J. A. M. Felippe de Souza 9 Diagramas de Bode

Transcrição

1 9 Diagramas de Bode 9. Itrodução aos diagramas de Bode 3 9. A Fução de rasferêcia Pólos e zeros da Fução de rasferêcia 8 Equação característica 8 Pólos da Fução de rasferêcia 8 Zeros da Fução de rasferêcia 8 Exemplo 9. 8 Exemplo 9. 9 Exemplo Os factores básicos em s para a costrução de um diagrama de Bode Os factores básicos em j para a costrução de um diagrama de Bode 9.6 Desmembrameto de fuções G(s) em factores básicos 4 Exemplo Exemplo Diagramas de Bode dos factores básicos 6 O gaho de Bode (K B ) 7 Factor itegral (j) - 9

2 Outros factores itegrativos (j) -, (j) -3,, (j) - Factores derivativos j, (j), (j) 3,, (j) 3 Factor pólo primeira ordem ( j) - 4 Factores pólos múltiplos ( j) -, ( j) -3,..., ( j) - 8 Factores zeros simples e múltiplos ( j), ( j),...,..., ( j) 3 Factores pólos quadráticos [ ζ(j/ ) (j/ ) ] -, -,, - 34 Factores zeros quadráticos [ ζ(j/ ) (j/ ) ],,, Factores básicos com siais egativos 39 Exemplo Exemplo Exemplo Exemplo Exemplo Exemplo Exemplo Exemplo Exemplos adicioais de costrução diagramas de Bode (módulo e fase) 48 Exemplo Exemplo Exemplo Exemplo Exemplo Exemplo Exemplo Exemplo 9. 53

3 Diagramas de Bode 9. Itrodução aos diagramas de Bode Neste capítulo estudaremos os diagramas de Bode ( Bode plots ) que levam este ome devido à Hedrik Wade Bode (905-98), um egeheiro americao que actuava pricipalmete as áreas de electróica, telecomuicações e sistemas. Fig. 9. Hedrik Wade Bode (905-98), americao. Os diagramas de Bode (de módulo e de fase) são uma das formas de caracterizar siais o domíio da frequêcia. 3

4 9. A Fução de rasferêcia Os siais são represetados o domíio da frequêcia por fuções de s: X(s), Y(s), etc. como já vimos o capítulo 6 (rasformadas de Laplace, L { x(t) } X(s) e L { y(t) } Y(s) ) ou por fuções de j X(j), Y(j), etc. como já vimos o capítulo 8 (rasformadas de Fourier, F { x(t) } X(j) e F { y(t) } Y(j) ). Na verdade as rasformadas de Laplace e as rasformadas de Fourier são represetações que estão muito relacioadas uma com a outra. Em muitos casos, se substituirmos s por j, isto é, fazedo-se s ser um úmero complexo com parte real ula e parte imagiária, s 0 j j obtemos a rasformadas de Fourier a partir da rasformada de Laplace, X(s) X(0j) X(j), Y(s) Y(0j) Y(j), etc. Se x(t) é a etrada de um sistema e y(t) é a saída deste mesmo sistema, em certas aplicações podem ser mais iteressate represetar o diagrama de blocos estes siais X(s), X(j), Y(s) e Y(j) o domíio da frequêcia, em vez de o domíio do tempo coforme é ilustrado a figura 9.. Fig. 9. Diagrama de blocos com os siais de etrada e saída represetados o domíio da frequêcia. ode G(s) e G(j) são a reposta impulsioal do sistema coforme visto as secções 5.0 (o capítulo 5, rasformada de Laplace) e 8.5 (o capítulo 8, rasformada de Fourier) respectivamete. 4

5 Note que lá a reposta impulsioal do sistema era, de forma geral, H(s) e H(j) equato que aqui, de forma geral, será utilizado a otação G(s) e G(j). No capítulo 4, sobre Sistemas e o capítulo 8 sobre rasformadas de Fourier ós vimos algus resultados clássicos sobre SLI (sistemas lieares e ivariates o tempo). Por exemplo, o caso particular da etrada x(t) impulso uitário, x(t) u o (t) etão a saída y(t) g(t) a resposta impulsioal do sistema. Sabedo-se a resposta impulsioal g(t) de um sistema liear e ivariate o tempo (SLI) podemos saber a saída y(t) para qualquer etrada x(t) y(t) g(t) x(t) g(t τ) x( τ) dτ x(t) g(t) x(t τ) g( τ) d τ. Ou seja, a saída y(t) é a covolução etre a resposta impulsioal g(t) e a etrada x(t). Isso que implica que Y(j ) G(j) X(j) X(j) G(j). ode X(j) F { x(t) } Y(j) F { y(t) } G(j) F { h(t) } X(j) rasformada de Fourier de x(t), Y(j) rasformada de Fourier de y(t), e G(j) rasformada de Fourier de g(t) e que está ilustrado a figura 9.3 abaixo. Fig. 9.3 Diagrama de blocos com os siais de etrada x(t) e de saída y(t) e resposta impulsioal h(t), todos represetados o domíio da frequêcia, em j : X(j), Y(j) e G(j). 5

6 Este resultado se deve ao facto que: a trasformada da covolução é o produto das trasformadas. a propriedade da Covolução para as rasformadas de Fourier, que foi vista a secção 8.4 (o capítulo 8, Propriedades da rasformada de Fourier). Por esta razão pode-se expressar G(j) como a razão etre o sial de saída tomado o domíio da frequêcia [ Y(j) ] e o sial de etrada, também tomado o domíio da frequêcia [ X(j) ], quado as codições iiciais do sistema são ulas que é chamada de fução de trasferêcia do sistema. Y(j) G(j ) eq. (9.) X(j) Mas esta afirmação acima valida para as rasformadas de Fourier, também vale para as rasformadas de Laplace, coforme visto o capítulo 5. Logo: Y(s) G(s) X(s) X(s) G(s). ode X(s) L { x(t) } Y(s) L { y(t) } G(s) L { h(t) } X(s) rasformada de Laplace de x(t), Y(s) rasformada de Laplace de y(t), e G(s) rasformada de Laplace de h(t) e que está ilustrado a figura 9.4 abaixo. Fig. 9.4 Diagrama de blocos com os siais de etrada x(t) e de saída y(t) e resposta impulsioal h(t), todos represetados o domíio da frequêcia, em s : X(s), Y(s) e G(s). 6

