J. A. M. Felippe de Souza 9 Diagramas de Bode

Tamanho: px
Começar a partir da página:

Download "J. A. M. Felippe de Souza 9 Diagramas de Bode"

Transcrição

1 9 Diagramas de Bode 9. Itrodução aos diagramas de Bode 3 9. A Fução de rasferêcia Pólos e zeros da Fução de rasferêcia 8 Equação característica 8 Pólos da Fução de rasferêcia 8 Zeros da Fução de rasferêcia 8 Exemplo 9. 8 Exemplo 9. 9 Exemplo Os factores básicos em s para a costrução de um diagrama de Bode Os factores básicos em j para a costrução de um diagrama de Bode 9.6 Desmembrameto de fuções G(s) em factores básicos 4 Exemplo Exemplo Diagramas de Bode dos factores básicos 6 O gaho de Bode (K B ) 7 Factor itegral (j) - 9

2 Outros factores itegrativos (j) -, (j) -3,, (j) - Factores derivativos j, (j), (j) 3,, (j) 3 Factor pólo primeira ordem ( j) - 4 Factores pólos múltiplos ( j) -, ( j) -3,..., ( j) - 8 Factores zeros simples e múltiplos ( j), ( j),...,..., ( j) 3 Factores pólos quadráticos [ ζ(j/ ) (j/ ) ] -, -,, - 34 Factores zeros quadráticos [ ζ(j/ ) (j/ ) ],,, Factores básicos com siais egativos 39 Exemplo Exemplo Exemplo Exemplo Exemplo Exemplo Exemplo Exemplo Exemplos adicioais de costrução diagramas de Bode (módulo e fase) 48 Exemplo Exemplo Exemplo Exemplo Exemplo Exemplo Exemplo Exemplo 9. 53

3 Diagramas de Bode 9. Itrodução aos diagramas de Bode Neste capítulo estudaremos os diagramas de Bode ( Bode plots ) que levam este ome devido à Hedrik Wade Bode (905-98), um egeheiro americao que actuava pricipalmete as áreas de electróica, telecomuicações e sistemas. Fig. 9. Hedrik Wade Bode (905-98), americao. Os diagramas de Bode (de módulo e de fase) são uma das formas de caracterizar siais o domíio da frequêcia. 3

4 9. A Fução de rasferêcia Os siais são represetados o domíio da frequêcia por fuções de s: X(s), Y(s), etc. como já vimos o capítulo 6 (rasformadas de Laplace, L { x(t) } X(s) e L { y(t) } Y(s) ) ou por fuções de j X(j), Y(j), etc. como já vimos o capítulo 8 (rasformadas de Fourier, F { x(t) } X(j) e F { y(t) } Y(j) ). Na verdade as rasformadas de Laplace e as rasformadas de Fourier são represetações que estão muito relacioadas uma com a outra. Em muitos casos, se substituirmos s por j, isto é, fazedo-se s ser um úmero complexo com parte real ula e parte imagiária, s 0 j j obtemos a rasformadas de Fourier a partir da rasformada de Laplace, X(s) X(0j) X(j), Y(s) Y(0j) Y(j), etc. Se x(t) é a etrada de um sistema e y(t) é a saída deste mesmo sistema, em certas aplicações podem ser mais iteressate represetar o diagrama de blocos estes siais X(s), X(j), Y(s) e Y(j) o domíio da frequêcia, em vez de o domíio do tempo coforme é ilustrado a figura 9.. Fig. 9. Diagrama de blocos com os siais de etrada e saída represetados o domíio da frequêcia. ode G(s) e G(j) são a reposta impulsioal do sistema coforme visto as secções 5.0 (o capítulo 5, rasformada de Laplace) e 8.5 (o capítulo 8, rasformada de Fourier) respectivamete. 4

5 Note que lá a reposta impulsioal do sistema era, de forma geral, H(s) e H(j) equato que aqui, de forma geral, será utilizado a otação G(s) e G(j). No capítulo 4, sobre Sistemas e o capítulo 8 sobre rasformadas de Fourier ós vimos algus resultados clássicos sobre SLI (sistemas lieares e ivariates o tempo). Por exemplo, o caso particular da etrada x(t) impulso uitário, x(t) u o (t) etão a saída y(t) g(t) a resposta impulsioal do sistema. Sabedo-se a resposta impulsioal g(t) de um sistema liear e ivariate o tempo (SLI) podemos saber a saída y(t) para qualquer etrada x(t) y(t) g(t) x(t) g(t τ) x( τ) dτ x(t) g(t) x(t τ) g( τ) d τ. Ou seja, a saída y(t) é a covolução etre a resposta impulsioal g(t) e a etrada x(t). Isso que implica que Y(j ) G(j) X(j) X(j) G(j). ode X(j) F { x(t) } Y(j) F { y(t) } G(j) F { h(t) } X(j) rasformada de Fourier de x(t), Y(j) rasformada de Fourier de y(t), e G(j) rasformada de Fourier de g(t) e que está ilustrado a figura 9.3 abaixo. Fig. 9.3 Diagrama de blocos com os siais de etrada x(t) e de saída y(t) e resposta impulsioal h(t), todos represetados o domíio da frequêcia, em j : X(j), Y(j) e G(j). 5

6 Este resultado se deve ao facto que: a trasformada da covolução é o produto das trasformadas. a propriedade da Covolução para as rasformadas de Fourier, que foi vista a secção 8.4 (o capítulo 8, Propriedades da rasformada de Fourier). Por esta razão pode-se expressar G(j) como a razão etre o sial de saída tomado o domíio da frequêcia [ Y(j) ] e o sial de etrada, também tomado o domíio da frequêcia [ X(j) ], quado as codições iiciais do sistema são ulas que é chamada de fução de trasferêcia do sistema. Y(j) G(j ) eq. (9.) X(j) Mas esta afirmação acima valida para as rasformadas de Fourier, também vale para as rasformadas de Laplace, coforme visto o capítulo 5. Logo: Y(s) G(s) X(s) X(s) G(s). ode X(s) L { x(t) } Y(s) L { y(t) } G(s) L { h(t) } X(s) rasformada de Laplace de x(t), Y(s) rasformada de Laplace de y(t), e G(s) rasformada de Laplace de h(t) e que está ilustrado a figura 9.4 abaixo. Fig. 9.4 Diagrama de blocos com os siais de etrada x(t) e de saída y(t) e resposta impulsioal h(t), todos represetados o domíio da frequêcia, em s : X(s), Y(s) e G(s). 6

7 Mais uma vez este resultado se deve ao facto que: a trasformada da covolução é o produto das trasformadas, a propriedade da Covolução, mas agora para rasformada de Laplace, vista a secção 5.4 (o capítulo 5, Propriedades da rasformada de Laplace). Por esta razão pode-se expressar G(s) como a razão etre o sial de saída tomado o domíio da frequêcia [ Y(s) ] e o sial de etrada também tomado o domíio da frequêcia [ X(s) ], quado as codições iiciais do sistema são ulas Y(s) G (s) eq. (9.) X(s) que também é chamada de fução de trasferêcia do sistema. Portato a fução de trasferêcia de um sistema liear ivariate o tempo (SLI) represetada o domíio da frequêcia: G(s) ou G(j), coforme defiidas as equações eq. (9.) e eq. (9.), muito comummete são fracções racioais, ou seja, fracções cujo umerador e o deomiador são poliómios, seja em s : ou em j q(s) G (s) eq. (9.3) p(s) q(j) G(j ) eq. (9.4) p(j) ode q(s) e p(s) são poliómios em s do tipo a s a - s -... a s a o e p(j) e q(j) são poliómios em s j do tipo a (j) a - (j) -... a (j) a o 7

8 9.3 Pólos e zeros da Fução de rasferêcia Cosidere agora a fução de trasferêcia G(s) de um sistema, coforme foi defiida a eq. (9.), depois de reduzida para forma de fração racioal da eq. (9.3) G (s) q(s) p(s) e supoha que todos as evetuais raízes comus de q(s) e p(s) teham sido caceladas e portato esta expressão acima está a forma irreductível. Equação Característica: O poliómio p(s) é chamado de poliómio característico de G(s), ou o poliómio característico do sistema. A equação p(s) 0 é chamada de a equação característica do sistema. Pólos da fução de trasferêcia: As raízes do poliómio característico são chamadas de pólos de G(s) ou pólos do sistema. Ou seja, os pólos são as soluções da equação característica. Zeros da fução de trasferêcia: As raízes do umerados de G(s) (q(s)) são chamadas de zeros de G(s) ou zeros do sistema. Ou seja, os zeros são as soluções da equação q(s) 0. De maeira semelhate se defie os pólos e zeros de uma resposta impulsioal G(s). Exemplo 9.: Cosidere a fução de trasferêcia G(s) dada por (s 30) G(s) s(s)(s s) É fácil de se verificar que G(s) tem um zero em s 30 e quatro pólos, respectivamete em: 8

9 s 0, s, e s ± j sedo que: são reais e são complexos. Como s 0 é um pólo de G(s), costuma-se dizer que este sistema tem um pólo a origem. A equação característica deste sistema é: p(s) s (s)(s s) s 4 4s 3 6s 4s Exemplo 9.: Cosidere agora a fução de trasferêcia G (s) dada por 5 G 0 s (s) (s0)(s 0 s0 4 ) Nitidamete G (s) tem um zero a origem, ou seja, em s 0 e três pólos, respectivamete em s 0 e s 50 ± j 50 3 A equação característica deste sistema é: p (s) (s0)(s 0 s 0 ) s 0 s 0 s 0 Exemplo 9.3: Cosidere agora a fução G(s) dada por 0s G(s) (sa) (sb ) (s-c), G(s) tem um zero duplo a origem (i.e., em s 0) e quatro pólos, respectivamete em s a (duplo), s b e s c. 9

10 9.4 Os factores básicos em s para a costrução de um diagrama de Bode Vamos apresetar aqui os factores básicos para a costrução de um diagrama de Bode de G(s). Estes factores básicos são fuções racioais em s. Qualquer G(s) da forma da eq. (9.4) acima pode ser desmembrado em factores básicos e com isso a costrução de um esboço do diagrama de Bode se tora mais simples. Na próxima secção apresetaremos de forma semelhate os factores básicos em j para a costrução de um diagrama de Bode. FACORES BÁSICOS EM S : O gaho de Bode (K B ) G(s) K B Factores itegrativos [pólos a origem]: (/s),,,... G (s), G (s), G (s) 3, L s s s Factores derivativos [zeros a origem]: s,,,... G(s) s, G(s) s, G(s) s 3, L Factores de ª ordem do tipo pólos reais : /(s ),,,... G(s), ( s ) G(s), ( s ) G(s), L ( s ) 3 Factores de ª ordem do tipo zeros reais : (s ),,,... ( s ), G (s) ( s ), G (s) ( s ) 3 G (s), L 0

11 Factores de ª ordem ou quadráticos, do tipo pólos complexos : /[ζ(s/ )( s/ ) ],,,... ζ s s G(s), s s G(s) ζ, 3 ) ( s s G s ζ, L Factores de ª ordem ou quadráticos, do tipo zeros complexos : [ζ(s/ )( s/ ) ],,,... s s G(s) ζ, s s G(s) ζ, 3 s s G(s) ζ, L

