóio Pacoal

11 Sitema mecâico de tralação exemplo-ªordem-cotiuação m f(t) G() F() m + m G() V() u(t) ecalão de Heaviide TL (u(t)) TL(f(t)) f(t) F u(t) F TL - V() F. m + F v(t) m TL (V()) ( ) TL decompoição em fracçõe parciai F. m + F m F. + ( + m) + m) v(t) F u(t) F e v(t) F F e t m INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO Cotrolo 005/006 t m u(t) para t Setembro /Cap. M. Iabel Ribeiro, Atóio Pacoal

12 Fução de Traferêcia Cao Geral R() G() Y() N() G () D() poliómio poliómio de de grau grau m G() N() b + b m m m m D() a + b + L + b + b + L + a + a 0 0, m, N 0 Fução de traferêcia própria m etritamete própria >m ão própria <m Só etudaremo ete tipo de FT Pólo λ C é um polo do itema com FT própria G() e G(λ) Zero λ C é um zero do itema com FT própria G() e G(λ) 0 G () N() D() Se N() e D() ão tiverem factore comu O pólo do itema ão o zero de D() O zero do itema ão a zero de N() INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO Cotrolo 005/006 cuidado ao cacelar factore comu o poliómio N() e D() Setembro.005 /Cap. M. Iabel Ribeiro, Atóio Pacoal

13 Fução de Traferêcia Cao Geral G() N() b + b m m m m D() a + b + L + b + b + L + a + a 0 0, m, N 0 Repreetaçõe alterativa Se ão houver pólo e/ou zero a origem, m G() N() D() K ( + z ( + p )( + z )...( + z m, m, N 0 )( + p)...( + p) ) Pólo {-p, -p,..., -p } Zero {-z, -z,..., -z m } (em rad/eg) T i Se -p i for um pólo real τ i z p i i τ i p i (em eg) cotate de tempo N( ) ( + T )( + T )...( + T ) G( ) K N D( ) m 0, m, ( + τ)( + τ )...( + τ ) INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO Cotrolo 005/006 Forma da cotate de tempo K gaho etático 0 Ateção ao valor do gaho etático quado houver pólo e/ou zero a origem 0 Setembro.005 3/Cap. M. Iabel Ribeiro, Atóio Pacoal

14 Sitema mecâico de tralação exemplo-ªordem-cotiuação m f(t) F() G() V() jw G() m + m m pólo (rad/eg) ão tem zero m cotate de tempo (eg) m σ G() + m FT a forma da cotate de tempo Gaho etático.33 jw m m pólo a aumetar σ 0.75 Quado m aumeta, a repota do itema tora-e mai rápida. a cotate de tempo dimiui o regime traitório ateua-e mai rapidamete INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO Cotrolo 005/006 Setembro.005 4/Cap. M. Iabel Ribeiro, Atóio Pacoal

15 Repota o Tempo Cao Geral ªordem Pólo -a (rad/eg) R() Cotate de tempo /a (eg) Gaho etático K 0 r(t)u(t) R () G() K0 a + a Y() a a K0 K0 Y() K0. + a + a jw σ y(t) K Para t 0 at 0 K0e declive K0. K0.a cotate de tempo K 0 a 63.% INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO Cotrolo 005/006 a 86.5% 3 a 95% 4 a 98% Tempo de etabelecimeto (a %) tempo ao fim do qual a repota e cofia a uma faixa de ±% do valor fial. 4 t 4 * co tate de tempo a 5 a Setembro.005 t a 5% 3 t a 5/Cap. M. Iabel Ribeiro, Atóio Pacoal

16 Teorema do Valore Iicial e Fial Sitema Lieare Ivariate o Tempo (SLIT) Teorema do Valor Iicial X () TL[x(t)] lim x(t) t 0 + lim X() quado o limite exitem Teorema do Valor Fial lim x(t) t quado o limite 0 exitem lim X() De que modo ete teorema podem er uado a aálie do comportameto (da aída) de SLIT? R() G() Y() Y () G().R() Sem o cálculo explícito da aída para uma da etrada é poível avaliar valore particulare da aída: y(0), lim y(t), t INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO Cotrolo 005/006 y(0), & && y(0),... Setembro.005 6/Cap. M. Iabel Ribeiro, Atóio Pacoal