7 Mais uma vez este resultado se deve ao facto que: a trasformada da covolução é o produto das trasformadas, a propriedade da Covolução, mas agora para rasformada de Laplace, vista a secção 5.4 (o capítulo 5, Propriedades da rasformada de Laplace). Por esta razão pode-se expressar G(s) como a razão etre o sial de saída tomado o domíio da frequêcia [ Y(s) ] e o sial de etrada também tomado o domíio da frequêcia [ X(s) ], quado as codições iiciais do sistema são ulas Y(s) G (s) eq. (9.) X(s) que também é chamada de fução de trasferêcia do sistema. Portato a fução de trasferêcia de um sistema liear ivariate o tempo (SLI) represetada o domíio da frequêcia: G(s) ou G(j), coforme defiidas as equações eq. (9.) e eq. (9.), muito comummete são fracções racioais, ou seja, fracções cujo umerador e o deomiador são poliómios, seja em s : ou em j q(s) G (s) eq. (9.3) p(s) q(j) G(j ) eq. (9.4) p(j) ode q(s) e p(s) são poliómios em s do tipo a s a - s -... a s a o e p(j) e q(j) são poliómios em s j do tipo a (j) a - (j) -... a (j) a o 7

8 9.3 Pólos e zeros da Fução de rasferêcia Cosidere agora a fução de trasferêcia G(s) de um sistema, coforme foi defiida a eq. (9.), depois de reduzida para forma de fração racioal da eq. (9.3) G (s) q(s) p(s) e supoha que todos as evetuais raízes comus de q(s) e p(s) teham sido caceladas e portato esta expressão acima está a forma irreductível. Equação Característica: O poliómio p(s) é chamado de poliómio característico de G(s), ou o poliómio característico do sistema. A equação p(s) 0 é chamada de a equação característica do sistema. Pólos da fução de trasferêcia: As raízes do poliómio característico são chamadas de pólos de G(s) ou pólos do sistema. Ou seja, os pólos são as soluções da equação característica. Zeros da fução de trasferêcia: As raízes do umerados de G(s) (q(s)) são chamadas de zeros de G(s) ou zeros do sistema. Ou seja, os zeros são as soluções da equação q(s) 0. De maeira semelhate se defie os pólos e zeros de uma resposta impulsioal G(s). Exemplo 9.: Cosidere a fução de trasferêcia G(s) dada por (s 30) G(s) s(s)(s s) É fácil de se verificar que G(s) tem um zero em s 30 e quatro pólos, respectivamete em: 8

9 s 0, s, e s ± j sedo que: são reais e são complexos. Como s 0 é um pólo de G(s), costuma-se dizer que este sistema tem um pólo a origem. A equação característica deste sistema é: p(s) s (s)(s s) s 4 4s 3 6s 4s Exemplo 9.: Cosidere agora a fução de trasferêcia G (s) dada por 5 G 0 s (s) (s0)(s 0 s0 4 ) Nitidamete G (s) tem um zero a origem, ou seja, em s 0 e três pólos, respectivamete em s 0 e s 50 ± j 50 3 A equação característica deste sistema é: p (s) (s0)(s 0 s 0 ) s 0 s 0 s 0 Exemplo 9.3: Cosidere agora a fução G(s) dada por 0s G(s) (sa) (sb ) (s-c), G(s) tem um zero duplo a origem (i.e., em s 0) e quatro pólos, respectivamete em s a (duplo), s b e s c. 9

10 9.4 Os factores básicos em s para a costrução de um diagrama de Bode Vamos apresetar aqui os factores básicos para a costrução de um diagrama de Bode de G(s). Estes factores básicos são fuções racioais em s. Qualquer G(s) da forma da eq. (9.4) acima pode ser desmembrado em factores básicos e com isso a costrução de um esboço do diagrama de Bode se tora mais simples. Na próxima secção apresetaremos de forma semelhate os factores básicos em j para a costrução de um diagrama de Bode. FACORES BÁSICOS EM S : O gaho de Bode (K B ) G(s) K B Factores itegrativos [pólos a origem]: (/s),,,... G (s), G (s), G (s) 3, L s s s Factores derivativos [zeros a origem]: s,,,... G(s) s, G(s) s, G(s) s 3, L Factores de ª ordem do tipo pólos reais : /(s ),,,... G(s), ( s ) G(s), ( s ) G(s), L ( s ) 3 Factores de ª ordem do tipo zeros reais : (s ),,,... ( s ), G (s) ( s ), G (s) ( s ) 3 G (s), L 0

11 Factores de ª ordem ou quadráticos, do tipo pólos complexos : /[ζ(s/ )( s/ ) ],,,... ζ s s G(s), s s G(s) ζ, 3 ) ( s s G s ζ, L Factores de ª ordem ou quadráticos, do tipo zeros complexos : [ζ(s/ )( s/ ) ],,,... s s G(s) ζ, s s G(s) ζ, 3 s s G(s) ζ, L