12 9.5 Os factores básicos em j para a costrução de um diagrama de Bode Vamos apresetar aqui os factores básicos para a costrução de um diagrama de Bode de G(j). Estes factores básicos são a verdade derivados dos já vistos acima para G(s). Eles são as mesmas fuções racioais em s da secção aterior, depois de substituir-se s por j. s 0 j j Qualquer G(j) da forma da eq. (9.4) acima pode ser desmembrado em factores básicos e com isso a costrução de um esboço do diagrama de Bode se tora mais simples. FACORES BÁSICOS EM S : O gaho de Bode (K B ) G(j) K B Factores itegrativos [pólos a origem]: (/j),,,... G, (j) j G(j ), ( j) G(j ), L ( j) 3 Factores derivativos [zeros a origem]: (j),,,... G(j) j, G(j) (j), G(j) (j) 3, L Factores de ª ordem do tipo pólos reais : /( j),,,... G(j ), ( j ) G(j ), ( j ) G(j ), L ( j ) 3 Factores de ª ordem do tipo zeros reais : ( j),,,... ) ( j ), G (j) ( j ), G (j ) ( j ) 3 G (j, L

13 3 Factores de ª ordem ou quadráticos, do tipo pólos complexos : /[ζ(j/ )( j/ ) ],,,... ζ j j ) G(j, j j ) G(j ζ, 3 j j ) G(j ζ, L Factores de ª ordem ou quadráticos, do tipo zeros complexos : [ζ (j/ )( j/ ) ],,,... j j ) G(j ζ, j j ) G(j ζ, 3 j j ) G(j ζ, L

14 9.6 Desmembrameto de fuções G(s) em factores básicos Qualquer fução trasferêcia G(s) pode facilmete ser reescrita somete com os factores básicos defiidos acima as duas secções ateriores. Vamos ilustrar isso com um exemplo: Exemplo 9.4: Cosidere agora a fução G(s) vista o exemplo 9. que é dada por (s 30) (s) s(s )(s s ) G Agora, substituido-se (s 30) o umerador por s ( s 30) obtemos a expressão abaixo que já tem um fator básico o umerador: s (s) s(s )(s s ) G Semelhatemete, para o deomiador, uma vez que um dos 3 factores já é um factor básico (itegrativo, pólo a origem), substituido-se os outros dois: e (s s ( s ) s s ) s obtemos a expressão abaixo que já tem três fatores básico o deomiador: G(s) s s s s s 4

15 Fialmete, jutado as costates (do umerador e do deomiador), obtém-se: 30 K B 5 e podemos escrever a expressão abaixo: G(s) s s 5 30 s s s que está iteiramete escrita em termos de factores básicos a forma: G(s) s K B ( 's ) s ( s ) s ζ ode: K B 5 / /30 ζ 0, 707 Exemplo 9.5: Para escrever a fução de trasferêcia G(s) do exemplo aterior a forma de factores básicos em j e etão obtermos G(j) basta substituir o resultado obtido para G(s), s 0 j, ou seja, s j pois esta é a úica difereça etre as duas formas G(s) e G(j). Fazedo isso, obtém-se: 5

16 G(j ) j j j 5 30 ( j) j j 5 j 30 j j 9.7 Diagramas de Bode dos factores básicos Os diagramas de Bode são costruídos para fuções de trasferêcia G(j) e são dois: e diagramas de Bode de módulo diagramas de Bode de fase. Os diagramas de Bode de módulo são gráficos de G(j) em db ( G(j) db ) (com escala logarítmica) equato que os diagramas de Bode de fase são gráficos de G(j) em graus (com escala logarítmica) Sabedo-se os diagramas de Bode dos factores básicos é possível utiliza-los a costrução dos diagramas de Bode de qualquer outra fução de trasferêcia G(j) que desmembrarmos em termos dos factores básicos. 6

17 Uma vez familiarizados com os gráficos dos diagramas de Bode dos factores básicos que apresetamos aqui esta secção, a costrução dos diagramas de Bode das demais fuções de trasferêcia fica facilitada, como veremos os exemplos da próxima secção. Portato, agora vamos mostrar os diagramas de Bode (módulo e fase) para cada um dos factores básicos vistos a secção aterior. O gaho de Bode (K B ) Como G(j) K B é uma costate (ão varia com ), temos que K B em db é dado por: K B db 0 log 0 K B equato que K B é 0 ou 80º,, isto é: ou K B 0º se K B é uma costate positiva, K B 80º se K B é uma costate egativa. Logo, como já dito acima a defiição de diagramas de Bode da fase, o ormal é represetar a fase de K B (i.e., o âgulo K B ) em graus (em vez de radiaos). G(j ) K B 0º, 80º, se K B se K B > 0 < 0 É claro que o âgulo de fase para K B egativo, 80º é o mesmo que 80º que é a verdade é π. No etato, para efeito de diagrama de Bode tem-se a tedêcia de adoptar K B 80º estas situações. Isso se deve ao facto de que, como G(j) tem um úmero de pólos superior (ou o máximo igual) ao úmero de zeros, etão o G(j) irá sempre teder para a parte egativa (para a parte de baixo, abaixo de 0º). O diagrama de Bode (módulo e fase) de G(j) K B está esboçado a figura

18 K B > módulo [db] 0dB 0. 0 K B [rad/s] 0 < K B < fase [graus º] 90º 0º -90º -80º 0. 0 [rad/s] K B > K B < 0 0 Fig. 9.5 Diagrama de Bode (módulo e fase). O gaho de Bode G(j) K B. Note que o diagrama de Bode de módulo acima foi levado em cosideração que: Se K B >, etão G(j ) > db 0 Se K B, etão G(j ) db 0 Se 0<K B <, etão G(j ) db < 0 O efeito que uma variação do gaho K B em um diagramas de Bode com vários factores básicos é que ele faz deslocar a curva de módulo para cima (se K B > 0) ou para baixo (se K B < 0) e ão afecta a curva do âgulo de fase. 8

19 Isto é, aumetado-se o valor de K B fazemos todo o diagrama de Bode de módulo subir equato que dimiuido-se o valor de K B fazemos todo o diagrama de Bode de módulo descer. Por outro lado o diagrama de Bode de fase fica ialterado às variações de K B se K B > 0, ou fica deslocado para baixo de 80º, o caso de K B < 0. Factor Itegral (j) - Para G(j) (j) -, temos que G(j) em db é dado por: G(j ) db 0 log 0 j 0 log 0 [ db] que é a verdade a equação de uma recta com declive 0 db/década pois está represetado a escala logarítmica. Para se ver isto, primeiramete ote que G(j) db itercepta 0 db em, eq. (9.5) um detalhe que facilita para fazermos o seu esboço. Na verdade temos que, olhado-se para algumas décadas cosecutivas, temos que, o diagrama de Bode de módulo de G(j) ( G(j) db ): M M para 0,0 G(j) 40 db para 0, G(j) 0 db para G(j) 0 db para 0 G(j) 0 db para 0 G(j) 40 db M M o que permite se ver claramete que trata-se de uma recta com declive 0 db/década (como pode ser visto a figura 9.6). 9

20 declive: -0dB/década (ou -6dB/oitava) módulo [db] 0dB 0dB -0dB 0. 0 [rad/s] fase [graus º] 0º -90º 0. 0 [rad/s] Fig. 9.6 Diagrama de Bode (módulo e fase). Factor itegral G(j) / j. ambém é costume se olhar para algumas oitavas cosecutivas (em vez de décadas) do diagrama de Bode de módulo de G(j) ( G(j) db ). Isto é: uma oitava correspode à: o dobro /ou a metade, depededo do setido (para direita ou para esquerda / aumetado-se / ou dimiuido-se). M M para 0,5 G(j) 6 db para G(j) 0 db para G(j) 6 db para 4 G(j) db M M que é uma forma alterativa de olhar para esta recta pois o declive de 0 db/década é equivalete a 6 db/oitava. 0

21 Uma oitava correspode à: o dobro /ou a metade, depededo do setido (para direita ou para esquerda; aumetado-se / ou dimiuido-se). Assim como o termo harmóico, que aparecia as séries de Fourier (capítulo 5), vem da música, também este termo oitava vem da música. Correspode à oitava ota, ou seja, a mesma ota mas o harmóico seguite / ou o aterior, pois as otas são apeas sete e depois se repetem, com o dobro / ou com a metade da frequècia. É como o oitavo dia, que é o mesmo dia da semaa, mas a semaa seguite / ou a aterior. Por outro lado, para a fase G(j), temos que: G(j) (/ j) j 90º,. Observe que, como está represetado uma escala logarítmica, etão é sempre positivo ( > 0) e portato j 90º, e logo j 90º. Portato, o diagrama de Bode de fase G(j),, é uma costate igual a 90º: Este diagrama de Bode (módulo e fase) de G(j) / j está esboçado a figura 9.6. O efeito do factor básico G(j) /j em um diagrama de Bode de fase com vários factores básicos é que ele faz deslocar a curva de fase para baixo de 90º. Outros factores itegrativos (j) -, (j) -3,, (j) - Para G(j) (j) -, temos uma situação bastate semelhate aos factores (j) - que vimos acima. O módulo G(j) em db é dado por: G(j ) db 0 log 0 ( j) 0 log 0 log 0 0 j [ db]

22 que é a verdade a equação de uma recta com declive 0 db/década pois está represetado a escala logarítmica (como pode ser visto a figura 9.7). Equivaletemete esta recta tem o declive de 6 db/oitava. Note também que, assim como ates [a eq. (9.5)], G(j) db itercepta 0 db em, eq. (9.6) um detalhe que facilita para fazermos o esboço do diagrama de Bode. Fig. 9.7 Diagrama de Bode (módulo e fase). Factores itegrativos G(j) (/ j). Por outro lado, para a fase G(j), temos que: G(j) (/ j) ( j) 90º,.

