Aula 13 Análise no domínio da frequência

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1 Aula 13 Análise no domínio da frequência

2 A resposta em frequência é a resposta do sistema em estado estacionário (ou em regime permanente) quando a entrada do sistema é sinusoidal. Métodos de análise de sistemas através da resposta em frequência, como os Diagramas de Bode ou o Gráfico de Nyquist, são as técnicas mais convencionais usadas em Engenharia para análise e projeto de Sistemas de Controlo.

3 A vantagem destes métodos de análise de sistemas através da resposta em frequência é que eles permitem-nos investigar ambas as estabilidades absolutas e relativas de sistemas lineares em malha fechada apenas com o conhecimento da resposta em frequência em malha aberta, que pode ser obtido experimentalmente com geradores de sinais (sinusoidais) e instrumentos de medida de precisão (ambos facilmente disponíveis em laboratórios).

4 Portanto a análise de sistemas complicados pode ser feita através de testes de resposta em frequência sem ser necessário determinar as raízes da equação característica (i.e., os polos do sistema) Sistema linear, invariante no tempo, condições iniciais nulas A saída y(t) terá a mesma frequência da entrada x(t), entretanto, a amplitude Y e o ângulo de fase φ, em geral são diferentes.

5 Na realidade, temos e fazendo-se s = 0 + jω, ou seja,

6 Isto é, fazendo-se s = 0 + jω na função de transferência G(s), obtemos G(jω) G(jω) = G(jω) e jϕ = G(jω) e j G(jω) onde ϕ = G(jω) = arctg Im(G(jω) ( ) Re(G(jω)

7 Como a entrada x(t) = sen(ωt) pode ser expressa como x(t) = sen(ωt) = então mostra-se que y ss, a saída y(t) em estado estacionário, fica y ss e portanto, = G(jω) e jωt e jωt j (equação de Euler) e jωt e jωt y ss = G(jω) sen( ωt + G(jω) ) j Y φ

8 No caso mais geral da entrada sinusoidal com módulo X e uma desfasagem ϕ x(t) = X sen(ωt + φ) então, y ss, a saída y(t) em estado estacionário, fica y ss = X G(jω) sen( ωt + G(jω) + φ) Y φ

9 G(jω) = Y(jω) X(jω) = Y X razão entre a amplitude da saída e da entrada ϕ = G(jω) = Y(jω) X(jω) diferença entre as desfasagens da saída e da entrada Logo, as características de um sistema sujeito a uma entrada sinusoidal podem ser obtidas diretamente de G(jω) = Y(jω) X(jω) = G(jω) e jϕ ( F.T. ) sinusoidal

10 G(jω) = Y(jω) X(jω) = G(jω) e jϕ ( F.T. ) sinusoidal onde ϕ = G(jω) = sendo -π < ϕ < π < 0 atraso de fase = 0 em fase > 0 avanço de fase Se ϕ = π sen(ωt±π) = sen(ωt)

11 Diagramas de Bode (exemplo) G(jω) db Obtido desenhando-se uma curva para o módulo de G(jω) e outra para a fase, ou ângulo de G(jω). ω G(jω) G(jω) db é medido em dbs ω Os eixos ω são desenhados na escala logarítmica. G(jω) é medido em graus

12 Gráfico de Nyquist (exemplo) Obtido desenhando-se no plano complexo os valores de G(jω) quando ω varia de a +. Im {G(jω)} 0 Re {G(jω)} Com o Gráfico de Nyquist de G(jω) podemos aplicar o Critério de Nyquist para determinar a estabilidade

13 Exemplo 1: Considere o sistema de malha fechada abaixo K (s )(s + 4) logo, G(s) = (s K )(s + 4) e substituindo s = jω, obtemos: G K ( ω + 8) K ω (jω) = + j ( ω + 4) ( ω + 16) ( ω + 4) ( ω + 16)

14 Exemplo 1 (continuação): K ( ω + 8) K ω G(jω) = + j ( ω + 4) ( ω + 16) ( ω + 4) ( ω + 16) Interseção com eixo real (parte imaginária = 0) ω = 0 ω = 0 G(jω) = G(j0) = K/8 Interseção com eixo imaginário (parte real = 0) ω real que anula Re{G(jω)}, a parte real de G(jω) este Gráfico de Nyquist não interseta o eixo imaginário

