CONTROLO MeAERO. 1º semestre 2017/2018. Transparências de apoio às aulas teóricas Cap 10 Diagrama de Bode e Relação Tempo-Frequência

Transcrição

1 Capítulo 0 Diagrama de Boode CONTROLO MeAERO º semestre 07/08 Trasparêcias de apoio às aulas teóricas Cap 0 Diagrama de Bode e Relação Tempo-Frequêcia Isabel Ribeiro Atóio Pascoal Todos os direitos reservados Estas otas ão podem ser usadas para fis disptos daqueles para que foram elaboradas (lecioação o IsPtuto Superior Técico sem autorização dos autores Isabel Ribeiro, Atóio Pascoal Itro ao Cotrolo º sem 07/08

2 Resposta em Frequêcia Capítulo 0 Diagrama de Boode O que é o estudo da Resposta em Frequêcia de um SLIT? Aálise da resposta a uma etrada siusoidal Figura reprada de Aálise de Sistemas Lieares, M. Isabel Ribeiro, IST Press, 00 Reprodução proibida Itro ao Cotrolo º sem 07/08 Resultados de um teste com um CV uma estrada de perfil siusoidal, com velocidades crescetes: Até 30Km/h as oscilações de posição do codutor e da via são semelhates, i.e., quado o piso sobe o codutor sobe e viceversa, Por volta dos 70Km/h a amplitude das oscilações ao ível do codutor é muito maior do que a amplitude do perfil da via, A 80/85Km a amplitude das oscilações é semelhate à observada a 70Km/h; o etato, a difereça de fase é da ordem dos 80º, i.e., quado a estrada se eleva o codutor vai asseto abaixo, quado a estrada vai abaixo o codutor bate com a cabeça o tejadilho, A 50Km/h as oscilações ao ível do codutor são quase impercepiveis, pelo que a codução se tora bastate agradável! Cap 0 / Isabel Ribeiro, Atóio Pascoal

3 Resposta em Frequêcia: coceito (revisão Capítulo 0 Diagrama de Boode q etrada siusoidal q como é a compoete forçada da resposta? r(t=a si t G(s y(t Aω Aω R(s = Y(s = G(s s + ω s + ω c Y(s = s + jω y(t = A j Itro ao Cotrolo y(t º sem = y07/08 f (t + G( jω N(s G(s = (s + p (s + p!(s + p c + s jω e + i i= s + R s Aω A c = G(s = G( jω s= jω s jω j c Aω = G(s = G(jω s j = c = ω s + jω j A jω t jωt e sit + G(jω e + Ri j i= resposta forçada y (t i A resposta atural Assumem-se pólos simples sem perda de geeralidade A resposta em frequêcia de um SLIT aalisa a evolução da compoete forçada da resposta a uma etrada siusoidal. Cap 0 / 3 Isabel Ribeiro, Atóio Pascoal

4 Resposta em Frequêcia: coceito (revisão Capítulo 0 Diagrama de Boode y(t = A j G( jω e jω A t jωt + G(jω e j + y (t resposta forçada resposta atural G( jω G(jω G(jω G( jω = = = = G( jω G(jω Itro ao Cotrolo º sem 07/08 G(jω G(jω y f e e e e jargg( jω jargg( jω jargg( jω jargg( jω G(jω argg(jω (t = A G(jω e G(s fução complexa de variável complexa fução par fução ímpar jω t.e jargg( jω G (s = compoete forçada da saída e j jargg(s G(se jω t.e jargg( jω yf(t = A G(jω si( ωt + argg(jω Cap 0 / 4 Isabel Ribeiro, Atóio Pascoal

5 Resposta em Frequêcia: coceito (revisão Capítulo 0 Diagrama de Boode r(t=a si t y f (t=a G(j si( t+argg(j G(s SLIT coiuo Excitado por um sial siusoidal A compoete forçada da saída é aida: Um sial siusoidal com a mesma frequêcia Amplitude e fase do sial de saída relacioadas com a amplitude e fase do sial de etrada desfasagem compoete forçada do sial de saída sial de etrada G(j - gaho de amplitude para a frequêcia arg G(j desfasagem para a frequêcia Isabel Ribeiro, Atóio Pascoal Itro ao Cotrolo º sem 07/08 Cap 0 / 5