12 9.5 Os factores básicos em j para a costrução de um diagrama de Bode Vamos apresetar aqui os factores básicos para a costrução de um diagrama de Bode de G(j). Estes factores básicos são a verdade derivados dos já vistos acima para G(s). Eles são as mesmas fuções racioais em s da secção aterior, depois de substituir-se s por j. s 0 j j Qualquer G(j) da forma da eq. (9.4) acima pode ser desmembrado em factores básicos e com isso a costrução de um esboço do diagrama de Bode se tora mais simples. FACORES BÁSICOS EM S : O gaho de Bode (K B ) G(j) K B Factores itegrativos [pólos a origem]: (/j),,,... G, (j) j G(j ), ( j) G(j ), L ( j) 3 Factores derivativos [zeros a origem]: (j),,,... G(j) j, G(j) (j), G(j) (j) 3, L Factores de ª ordem do tipo pólos reais : /( j),,,... G(j ), ( j ) G(j ), ( j ) G(j ), L ( j ) 3 Factores de ª ordem do tipo zeros reais : ( j),,,... ) ( j ), G (j) ( j ), G (j ) ( j ) 3 G (j, L

13 3 Factores de ª ordem ou quadráticos, do tipo pólos complexos : /[ζ(j/ )( j/ ) ],,,... ζ j j ) G(j, j j ) G(j ζ, 3 j j ) G(j ζ, L Factores de ª ordem ou quadráticos, do tipo zeros complexos : [ζ (j/ )( j/ ) ],,,... j j ) G(j ζ, j j ) G(j ζ, 3 j j ) G(j ζ, L

14 9.6 Desmembrameto de fuções G(s) em factores básicos Qualquer fução trasferêcia G(s) pode facilmete ser reescrita somete com os factores básicos defiidos acima as duas secções ateriores. Vamos ilustrar isso com um exemplo: Exemplo 9.4: Cosidere agora a fução G(s) vista o exemplo 9. que é dada por (s 30) (s) s(s )(s s ) G Agora, substituido-se (s 30) o umerador por s ( s 30) obtemos a expressão abaixo que já tem um fator básico o umerador: s (s) s(s )(s s ) G Semelhatemete, para o deomiador, uma vez que um dos 3 factores já é um factor básico (itegrativo, pólo a origem), substituido-se os outros dois: e (s s ( s ) s s ) s obtemos a expressão abaixo que já tem três fatores básico o deomiador: G(s) s s s s s 4

15 Fialmete, jutado as costates (do umerador e do deomiador), obtém-se: 30 K B 5 e podemos escrever a expressão abaixo: G(s) s s 5 30 s s s que está iteiramete escrita em termos de factores básicos a forma: G(s) s K B ( 's ) s ( s ) s ζ ode: K B 5 / /30 ζ 0, 707 Exemplo 9.5: Para escrever a fução de trasferêcia G(s) do exemplo aterior a forma de factores básicos em j e etão obtermos G(j) basta substituir o resultado obtido para G(s), s 0 j, ou seja, s j pois esta é a úica difereça etre as duas formas G(s) e G(j). Fazedo isso, obtém-se: 5

16 G(j ) j j j 5 30 ( j) j j 5 j 30 j j 9.7 Diagramas de Bode dos factores básicos Os diagramas de Bode são costruídos para fuções de trasferêcia G(j) e são dois: e diagramas de Bode de módulo diagramas de Bode de fase. Os diagramas de Bode de módulo são gráficos de G(j) em db ( G(j) db ) (com escala logarítmica) equato que os diagramas de Bode de fase são gráficos de G(j) em graus (com escala logarítmica) Sabedo-se os diagramas de Bode dos factores básicos é possível utiliza-los a costrução dos diagramas de Bode de qualquer outra fução de trasferêcia G(j) que desmembrarmos em termos dos factores básicos. 6

17 Uma vez familiarizados com os gráficos dos diagramas de Bode dos factores básicos que apresetamos aqui esta secção, a costrução dos diagramas de Bode das demais fuções de trasferêcia fica facilitada, como veremos os exemplos da próxima secção. Portato, agora vamos mostrar os diagramas de Bode (módulo e fase) para cada um dos factores básicos vistos a secção aterior. O gaho de Bode (K B ) Como G(j) K B é uma costate (ão varia com ), temos que K B em db é dado por: K B db 0 log 0 K B equato que K B é 0 ou 80º,, isto é: ou K B 0º se K B é uma costate positiva, K B 80º se K B é uma costate egativa. Logo, como já dito acima a defiição de diagramas de Bode da fase, o ormal é represetar a fase de K B (i.e., o âgulo K B ) em graus (em vez de radiaos). G(j ) K B 0º, 80º, se K B se K B > 0 < 0 É claro que o âgulo de fase para K B egativo, 80º é o mesmo que 80º que é a verdade é π. No etato, para efeito de diagrama de Bode tem-se a tedêcia de adoptar K B 80º estas situações. Isso se deve ao facto de que, como G(j) tem um úmero de pólos superior (ou o máximo igual) ao úmero de zeros, etão o G(j) irá sempre teder para a parte egativa (para a parte de baixo, abaixo de 0º). O diagrama de Bode (módulo e fase) de G(j) K B está esboçado a figura

18 K B > módulo [db] 0dB 0. 0 K B [rad/s] 0 < K B < fase [graus º] 90º 0º -90º -80º 0. 0 [rad/s] K B > K B < 0 0 Fig. 9.5 Diagrama de Bode (módulo e fase). O gaho de Bode G(j) K B. Note que o diagrama de Bode de módulo acima foi levado em cosideração que: Se K B >, etão G(j ) > db 0 Se K B, etão G(j ) db 0 Se 0<K B <, etão G(j ) db < 0 O efeito que uma variação do gaho K B em um diagramas de Bode com vários factores básicos é que ele faz deslocar a curva de módulo para cima (se K B > 0) ou para baixo (se K B < 0) e ão afecta a curva do âgulo de fase. 8