15 Exemplo 1 (continuação): K ( ω + 8) K ω G(jω) = + j ( ω + 4) ( ω + 16) ( ω + 4) ( ω + 16) Limites no infinito (G(jω) para ω = ± ) G(j ) = 0 + j0 G( j ) = 0 + j0 + (3º quadrante) (º quadrante) agora marcamos no plano complexo estes pontos de interseção e os limites no infinito

16 Exemplo 1 (continuação): K ( ω + 8) K ω G(jω) = + j ( ω + 4) ( ω + 16) ( ω + 4) ( ω + 16) Im{G(jω)} K/8 0 Re{G(jω)} e então fazemos um esboço do Gráfico de Nyquist de G(jω)

17 Exemplo 1 (continuação): K ( ω + 8) K ω G(jω) = + j ( ω + 4) ( ω + 16) ( ω + 4) ( ω + 16) Im{G(jω)} K/8 0 Re{G(jω)}

18 Exemplo 1 (continuação): K ( ω + 8) K ω G(jω) = + j ( ω + 4) ( ω + 16) ( ω + 4) ( ω + 16) Mas ainda falta dar um sentido (uma direção) para este Gráfico de Nyquist ficar completo Im{G(jω)} K/8 0 Re{G(jω)}

19 Exemplo 1 (continuação): K ( ω + 8) K ω G(jω) = + j ( ω + 4) ( ω + 16) ( ω + 4) ( ω + 16) Este sentido é dado percorrendo G(jω) quando ω varia de + a Im{G(jω)} K/8 0 Re{G(jω)}

20 O sentido do Gráfico de Nyquist Para se dar um sentido (uma direção) ao Gráfico de Nyquist, percorremos G(jω) quando ω varia de + a Im{G(jω)} 0 Re{G(jω)} Para percorremosg(jω) quando ω varia de + a, talvez seja necessário calcular pontos adicionais de ω como neste Gráfico de Nyquist acima

21 O sentido do Gráfico de Nyquist Percorrendo G(jω) com apenas os pontos ω = 0, ±e ± não é possível determinar ainda o sentido do Gráfico de Nyquist Im{G(jω)} 0 Re{G(jω)} Entretanto, se calcularmos alguns ponto adicionais, podemos seguir G(jω) quando ω varia de + a e darmos um sentido (uma direção) a este Gráfico de Nyquist acima

22 O sentido do Gráfico de Nyquist Se escolhermos um ω entre+ e + (como ω = 5) e outro ω entre + e 0 (como ω = 1) já se torna possível percorrer G(jω) e determinar o sentido deste Gráfico de Nyquist ω = +5 Im{G(jω)} ω = +1 0 Re{G(jω)} Calculando-se G(jω) para ω = 5 e G(jω) para ω = 1 podemos marcar estes pontos G(j5) e G(j1) no Gráfico de Nyquist acima

23 O sentido do Gráfico de Nyquist Embora não fosse necessário, vamos também marcar mais pontos no gráfico G(jω) abaixo: ω = 1 e ω = 5 ω = +5 Im{G(jω)} ω = 1 ω = +1 ω = 5 0 Re{G(jω)} Assim podemos observar melhor a propriedade de que o Gráfico de Nyquist é sempre simétrico em relação ao eixo real

24 O sentido do Gráfico de Nyquist Agora podemos colocar setas que indiquem o sentido (a direção) do Gráfico de Nyquist G(jω) ω = +5 Im{G(jω)} ω = 1 0 Re{G(jω)} ω = +1 ω = 5

25 O sentido do Gráfico de Nyquist Im{G(jω)} 0 Re{G(jω)} Com o sentido de G(jω) pode-se definir o número de circundações do Gráfico de Nyquist em torno de um ponto no eixo real

26 O número de circundações do Gráfico de Nyquist O número de circundações de G(jω) em torno de um ponto no eixo real tem o sinal positivo se for anti horário Im{G(jω)} negativo se for horário A B C 0 Re{G(jω)} Por exemplo: O número de circundações de G(jω) em torno do ponto ponto A N A = 0 ponto B N B = + ponto C N C = +1