23 Portato, o diagrama de Bode de fase G(j),, é uma costate igual a 90º : Este diagrama de Bode (módulo e fase) de G(j) (/ j) figura 9.7. está esboçado a O efeito do factor básico G(j) (/ j) em um diagrama de Bode de fase com vários factores básicos é que ele faz deslocar a curva de fase para baixo de 90º. Factores derivativos j, (j), (j) 3,, (j) Para G(j) (j), temos uma situação um pouco semelhate aos factores (j) - que vimos acima. O módulo G(j) em db é dado por: G(j ) db 0 log 0 ( j) 0 log 0 0 log 0 j [ db] que é a equação de uma recta com declive 0 db/década pois está represetado a escala logarítmica (como pode ser visto a figura 9.8). Equivaletemete esta recta tem o declive de 6 db/oitava. Note também que aqui ovamete, assim como ates [a eq. (9.5) e (9.6)], G(j) db itercepta 0 db em, eq. (9.7) que os facilita para fazermos o esboço do diagrama de Bode de módulo. Por outro lado, para a fase G(j), temos que: G(j) (/ j) ( j) 90º,. 3

24 Portato, o diagrama de Bode de fase G(j),, é uma costate igual a 90º : Este diagrama de Bode (módulo e fase) de G(j) (j) está esboçado a figura 9.8. O efeito do factor básico G(j) (j) em um diagrama de Bode de fase com vários factores básicos é que ele faz deslocar a curva de fase para cima de 90º. Fig. 9.8 Diagrama de Bode (módulo e fase). Factores derivativos G(j) (j). Factor pólo primeira ordem ( j) - Para G(j) / ( j), temos que o módulo G(j) em db é dado por: G(j) db 0 log 0 ( j ) 0 log 0 ( ) 4

25 que vamos dividir em itervalos: << / e >> /, ou seja, para frequêcias baixas e altas. No itervalo, << / (frequêcias baixas), observamos que: ( ) G(j) 0 log ( ) 0 log ( ) 0dB << 0 0 equato que o itervalo, >> / (frequêcias altas), observamos que: e portato: db ( ) ( ) G(j) 0 log ( ) 0 log ( ) >> 0 0 db G(j) db 0, 0 log 0 ( ), << >> Logo, temos aproximações para a curva G(j) db / ( j) db, ambas rectas, às quais chamamos de rectas assímptotas para frequêcias altas e baixas, que podem ser vistas a figura 9.9. A expressão de G(j) db para >> / (frequêcias altas) é de facto uma recta com declive de 0 db/década, (ou 6 db/oitava), pois está represetado a escala logarítmica. Note que: a recta assímptota para frequêcias altas itercepta 0 db em c /, eq. (9.8) em vez de em, como era o caso das rectas das eq. (9.5), eq. (9.6) e eq. (9.7). Este é um detalhe a ter em ateção ao fazermos o esboço do diagrama de Bode de módulo. Na verdade, este poto: 0 db para / é ode as duas rectas assímptotas se iterceptam (como pode ser visto a figura 9.9). 5

26 Por esta razão a frequêcia c é chamada de frequêcia de cato ( corer frequecy), às vezes também chamada de frequêcia de corte (em processameto de siais quado evolvem filtros). 0 0 Fig. 9.9 Diagrama de Bode de módulo. Factor pólo primeira ordem G(j) / ( j). A curva real de G(j) db só coicide com as assímptotas quado << c ou quado >> c, que a prática correspode a < (para frequêcias baixas) e ( 0 ) 0 < (para frequêcias altas) Ou seja, as assímptotas são válidas para uma década ates da frequêcia de cato c / (o caso da assímptota para frequêcias baixas) ou uma década depois da frequêcia de cato c / (o caso da assímptota para frequêcias altas). Na verdade mostra-se facilmete que tato para /0 (uma década abaixo de c ), como também para 0 (uma década acima de c ), a curva de módulo G(j) db apreseta erro desprezível, praticamete ulo: G(j) db 0,04 db 0 db para /(0) ou para 0. Nas proximidades da frequêcia de cato c as assímptotas apeas aproximam da curva real de G(j) db. 6

27 O erro máximo é de 3 db e ocorre exactamete a frequêcia de cato c /, o poto ode as duas assímptotas se ecotram, pois para este valor de, 3 d G(j ) 0 log0 0 log B, para db (como pode ser visto a figura 9.9). Para o âgulo de fase G(j), temos que: 0 c ( j) G(j) / ( j) ( j) arctg () eq. (9.9) Aqui também pode-se pesar os itervalos: << / e frequêcias baixas e altas. >> /, ou seja, para Nas frequêcias baixas, << /, observamos que: << ( ) G(j ) 0º equato que as frequêcias altas, >> /, observamos que: >> j ( ) j ( ) G(j) j ( ) 90º resultados que também poderiam ser facilmete obtidos usado a eq. (9.9) com 0 e, respectivamete, pois e portato: arctg (0) 0º e arctg( ) 90º. G (j) 0, arctg( ), 90º, 00 << < < 00 >> Note que para c /, G(j c ) arctg ( c ) arctg () 45º, logo, a frequêcia de cato ou de corte c / temos: 7

28 a curva do G(j) passa por 45º em /, eq. (9.0) isto é, a metade do itervalo etre 0º e 90º; um detalhe a ter em ateção ao fazermos o esboço do diagrama de Bode de fase. Ou seja diagrama de Bode de fase G(j) tede assimptoticamete para 0º (à esquerda) e para 90º (à direita). Na prática cosideramos que G(j) varia de 0º a 90º equato a frequêcia varia c de até 0 c. 0 isto é, desde uma década ates da frequêcia de cato c / (assímptota para frequêcias baixas) até uma década depois da frequêcia de cato c / (assímptota para frequêcias altas). O diagrama de Bode de fase de G(j) ( j) - está esboçado a figura 9.0. fase [graus º] 0 0 Fig. 9.0 Diagrama de Bode de fase. Factor pólo primeira ordem G(j) / ( j). Factores pólos múltiplos ( j) -, ( j) -3,..., ( j) - Para G(j) / ( j), temos que o módulo G(j) em db é dado por: 8

29 G(j) db 0 log 0 0 log ( j ) 0 ( ) [ db] e dividido em itervalos: << / e >> /, ou seja, para frequêcias baixas e altas, observamos que: G(j) db 0, 0 log 0 ( ), << >> que pode ser vista a figura 9.. Portato, temos ovamete aproximações para a curva G(j) db / ( j) db, por duas rectas assímptotas em frequêcias baixas e altas (esta última com declive de 0 db/década ou 6 db/oitava). Note que, aqui também tem-se a frequêcia de cato ou de corte ( corer frequecy), c /, e assim como a secção aterior, eq. (9.8), aqui também: a recta assímptota para frequêcias altas itercepta 0 db em c /, eq. (9.) um detalhe a ter em ateção ao fazermos o esboço do diagrama de Bode de módulo. 0 0 Fig. 9. Diagrama de Bode de módulo. Factores pólos múltiplos G(j) / ( j),, 3, 9

30 Novamete, a curva real de G(j) db só coicide com as assímptotas quado << c ou quado >> c, que a prática correspode a < (para frequêcias baixas) e ( 0 ) 0 < (para frequêcias altas) Ou seja, as assímptotas são válidas para uma década ates da frequêcia de cato c / (o caso da assímptota para frequêcias baixas) ou uma década depois da frequêcia de cato c / (o caso da assímptota para frequêcias altas). Nas proximidades da frequêcia de cato c as assímptotas apeas aproximam da curva real de G(j) db. O erro máximo agora é de 3 db e ocorre exactamete a frequêcia de cato c /, o poto ode as duas assímptotas se ecotram, pois para este valor de, G(j ) 0 log0 0 log 3 db, para db (como pode ser visto a figura 9.). Para o âgulo de fase G(j), temos que: 0 c ( j) G(j) / ( j) ( j) Nas frequêcias baixas, << /, observamos que: arctg () eq. (9.) G(j) 0º equato que as frequêcias altas, >> /, observamos que: G (j) 90º resultados que também poderiam ser facilmete obtidos usado a eq. (9.) com 0 e, respectivamete, pois e portato: arctg (0) 0º e arctg ( ) 90º, 30

31 G (j) 0, arctg( ), 90º, 00 << < < 00 >> Note que para c /, G(j c ) arctg ( c ) arctg () 45º, logo, a frequêcia de cato ou de corte c / temos: a curva do G(j) passa por 45º em c /, eq. (9.3) isto é, a metade do itervalo etre 0º e 90º ; um detalhe a ter em ateção ao fazermos o esboço do diagrama de Bode de fase. Ou seja, o diagrama de Bode de fase G(j) tede assimptoticamete para 0º (à esquerda) e para 90º (à direita). Na prática cosideramos que G(j) varia de 0º a 90º equato a frequêcia varia c de até 0 c. 0 isto é, desde uma década ates da frequêcia de cato c / (assímptota para frequêcias baixas) até uma década depois da frequêcia de cato c / (assímptota para frequêcias altas). O diagrama de Bode de fase de G(j) ( j) - está esboçado a figura Fig. 9. Diagrama de Bode de fase. Factores pólos múltiplos G(j) / ( j),, 3, 3

32 Factores zeros simples e múltiplos ( j), ( j),..., ( j) Para G(j) ( j),,,, a situação é aáloga aos casos de pólos simples e múltiplos as duas secções ateriores. emos que o módulo G(j) em db é dado por: G(j) 0 log ( j ) db 0 0 log 0 ( ) e dividido em itervalos: << / e >> /, ou seja, para frequêcias baixas e altas, observamos que: G(j) db 0, 0 log 0 ( ), << >> que pode ser vista a figura Fig. 9.3 Diagrama de Bode de módulo. Factores zeros simples e múltiplos G(j) ( j),,, 3

33 Note que, aqui também tem-se a frequêcia de cato ou de corte ( corer frequecy), c /, e assim como as secções ateriores, eq. (9.8) e eq. (9.), aqui também: a recta assímptota para frequêcias altas itercepta 0 db em c /, eq. (9.4) um detalhe a ter em ateção ao fazermos o esboço do diagrama de Bode de módulo. Novamete, para a curva real de G(j) db, as assímptotas são válidas para uma década ates da frequêcia de cato c / (o caso da assímptota para frequêcias baixas) ou uma década depois da frequêcia de cato c / (o caso da assímptota para frequêcias altas). Nas proximidades da frequêcia de cato c as assímptotas apeas aproximam da curva real de G(j) db apresetado um erro máximo de 3 db que ocorre exactamete a frequêcia de cato c /, o poto ode as duas assímptotas se ecotram. Para o âgulo de fase G(j), temos que: G(j) ( j) arctg () e portato: G (j) 0, arctg( ), 90º, 00 << < < 00 >> Note que para c /, a frequêcia de cato ou de corte, temos que: a curva do G(j) passa por 45º em c /, eq. (9.5) isto é, a metade do itervalo etre 0º e 90º ; um detalhe a ter em ateção ao fazermos o esboço do diagrama de Bode de fase. Na prática cosideramos que G(j) varia de 0º a 90º equato a frequêcia varia c de até 0 c. 0 33

34 isto é, desde uma década ates da frequêcia de cato c / (assímptota para frequêcias baixas) até uma década depois da frequêcia de cato c / (assímptota para frequêcias altas). O diagrama de Bode de fase de G(j) ( j) - está esboçado a figura 9.4. fase [graus º] 0 0 Fig. 9.4 Diagrama de Bode de fase. Factores zeros simples e múltiplos G(j) ( j),,, Factores pólos quadráticos [ ζ(j/ ) (j/ ) ] -,,,, 0 ζ. Note que a fução de trasferêcia G(j) G (j) j ζ tem um par de pólos que serão: j 34 j ζ a) pólos complexos se 0 ζ < b) pólos duplos se ζ c) pólos reais e distitos se ζ > Os factores quadráticos que tratamos esta secção fazem parte dos casos (a) e (b) acima, isto é 0 ζ, pois o caso (c), pólos reais e distitos ( ζ > ), já estão cobertos os factores básicos ateriores.

35 35 Na verdade, mesmo o caso (b), quado temos a situação limite de ζ, etão j j ) G(j que correspode a pólos duplos e iguais a / j, um caso que também já está abragido os factores básicos ateriores. Portato as técicas que serão apresetadas esta secção para 0 ζ vão coicidir com outras já apresetadas ateriormete o caso particular de ζ. Para G(j) [ ζ(j/ ) (j/ ) ] -,,,, temos que o módulo G(j) em db é dado por: 0 0 db j log 0 j j 0 log ) G(j ζ ζ e dividido em itervalos: << e >>, ou seja, para frequêcias baixas e altas, observamos que: ( ) >> < < ζ << 0 0 db, log , j log 0 0, ) G(j Note que, assim como as secções ateriores tiha c em eq. (9.8), eq. (9.) e eq. (9.4), aqui também tem-se uma frequêcia que é chamada de frequêcia atural do sistema, que separa as frequêcias altas e baixas e a recta assímptota para frequêcias altas itercepta 0 db em, eq. (9.6) um detalhe a ter em ateção ao fazermos o esboço do diagrama de Bode de módulo.