19 Isto é, aumetado-se o valor de K B fazemos todo o diagrama de Bode de módulo subir equato que dimiuido-se o valor de K B fazemos todo o diagrama de Bode de módulo descer. Por outro lado o diagrama de Bode de fase fica ialterado às variações de K B se K B > 0, ou fica deslocado para baixo de 80º, o caso de K B < 0. Factor Itegral (j) - Para G(j) (j) -, temos que G(j) em db é dado por: G(j ) db 0 log 0 j 0 log 0 [ db] que é a verdade a equação de uma recta com declive 0 db/década pois está represetado a escala logarítmica. Para se ver isto, primeiramete ote que G(j) db itercepta 0 db em, eq. (9.5) um detalhe que facilita para fazermos o seu esboço. Na verdade temos que, olhado-se para algumas décadas cosecutivas, temos que, o diagrama de Bode de módulo de G(j) ( G(j) db ): M M para 0,0 G(j) 40 db para 0, G(j) 0 db para G(j) 0 db para 0 G(j) 0 db para 0 G(j) 40 db M M o que permite se ver claramete que trata-se de uma recta com declive 0 db/década (como pode ser visto a figura 9.6). 9

20 declive: -0dB/década (ou -6dB/oitava) módulo [db] 0dB 0dB -0dB 0. 0 [rad/s] fase [graus º] 0º -90º 0. 0 [rad/s] Fig. 9.6 Diagrama de Bode (módulo e fase). Factor itegral G(j) / j. ambém é costume se olhar para algumas oitavas cosecutivas (em vez de décadas) do diagrama de Bode de módulo de G(j) ( G(j) db ). Isto é: uma oitava correspode à: o dobro /ou a metade, depededo do setido (para direita ou para esquerda / aumetado-se / ou dimiuido-se). M M para 0,5 G(j) 6 db para G(j) 0 db para G(j) 6 db para 4 G(j) db M M que é uma forma alterativa de olhar para esta recta pois o declive de 0 db/década é equivalete a 6 db/oitava. 0

21 Uma oitava correspode à: o dobro /ou a metade, depededo do setido (para direita ou para esquerda; aumetado-se / ou dimiuido-se). Assim como o termo harmóico, que aparecia as séries de Fourier (capítulo 5), vem da música, também este termo oitava vem da música. Correspode à oitava ota, ou seja, a mesma ota mas o harmóico seguite / ou o aterior, pois as otas são apeas sete e depois se repetem, com o dobro / ou com a metade da frequècia. É como o oitavo dia, que é o mesmo dia da semaa, mas a semaa seguite / ou a aterior. Por outro lado, para a fase G(j), temos que: G(j) (/ j) j 90º,. Observe que, como está represetado uma escala logarítmica, etão é sempre positivo ( > 0) e portato j 90º, e logo j 90º. Portato, o diagrama de Bode de fase G(j),, é uma costate igual a 90º: Este diagrama de Bode (módulo e fase) de G(j) / j está esboçado a figura 9.6. O efeito do factor básico G(j) /j em um diagrama de Bode de fase com vários factores básicos é que ele faz deslocar a curva de fase para baixo de 90º. Outros factores itegrativos (j) -, (j) -3,, (j) - Para G(j) (j) -, temos uma situação bastate semelhate aos factores (j) - que vimos acima. O módulo G(j) em db é dado por: G(j ) db 0 log 0 ( j) 0 log 0 log 0 0 j [ db]

22 que é a verdade a equação de uma recta com declive 0 db/década pois está represetado a escala logarítmica (como pode ser visto a figura 9.7). Equivaletemete esta recta tem o declive de 6 db/oitava. Note também que, assim como ates [a eq. (9.5)], G(j) db itercepta 0 db em, eq. (9.6) um detalhe que facilita para fazermos o esboço do diagrama de Bode. Fig. 9.7 Diagrama de Bode (módulo e fase). Factores itegrativos G(j) (/ j). Por outro lado, para a fase G(j), temos que: G(j) (/ j) ( j) 90º,.

23 Portato, o diagrama de Bode de fase G(j),, é uma costate igual a 90º : Este diagrama de Bode (módulo e fase) de G(j) (/ j) figura 9.7. está esboçado a O efeito do factor básico G(j) (/ j) em um diagrama de Bode de fase com vários factores básicos é que ele faz deslocar a curva de fase para baixo de 90º. Factores derivativos j, (j), (j) 3,, (j) Para G(j) (j), temos uma situação um pouco semelhate aos factores (j) - que vimos acima. O módulo G(j) em db é dado por: G(j ) db 0 log 0 ( j) 0 log 0 0 log 0 j [ db] que é a equação de uma recta com declive 0 db/década pois está represetado a escala logarítmica (como pode ser visto a figura 9.8). Equivaletemete esta recta tem o declive de 6 db/oitava. Note também que aqui ovamete, assim como ates [a eq. (9.5) e (9.6)], G(j) db itercepta 0 db em, eq. (9.7) que os facilita para fazermos o esboço do diagrama de Bode de módulo. Por outro lado, para a fase G(j), temos que: G(j) (/ j) ( j) 90º,. 3

24 Portato, o diagrama de Bode de fase G(j),, é uma costate igual a 90º : Este diagrama de Bode (módulo e fase) de G(j) (j) está esboçado a figura 9.8. O efeito do factor básico G(j) (j) em um diagrama de Bode de fase com vários factores básicos é que ele faz deslocar a curva de fase para cima de 90º. Fig. 9.8 Diagrama de Bode (módulo e fase). Factores derivativos G(j) (j). Factor pólo primeira ordem ( j) - Para G(j) / ( j), temos que o módulo G(j) em db é dado por: G(j) db 0 log 0 ( j ) 0 log 0 ( ) 4