27 Exemplo : Considere o sistema de malha fechada abaixo (s 1)(s K + 4)(s + 5) logo, G(s) = (s 1)(s K + 4)(s + 5) e substituindo s = jω, obtemos: (8ω + 0) K ( ω 11) ωk G(jω) = + j ( ω + 1) ( ω + 16)( ω + 5) ( ω + 1) ( ω + 16)( ω + 5)

28 Exemplo (continuação): G (8ω + 0) K ( ω 11) ωk (jω) = + j ( ω + 1) ( ω + 16)( ω + 5) ( ω + 1) ( ω + 16)( ω + 5) Interseção com eixo real (parte imaginária = 0) ω = 0 G(jω) = G(j0) = K/0 ω = 11 ω = ± 3,317 G(jω) = G(±j3,317) = K/108 Interseção com eixo imaginário (parte real = 0) ω real que anula Re{G(jω)}, a parte real de G(jω) este Gráfico de Nyquist não interseta o eixo imaginário

29 Exemplo (continuação): G (8ω + 0) K ( ω 11) ωk (jω) = + j ( ω + 1) ( ω + 16)( ω + 5) ( ω + 1) ( ω + 16)( ω + 5) Limites no infinito (G(jω) para ω = ± ) G(j ) = 0 + j0 + G( j ) = 0 + j0 (º quadrante) (3º quadrante) agora marcamos no plano complexo estes pontos de interseção e os limites no infinito

30 Exemplo (continuação): G (8ω + 0) K ( ω 11) ωk (jω) = + j ( ω + 1) ( ω + 16)( ω + 5) ( ω + 1) ( ω + 16)( ω Im {G(jω)} + 5) ω = ± 3,317 K/0 K/108 0 Re {G(jω)} e então fazemos um esboço do Gráfico de Nyquist de G(jω)

31 Exemplo (continuação): G (8ω + 0) K ( ω 11) ωk (jω) = + j ( ω + 1) ( ω + 16)( ω + 5) ( ω + 1) ( ω + 16)( ω Im {G(jω)} + 5) ω = ±j3,317 K/0 K/108 0 Re {G(jω)}

32 Exemplo (continuação): G (8ω + 0) K ( ω 11) ωk (jω) = + j ( ω + 1) ( ω + 16)( ω + 5) ( ω + 1) ( ω + 16)( ω Observe que já foram colocadas as setas que indicam o sentido deste Gráfico de Nyquist Im {G(jω)} + 5) K/0 K/108 0 Re {G(jω)}

33 Exemplo 3: Considere o sistema de malha fechada abaixo: K (s ) (s + 1) logo, G(s) = K (s ) (s + 1) e substituindo s = jω, obtemos: ( ω ) K 3ωK G(jω) = + j ( ω + 1) ( ω + 1)

34 Exemplo 3 (continuação): ( ω ) K 3ωK G(jω) = + j ( ω + 1) ( ω + 1) Interseção com eixo real (parte imaginária = 0) ω = 0 G(jω) = G(j0) = K = K / (½) Interseção com eixo imaginário (parte real = 0) ω = +1,41 G(jω) = j 1,41 K ω = ω = 1,41 G(jω) = +j 1,41 K

35 Exemplo 3 (continuação): ( ω ) K 3ωK G(jω) = + j ( ω + 1) ( ω + 1) Limites no infinito (G(jω) para ω = ± ) G(j ) = K + j0 + G( j ) = K + j0 (1º quadrante) (4º quadrante) agora marcamos no plano complexo estes pontos de interseção e os limites no infinito

36 Exemplo 3 (continuação): ( ω ) K 3ωK G(jω) = + j ( ω + 1) ( ω + 1) Im {G(jω)} ω = 1,41 K/(½) 0 K Re {G(jω)} e então fazemos um esboço do Gráfico de Nyquist de G(jω) ω = 1,41

37 Exemplo 3 (continuação): ( ω ) K 3ωK G(jω) = + j ( ω + 1) ( ω + 1) Im {G(jω)} ω = 1,41 K/(½) 0 K Re {G(jω)} ω = 1,41

38 Exemplo 3 (continuação): ( ω ) K 3ωK G(jω) = + j ( ω + 1) ( ω + 1) Observe que já foram colocadas as setas que indicam o sentido deste Gráfico de Nyquist Im {G(jω)} K/(½) 0 K Re {G(jω)}

39 Com o Gráfico de Nyquist de G(jω) podemos aplicar o Critério de Nyquist para determinar a estabilidade do sistema em M.F.