36 0 Fig. 9.5 Diagrama de Bode de módulo. Factores pólos quadráticos G(j) [ ζ(j/ ) (j/ ) ] -, ζ,. Nas proximidades da frequêcia atura as assímptotas apeas aproximam da curva real de G(j) db apresetado um erro máximo de 6 db que ocorre exactamete a frequêcia de cato, o poto ode as duas assímptotas se ecotram. A curva G(j) db para o caso particular que falamos acima, ζ, está represetado a figura 9.5. A medida que o valor de ζ dimiui, ζ < as curvas de G(j ) vão ficado mais altas db e vão criado picos (a partir de ζ < / 0, 707) que vão se torado cada vez mais altos a medida que ζ 0. Estas curvas de G(j ) estão ilustradas a figura 9.6 para o caso geral de 0 ζ. db Estes picos ocorrem as frequêcias r chamadas r frequêcia de ressoâcia que assume valores r ζ, para 0 ζ Note que para ζ 0, r. A medida que ζ aumeta a frequêcia de ressoâcia r dimiui ligeiramete até que, quado 36

37 ζ 0,707 etão a frequêcia de ressoâcia r /. módulo [db] 4 db 8dB 5dB 0dB 0 ζ0. ζ0. ζ0.3 ζ0.5 ζ0.6 ζ0.707 ζ0.8 ζ 0 [rad/s] -40 db Fig. 9.6 Diagrama de Bode de módulo. Factores pólos quadráticos G(j) [ ζ(j/ ) (j/ ) ] -,,, Por outro lado, estes picos atigem valores M r que tem os valores M r pico de ressoâcia Mr, para 0 ζ ζ ζ Note que para 0,707 ζ ão há pico de ressoâcia. Em particular, se ζ 0,707, etão M r 0 db (também ão há pico de ressoâcia). 37

38 A medida que ζ dimiui, o pico de ressoâcia M r aumeta. Por exemplo, quado ζ 0,5 Mr,55,5dB, quado ζ 0,5 Mr,33 6,6dB, quado ζ 0, Mr 5,05 4dB, quado ζ 0,05 Mr 0,0 0dB. A figura 9.6 ilustra estes picos de ressoâcia. Para o âgulo de fase G(j), temos que: G(j ) j ζ j ζ arctg 0º 0 ζ0. ζ0.5 ζ 0 [rad/s] -90º -80º Fig. 9.7 Diagrama de Bode de fase. Factores pólos quadráticos simples e múltiplos G(j) ( j),,, Portato: 0º, 0 G(j) 90º, 80º, coforme esboçado a figura

39 Na prática cosideramos que G(j) varia de 0º a 80º equato a frequêcia varia de até 0. 0 isto é, desde uma década ates da frequêcia de atural (assímptota para frequêcias baixas) até uma década depois da frequêcia de atural (assímptota para frequêcias altas). O diagrama de Bode de fase de G(j) se tora mais ígreme (com declive mais acetuado) a medida que ζ 0 e isto está ilustrado a figura 9.7. Factores zeros quadráticos [ ζ(j/ ) (j/ ) ],,, Os factores zeros quadráticos que têm a fução de trasferêcia G(j) G(j ) j ζ j são em tudo aálogo aos factores pólos quadráticos que vimos acima. Ou seja, curva de módulo e fase para os factores zeros quadráticos podem ser obtidas ivertedo-se o sial das curvas de módulo e fase dos factores pólos quadráticos As pricipais difereças são que os picos de ressoâcia são para baixo em vez de para cima e as curvas de fase vão de 0º a 80º em vez de 0º a 80º. 9.8 Factores básicos com siais egativos No caso de factores básicos com siais egativos do tipo ou G(s), G(s) G(s) ( s ), G(s) ( s ), L ( s ) 3 ( s ), G(s) ( s ), G(s) ( s ) 3, L é fácil mostrar que o diagrama de Bode de módulo é idêtico ao factor básico correspodete com sial, etretato para a costrução do diagrama de Bode de fase é ecessário um cuidado maior a aálise. 39

40 Nos próximos exemplos ilustramos como fazer estas situações. Exemplo 9.6: G(j) (s ) (s 00) (s ) 00 s 00 Note que este caso K B /00 40 db e G(j) tem mais dois factores básicos: (s ) e Além disso, a fase de G(j) é dada por s 00 G(j ) ( j) ( j/00) Fig. 9.8 Diagrama de Bode de módulo e fase do Exemplo

41 Exemplo 9.7: G (j) (s ) (s 00) (s ) 00 s 00 Note que este caso K B /00 40 db ovamete e G(j) tem aida mais dois factores básicos: (s ) e s 00 Logo, o diagrama de Bode de módulo é igual ao do exemplo aterior (Exemplo 9.6). Além disso, a fase de G(j) é dada por G(j) ( j) ( j/00) 80º ( j) ( j/00) Fig. 9.9 Diagrama de Bode de módulo e fase do Exemplo

42 Exemplo 9.8: G (j) (s ) (s 00) (s ) 00 s 00 Note que este caso K B /00 40 db ovamete e G(j) tem aida mais dois factores básicos: (s ) e s 00 Logo, o diagrama de Bode de módulo é igual aos exemplos ateriores (Exemplos 9.6 e 9.7). Além disso, a fase de G(j) é dada por G(j) ( j) ( j/00) ( j) 80º ( j/00) 0db dB 0º -90º º Fig. 9.0 Diagrama de Bode de módulo e fase do Exemplo

43 Exemplo 9.9: G (j) (s ) (s 00) (s ) 00 s 00 Note que este caso K B /00 40 db ovamete e G(j) tem aida mais os factores básicos: (s ) e s 00 Logo, o diagrama de Bode de módulo é igual aos 3 exemplos ateriores (Exemplos 9.6, 9.7 e 9.8). Além disso, a fase de G(j) é dada por G(j) ( j) ( j/00) 80º ( j) 80º ( j/00) ( j) ( j/00) Fig. 9. Diagrama de Bode de módulo e fase do Exemplo

44 Exemplo 9.0: G (j) 00 (s ) (s 00) s 00 ( s ) Note que este caso K B 0 db e G(j) tem aida mais dois factores básicos: (s ) e s 00 Além disso, a fase de G(j) é dada por G(j) ( j) ( j/00) Fig. 9. Diagrama de Bode de módulo e fase do Exemplo

45 Exemplo 9.: G (j) 00 (s )(s 00) s 00 ( s ) Note que este caso K B 0 db ovamete e G(j) tem aida mais dois factores básicos: (s ) e s 00 Logo, o diagrama de Bode de módulo é igual ao exemplo aterior (Exemplo 9.0). Além disso, a fase de G(j) é dada por G(j) ( j) ( j/00) ( j) 80º ( j/00) Fig. 9.3 Diagrama de Bode de módulo e fase do Exemplo

46 Exemplo 9.: G (j) 00 (s )(s 00) s 00 ( s ) Note que este caso K B 0 db ovamete e G(j) tem aida mais dois factores básicos: (s ) e s 00 Logo, o diagrama de Bode de módulo é igual aos dois exemplos ateriores (Exemplos 9.0 e 9.). Além disso, a fase de G(j) é dada por G(j) ( j) ( j/00) 80º ( j) ( j/00) Fig. 9.4 Diagrama de Bode de módulo e fase do Exemplo

47 Exemplo 9.3: G (j) 00 (s ) (s 00) s 00 ( s ) Note que este caso K B 0 db ovamete e G(j) tem aida mais dois factores básicos: (s ) e s 00 Logo, o diagrama de Bode de módulo é igual aos três exemplos ateriores (Exemplos 9.0, 9. e 9.). Além disso, a fase de G(j) é dada por G(j) ( j) ( j/00) 80º ( j) 80º ( j/00) ( j) ( j/00) Fig. 9.5 Diagrama de Bode de módulo e fase do Exemplo

48 9.9 Exemplos adicioais de costrução de diagramas de Bode (módulo e fase) Nesta secção apresetamos vários exemplos de diagramas de Bode (módulo e fase) que foram esboçados usado quase sempre o auxílio dos factores básicos apresetados aqui. Exemplo 9.4: G(j) 000 (s 4) s(s 00)(s 5s 400) 0, s 4 s 5 s s s Fig. 9.6 Diagrama de Bode de módulo e fase do Exemplo

49 Exemplo 9.5: 0, s 000 (s 4) 4 G(j) s(s 00)(s 5s 400) s 5 s s s O diagrama de Bode de módulo é igual ao do exemplo aterior (Exemplo 9.4). O diagrama de Bode de fase está esboçado a figura ,5 80º 90º 0º -90º -80º -70º Fig. 9.7 Diagrama de Bode de fase do Exemplo 9.5. Exemplo 9.6: (j) 000 (s 4) s(s 00) (s 5s 400) 0, s 4 s 5 s s s G O diagrama de Bode de módulo é igual aos dos exemplos ateriores (Exemplos 9.4 e 9.5). O diagrama de Bode de fase está esboçado a figura

50 Fig. 9.8 Diagrama de Bode de fase do Exemplo 9.6. Exemplo 9.7: 0, s 000 (s 4) 4 G(j) s(s 00)(s 5s 400) s 5 s s s O diagrama de Bode de módulo é igual aos dos três exemplos ateriores (Exemplos 9.4, 9.5 e 9.6). O diagrama de Bode de fase está esboçado a figura 9.9. Fig. 9.9 Diagrama de Bode de fase do Exemplo

51 Exemplo 9.8: 0, s 000 (s 4) 4 G(j) s(s 00) (s 5s 400) s 5 s s s O diagrama de Bode de módulo é igual aos dos quatro exemplos ateriores (Exemplos 9.4, 9.5, 9.6 e 9.7). O diagrama de Bode de fase está esboçado a figura Fig Diagrama de Bode de fase do Exemplo 9.8. Exemplo 9.9: G(j) Note que 6 0 (s 0,) s(s 0 )(s 0 s 0 4 ) s s 0 ( 0 s ) s s K B 0 db 00 ζ0, 5 r ζ 70,7 Mr,55 ζ 0,897dB 0 (zero) (pólo) 0 5

52 80dB K B 0 db 00 0,5 M r.55 0,9 db r 70,7 60dB -0dB/dec 40dB 0dB/dec 0dB dB -0dB/dec -40dB -60dB -80dB -60dB/dec -00dB 0º -90º º -70º Fig. 9.3 Diagrama de Bode de fase do Exemplo 9.9. Exemplo 9.0: Note que ( 0 s ) 0 (s 0, ) 0, G(j ) s(s 0 ) (s s ) s ( 0, s ) ( s s ) K B 0, 0 db ζ0, 5 r ζ 0,707 Mr,55 ζ 0,897 db 0 (zero) (pólo) 0 5