25 que vamos dividir em itervalos: << / e >> /, ou seja, para frequêcias baixas e altas. No itervalo, << / (frequêcias baixas), observamos que: ( ) G(j) 0 log ( ) 0 log ( ) 0dB << 0 0 equato que o itervalo, >> / (frequêcias altas), observamos que: e portato: db ( ) ( ) G(j) 0 log ( ) 0 log ( ) >> 0 0 db G(j) db 0, 0 log 0 ( ), << >> Logo, temos aproximações para a curva G(j) db / ( j) db, ambas rectas, às quais chamamos de rectas assímptotas para frequêcias altas e baixas, que podem ser vistas a figura 9.9. A expressão de G(j) db para >> / (frequêcias altas) é de facto uma recta com declive de 0 db/década, (ou 6 db/oitava), pois está represetado a escala logarítmica. Note que: a recta assímptota para frequêcias altas itercepta 0 db em c /, eq. (9.8) em vez de em, como era o caso das rectas das eq. (9.5), eq. (9.6) e eq. (9.7). Este é um detalhe a ter em ateção ao fazermos o esboço do diagrama de Bode de módulo. Na verdade, este poto: 0 db para / é ode as duas rectas assímptotas se iterceptam (como pode ser visto a figura 9.9). 5

26 Por esta razão a frequêcia c é chamada de frequêcia de cato ( corer frequecy), às vezes também chamada de frequêcia de corte (em processameto de siais quado evolvem filtros). 0 0 Fig. 9.9 Diagrama de Bode de módulo. Factor pólo primeira ordem G(j) / ( j). A curva real de G(j) db só coicide com as assímptotas quado << c ou quado >> c, que a prática correspode a < (para frequêcias baixas) e ( 0 ) 0 < (para frequêcias altas) Ou seja, as assímptotas são válidas para uma década ates da frequêcia de cato c / (o caso da assímptota para frequêcias baixas) ou uma década depois da frequêcia de cato c / (o caso da assímptota para frequêcias altas). Na verdade mostra-se facilmete que tato para /0 (uma década abaixo de c ), como também para 0 (uma década acima de c ), a curva de módulo G(j) db apreseta erro desprezível, praticamete ulo: G(j) db 0,04 db 0 db para /(0) ou para 0. Nas proximidades da frequêcia de cato c as assímptotas apeas aproximam da curva real de G(j) db. 6

27 O erro máximo é de 3 db e ocorre exactamete a frequêcia de cato c /, o poto ode as duas assímptotas se ecotram, pois para este valor de, 3 d G(j ) 0 log0 0 log B, para db (como pode ser visto a figura 9.9). Para o âgulo de fase G(j), temos que: 0 c ( j) G(j) / ( j) ( j) arctg () eq. (9.9) Aqui também pode-se pesar os itervalos: << / e frequêcias baixas e altas. >> /, ou seja, para Nas frequêcias baixas, << /, observamos que: << ( ) G(j ) 0º equato que as frequêcias altas, >> /, observamos que: >> j ( ) j ( ) G(j) j ( ) 90º resultados que também poderiam ser facilmete obtidos usado a eq. (9.9) com 0 e, respectivamete, pois e portato: arctg (0) 0º e arctg( ) 90º. G (j) 0, arctg( ), 90º, 00 << < < 00 >> Note que para c /, G(j c ) arctg ( c ) arctg () 45º, logo, a frequêcia de cato ou de corte c / temos: 7

28 a curva do G(j) passa por 45º em /, eq. (9.0) isto é, a metade do itervalo etre 0º e 90º; um detalhe a ter em ateção ao fazermos o esboço do diagrama de Bode de fase. Ou seja diagrama de Bode de fase G(j) tede assimptoticamete para 0º (à esquerda) e para 90º (à direita). Na prática cosideramos que G(j) varia de 0º a 90º equato a frequêcia varia c de até 0 c. 0 isto é, desde uma década ates da frequêcia de cato c / (assímptota para frequêcias baixas) até uma década depois da frequêcia de cato c / (assímptota para frequêcias altas). O diagrama de Bode de fase de G(j) ( j) - está esboçado a figura 9.0. fase [graus º] 0 0 Fig. 9.0 Diagrama de Bode de fase. Factor pólo primeira ordem G(j) / ( j). Factores pólos múltiplos ( j) -, ( j) -3,..., ( j) - Para G(j) / ( j), temos que o módulo G(j) em db é dado por: 8

29 G(j) db 0 log 0 0 log ( j ) 0 ( ) [ db] e dividido em itervalos: << / e >> /, ou seja, para frequêcias baixas e altas, observamos que: G(j) db 0, 0 log 0 ( ), << >> que pode ser vista a figura 9.. Portato, temos ovamete aproximações para a curva G(j) db / ( j) db, por duas rectas assímptotas em frequêcias baixas e altas (esta última com declive de 0 db/década ou 6 db/oitava). Note que, aqui também tem-se a frequêcia de cato ou de corte ( corer frequecy), c /, e assim como a secção aterior, eq. (9.8), aqui também: a recta assímptota para frequêcias altas itercepta 0 db em c /, eq. (9.) um detalhe a ter em ateção ao fazermos o esboço do diagrama de Bode de módulo. 0 0 Fig. 9. Diagrama de Bode de módulo. Factores pólos múltiplos G(j) / ( j),, 3, 9

30 Novamete, a curva real de G(j) db só coicide com as assímptotas quado << c ou quado >> c, que a prática correspode a < (para frequêcias baixas) e ( 0 ) 0 < (para frequêcias altas) Ou seja, as assímptotas são válidas para uma década ates da frequêcia de cato c / (o caso da assímptota para frequêcias baixas) ou uma década depois da frequêcia de cato c / (o caso da assímptota para frequêcias altas). Nas proximidades da frequêcia de cato c as assímptotas apeas aproximam da curva real de G(j) db. O erro máximo agora é de 3 db e ocorre exactamete a frequêcia de cato c /, o poto ode as duas assímptotas se ecotram, pois para este valor de, G(j ) 0 log0 0 log 3 db, para db (como pode ser visto a figura 9.). Para o âgulo de fase G(j), temos que: 0 c ( j) G(j) / ( j) ( j) Nas frequêcias baixas, << /, observamos que: arctg () eq. (9.) G(j) 0º equato que as frequêcias altas, >> /, observamos que: G (j) 90º resultados que também poderiam ser facilmete obtidos usado a eq. (9.) com 0 e, respectivamete, pois e portato: arctg (0) 0º e arctg ( ) 90º, 30