6 Fução Resposta em Frequêcia de SLITs Capítulo 0 Diagrama de Boode Fução Resposta em Frequêcia G(j Fução de trasferêcia calculada ao logo do eixo imagiário G(jω = G(s s= jω Para sistemas causais e estáveis A Fução Resposta em Frequêcia é a Trasformada de Fourier da Resposta Impulsival G (jω = TF[h(t] Represetação gráfica da Fução Resposta em Frequêcia Que fuções é preciso represetar? G(j Arg G(j Que Ppo de represetação Itro ao Cotrolo º sem 07/08 Diagrama de Bode Diagrama de Nyquist Diagrama de Nichols Estudo da estabilidade de SLITs em cadeia fechada Cap 0 / 6 Isabel Ribeiro, Atóio Pascoal

7 Diagrama de Bode: aproximação assimtópca Capítulo 0 Diagrama de Boode Exemplo Represetação gráfica da Fução Resposta em Frequêcia G(s = G(j = K(+ st (+ ξ s/ s( + sτ j(+ sτ CaracterísGca de amplitude (+ ξ K(+ jt (+ jξ (+ jξ s/ 0 log G(j como fução de (escala logaritmica Arg G(j como fução de (escala logaritmica / / + (s/ + (s/ + (j / + (j / fução de trasferêcia fução resposta em frequêcia G(j = G(j K (+ Itro ao Cotrolo º sem 07/08 j (+ sτ jt (+ (+ jξ jξ / / + (j / + (j / quociete de produtos de termos O diagrama de Bode (amplitude represeta G(j = db 0logG(j = K CaracterísGca de fase db j + (+ jt db (+ sτ db db arg( j arg(+ sτ + (+ jξ / (+ jξ / argg( j = arg K + arg(+ jt + arg(+ jξ arg(+ jξ + (j / + (j / / / db db + (j / + (j / soma algébrica de termos Cap 0 / 7 Isabel Ribeiro, Atóio Pascoal

8 Capítulo 0 Diagrama de Boode Diag. Bode aproximação assimtópca: exemplos G (s = K (j K fução de trasferêcia fução resposta em frequêcia G (j = G = db db K 0º se argg(j = 80º se K > 0 K < 0 80º Isabel Ribeiro, Atóio Pascoal Itro ao Cotrolo º sem 07/08 Cap 0 / 8

9 Capítulo 0 Diagrama de Boode Diag. Bode aproximação assimtópca: exemplos G (s = 0 s G 0 (j = ( j G(j = 0 j 0dB 0log db = db db argg(j = arg(0 arg(j Recta com declive de 0dB/década passado em 0dB para = = 0 90º Pergutas: Qual é o gaho estápco deste sistema? Qual é o gaho de baixa frequêcia? Declive da assímptota? E se o sistema Pvesse dois pólos a origem? Qual é a compoete forçada da resposta deste sistema à etrada r(t=si(00t? Isabel Ribeiro, Atóio Pascoal Itro ao Cotrolo º sem 07/08 Cap 0 / 9

10 Capítulo 0 Diagrama de Boode Diag. Bode aproximação assimtópca: exemplos G(s = + st G(j = + jt caracterísgca de amplitude caracterísgca de fase G (j = 0log + db ( T argg(j = arg(+ jt = arctg(t Baixa frequêcia G(j db Alta frequêcia G(j db << T T << 0log= 0dB assímptota de baixa frequêcia >> T T >> 0logT = 0log 0logT Recta com declive de 0dB/década passado em 0dB para =/T Baixa frequêcia << T T << = T Alta frequêcia >> T T >> argg(j 0º π argg(j = 4 π argg(j Isabel Ribeiro, Atóio Pascoal assímptota de alta frequêcia Itro ao Cotrolo º sem 07/08 Cap 0 / 0

11 Capítulo 0 Diagrama de Boode Diag. Bode aproximação assimtópca: exemplos G(s = + st G(j = + jt T=0.5 Pólo = - assimptota de baixa frequêcia assimptota de alta frequêcia 0 db/dec - 0dB/dec =rad/s -> frequêcia de corte do pólo 0º - 45º Isabel Ribeiro, Atóio Pascoal - 90º Itro ao Cotrolo º sem 07/08 Cap 0 /