40 Critério de Nyquist (para estabilidade) Sistema de malha fechada G(s) logo, a FTMA(função de transferência de malha aberta) é: G(s) = K G(s) H(s)

41 Critério de Nyquist (para estabilidade) N 1 = P M.F. P M.A. Nº de circundações do Gráfico de Nyquist em torno do ponto 1 Nº de polos de malha fechada no SPD Nº de polos de malha aberta no SPD N -1 = nº de circundações de G(jω) em torno do ponto 1, que pode ser positivo (se no sentido anti-horário), ou negativo (se no sentido horário)

42 Critério de Nyquist (para estabilidade) ou seja, P M.F. = N 1 + P M.A. P M.F. = Nº de polos de malha fechada no SPD N 1 = Nº de circundações do Gráfico de Nyquist em torno do ponto 1 P M.A. = Nº de polos de malha aberta no SPD E, claro, o sistema de malha fechada será estável se P M.F. = 0

43 Aplicação do Critério de Nyquist ao sistema do Exemplo 1

44 Exemplo 1 (continuação): Vamos retomar este problema G(s) cujo Gráfico de Nyquist era K (s )(s + = logo, 4) P M.A. = 1 Fazendo agora uma análise do nº de circundações do Gráfico de Nyquist em torno do ponto 1, temos

45 Exemplo 1 (continuação): G(s) = K (s )(s + 4) P M.A. = 1 N -1 = 0 se K < 8 1 se K > 8 Agora, aplicando o Critério de Nyquist para determinar estabilidade M.F., obtemos

46 Exemplo 1 (continuação): G(s) = (s K )(s + 4) P M.A. = 1 P M.F. = = 1 se K < = 0 se K > 8 portanto, o sistema de malha fechada é estável para K > 8

47 Aplicação do Critério de Nyquist ao sistema do Exemplo

48 Vamos retomar este outro problema Exemplo (continuação): G(s) cujo Gráfico de Nyquist era = K (s 1)(s + 4)(s + 5) logo, P M.A. = 1 Fazendo agora uma análise do nº de circundações do Gráfico de Nyquist em torno do ponto 1, temos

49 Exemplo (continuação): G(s) = K (s 1)(s + 4)(s + 5) P M.A. = 1 N -1 = 0 se K < 0 1 se 0 < K < se K > 108 Agora, aplicando o Critério de Nyquist para determinar estabilidade M.F., obtemos

50 Exemplo (continuação): G(s) = K (s 1)(s + 4)(s + 5) P M.A. = = 1 se K < 0 P M.F. = = 0 se 0 < K < = se K > 108 portanto, o sistema de malha fechada é estável para 0 < K < 108

51 Aplicação do Critério de Nyquist ao sistema do Exemplo 3

52 Finalmente, vamos retomar este problema Exemplo 3 (continuação): G(s) cujo Gráfico de Nyquist era = K (s ) (s + 1) logo, P M.A. = 0 Fazendo agora uma análise do nº de circundações do Gráfico de Nyquist em torno do ponto 1, temos

53 Exemplo 3 (continuação): G(s) = K (s ) (s + 1) P M.A. = 0 N -1 = 0 se K < 0,5 1 se K > 0,5 Agora, aplicando o Critério de Nyquist para determinar estabilidade M.F., obtemos

54 Exemplo 3 (continuação): G(s) = K (s ) (s + 1) P M.A. = 0 P M.F. = = 0 se K < 0, = 1 se K > 0,5 portanto, o sistema de malha fechada é estável para K < 0,5

55 Obrigado! Felippe de Souza