31 G (j) 0, arctg( ), 90º, 00 << < < 00 >> Note que para c /, G(j c ) arctg ( c ) arctg () 45º, logo, a frequêcia de cato ou de corte c / temos: a curva do G(j) passa por 45º em c /, eq. (9.3) isto é, a metade do itervalo etre 0º e 90º ; um detalhe a ter em ateção ao fazermos o esboço do diagrama de Bode de fase. Ou seja, o diagrama de Bode de fase G(j) tede assimptoticamete para 0º (à esquerda) e para 90º (à direita). Na prática cosideramos que G(j) varia de 0º a 90º equato a frequêcia varia c de até 0 c. 0 isto é, desde uma década ates da frequêcia de cato c / (assímptota para frequêcias baixas) até uma década depois da frequêcia de cato c / (assímptota para frequêcias altas). O diagrama de Bode de fase de G(j) ( j) - está esboçado a figura Fig. 9. Diagrama de Bode de fase. Factores pólos múltiplos G(j) / ( j),, 3, 3

32 Factores zeros simples e múltiplos ( j), ( j),..., ( j) Para G(j) ( j),,,, a situação é aáloga aos casos de pólos simples e múltiplos as duas secções ateriores. emos que o módulo G(j) em db é dado por: G(j) 0 log ( j ) db 0 0 log 0 ( ) e dividido em itervalos: << / e >> /, ou seja, para frequêcias baixas e altas, observamos que: G(j) db 0, 0 log 0 ( ), << >> que pode ser vista a figura Fig. 9.3 Diagrama de Bode de módulo. Factores zeros simples e múltiplos G(j) ( j),,, 3

33 Note que, aqui também tem-se a frequêcia de cato ou de corte ( corer frequecy), c /, e assim como as secções ateriores, eq. (9.8) e eq. (9.), aqui também: a recta assímptota para frequêcias altas itercepta 0 db em c /, eq. (9.4) um detalhe a ter em ateção ao fazermos o esboço do diagrama de Bode de módulo. Novamete, para a curva real de G(j) db, as assímptotas são válidas para uma década ates da frequêcia de cato c / (o caso da assímptota para frequêcias baixas) ou uma década depois da frequêcia de cato c / (o caso da assímptota para frequêcias altas). Nas proximidades da frequêcia de cato c as assímptotas apeas aproximam da curva real de G(j) db apresetado um erro máximo de 3 db que ocorre exactamete a frequêcia de cato c /, o poto ode as duas assímptotas se ecotram. Para o âgulo de fase G(j), temos que: G(j) ( j) arctg () e portato: G (j) 0, arctg( ), 90º, 00 << < < 00 >> Note que para c /, a frequêcia de cato ou de corte, temos que: a curva do G(j) passa por 45º em c /, eq. (9.5) isto é, a metade do itervalo etre 0º e 90º ; um detalhe a ter em ateção ao fazermos o esboço do diagrama de Bode de fase. Na prática cosideramos que G(j) varia de 0º a 90º equato a frequêcia varia c de até 0 c. 0 33

34 isto é, desde uma década ates da frequêcia de cato c / (assímptota para frequêcias baixas) até uma década depois da frequêcia de cato c / (assímptota para frequêcias altas). O diagrama de Bode de fase de G(j) ( j) - está esboçado a figura 9.4. fase [graus º] 0 0 Fig. 9.4 Diagrama de Bode de fase. Factores zeros simples e múltiplos G(j) ( j),,, Factores pólos quadráticos [ ζ(j/ ) (j/ ) ] -,,,, 0 ζ. Note que a fução de trasferêcia G(j) G (j) j ζ tem um par de pólos que serão: j 34 j ζ a) pólos complexos se 0 ζ < b) pólos duplos se ζ c) pólos reais e distitos se ζ > Os factores quadráticos que tratamos esta secção fazem parte dos casos (a) e (b) acima, isto é 0 ζ, pois o caso (c), pólos reais e distitos ( ζ > ), já estão cobertos os factores básicos ateriores.

35 35 Na verdade, mesmo o caso (b), quado temos a situação limite de ζ, etão j j ) G(j que correspode a pólos duplos e iguais a / j, um caso que também já está abragido os factores básicos ateriores. Portato as técicas que serão apresetadas esta secção para 0 ζ vão coicidir com outras já apresetadas ateriormete o caso particular de ζ. Para G(j) [ ζ(j/ ) (j/ ) ] -,,,, temos que o módulo G(j) em db é dado por: 0 0 db j log 0 j j 0 log ) G(j ζ ζ e dividido em itervalos: << e >>, ou seja, para frequêcias baixas e altas, observamos que: ( ) >> < < ζ << 0 0 db, log , j log 0 0, ) G(j Note que, assim como as secções ateriores tiha c em eq. (9.8), eq. (9.) e eq. (9.4), aqui também tem-se uma frequêcia que é chamada de frequêcia atural do sistema, que separa as frequêcias altas e baixas e a recta assímptota para frequêcias altas itercepta 0 db em, eq. (9.6) um detalhe a ter em ateção ao fazermos o esboço do diagrama de Bode de módulo.