12 Capítulo 0 Diagrama de Boode Diag. Bode aproximação assimtópca: exemplos G(s = + st G(j = + jt T=0.5 Pólo = - 3dB = T G(j db = 0log + (T = 0log = 3dB argg(j = arg(+ j = 45º º Itro ao Cotrolo º sem 07/ º Um pólo de mulgplicidade cotribui para a fase total com um âgulo que varia, de uma década ates a uma década depois, de 0º a 90º passado a 45º a frequêcia de corte. = 0T argg(j 0 = T = arg + j = 5.7º 0 ( + 0j = 90º 5.7º arg G(j = arg + Cap 0 / Isabel Ribeiro, Atóio Pascoal

13 Capítulo 0 Diagrama de Boode Largura de Bada : Relação Tempo-Frequêcia Largura de Bada (a 3dB K o K o -3dB Bada de frequêcia a qual o módulo da fução resposta em frequêcia ão cai mais de 3dB em relação ao gaho de baixa frequêcia. A Largura de Bada traduz a capacidade de um sistema reproduzir mais ou meos perfeitamete os siais aplicados à sua etrada BW Num SLIT de ªordem, sem zeros, Largura de Bada =frequêcia de corte do pólo Isabel Ribeiro, Atóio Pascoal Itro ao Cotrolo º sem 07/08 LB=rad/s Cap 0 / 3

14 Capítulo 0 Diagrama de Boode Largura de Bada : Relação Tempo-Frequêcia G (s = s + G (s = s + > gaho estápco uitário Largura de bada maior Resposta mais rápida Isabel Ribeiro, Atóio Pascoal Itro ao Cotrolo º sem 07/08 / / Cap 0 / 4

15 G(s = 50 (s + 5 PERGUNTAS Gaho estápco? Declive da Assimptota de baixa frequêcia Assimptota de alta frequêcia Fase para Baixas frequêcias Altas frequêcias A cotribuição para a amplitude e para a fase de um pólo duplo é a soma das cotribuições de dois pólos reais simples. Itro ao Cotrolo º sem 07/08 Diag.Bode aproximação assimptópca (exemplos: pólo duplo RESPOSTAS Gaho estápco = G(s s=0 = 0 = 0dB Declive da Assimptota de baixa frequêcia Capítulo 0 Diagrama de Boode O sistema ão tem pólos em zeros a origem declive = 0db/dec Assimptota de alta frequêcia # pólos - # zeros = declive = -40dB/dec = * (-0dB/dec Fase para Baixas frequêcias Sistema é de fase míima Sistema ão tem pólos e zeros a origem Fase para 0 rad/ s é igual a 0º Altas frequêcias Sistema é de fase míima # pólos - # zeros = Fase para é igual a 80º Cap 0 / 5 Isabel Ribeiro, Atóio Pascoal

16 G(s = 50 (s + 5 Diag.Bode aproximação assimptópca (exemplos: pólo duplo G(s 50 (s + 5 forma das costates de tempo Capítulo 0 Diagrama de Boode G(s = = Deste modo a assimptota de baixa frequêcia correspodete ao pólo duplo passa em 0dB 0 + s 5 6dB *5.7º -90º Isabel Ribeiro, Atóio Pascoal Itro ao Cotrolo º sem 07/08 *5.7º -80º Cap 0 / 6

17 Diag. Bode: Relação Tempo-Frequêcia Capítulo 0 Diagrama de Boode Sistema Sistema G (s = G(s = (s + 5 (s + 5 Sistema de ª ordem Pólo real simples em 5 Gaho estápco = 0 Sistema de ª ordem Pólo real duplo em 5 Gaho estápco = 0 Qual dos dois sistemas tem a maior largura de bada? Qual dos dois sistemas é mais rápido? LB = 5 rad/ s Resposta a uma etrada escalão LB 3.5 rad/ s CaracterísPca de amplitude juto da frequêcia de corte Isabel Ribeiro, Atóio Pascoal Itro ao Cotrolo º sem 07/08 Cap 0 / 7

18 Diag.Bode aproximação assimptópca (exemplos: pólo a origem e pólos reais ão ulos Capítulo 0 Diagrama de Boode G(s = 00 s(s + 0(s G(s = 0. s( + s/0(+ s/ Gaho estápco? pólos e 0 zeros Assimptota de alta frequêcia com declive de 3*(-0 = - 60dB/dec º - 90º - 80º Isabel Ribeiro, Atóio Pascoal - 70º Itro ao Cotrolo º sem 07/08 Cap 0 / 8