53 80dB 60dB K B -0 db 0,5 M r.55 0,9 db r 0,707 40dB 0dB -0dB/dec 0dB/dec dB dB/dec dB -60dB -80dB -00dB -60dB/dec 0º -90º º -70º Fig. 9.3 Diagrama de Bode de fase do Exemplo 9.0. Exemplo 9.: 80 s G(j) s(s 0 ) (s s ) s s s 0 ( s ) s Note que K B 0 db, 44 ζ 0,

54 r ζ,4 Mr,069 0,58 db ζ (zero da F..) (pólo da F..) 0 80dB 60dB K B 0 db,4 0,354 M r.07 0,58 db r,4 40dB 0dB 9.8dB 0.7dB 0 db dB -40dB -0dB/dec -9.5dB -40dB/dec -60dB -80dB -00dB -60dB/dec 0º º -80º -70º º -8º -º 0-50º º Fig Diagrama de Bode de fase do Exemplo

CONTROLO. 1º semestre 2007/2008. Transparências de apoio às aulas teóricas. Capítulo 10 Diagrama de Bode e Relação Tempo-Frequência

CONTROLO. 1º semestre 2007/2008. Transparências de apoio às aulas teóricas. Capítulo 10 Diagrama de Bode e Relação Tempo-Frequência Mestrado Itegrado em Egeharia Electrotécica e de Computadores (LEEC Departameto de Egeharia Electrotécica e de Computadores (DEEC CONTROLO º semestre 007/008 Trasparêcias de apoio às aulas teóricas Capítulo

Leia mais

Séries de Potências AULA LIVRO

Séries de Potências AULA LIVRO LIVRO Séries de Potêcias META Apresetar os coceitos e as pricipais propriedades de Séries de Potêcias. Além disso, itroduziremos as primeiras maeiras de escrever uma fução dada como uma série de potêcias.

Leia mais

somente um valor da variável y para cada valor de variável x.

somente um valor da variável y para cada valor de variável x. Notas de Aula: Revisão de fuções e geometria aalítica REVISÃO DE FUNÇÕES Fução como regra ou correspodêcia Defiição : Uma fução f é uma regra ou uma correspodêcia que faz associar um e somete um valor

Leia mais

O poço de potencial infinito

O poço de potencial infinito O poço de potecial ifiito A U L A 14 Meta da aula Aplicar o formalismo quâtico ao caso de um potecial V(x) que tem a forma de um poço ifiito: o potecial é ifiito para x < a/ e para x > a/, e tem o valor

Leia mais

5 Análise de sistemas no domínio da frequência. 5.1 Resposta em regime estacionário a uma onda sinusoidal

5 Análise de sistemas no domínio da frequência. 5.1 Resposta em regime estacionário a uma onda sinusoidal 5 Aálise de sistemas o domíio da frequêcia O termo resposta a frequêcia utiliza-se para desigar a resposta de um sistema, em regime estacioário, a uma oda siusoidal. Esta resposta, para o caso de um sistema

Leia mais

Secção 9. Equações de derivadas parciais

Secção 9. Equações de derivadas parciais Secção 9 Equações de derivadas parciais (Farlow: Sec 9 a 96) Equação de Derivadas Parciais Eis chegado o mometo de abordar as equações difereciais que evolvem mais do que uma variável idepedete e, cosequetemete,

Leia mais

MATEMÁTICA APLICADA À GESTÃO I

MATEMÁTICA APLICADA À GESTÃO I 00 MATEMÁTICA APLICADA À GESTÃO I TEXTO DE APOIO MARIA ALICE FILIPE ÍNDICE NOTAS PRÉVIAS ALGUNS CONCEITOS SOBRE SÉRIES6 NOTAS PRÉVIAS As otas seguites referem-se ao maual adoptado: Cálculo, Vol I James

Leia mais

O oscilador harmônico

O oscilador harmônico O oscilador harmôico A U L A 5 Meta da aula Aplicar o formalismo quâtico ao caso de um potecial de um oscilador harmôico simples, V( x) kx. objetivos obter a solução da equação de Schrödiger para um oscilador

Leia mais

INTRODUÇÃO A TEORIA DE CONJUNTOS

INTRODUÇÃO A TEORIA DE CONJUNTOS INTRODUÇÃO TEORI DE CONJUNTOS Professora Laura guiar Cojuto dmitiremos que um cojuto seja uma coleção de ojetos chamados elemetos e que cada elemeto é um dos compoetes do cojuto. Geralmete, para dar ome

Leia mais

ANDRÉ REIS MATEMÁTICA. 1ª Edição NOV 2013

ANDRÉ REIS MATEMÁTICA. 1ª Edição NOV 2013 ANDRÉ REIS MATEMÁTICA TEORIA 6 QUESTÕES DE PROVAS DE CONCURSOS GABARITADAS EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Teoria e Seleção das Questões: Prof. Adré Reis Orgaização e Diagramação: Mariae dos Reis ª Edição NOV 0

Leia mais

Capitulo 6 Resolução de Exercícios

Capitulo 6 Resolução de Exercícios FORMULÁRIO Cojutos Equivaletes o Regime de Juros Simples./Vecimeto Comum. Descoto Racioal ou Por Detro C1 C2 Cm C1 C2 C...... 1 i 1 i 1 i 1 i 1 i 1 i 1 2 m 1 2 m C Ck 1 i 1 i k1 Descoto Por Fora ou Comercial

Leia mais

A seguir, uma demonstração do livro. Para adquirir a versão completa em papel, acesse: www.pagina10.com.br

A seguir, uma demonstração do livro. Para adquirir a versão completa em papel, acesse: www.pagina10.com.br A seguir, uma demostração do livro. Para adquirir a versão completa em papel, acesse: www.pagia10.com.br Matemática comercial & fiaceira - 2 4 Juros Compostos Iiciamos o capítulo discorredo sobre como

Leia mais

Motivação e Definição..1. Factores Básicos...3. Constante...3. Factor derivativo e Integral...4. Factores Básicos...12

Motivação e Definição..1. Factores Básicos...3. Constante...3. Factor derivativo e Integral...4. Factores Básicos...12 ÍNDICE Motivação e Defiição.. Diagramas de Bode... Factores Básicos...3 Costate...3 Factor derivativo e Itegral...4 Factores de ª ordem...5 Factores de ª ordem...7 Sistemas de Fase míima e Não-Míima...

Leia mais

Aula 07 Análise no domínio do tempo Parte II Sistemas de 2ª ordem

Aula 07 Análise no domínio do tempo Parte II Sistemas de 2ª ordem Aula 07 Aálise o domíio do tempo Parte II Sistemas de ª ordem Aálise o domíio do tempo - Sistemas de ª ordem iput S output Sistema de seguda ordem do tipo α G(s) as + bs + c Aálise o domíio do tempo -

Leia mais

Curso MIX. Matemática Financeira. Juros compostos com testes resolvidos. 1.1 Conceito. 1.2 Período de Capitalização

Curso MIX. Matemática Financeira. Juros compostos com testes resolvidos. 1.1 Conceito. 1.2 Período de Capitalização Curso MI Matemática Fiaceira Professor: Pacífico Referêcia: 07//00 Juros compostos com testes resolvidos. Coceito Como vimos, o regime de capitalização composta o juro de cada período é calculado tomado

Leia mais

Análise no domínio dos tempos de sistemas representados no Espaço dos Estados

Análise no domínio dos tempos de sistemas representados no Espaço dos Estados MEEC Mestrado em Egeharia Electrotécica e de Computadores MCSDI Guião do trabalho laboratorial º 3 Aálise o domíio dos tempos de sistemas represetados o Espaço dos Estados Aálise o domíio dos tempos de

Leia mais

5 Transformadas de Laplace

5 Transformadas de Laplace 5 Transformadas de Laplace 5.1 Introdução às Transformadas de Laplace 4 5.2 Transformadas de Laplace definição 5 5.2 Transformadas de Laplace de sinais conhecidos 6 Sinal exponencial 6 Exemplo 5.1 7 Sinal

Leia mais

Faculdade Campo Limpo Paulista Mestrado em Ciência da Computação Complexidade de Algoritmos Avaliação 2

Faculdade Campo Limpo Paulista Mestrado em Ciência da Computação Complexidade de Algoritmos Avaliação 2 Faculdade Campo Limpo Paulista Mestrado em Ciêcia da Computação Complexidade de Algoritmos Avaliação 2. (2,0): Resolva a seguite relação de recorrêcia. T() = T( ) + 3 T() = 3 Pelo método iterativo progressivo.

Leia mais

Introdução ao Estudo de Sistemas Lineares

Introdução ao Estudo de Sistemas Lineares Itrodução ao Estudo de Sistemas Lieares 1. efiições. 1.1 Equação liear é toda seteça aberta, as icógitas x 1, x 2, x 3,..., x, do tipo a1 x1 a2 x2 a3 x3... a x b, em que a 1, a 2, a 3,..., a são os coeficietes

Leia mais

Exercícios de Matemática Polinômios

Exercícios de Matemática Polinômios Exercícios de Matemática Poliômios ) (ITA-977) Se P(x) é um poliômio do 5º grau que satisfaz as codições = P() = P() = P(3) = P(4) = P(5) e P(6) = 0, etão temos: a) P(0) = 4 b) P(0) = 3 c) P(0) = 9 d)

Leia mais

Unidade V - Desempenho de Sistemas de Controle com Retroação

Unidade V - Desempenho de Sistemas de Controle com Retroação Uidade V - Desempeho de Sistemas de Cotrole com Retroação Itrodução; Siais de etrada para Teste; Desempeho de um Sistemas de Seguda Ordem; Efeitos de um Terceiro Pólo e de um Zero a Resposta Sistemas de

Leia mais

Neste capítulo, pretendemos ajustar retas ou polinômios a um conjunto de pontos experimentais.

Neste capítulo, pretendemos ajustar retas ou polinômios a um conjunto de pontos experimentais. 03 Capítulo 3 Regressão liear e poliomial Neste capítulo, pretedemos ajustar retas ou poliômios a um cojuto de potos experimetais. Regressão liear A tabela a seguir relacioa a desidade (g/cm 3 ) do sódio

Leia mais

Prova 3 Matemática ... GABARITO 1 NOME DO CANDIDATO:

Prova 3 Matemática ... GABARITO 1 NOME DO CANDIDATO: Prova 3 QUESTÕES OBJETIIVAS N ọ DE ORDEM: NOME DO CANDIDATO: N ọ DE INSCRIÇÃO: IINSTRUÇÕES PARA A REALIIZAÇÃO DA PROVA. Cofira os campos N ọ DE ORDEM, N ọ DE INSCRIÇÃO e NOME, que costam da etiqueta fixada

Leia mais

CONCURSO PÚBLICO 2013 MATEMÁTICA PARA TODOS OS CARGOS DA CLASSE "D" TEORIA E 146 QUESTÕES POR TÓPICOS. 1ª Edição JUN 2013

CONCURSO PÚBLICO 2013 MATEMÁTICA PARA TODOS OS CARGOS DA CLASSE D TEORIA E 146 QUESTÕES POR TÓPICOS. 1ª Edição JUN 2013 CONCURSO PÚBLICO 01 FUNDAÇÃO UNIVERSIDADE FEDERAL DE MATO GROSSO DO SUL UFMS MATEMÁTICA PARA TODOS OS CARGOS DA CLASSE "D" TEORIA E 16 QUESTÕES POR TÓPICOS Coordeação e Orgaização: Mariae dos Reis 1ª Edição

Leia mais

INTRODUÇÃO. Exemplos. Comparar três lojas quanto ao volume médio de vendas. ...