36 0 Fig. 9.5 Diagrama de Bode de módulo. Factores pólos quadráticos G(j) [ ζ(j/ ) (j/ ) ] -, ζ,. Nas proximidades da frequêcia atura as assímptotas apeas aproximam da curva real de G(j) db apresetado um erro máximo de 6 db que ocorre exactamete a frequêcia de cato, o poto ode as duas assímptotas se ecotram. A curva G(j) db para o caso particular que falamos acima, ζ, está represetado a figura 9.5. A medida que o valor de ζ dimiui, ζ < as curvas de G(j ) vão ficado mais altas db e vão criado picos (a partir de ζ < / 0, 707) que vão se torado cada vez mais altos a medida que ζ 0. Estas curvas de G(j ) estão ilustradas a figura 9.6 para o caso geral de 0 ζ. db Estes picos ocorrem as frequêcias r chamadas r frequêcia de ressoâcia que assume valores r ζ, para 0 ζ Note que para ζ 0, r. A medida que ζ aumeta a frequêcia de ressoâcia r dimiui ligeiramete até que, quado 36

37 ζ 0,707 etão a frequêcia de ressoâcia r /. módulo [db] 4 db 8dB 5dB 0dB 0 ζ0. ζ0. ζ0.3 ζ0.5 ζ0.6 ζ0.707 ζ0.8 ζ 0 [rad/s] -40 db Fig. 9.6 Diagrama de Bode de módulo. Factores pólos quadráticos G(j) [ ζ(j/ ) (j/ ) ] -,,, Por outro lado, estes picos atigem valores M r que tem os valores M r pico de ressoâcia Mr, para 0 ζ ζ ζ Note que para 0,707 ζ ão há pico de ressoâcia. Em particular, se ζ 0,707, etão M r 0 db (também ão há pico de ressoâcia). 37

38 A medida que ζ dimiui, o pico de ressoâcia M r aumeta. Por exemplo, quado ζ 0,5 Mr,55,5dB, quado ζ 0,5 Mr,33 6,6dB, quado ζ 0, Mr 5,05 4dB, quado ζ 0,05 Mr 0,0 0dB. A figura 9.6 ilustra estes picos de ressoâcia. Para o âgulo de fase G(j), temos que: G(j ) j ζ j ζ arctg 0º 0 ζ0. ζ0.5 ζ 0 [rad/s] -90º -80º Fig. 9.7 Diagrama de Bode de fase. Factores pólos quadráticos simples e múltiplos G(j) ( j),,, Portato: 0º, 0 G(j) 90º, 80º, coforme esboçado a figura

39 Na prática cosideramos que G(j) varia de 0º a 80º equato a frequêcia varia de até 0. 0 isto é, desde uma década ates da frequêcia de atural (assímptota para frequêcias baixas) até uma década depois da frequêcia de atural (assímptota para frequêcias altas). O diagrama de Bode de fase de G(j) se tora mais ígreme (com declive mais acetuado) a medida que ζ 0 e isto está ilustrado a figura 9.7. Factores zeros quadráticos [ ζ(j/ ) (j/ ) ],,, Os factores zeros quadráticos que têm a fução de trasferêcia G(j) G(j ) j ζ j são em tudo aálogo aos factores pólos quadráticos que vimos acima. Ou seja, curva de módulo e fase para os factores zeros quadráticos podem ser obtidas ivertedo-se o sial das curvas de módulo e fase dos factores pólos quadráticos As pricipais difereças são que os picos de ressoâcia são para baixo em vez de para cima e as curvas de fase vão de 0º a 80º em vez de 0º a 80º. 9.8 Factores básicos com siais egativos No caso de factores básicos com siais egativos do tipo ou G(s), G(s) G(s) ( s ), G(s) ( s ), L ( s ) 3 ( s ), G(s) ( s ), G(s) ( s ) 3, L é fácil mostrar que o diagrama de Bode de módulo é idêtico ao factor básico correspodete com sial, etretato para a costrução do diagrama de Bode de fase é ecessário um cuidado maior a aálise. 39

40 Nos próximos exemplos ilustramos como fazer estas situações. Exemplo 9.6: G(j) (s ) (s 00) (s ) 00 s 00 Note que este caso K B /00 40 db e G(j) tem mais dois factores básicos: (s ) e Além disso, a fase de G(j) é dada por s 00 G(j ) ( j) ( j/00) Fig. 9.8 Diagrama de Bode de módulo e fase do Exemplo

41 Exemplo 9.7: G (j) (s ) (s 00) (s ) 00 s 00 Note que este caso K B /00 40 db ovamete e G(j) tem aida mais dois factores básicos: (s ) e s 00 Logo, o diagrama de Bode de módulo é igual ao do exemplo aterior (Exemplo 9.6). Além disso, a fase de G(j) é dada por G(j) ( j) ( j/00) 80º ( j) ( j/00) Fig. 9.9 Diagrama de Bode de módulo e fase do Exemplo

42 Exemplo 9.8: G (j) (s ) (s 00) (s ) 00 s 00 Note que este caso K B /00 40 db ovamete e G(j) tem aida mais dois factores básicos: (s ) e s 00 Logo, o diagrama de Bode de módulo é igual aos exemplos ateriores (Exemplos 9.6 e 9.7). Além disso, a fase de G(j) é dada por G(j) ( j) ( j/00) ( j) 80º ( j/00) 0db dB 0º -90º º Fig. 9.0 Diagrama de Bode de módulo e fase do Exemplo

43 Exemplo 9.9: G (j) (s ) (s 00) (s ) 00 s 00 Note que este caso K B /00 40 db ovamete e G(j) tem aida mais os factores básicos: (s ) e s 00 Logo, o diagrama de Bode de módulo é igual aos 3 exemplos ateriores (Exemplos 9.6, 9.7 e 9.8). Além disso, a fase de G(j) é dada por G(j) ( j) ( j/00) 80º ( j) 80º ( j/00) ( j) ( j/00) Fig. 9. Diagrama de Bode de módulo e fase do Exemplo