19 Diag.Bode aproximação assimptópca (exemplos: pólo a origem e pólos reais ão ulos Capítulo 0 Diagrama de Boode G(s = 00 s(s + 0(s G(s = 0. s( + s/0(+ s/ Gaho estápco? pólos e 0 zeros Assimptota de alta frequêcia com declive de 3*(-0 = - 60dB/dec º - 90º - 80º Isabel Ribeiro, Atóio Pascoal - 70º Itro ao Cotrolo º sem 07/08 Cap 0 / 9

20 Capítulo 0 Diagrama de Boode Diag. Bode aproximação assimptópca (exemplos Qual é a cotribuição de um factor do Ppo (+jt? Ø CaracterísPcas assimptópcas de amplitude e fase simétricas relapvamete às obpdas para um pólo real com a mesma frequêcia de corte T=0. 0 log+ jt = 0log + (T Para T >> Itro ao Cotrolo º sem 07/08 3dB 0 + 0dB/dec frequêcia de corte do zero 90º 45º 0log + ( T 0 log( T = 0log + 0log Um zero de mulgplicidade cotribui para a fase total com um âgulo que varia, de uma década ates a uma década depois, de 0º a 90º passado a +45º a frequêcia de corte. Cap 0 / 0 T Isabel Ribeiro, Atóio Pascoal

21 Diag. Bode aproximação assimptópca (exemplos : um pólo e um zero reais Capítulo 0 Diagrama de Boode G(s = 0.(s + 0 (s dB 0dB -0dB/dec cotribuição do zero (rad/s -0dB -40dB gaho estápco Excesso pólos-zeros = 0 Assimptota de alta frequêcia com declive ulo Não há pólos em zeros a origem A fase para muito baixa freq. é ula Itro ao Cotrolo º sem 07/08 90º 45º 0º - 45º - 90º (rad/s Excesso pólos-zeros = 0 A fase para muito alta freq. Cap 0 é ula / Isabel Ribeiro, Atóio Pascoal

22 Diag. Bode: Relação Tempo-Frequêcia Capítulo 0 Diagrama de Boode lim G(j = K Gaho de Baixa Frequêcia 0 0 gaho estápco do sistema Gaho da Resposta em Frequêcia à frequêcia =0 K 0 = limg(s = lim y(t Para uma etrada s 0 t escalão uitário G(s s = 0. 0dB G(s = 0dB (s + (s + -0dB -0dB +0dB/dec -40dB -0dB/dec -40dB -40dB/dec Isabel Ribeiro, Atóio Pascoal Itro ao Cotrolo º sem 07/08 Cap 0 /

23 G(s = s + ζ Diag.Bode aproximação assimptópca (exemplos: pólos complexos s + CaracterísGca de amplitude 0 ζ < gaho estápco uitário G(j = + Capítulo 0 Diagrama de Boode jζ G(j db = 0log + jζ G(j db = 0log + ζ << >> Itro ao Cotrolo º sem 07/08 G(j db 0dB Assimptota de baixa frequêcia G(j = é a frequêcia de corte associada ao par de pólos complexos cojugados db 0log + ζ 0log = 40log Assimptota de alta frequêcia Declive de 40dB/dec passado em 0dB para = Cap 0 / 3 Isabel Ribeiro, Atóio Pascoal

24 G(s = s + ζ s + Diag.Bode aproximação assimptópca (exemplos: pólos complexos Capítulo 0 Diagrama de Boode ζ ζ = 0. = 0. 0 ζ < ζ ζ = 0.3 = 0.5 ζ = = Para 0 < ζ < a caracteríspca real apreseta um pico de ressoâica r = ζ frequêcia de ressoâcia < r ζ 0 r Isabel Ribeiro, Atóio Pascoal Itro ao Cotrolo º sem 07/08 Cap 0 / 4

25 Diag.Bode aproximação assimptópca (exemplos: pólos complexos Capítulo 0 Diagrama de Boode G(s s 0 ζ < + ζ = ζ = 0. s + ζ = 0.3 ζ = 0. ζ = 0.5 Para 0 < ζ < a caracteríspca real apreseta um pico de ressoâica ζ = 6dB ζ = = r = G(j r G(j = ζ = ζ ζ ζ Itro ao Cotrolo º sem 07/08 em uidades lieares, uma situação de gaho estágco uitário Para ζ > embora haja sobreelevação a resposta o tempo ão há ressoâcia a resposta em frequêcia Cap 0 / 5 Isabel Ribeiro, Atóio Pascoal