INTRODUÇÃO. Exemplos. Comparar três lojas quanto ao volume médio de vendas. ... INTRODUÇÃO Exemplos Para curar uma certa doeça existem quatro tratametos possíveis: A, B, C e D. Pretede-se saber se existem difereças sigificativas os tratametos o que diz respeito ao tempo ecessário

Leia mais

CAP. I ERROS EM CÁLCULO NUMÉRICO

CAP. I ERROS EM CÁLCULO NUMÉRICO CAP I ERROS EM CÁLCULO NUMÉRICO 0 Itrodução Por método umérico etede-se um método para calcular a solução de um problema realizado apeas uma sequêcia fiita de operações aritméticas A obteção de uma solução

Leia mais

APONTAMENTOS DE ÁLGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALÍTICA

APONTAMENTOS DE ÁLGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALÍTICA UNIVERSIDADE DO ALGARVE ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA APONTAMENTOS DE ÁLGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALÍTICA (III ) ÁREA DEPARTAMENTAL DE ENGENHARIA CIVIL Ídice Itrodução Aplicação do cálculo matricial aos

Leia mais

Módulo 4 Matemática Financeira

Módulo 4 Matemática Financeira Módulo 4 Matemática Fiaceira I Coceitos Iiciais 1 Juros Juro é a remueração ou aluguel por um capital aplicado ou emprestado, o valor é obtido pela difereça etre dois pagametos, um em cada tempo, de modo

Leia mais

Disciplina: Séries e Equações Diferenciais Ordinárias Prof Dr Marivaldo P Matos Curso de Matemática UFPBVIRTUAL matos@mat.ufpb.br

Disciplina: Séries e Equações Diferenciais Ordinárias Prof Dr Marivaldo P Matos Curso de Matemática UFPBVIRTUAL matos@mat.ufpb.br Disciplia: Séries e Equações Difereciais Ordiárias Prof Dr Marivaldo P Matos Curso de Matemática UFPBVIRTUAL matos@mat.ufpb.br Ambiete Virtual de Apredizagem: Moodle (www.ead.ufpb.br) Site do Curso: www.mat.ufpb.br/ead

Leia mais

Faculdade de Engenharia Investigação Operacional. Prof. Doutor Engº Jorge Nhambiu

Faculdade de Engenharia Investigação Operacional. Prof. Doutor Engº Jorge Nhambiu Programação Diâmica Aula 3: Programação Diâmica Programação Diâmica Determiística; e Programação Diâmica Probabilística. Programação Diâmica O que é a Programação Diâmica? A Programação Diâmica é uma técica

Leia mais

5- CÁLCULO APROXIMADO DE INTEGRAIS 5.1- INTEGRAÇÃO NUMÉRICA

5- CÁLCULO APROXIMADO DE INTEGRAIS 5.1- INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 5- CÁLCULO APROXIMADO DE INTEGRAIS 5.- INTEGRAÇÃO NUMÉRICA Itegrar umericamete uma fução y f() um dado itervalo [a, b] é itegrar um poliômio P () que aproime f() o dado itervalo. Em particular, se y f()

Leia mais

Capitulo 9 Resolução de Exercícios

Capitulo 9 Resolução de Exercícios FORMULÁRIO Empréstimos a Curto Prazo (Juros Simples) Taxa efetiva liear i l i ; Taxa efetiva expoecial i Empréstimos a Logo Prazo Relações Básicas C k R k i k ; Sk i Sk i e i ; Sk Sk Rk ; Sk i Sk R k ;

Leia mais

O erro da pesquisa é de 3% - o que significa isto? A Matemática das pesquisas eleitorais

O erro da pesquisa é de 3% - o que significa isto? A Matemática das pesquisas eleitorais José Paulo Careiro & Moacyr Alvim O erro da pesquisa é de 3% - o que sigifica isto? A Matemática das pesquisas eleitorais José Paulo Careiro & Moacyr Alvim Itrodução Sempre que se aproxima uma eleição,

Leia mais

Até que tamanho podemos brincar de esconde-esconde?

Até que tamanho podemos brincar de esconde-esconde? Até que tamaho podemos bricar de escode-escode? Carlos Shie Sejam K e L dois subcojutos covexos e compactos de R. Supoha que K sempre cosiga se escoder atrás de L. Em termos mais precisos, para todo vetor

Leia mais

Testes de Hipóteses para a Diferença Entre Duas Médias Populacionais

Testes de Hipóteses para a Diferença Entre Duas Médias Populacionais Estatística II Atoio Roque Aula Testes de Hipóteses para a Difereça Etre Duas Médias Populacioais Vamos cosiderar o seguite problema: Um pesquisador está estudado o efeito da deficiêcia de vitamia E sobre

Leia mais

Projetos de Controle

Projetos de Controle Projetos de Cotrole EA7 - Prof. Vo Zube Cotrole do Pêdulo Ivertido com Carro.... Modelo matemático (pg. 7 das Notas de Aula).... Cotrole por realimetação de estados supodo acesso a todos os estados (CASO

Leia mais

Aula 06 Transformadas z

Aula 06 Transformadas z Aula 06 Trasformadas Trasformadas Na aálise de sistemas cotíuos por vees é mais vatajoso o uso da frequêcia complexa s. No caso de sistemas discretos, uma ferrameta bastate comum usada para passar um sial

Leia mais

Analise de Investimentos e Custos Prof. Adilson C. Bassan email: adilsonbassan@adilsonbassan.com

Analise de Investimentos e Custos Prof. Adilson C. Bassan email: adilsonbassan@adilsonbassan.com Aalise de Ivestimetos e Custos Prof. Adilso C. Bassa email: adilsobassa@adilsobassa.com JUROS SIMPLES 1 Juro e Cosumo Existe juro porque os recursos são escassos. As pessoas têm preferêcia temporal: preferem

Leia mais

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS LINEARES DE ORDEM N

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS LINEARES DE ORDEM N EQUAÇÕES DIFERENCIAIS LINEARES DE ORDEM N Estudaremos este capítulo as equações diereciais lieares de ordem, que são de suma importâcia como suporte matemático para vários ramos da egeharia e das ciêcias.

Leia mais

Definição 1.1: Uma equação diferencial ordinária é uma. y ) = 0, envolvendo uma função incógnita y = y( x) e algumas das suas derivadas em ordem a x.

Definição 1.1: Uma equação diferencial ordinária é uma. y ) = 0, envolvendo uma função incógnita y = y( x) e algumas das suas derivadas em ordem a x. 4. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 4.: Defiição e coceitos básicos Defiição.: Uma equação diferecial ordiária é uma dy d y equação da forma f,,,, y = 0 ou d d ( ) f (, y, y,, y ) = 0, evolvedo uma fução icógita

Leia mais

onde d, u, v são inteiros não nulos, com u v, mdc(u, v) = 1 e u e v de paridades distintas.

onde d, u, v são inteiros não nulos, com u v, mdc(u, v) = 1 e u e v de paridades distintas. !"$# &%$" ')( * +-,$. /-0 3$4 5 6$7 8:9)$;$< =8:< > Deomiaremos equação diofatia (em homeagem ao matemático grego Diofato de Aleadria) uma equação em úmeros iteiros. Nosso objetivo será estudar dois tipos

Leia mais

Tabela Price - verdades que incomodam Por Edson Rovina

Tabela Price - verdades que incomodam Por Edson Rovina Tabela Price - verdades que icomodam Por Edso Rovia matemático Mestrado em programação matemática pela UFPR (métodos uméricos de egeharia) Este texto aborda os seguites aspectos: A capitalização dos juros

Leia mais

Aula 2 - POT - Teoria dos Números - Fabio E. Brochero Martinez Carlos Gustavo T. de A. Moreira Nicolau C. Saldanha Eduardo Tengan

Aula 2 - POT - Teoria dos Números - Fabio E. Brochero Martinez Carlos Gustavo T. de A. Moreira Nicolau C. Saldanha Eduardo Tengan Aula - POT - Teoria dos Números - Nível III - Pricípios Fabio E. Brochero Martiez Carlos Gustavo T. de A. Moreira Nicolau C. Saldaha Eduardo Tega de Julho de 01 Pricípios Nesta aula apresetaremos algus

Leia mais

FACULDADE DE ADMINISTRAÇÃO E NEGÓCIOS DE SERGIPE

FACULDADE DE ADMINISTRAÇÃO E NEGÓCIOS DE SERGIPE FACULDADE DE ADMINISTRAÇÃO E NEGÓCIOS DE SERGIPE CURSO: ENGENHARIA DE PRODUÇÃO ASSUNTO: INTRODUÇÃO ÀS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS, EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM SEPARÁVEIS, HOMOGÊNEAS, EXATAS, FATORES

Leia mais

Universidade Federal do Maranhão Centro de Ciências Exatas e Tecnologia Coordenação do Programa de Pós-Graduação em Física

Universidade Federal do Maranhão Centro de Ciências Exatas e Tecnologia Coordenação do Programa de Pós-Graduação em Física Uiversidade Federal do Marahão Cetro de Ciêcias Exatas e Tecologia Coordeação do Programa de Pós-Graduação em Física Exame de Seleção para Igresso o 1º. Semestre de 2011 Disciplia: Mecâica Clássica 1.

Leia mais

ANÁLISE E CONTROLE DE SISTEMAS LINEARES

ANÁLISE E CONTROLE DE SISTEMAS LINEARES sid.ipe.br/mtc-m9/0/07.3..08-pud ANÁLISE E CONTROLE DE SISTEMAS LINEARES Valdemir Carrara URL do documeto origial: INPE São José dos Campos 0 PUBLICADO POR: Istituto

Leia mais

a taxa de juros i está expressa na forma unitária; o período de tempo n e a taxa de juros i devem estar na mesma unidade de tempo.

a taxa de juros i está expressa na forma unitária; o período de tempo n e a taxa de juros i devem estar na mesma unidade de tempo. UFSC CFM DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA MTM 5151 MATEMÁTICA FINACEIRA I PROF. FERNANDO GUERRA. UNIDADE 3 JUROS COMPOSTOS Capitalização composta. É aquela em que a taxa de juros icide sempre sobre o capital

Leia mais

Análise de Projectos ESAPL / IPVC. Critérios de Valorização e Selecção de Investimentos. Métodos Estáticos

Análise de Projectos ESAPL / IPVC. Critérios de Valorização e Selecção de Investimentos. Métodos Estáticos Aálise de Projectos ESAPL / IPVC Critérios de Valorização e Selecção de Ivestimetos. Métodos Estáticos Como escolher ivestimetos? Desde sempre que o homem teve ecessidade de ecotrar métodos racioais para

Leia mais

INSTRUMENTAÇÃO E CONTROLO

INSTRUMENTAÇÃO E CONTROLO ESCOLA SUPERIOR NÁUTICA INFANTE D. HENRIQUE DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MARÍTIMA INSTRUMENTAÇÃO E CONTROLO REVISÕES SOBRE SISTEMAS DE CONTROLO CONTÍNUO Elemetos coligidos por: Prof. Luís Filipe Baptista

Leia mais

VII Equações Diferenciais Ordinárias de Primeira Ordem

VII Equações Diferenciais Ordinárias de Primeira Ordem VII Equações Difereciais Ordiárias de Primeira Ordem Itrodução As equações difereciais ordiárias são istrumetos esseciais para a modelação de muitos feómeos proveietes de várias áreas como a física, química,

Leia mais

UM NOVO OLHAR PARA O TEOREMA DE EULER

UM NOVO OLHAR PARA O TEOREMA DE EULER X Ecotro Nacioal de Educação Matemática UM NOVO OLHA PAA O TEOEMA DE EULE Iácio Atôio Athayde Oliveira Secretária de Educação do Distrito Federal professoriacio@gmail.com Aa Maria edolfi Gadulfo Uiversidade

Leia mais

Equações Diferenciais (ED) Resumo

Equações Diferenciais (ED) Resumo Equações Difereciais (ED) Resumo Equações Difereciais é uma equação que evolve derivadas(diferecial) Por eemplo: dy ) 5 ( y: variável depedete, : variável idepedete) d y dy ) 3 0 y ( y: variável depedete,

Leia mais

Aula 7. Em outras palavras, x é equivalente a y se, ao aplicarmos x até a data n, o montante obtido for igual a y.