44 Exemplo 9.0: G (j) 00 (s ) (s 00) s 00 ( s ) Note que este caso K B 0 db e G(j) tem aida mais dois factores básicos: (s ) e s 00 Além disso, a fase de G(j) é dada por G(j) ( j) ( j/00) Fig. 9. Diagrama de Bode de módulo e fase do Exemplo

45 Exemplo 9.: G (j) 00 (s )(s 00) s 00 ( s ) Note que este caso K B 0 db ovamete e G(j) tem aida mais dois factores básicos: (s ) e s 00 Logo, o diagrama de Bode de módulo é igual ao exemplo aterior (Exemplo 9.0). Além disso, a fase de G(j) é dada por G(j) ( j) ( j/00) ( j) 80º ( j/00) Fig. 9.3 Diagrama de Bode de módulo e fase do Exemplo

46 Exemplo 9.: G (j) 00 (s )(s 00) s 00 ( s ) Note que este caso K B 0 db ovamete e G(j) tem aida mais dois factores básicos: (s ) e s 00 Logo, o diagrama de Bode de módulo é igual aos dois exemplos ateriores (Exemplos 9.0 e 9.). Além disso, a fase de G(j) é dada por G(j) ( j) ( j/00) 80º ( j) ( j/00) Fig. 9.4 Diagrama de Bode de módulo e fase do Exemplo

47 Exemplo 9.3: G (j) 00 (s ) (s 00) s 00 ( s ) Note que este caso K B 0 db ovamete e G(j) tem aida mais dois factores básicos: (s ) e s 00 Logo, o diagrama de Bode de módulo é igual aos três exemplos ateriores (Exemplos 9.0, 9. e 9.). Além disso, a fase de G(j) é dada por G(j) ( j) ( j/00) 80º ( j) 80º ( j/00) ( j) ( j/00) Fig. 9.5 Diagrama de Bode de módulo e fase do Exemplo

48 9.9 Exemplos adicioais de costrução de diagramas de Bode (módulo e fase) Nesta secção apresetamos vários exemplos de diagramas de Bode (módulo e fase) que foram esboçados usado quase sempre o auxílio dos factores básicos apresetados aqui. Exemplo 9.4: G(j) 000 (s 4) s(s 00)(s 5s 400) 0, s 4 s 5 s s s Fig. 9.6 Diagrama de Bode de módulo e fase do Exemplo

49 Exemplo 9.5: 0, s 000 (s 4) 4 G(j) s(s 00)(s 5s 400) s 5 s s s O diagrama de Bode de módulo é igual ao do exemplo aterior (Exemplo 9.4). O diagrama de Bode de fase está esboçado a figura ,5 80º 90º 0º -90º -80º -70º Fig. 9.7 Diagrama de Bode de fase do Exemplo 9.5. Exemplo 9.6: (j) 000 (s 4) s(s 00) (s 5s 400) 0, s 4 s 5 s s s G O diagrama de Bode de módulo é igual aos dos exemplos ateriores (Exemplos 9.4 e 9.5). O diagrama de Bode de fase está esboçado a figura

50 Fig. 9.8 Diagrama de Bode de fase do Exemplo 9.6. Exemplo 9.7: 0, s 000 (s 4) 4 G(j) s(s 00)(s 5s 400) s 5 s s s O diagrama de Bode de módulo é igual aos dos três exemplos ateriores (Exemplos 9.4, 9.5 e 9.6). O diagrama de Bode de fase está esboçado a figura 9.9. Fig. 9.9 Diagrama de Bode de fase do Exemplo

51 Exemplo 9.8: 0, s 000 (s 4) 4 G(j) s(s 00) (s 5s 400) s 5 s s s O diagrama de Bode de módulo é igual aos dos quatro exemplos ateriores (Exemplos 9.4, 9.5, 9.6 e 9.7). O diagrama de Bode de fase está esboçado a figura Fig Diagrama de Bode de fase do Exemplo 9.8. Exemplo 9.9: G(j) Note que 6 0 (s 0,) s(s 0 )(s 0 s 0 4 ) s s 0 ( 0 s ) s s K B 0 db 00 ζ0, 5 r ζ 70,7 Mr,55 ζ 0,897dB 0 (zero) (pólo) 0 5

52 80dB K B 0 db 00 0,5 M r.55 0,9 db r 70,7 60dB -0dB/dec 40dB 0dB/dec 0dB dB -0dB/dec -40dB -60dB -80dB -60dB/dec -00dB 0º -90º º -70º Fig. 9.3 Diagrama de Bode de fase do Exemplo 9.9. Exemplo 9.0: Note que ( 0 s ) 0 (s 0, ) 0, G(j ) s(s 0 ) (s s ) s ( 0, s ) ( s s ) K B 0, 0 db ζ0, 5 r ζ 0,707 Mr,55 ζ 0,897 db 0 (zero) (pólo) 0 5

53 80dB 60dB K B -0 db 0,5 M r.55 0,9 db r 0,707 40dB 0dB -0dB/dec 0dB/dec dB dB/dec dB -60dB -80dB -00dB -60dB/dec 0º -90º º -70º Fig. 9.3 Diagrama de Bode de fase do Exemplo 9.0. Exemplo 9.: 80 s G(j) s(s 0 ) (s s ) s s s 0 ( s ) s Note que K B 0 db, 44 ζ 0,

54 r ζ,4 Mr,069 0,58 db ζ (zero da F..) (pólo da F..) 0 80dB 60dB K B 0 db,4 0,354 M r.07 0,58 db r,4 40dB 0dB 9.8dB 0.7dB 0 db dB -40dB -0dB/dec -9.5dB -40dB/dec -60dB -80dB -00dB -60dB/dec 0º º -80º -70º º -8º -º 0-50º º Fig Diagrama de Bode de fase do Exemplo