26 Diag.Bode aproximação assimptópca (exemplos: pólos complexos Capítulo 0 Diagrama de Boode G(s = s + ζ s + G(s = (s + ζ + j (s + ζ d j d 0 ζ < CaracterísGca de fase G(j = + jζ j argg(j << >> ζ = arctg argg(j Itro ao Cotrolo º sem 07/08 0º = argg(j = 90º argg(j 80º = θ θ = é a frequêcia de corte associada ao par de pólos complexos cojugados q q j j σ Cap 0 / 6 Isabel Ribeiro, Atóio Pascoal

27 Diag.Bode aproximação assimptópca (exemplos: pólos complexos Capítulo 0 Diagrama de Boode G(s s 0 ζ < + ζ = G(s = G(j = (s + ζ j (s j + d + ζ d s + ζ = 0. ζ = 0. ζ = 0.3 ζ = 0.5 ζ = = ζ = + jζ Como são os diagramas de amplitude e fase para ζ = 0? Como é o diagrama de Bode (amplitude e fase para um par de zeros compexos cojugados? Isabel Ribeiro, Atóio Pascoal Itro ao Cotrolo º sem 07/08 Cap 0 / 7

28 Dig. Bode sistemas com pólos complexos Tacoma Narro Bridge Capítulo 0 Diagrama de Boode Tacoma Narros Ø em Puget Soud, juta da localidade de Tacoma, Washigto Ø Pote suspesa aberta ao tráfego só algus meses Ø Em 7.Nov.940 a pote caiu pelo efeito de forças que ela actuavam, em parpcular do veto h{p://.youtube.com/atch?v=lxyg68_cav4 Itro ao Cotrolo º sem 07/08 O efeito do veto iduziu uma excitação a frequêcia atural do sistema O sistema Pha um comportameto (macro como o de um sistema de ª ordem com pólos complexos cojugados Cap 0 / 8 Isabel Ribeiro, Atóio Pascoal

29 sistema de fase míima + j G (j 0. 0 = + j argg (j = arctg arctg( 0 Capítulo 0 Diagrama de Boode Diagrama de Bode Sistemas de Fase ão Míima s + 0 G (s = s + a mesma caracteríspca de amplitude G (j = G (j = s 0 G (s = s + sistema de fase ão míima j G (j 0. 0 = + j argg (j = 80º + arctg arctg( 0 argg (j θ z θ θ argg (j = θz θp = θz θp p p θ z 90º 0º º 90º 0º Isabel Ribeiro, Atóio Pascoal - 90º Itro ao Cotrolo º sem 07/08-90º Cap 0 / 9

30 Capítulo 0 Diagrama de Boode Diagrama de Bode Sistemas de Fase ão Míima sistema de fase míima s + 0 G (s = s + s 0 G (s = s + sistema de fase ão míima Isabel Ribeiro, Atóio Pascoal Itro ao Cotrolo º sem 07/08 Cap 0 / 30

31 Diag. de Bode: IdePficação de Sistemas 3 SLITS Todos com a mesma caracteríspca de amplitude CaracterísPcas de fase disptas Capítulo 0 Diagrama de Boode Sistema Sistema Sistema 3 Isabel Ribeiro, Atóio Pascoal Itro ao Cotrolo º sem 07/08 Cap 0 / 3

32 Diag. de Bode: IdePficação de Sistemas 3 SLITS Todos com a mesma caracteríspca de amplitude CaracterísPcas de fase disptas Capítulo 0 Diagrama de Boode s G (s = 0 s + 0 Sistema G(s = ( ± 0 s ± s ± 0 (s G s + = 0 s 0 s + G 3 (s = 0 s + 0 Sistema Sistema 3 Isabel Ribeiro, Atóio Pascoal Itro ao Cotrolo º sem 07/08 Cap 0 / 3

33 Capítulo 0 Diagrama de Boode Diag. Bode: pólos domiates e ão domiates 5 * a (s = (s + a(s + 4s + 5 G G(s = (s 5 + 4s + 5 a=8 a=3 a= a=8 a=3 a= Isabel Ribeiro, Atóio Pascoal Itro ao Cotrolo º sem 07/08 Cap 0 / 33

34 Capítulo 0 Diagrama de Boode Isabel Ribeiro, Atóio Pascoal Itro ao Cotrolo º sem 07/08 Cap 0 / 34 Diag. Bode: pólos domiates e ão domiates p z p p z z z p s s s s G(s + ζ + + ζ + = Problema: idegfique os sistemas Sistema Sistema Sistema Sistema p z p z ζ ζ