Aula 7. Em outras palavras, x é equivalente a y se, ao aplicarmos x até a data n, o montante obtido for igual a y. DEPARTAMENTO...: ENGENHARIA CURSO...: PRODUÇÃO DISCIPLINA...: ENGENHARIA ECONÔMICA / MATEMÁTICA FINANCEIRA PROFESSORES...: WILLIAM FRANCINI PERÍODO...: NOITE SEMESTRE/ANO: 2º/2008 Aula 7 CONTEÚDO RESUMIDO

Leia mais

Capitulo 10 Resolução de Exercícios

Capitulo 10 Resolução de Exercícios FORMULÁRIO Ivestimetos com Cláusulas de Correção Moetária, com pricipal e juros simples corrigidos S C i I Ivestimetos com Cláusulas de Correção Moetária, com apeas o pricipal corrigido e juros simples.

Leia mais

M = 4320 CERTO. O montante será

M = 4320 CERTO. O montante será PROVA BANCO DO BRASIL / 008 CESPE Para a veda de otebooks, uma loja de iformática oferece vários plaos de fiaciameto e, em todos eles, a taxa básica de juros é de % compostos ao mês. Nessa situação, julgue

Leia mais

Lista 9 - Introdução à Probabilidade e Estatística

Lista 9 - Introdução à Probabilidade e Estatística UNIVERSIDADE FEDERAL DO ABC Lista 9 - Itrodução à Probabilidade e Estatística Desigualdades e Teoremas Limites 1 Um ariro apota a um alvo de 20 cm de raio. Seus disparos atigem o alvo, em média, a 5 cm

Leia mais

CAPÍTULO 5 - INTRODUÇÃO À INFERÊNCIA ESTATÍSTICA

CAPÍTULO 5 - INTRODUÇÃO À INFERÊNCIA ESTATÍSTICA CAPÍTULO 5 - INTRODUÇÃO À INFERÊNCIA ESTATÍSTICA 5. INTRODUÇÃO É freqüete ecotrarmos problemas estatísticos do seguite tipo : temos um grade úmero de objetos (população) tais que se fossem tomadas as medidas

Leia mais

Conceito 31/10/2015. Módulo VI Séries ou Fluxos de Caixas Uniformes. SÉRIES OU FLUXOS DE CAIXAS UNIFORMES Fluxo de Caixa

Conceito 31/10/2015. Módulo VI Séries ou Fluxos de Caixas Uniformes. SÉRIES OU FLUXOS DE CAIXAS UNIFORMES Fluxo de Caixa Módulo VI Séries ou Fluxos de Caixas Uiformes Daillo Touriho S. da Silva, M.Sc. SÉRIES OU FLUXOS DE CAIXAS UNIFORMES Fluxo de Caixa Coceito A resolução de problemas de matemática fiaceira tora-se muito

Leia mais

Prof. Eugênio Carlos Stieler

Prof. Eugênio Carlos Stieler http://wwwuematbr/eugeio SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO A ecessidade de recursos obriga aqueles que querem fazer ivestimetos a tomar empréstimos e assumir dívidas que são pagas com juros que variam de acordo

Leia mais

AVALIAÇÃO DE DESEMPENHO

AVALIAÇÃO DE DESEMPENHO AVALIAÇÃO DE DESEMPENHO Itrodução Aálie o domíio do tempo Repota ao degrau Repota à rampa Repota à parábola Aálie o domíio da freqüêcia Diagrama de Bode Diagrama de Nyquit Diagrama de Nichol Eta aula EM

Leia mais

APOSTILA MATEMÁTICA FINANCEIRA PARA AVALIAÇÃO DE PROJETOS

APOSTILA MATEMÁTICA FINANCEIRA PARA AVALIAÇÃO DE PROJETOS Miistério do Plaejameto, Orçameto e GestãoSecretaria de Plaejameto e Ivestimetos Estratégicos AJUSTE COMPLEMENTAR ENTRE O BRASIL E CEPAL/ILPES POLÍTICAS PARA GESTÃO DE INVESTIMENTOS PÚBLICOS CURSO DE AVALIAÇÃO

Leia mais

Universidade Presbiteriana Mackenzie. Processamento Digital de Sinais

Universidade Presbiteriana Mackenzie. Processamento Digital de Sinais Uiversidade Presbiteriaa Mackezie Curso de Egeharia Elétrica Processameto Digital de Siais Notas de Aula Prof. Marcio Eisecraft Segudo semestre de 7 Uiversidade Presbiteriaa Mackezie Curso de Egeharia

Leia mais

Departamento de Matemática - Universidade de Coimbra. Mestrado Integrado em Engenharia Civil. Capítulo 1: Sucessões e séries

Departamento de Matemática - Universidade de Coimbra. Mestrado Integrado em Engenharia Civil. Capítulo 1: Sucessões e séries Departameto de Matemática - Uiversidade de Coimbra Mestrado Itegrado em Egeharia Civil Exercícios Teórico-Práticos 200/20 Capítulo : Sucessões e séries. Liste os primeiros cico termos de cada uma das sucessões

Leia mais

Introdução às Telecomunicações 2014/2015. 4º Trabalho de Laboratório

Introdução às Telecomunicações 2014/2015. 4º Trabalho de Laboratório Itrodução às Telecomuicações 2014/2015 Departameto de Egeharia Electrotécica Secção de Telecomuicações Mestrado itegrado em Egeharia Electrotécica e de Computadores Liceciatura em Egeharia Iformática Grupo:

Leia mais

A soma dos perímetros dos triângulos dessa sequência infinita é a) 9 b) 12 c) 15 d) 18 e) 21

A soma dos perímetros dos triângulos dessa sequência infinita é a) 9 b) 12 c) 15 d) 18 e) 21 Nome: ºANO / CURSO TURMA: DATA: 0 / 0 / 05 Professor: Paulo. (Pucrj 0) Vamos empilhar 5 caixas em ordem crescete de altura. A primeira caixa tem m de altura, cada caixa seguite tem o triplo da altura da

Leia mais

CURTOSE. Teremos, portanto, no tocante às situações de Curtose de um conjunto, as seguintes possibilidades:

CURTOSE. Teremos, portanto, no tocante às situações de Curtose de um conjunto, as seguintes possibilidades: CURTOSE O que sigifica aalisar um cojuto quato à Curtose? Sigifica apeas verificar o grau de achatameto da curva. Ou seja, saber se a Curva de Freqüêcia que represeta o cojuto é mais afilada ou mais achatada

Leia mais

Os juros compostos são conhecidos, popularmente, como juros sobre juros.

Os juros compostos são conhecidos, popularmente, como juros sobre juros. Módulo 4 JUROS COMPOSTOS Os juros compostos são cohecidos, popularmete, como juros sobre juros. 1. Itrodução Etedemos por juros compostos quado o fial de cada período de capitalização, os redimetos são

Leia mais

PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA DE TRANSPORTES E GESTÃO TERRITORIAL PPGTG DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL ECV

PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA DE TRANSPORTES E GESTÃO TERRITORIAL PPGTG DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL ECV PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA DE TRANSPORTES E GESTÃO TERRITORIAL PPGTG DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL ECV DISCIPLINA: TGT410026 FUNDAMENTOS DE ESTATÍSTICA 8ª AULA: ESTIMAÇÃO POR INTERVALO

Leia mais

PROFESSOR: SEBASTIÃO GERALDO BARBOSA

PROFESSOR: SEBASTIÃO GERALDO BARBOSA UNESPAR/Paraavaí - Professor Sebastião Geraldo Barbosa - 0 - PROFESSOR: SEBASTIÃO GERALDO BARBOSA Setembro/203 UNESPAR/Paraavaí - Professor Sebastião Geraldo Barbosa - - TÓPICOS DE MATEMÁTICA FINANCIEIRA

Leia mais

Questão 11. Questão 13. Questão 12. Questão 14. alternativa B. alternativa E. alternativa A

Questão 11. Questão 13. Questão 12. Questão 14. alternativa B. alternativa E. alternativa A Questão Em uma pesquisa, foram cosultados 00 cosumidores sobre sua satisfação em relação a uma certa marca de sabão em pó. Cada cosumidor deu uma ota de 0 a 0 para o produto, e a média fial das otas foi

Leia mais

MATEMÁTICA FINANCEIRA

MATEMÁTICA FINANCEIRA MATEMÁTICA FINANCEIRA VALOR DO DINHEIRO NO TEMPO Notas de aulas Gereciameto do Empreedimeto de Egeharia Egeharia Ecoômica e Aálise de Empreedimetos Prof. Márcio Belluomii Moraes, MsC CONCEITOS BÁSICOS

Leia mais

37ª OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA PRIMEIRA FASE NÍVEL 3 (Ensino Médio) GABARITO

37ª OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA PRIMEIRA FASE NÍVEL 3 (Ensino Médio) GABARITO 37ª OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA PRIMEIRA FASE NÍVEL 3 Esio Médio) GABARITO GABARITO NÍVEL 3 ) B ) A ) B ) D ) C ) B 7) C ) C 7) B ) C 3) D 8) E 3) A 8) E 3) A ) C 9) B ) B 9) B ) C ) E 0) D ) A

Leia mais

Equivalência entre holomorfia, analiticidade e teorema de Cauchy

Equivalência entre holomorfia, analiticidade e teorema de Cauchy Capítulo 6 Equivalêcia etre holomorfia, aaliticidade e teorema de Cauchy 6 Itrodução O resultado cetral deste capítulo é a equivalêcia etre holomorfia, aaliticidade e validade do Teorema de Cauchy Trata-se

Leia mais

MOMENTOS DE INÉRCIA. Física Aplicada à Engenharia Civil II

MOMENTOS DE INÉRCIA. Física Aplicada à Engenharia Civil II Física Aplicada à Egeharia Civil MOMENTOS DE NÉRCA Neste capítulo pretede-se itroduzir o coceito de mometo de iércia, em especial quado aplicado para o caso de superfícies plaas. Este documeto, costitui

Leia mais

PG Progressão Geométrica

PG Progressão Geométrica PG Progressão Geométrica 1. (Uel 014) Amalio Shchams é o ome cietífico de uma espécie rara de plata, típica do oroeste do cotiete africao. O caule dessa plata é composto por colmos, cujas características

Leia mais

Equação Diferencial. Uma equação diferencial é uma expressão que relaciona uma função desconhecida (incógnita) y com suas derivadas.