17 Teorema do Valore Iicial e Fial o cálculo de caracterítica da aída de um SLIT R() G() Y() Valor Iicial da Saída lim y(t) t 0 + lim Y() lim G()R() Etrada ecalão uitário R () lim y(t) t 0 + lim G() lim G() Valor Fial da aída lim y(t) t lim Y() 0 lim G()R() 0 Etrada ecalão uitário R () INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO Cotrolo 005/006 lim y(t) lim G() t 0 Setembro.005 Valor do gaho em regime etacioário lim G() 0 7/Cap. M. Iabel Ribeiro, Atóio Pacoal

18 Gaho Etático exemplo X m f(t) F() G () X() Etradaf(t) Saída x(t) F() () G K 0 m + m m ( + m) limg() 0 V() ete itema tem um pólo a origem (a poição é o itegral da velocidade) X() INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO Cotrolo 005/006 Setembro.005 8/Cap. M. Iabel Ribeiro, Atóio Pacoal

19 A FT e a obteção da repota de um SLIT com c.i.ão ula r(t) Reolução da eq.diferecial y(t) Utilização da Fução de Traferêcia a obteção da repota de um SLIT TL TL - Se a codiçõe iiciai forem ula R() Y () G().R() Y() E e a codiçõe iiciai ão forem ula? Não é poível cotiuar a uar a Fução de Traferêcia? G(S) R() c.i. 0 TL u TL - eq.diferecial Y() y(t) exemplo Já tem em liha de cota a c.i. K G ( ) Y ( ) / R( ) + a dy(t) + ay(t) Kr(t) y (0 ) INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO Cotrolo 005/006 Y () y(0 ) + ay() KR() Y() y(0 ) + + a y(t) K R() + a Setembro.005 TL u TL - 9/Cap. M. Iabel Ribeiro, Atóio Pacoal

20 Sitema mecâico de tralação exemplo-ªordem K X m dx(t) f(t) Força extera aplicada f(t) Sitema x(t) Kx(t) d x(t) força aplicada m dx(t) d x(t) f (t) Kx(t) m d x(t) m + dx(t) + Kx(t) f(t) m X() + X() + KX() F() TL com codiçõe iiciai ula X() G() F() m Repreetação de etrada-aída o Sitema de ª ordem o Doi pólo. O itema ão tem zero. + + K INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO Cotrolo 005/006 Setembro.005 0/Cap. M. Iabel Ribeiro, Atóio Pacoal

21 Sitema mecâico de tralação exemplo - ªordem X m f(t) Objectivo: cotrolar o itema em poição G () R() + _ K F() m + m V() X() Qual é a fução de traferêcia do itema cotrolado? [ X() ] X() G ()F() G ()K R() ( + KG ())X() KG ()R() X() R() KG () + KG () G() X() R() INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO Cotrolo 005/006 K m + + m itema de ª ordem, com pólo, em zero gaho etático? K m Setembro.005 /Cap. M. Iabel Ribeiro, Atóio Pacoal

22 Repota o Tempo cao geral itema de ª ordem em zero R() G() Y() G() w + ζw + w Qual é a repota para uma etrada ecalão de amplitude uitária? depede da localização do pólo + ζw + w 0 ζw ± w ζ 0 ζ < ζw Pólo complexo cojugado ± jw ζ ζ >> ζ 0 jw jw d Sitema ubamortecido w θ arciζ ζ ζ Pólo real duplo ζw w w ζw ζ > Sitema criticamete amortecido Pólo reai ditito ζw ± w INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO Cotrolo 005/006 ζ Sitema obreamortecido w d w Setembro.005 jw d jw ζ 0 ζ /Cap. M. Iabel Ribeiro, Atóio Pacoal

23 Repota o Tempo cao geral-ª ordem em zero w, ζ 0 w, ζ 0.3 Sitema ubamortecido w, ζ Sitema criticamete amortecido w, ζ Sitema obreamortecido INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO Cotrolo 005/006 Setembro.005 3/Cap. M. Iabel Ribeiro, Atóio Pacoal

24 Repota o Tempo cao geral-ª ordem em zero derivada a origem w, ζ 0.3 w, ζ Sitema ubamortecido Sitema obreamortecido zoom zoom A derivada a origem é ula Demotre ete reultado uado o teorema do valor iicial, motrado que: w lim y(t) & lim t ζw + w 0 INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO Cotrolo 005/006 Setembro.005 4/Cap. M. Iabel Ribeiro, Atóio Pacoal

25 Repota o Tempo ª ordem em zero - Subamortecido 0 ζ < pólo complexo, ζw ± jw ζ 443 w d W freq. ocilaçõe aturai NÃO amortecida ζ -- coeficiete de amortecimeto W d frequêcia da ocilaçõe amortecida Repota a uma etrada ecalão uitária S y(t) Coequêcia de o gaho etático er uitário ζ e ζw t i(w parte real do pólo T d Período da ocilaçõe ζ t + Ψ) parte imagiária do pólo Ψ arctg t 0 ζ ζ Nota: w actua apea como factor de ecala de tempo obreelevação Tempo de pico t p t Tempo de etabelecimeto INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO Cotrolo 005/006 Setembro.005 ± % 5/Cap. M. Iabel Ribeiro, Atóio Pacoal

26 Repota o Tempo ª ordem em zero Subamortecido Caracterítica da repota Poto em que a derivada e aula dy(t) 0 t π w d w π ζ 0,,,... + Para 0 y &(0 ) 0 A derivada a origem é ula Período da ocilaçõe - T d T d π w Tempo de pico - t p d Tempo ao fim do qual ocorre o máximo aboluto de y(t) π Td tp w d w d parte imagiária do pólo t p Sobreelevação S% y S% 00 y max y(t p max S% 00.e y y fial ) + e ζ fial ζπ ζ Só depede do coeficiete de amortecimeto INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO Cotrolo 005/006 ζπ ζ S% Setembro.005 6/Cap. M. Iabel Ribeiro, Atóio Pacoal

27 Repota o Tempo ª ordem em zero Subamortecido Caracterítica da repota Tempo de etabelecimeto a % - t Itate de tempo em que a aída atige e e matém uma faixa de ± % do valor fial A mema defiição uada o itema de ª ordem y(t) ζ e ζw t i(w ζ t + Ψ) ζw t ζ e 0.0 aproximação i(w ζ t + Ψ) a % a 5% a % t t t 4 ζw 3 ζw 4.6 ζw ζw Valore aproximado INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO Cotrolo 005/006 parte real do pólo Verifique a aalogia com o itema de ª ordem Setembro.005 t 7/Cap. M. Iabel Ribeiro, Atóio Pacoal

28 Repota o Tempo ª ordem em zero Subamortecido Caracterítica da repota Tempo de ubida - t r Tempo requerido para a aída evoluir de 0% a 90% do valor fial t r Não há uma expreão aalítica imple que relacioe tr com o coeficiete de amortecimeto e a frequêcia w. Ma há expreõe aproximada INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO Cotrolo 005/006 t r.8 w Setembro.005 8/Cap. M. Iabel Ribeiro, Atóio Pacoal

29 Repota o Tempo ª ordem em zero Subamortecido Vário exemplo Figura retirada de Aálie de Sitema Lieare, M. Iabel Ribeiro, IST Pre, 00 Reprodução proibida INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO Cotrolo 005/006 Setembro.005 9/Cap. M. Iabel Ribeiro, Atóio Pacoal

30 Repota o Tempo ª ordem em zero Sitema criticamete amortecido G() w + ζw + w ζ ζ G() w ( + w ) w etrada ecalão de amplitude uitária R () Y() w ( + w ) c + c ( + w ) + c3 + w y(t) w te w t e w t t 0 y(t) (+ w te) w t t 0 INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO Cotrolo 005/006 gaho etático uitário Setembro /Cap. M. Iabel Ribeiro, Atóio Pacoal

31 Repota o Tempo Sitema de ordem uperior ó com pólo a.w G() ( + ζw + w )( + a) R () R R( + ζw) + R3w d R4 Y() + + ( + ζw ) + w + a d ζwt at y(t) R + e (R co w + R3 iw ) + R4e t 0 De que modo um pólo ifluecia a repota global? Atravé de: tipo de pólo (real, complexo, imple, duplo) parte real - que determia o ritmo de decaimeto da compoete traitória aociada reíduo aociado que depede da localização do outro pólo e zero. INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO Cotrolo 005/006 Setembro.005 3/Cap. M. Iabel Ribeiro, Atóio Pacoal