Equação Diferencial. Uma equação diferencial é uma expressão que relaciona uma função desconhecida (incógnita) y com suas derivadas. Equação Difereial Uma equação difereial é uma epressão que relaioa uma fução desoheida (iógita) om suas derivadas É útil lassifiar os diferetes tipos de equações para um desevolvimeto sistemátio da Teoria

Leia mais

FILAS DE ESPERA. Notas baseadas em Introduction to Operations Research de Hillier e Lieberman.

FILAS DE ESPERA. Notas baseadas em Introduction to Operations Research de Hillier e Lieberman. FILA DE EPERA otas baseadas em Itroductio to Operatios Research de Hillier e Lieberma. 77 ETRUTURA BÁICA DO ITEMA DE FILA DE EPERA Quado um determiado serviço é procurado por vários clietes, poder-se-ão

Leia mais

MINISTÉRIO DAS CIDADES, ORDENAMENTO DO TERRITÓRIO E AMBIENTE Instituto do Ambiente PROCEDIMENTOS ESPECÍFICOS DE MEDIÇÃO DE RUÍDO AMBIENTE

MINISTÉRIO DAS CIDADES, ORDENAMENTO DO TERRITÓRIO E AMBIENTE Instituto do Ambiente PROCEDIMENTOS ESPECÍFICOS DE MEDIÇÃO DE RUÍDO AMBIENTE MINISÉRIO DAS CIDADES, ORDENAMENO DO ERRIÓRIO E AMBIENE Istituto do Ambiete PROCEDIMENOS ESPECÍFICOS DE MEDIÇÃO DE RUÍDO AMBIENE Abril 2003 . Equadrameto O presete documeto descreve a metodologia a seguir

Leia mais

Estatística stica para Metrologia

Estatística stica para Metrologia Estatística stica para Metrologia Aula Môica Barros, D.Sc. Juho de 28 Muitos problemas práticos exigem que a gete decida aceitar ou rejeitar alguma afirmação a respeito de um parâmetro de iteresse. Esta

Leia mais

1. GENERALIDADES 2. CHEIA DE PROJETO

1. GENERALIDADES 2. CHEIA DE PROJETO Capítulo Previsão de Echetes. GENERALIDADES Até agora vimos quais as etapas do ciclo hidrológico e como quatificá-las. O problema que surge agora é como usar estes cohecimetos para prever, a partir de

Leia mais

CAPÍTULO 8 - Noções de técnicas de amostragem

CAPÍTULO 8 - Noções de técnicas de amostragem INF 6 Estatística I JIRibeiro Júior CAPÍTULO 8 - Noções de técicas de amostragem Itrodução A Estatística costitui-se uma excelete ferrameta quado existem problemas de variabilidade a produção É uma ciêcia

Leia mais

UFRGS 2007 - MATEMÁTICA

UFRGS 2007 - MATEMÁTICA - MATEMÁTICA 01) Em 2006, segudo otícias veiculadas a impresa, a dívida itera brasileira superou um trilhão de reais. Em otas de R$ 50, um trilhão de reais tem massa de 20.000 toeladas. Com base essas

Leia mais

Otimização e complexidade de algoritmos: problematizando o cálculo do mínimo múltiplo comum

Otimização e complexidade de algoritmos: problematizando o cálculo do mínimo múltiplo comum Otimização e complexidade de algoritmos: problematizado o cálculo do míimo múltiplo comum Custódio Gastão da Silva Júior 1 1 Faculdade de Iformática PUCRS 90619-900 Porto Alegre RS Brasil gastaojuior@gmail.com

Leia mais

O TESTE DOS POSTOS ORDENADOS DE GALTON: UMA ABORDAGEM GEOMÉTRICA

O TESTE DOS POSTOS ORDENADOS DE GALTON: UMA ABORDAGEM GEOMÉTRICA O TESTE DOS POSTOS ORDENADOS DE GALTON: UMA ABORDAGEM GEOMÉTRICA Paulo César de Resede ANDRADE Lucas Moteiro CHAVES 2 Devail Jaques de SOUZA 2 RESUMO: Este trabalho apreseta a teoria do teste de Galto

Leia mais

CURSO ONLINE DE EXERCÍCIOS MATEMÁTICA FINANCEIRA & ESTATÍSTICA AULA 09

CURSO ONLINE DE EXERCÍCIOS MATEMÁTICA FINANCEIRA & ESTATÍSTICA AULA 09 1 AULA 09 Olá, amigos! Chegamos hoje ao osso peúltimo simulado! Com mais esta aula, completaremos 8 (ceto e oito) questões resolvidas e miuciosamete aalisadas (54 de cada matéria). Teho a impressão de

Leia mais

Tópicos de Mecânica Quântica I. Equações de Newton e de Hamilton versus Equações de Schrödinger

Tópicos de Mecânica Quântica I. Equações de Newton e de Hamilton versus Equações de Schrödinger Tópicos de Mecâica Quâtica I Equações de Newto e de Hamilto versus Equações de Schrödiger Ferado Ferades Cetro de Ciêcias Moleculares e Materiais, DQBFCUL Notas para as aulas de Química-Física II, 010/11

Leia mais

APLICAÇÃO DO MÉTODO DE INTEGRAÇÃO TRAPEZOIDAL EM SISTEMAS ELÉTRICOS

APLICAÇÃO DO MÉTODO DE INTEGRAÇÃO TRAPEZOIDAL EM SISTEMAS ELÉTRICOS AT49-07 - CD 6-07 - PÁG.: APLICAÇÃO DO MÉTODO DE INTEGAÇÃO TAPEZOIDAL EM SISTEMAS ELÉTICOS J.. Cogo A.. C. de Oliveira IEE - EFEI Uiv. Taubaté Artigo apresetado o Semiário de Pesquisa EFEI 983 ESUMO Este

Leia mais

Resposta: L π 4 L π 8

Resposta: L π 4 L π 8 . A figura a seguir ilustra as três primeiras etapas da divisão de um quadrado de lado L em quadrados meores, com um círculo iscrito em cada um deles. Sabedo-se que o úmero de círculos em cada etapa cresce

Leia mais

Matemática Em Nível IME/ITA

Matemática Em Nível IME/ITA Caio dos Satos Guimarães Matemática Em Nível IME/ITA Volume 1: Números Complexos e Poliômios 1ª Edição São José dos Campos 007 SP Prefácio O livro Matemática em Nível IME/ITA tem como objetivo ão somete

Leia mais

O QUE SÃO E QUAIS SÃO AS PRINCIPAIS MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL EM ESTATÍSTICA PARTE li

O QUE SÃO E QUAIS SÃO AS PRINCIPAIS MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL EM ESTATÍSTICA PARTE li O QUE SÃO E QUAIS SÃO AS PRINCIPAIS MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL EM ESTATÍSTICA PARTE li Média Aritmética Simples e Poderada Média Geométrica Média Harmôica Mediaa e Moda Fracisco Cavalcate(f_c_a@uol.com.br)

Leia mais

Problema de Fluxo de Custo Mínimo

Problema de Fluxo de Custo Mínimo Problema de Fluo de Custo Míimo The Miimum Cost Flow Problem Ferado Nogueira Fluo de Custo Míimo O Problema de Fluo de Custo Míimo (The Miimum Cost Flow Problem) Este problema possui papel pricipal etre

Leia mais

Matemática. Resolução das atividades complementares. M10 Progressões. 1 (UFBA) A soma dos 3 o e 4 o termos da seqüência abaixo é:

Matemática. Resolução das atividades complementares. M10 Progressões. 1 (UFBA) A soma dos 3 o e 4 o termos da seqüência abaixo é: Resolução das atividades complemetares Matemática M0 Progressões p. 46 (UFBA) A soma dos o e 4 o termos da seqüêcia abaio é: a 8 * a 8 ( )? a, IN a) 6 c) 0 e) 6 b) 8 d) 8 a 8 * a 8 ( )? a, IN a 8 ()? a

Leia mais

Séquências e Séries Infinitas de Termos Constantes

Séquências e Séries Infinitas de Termos Constantes Capítulo Séquêcias e Séries Ifiitas de Termos Costates.. Itrodução Neste capítulo estamos iteressados em aalisar as séries ifiitas de termos costates. Etretato, para eteder as séries ifiitas devemos ates

Leia mais

PRESTAÇÃO = JUROS + AMORTIZAÇÃO

PRESTAÇÃO = JUROS + AMORTIZAÇÃO AMORTIZAÇÃO Amortizar sigifica pagar em parcelas. Como o pagameto do saldo devedor pricipal é feito de forma parcelada durate um prazo estabelecido, cada parcela, chamada PRESTAÇÃO, será formada por duas

Leia mais

CAPÍTULO 5 CIRCUITOS SEQUENCIAIS III: CONTADORES SÍNCRONOS

CAPÍTULO 5 CIRCUITOS SEQUENCIAIS III: CONTADORES SÍNCRONOS 60 Sumário CAPÍTULO 5 CIRCUITOS SEQUENCIAIS III: CONTADORES SÍNCRONOS 5.1. Itrodução... 62 5.2. Tabelas de trasição dos flip-flops... 63 5.2.1. Tabela de trasição do flip-flop JK... 63 5.2.2. Tabela de

Leia mais

Matemática Alexander dos Santos Dutra Ingrid Regina Pellini Valenço

Matemática Alexander dos Santos Dutra Ingrid Regina Pellini Valenço 4 Matemática Alexader dos Satos Dutra Igrid Regia Pellii Valeço Professor SUMÁRIO Reprodução proibida. Art. 84 do Código Peal e Lei 9.60 de 9 de fevereiro de 998. Módulo 0 Progressão aritmérica.................................

Leia mais

1.1 Comecemos por determinar a distribuição de representantes por aplicação do método de Hondt:

1.1 Comecemos por determinar a distribuição de representantes por aplicação do método de Hondt: Proposta de Resolução do Exame de Matemática Aplicada às Ciêcias Sociais Cód. 835-2ª 1ª Fase 2014 1.1 Comecemos por determiar a distribuição de represetates por aplicação do método de Hodt: Divisores PARTIDOS

Leia mais

Processamento Digital de Sinais

Processamento Digital de Sinais Processameto Digital de Siais Prof. Luciao Leoel Medes S. Mitra, Digital Sigal Processig A computer-based approach, 2 d editio. Capítulo Siais e Processameto de Siais Sial é uma fução de uma variável idepedete,

Leia mais

DFS Série Discreta de Fourier DFT Transformada Discreta de Fourier Convolução Circular

DFS Série Discreta de Fourier DFT Transformada Discreta de Fourier Convolução Circular Sistemas de Processameto Digital Egeharia de Sistemas e Iformática Ficha 4 5/6 4º Ao/ º Semestre DFS Série Discreta de Fourier DFT Trasformada Discreta de Fourier Covolução Circular Para calcular a DFT,

Leia mais