32 Repota o Tempo Sitema de ordem uperior ó com pólo 5 * a G() ( + a)( ) - -8 a, 3, 8 rad/eg -3 - itema de 3ª ordem c/ pólo complexo cojugado e um pólo real itema de ª ordem a8 a3 a Quado a aumeta a ifluêcia do pólo real dimiui O pólo tora-e meo domiate A repota é domiada pelo pólo complexo Em qualquer da ituaçõe o itema tora-e mai leto A largura de bada DECRESCE tato mai quato maior for a INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO Cotrolo 005/006 Setembro.005 3/Cap. M. Iabel Ribeiro, Atóio Pacoal

33 Repota o Tempo Sitema de ordem uperior pólo domiate 5 * a G() ( + a)( ) Quado a aumeta a ifluêcia do pólo dimiui O pólo tora-e meo domiate O pólo complexo ão pólo domiate Em que codiçõe é poível deprezar o pólo (real) ão domiate? Quado o regime traitório aociado é deprezável, o cojuto de toda a cotribuiçõe traitória, ao fim de aproximadamete 5 cotate de tempo. Quado o módulo do pólo real é pelo meo cico veze maior que o módulo da parte real do pólo domiate. ªordem 3ªordem 50 G() ( + 0)( ) Que acotece o domíio da frequêcia? Qual é o coceito de pólo ão domiate o domíio da frequêcia? INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO Cotrolo 005/006 G() ( 0 + )( Setembro G() ( ) O deprezo de pólo ão domiate tem que preervar o gaho etático ) Aproxima o itema de ªordem, o que repeita à repota o tempo 33/Cap. M. Iabel Ribeiro, Atóio Pacoal

34 Repota o Tempo Sitema com zero Qual a ifluêcia de zero a repota de SLIT? Etrada ecalão de amplitude uitária G() bc a ( + a) ( + b)( + c) gaho etático uitário -c -a -b Cálculo geométrico do reíduo bc R R R3 Y() ( + + ) a + b + c R R R 3 a bc a b ( b)(c b) c + a ( c)(b c) O reíduo R ou R 3 erão pequeo e o zero etiver próximo de pólo em b ou do pólo em c, repectivamete. R << R 3 y(t) bc a (R INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO Cotrolo 005/006 y(t) + R bc a (R e bt + R + R e 3 Setembro.005 e aproximação 3 ct ct ) ) 34/Cap. M. Iabel Ribeiro, Atóio Pacoal

35 Repota o Tempo Sitema com zero Qual a ifluêcia de zero a repota de SLIT? G() 4 ( + a) a ( + 4)( + ) gaho etático uitário Zero -3.5 Zero -.5 Pólo - G() ( + 3.5) ( + 4)( + ) ( + ) Regime traitório aociado ao pólo em - Regime traitório aociado ao pólo em -4 Zero -.0 Zero -. Regime traitório aociado ao pólo em - Regime traitório aociado ao pólo em -4 Regime traitório aociado ao pólo em - 4 Regime traitório aociado ao pólo em - INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO Cotrolo 005/006 G() 4 ( +.).( + 4)( + ) Setembro /Cap. M. Iabel Ribeiro, Atóio Pacoal

36 Repota o tempo Pólo ão domiate -Redução de ordem Em que codiçõe: Sitema de ordem uperior podem er aproximado por itema de ordem mai baixa? Quado há PÓLOS NÃO DOMINANTES o reíduo aociado ao pólo é pequeo Proximidade com um zero a parte real do pólo é elevada Regime traitório extigue-e muito rapidamete Como e faz a aproximação? depreza-e o pólo e o zero depreza-e o pólo Cuidado a ter a aproximação O itema origial e o aproximado devem ter o memo gaho etático exemplo 36( +.) G() ( + )( + 0)[( + ) + 3 ] INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO Cotrolo 005/006 Setembro /Cap. M. Iabel Ribeiro, Atóio Pacoal

37 Repota o Tempo Sitema com zero - Efeito de um zero adicioal G() w b ( + b) ( + w ) pólo duplo e zero Para etrada ecalão uitário Y() w b ( + b) ( + w ) (w b)w + ( + w ) /b + w y(t) + w(w b) wt t e, t 0 b Caracterítica da repota y(0 + ) 0 + w y(0 & ) b y( ) Ue o teorema do valore iicial e fial para chegar a eta cocluõe Pode er egativo e o zero etiver o pcd INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO Cotrolo 005/006 Setembro /Cap. M. Iabel Ribeiro, Atóio Pacoal

38 Repota o Tempo Sitema com zero - Efeito de um zero adicioal G() w b ( + b) ( + w ) Pólo duplo e zero meor do que o pólo 0 < w < b -b -w w b 4 Pólo duplo e zero o pce meor do que o pólo 0 < b < w -w -b y(t) t w b (w b) Exite obreelevação w INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO Cotrolo 005/006 b w Y() b ( + b) ( + w ) w ( + b) Y () + by () b ( + w) Y () Setembro.005 Combiação liear de um ial e da ua derivada 38/Cap. M. Iabel Ribeiro, Atóio Pacoal

39 Repota o Tempo Sitema com zero - Efeito de um zero adicioal Pólo duplo e zero o pcd b < 0 < w -w -b Derivada a origem é egativa Sitema tem um zero o pcd itema de FASE NÃO MÍNIMA INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO Cotrolo 005/006 Setembro /Cap. M. Iabel Ribeiro, Atóio Pacoal

40 Sitema de fae ão míima Sitema de fae ão míima é aquele que tem pelo meo um pólo e/ou um zero o emi-plao complexo direito Pólo o pcd itabilidade Qual é o efeito de um zero o pcd? Exemplo Barrilete Cetrai termoeléctrica Produção de vapor r(t) Caudal de água fria à etrada barrilete h(t) Altura da água o barrilete Relação etre a abertura da válvula da água fria e a altura da água o barrilete depede de: Efeito rápido de cotracção da água devido à ijecção de água fria Efeito de itegração devido à adição de maa Leto Rápido INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO Cotrolo 005/006 Setembro /Cap. M. Iabel Ribeiro, Atóio Pacoal

41 Sitema de fae ão míima Exemplo - Barrilete H() H () H() G() + R() R() R() K K + (Kτ ) G() τ + ( τ + ) Para certa relação de K e τ o itema tem um zero o emiplao complexo direito (τ </ K ) No itema reai τ<<, K <<. etrada ecalão r(t) (t) INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO Cotrolo 005/006 Setembro.005 4/Cap. M. Iabel Ribeiro, Atóio Pacoal

42 Sitema de fae ão míima. Maipulador Rígido Τ θ T(t) etrada T-biário motor 0 t aída θ(t). Maipulador Flexível 0 t Τ θ T(t) etrada T-biário motor 0 t Efeito de chicote (FASE NÃO MÍNIMA) θ(t) INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO Cotrolo 005/006 Setembro.005 aída t 4/Cap. M. Iabel Ribeiro, Atóio Pacoal

43 Sitema de fae ão míima Aeroave Pricípio báico em aerodiâmica (geração de força de utetação uma aa) Maobra de mudaça de altitude O leme de profudidade deflecte gera força L gera biário T que roda a aeroave (para atigir uma altitude Superior) á cuta da força de propulão do motore. ma... L é uma força que faz a aeroave perder altitude a fae iicial da maobra! (Fae ão míima) INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO Cotrolo 005/006 Setembro /Cap. M. Iabel Ribeiro, Atóio Pacoal

44 Sitema mecâico de tralação exemplo mai complexo-4ªordem com zero K f(t) 3 m K m X X K 3 f(t) Sitema (t) x No referecial X f (t) K x (t) K [x (t) x (t)] x& (t) [x& (t) x& (t)] m 3 d x(t) No referecial X K x (t) K [x (t) x (t)] x& (t) [x& (t) x& (t)] m 3 3 d x(t) [ m + ( + 3) + (K + K)]X () (K + 3)X () F() 3 + K)X () + [m + ( + 3) + (K + K3)]X () 0 ( ( 3 + K ) () G Poliómio de 4º grau Sitema com 4 pólo e um zero INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO Cotrolo 005/006 Setembro /Cap. M. Iabel Ribeiro, Atóio Pacoal