Sinais e Sistemas Unidade 5 Representação em domínio da frequência para sinais contínuos: Transformada de Laplace

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1 Sinais e Sistemas Unidade 5 Representação em domínio da frequência para sinais contínuos: Transformada de Laplace Prof. Cassiano Rech, Dr. Eng. Prof. Rafael Concatto Beltrame, Me. Eng.

2 Conteúdo da unidade Introdução Definição da Transformada de Laplace Solução de equações diferenciais lineares e invariante no tempo Função de Transferência Conceito de pólos e zeros Estabilidade de sistemas Sistemas com atraso de transporte Análise da resposta transitória Análise da resposta em regime permanente Resposta em frequência e Diagrama de Bode Aulas 01 e 02 Aula 03 Aula 04 Aulas 05 e 06 2

3 Aula 05 Resposta em frequência e Diagrama de Bode Introdução Definição de módulo de fase Representação na forma de Bode Digramas de Bode Ganho K Fatores integral e derivativo (s) ±1 Fatores de primeira ordem (s + 1) ±1 Fatores quadráticos (s² + 2ζs/ω n + 1) ±1 Procedimento geral para construção 3

4 Introdução Hendrik Wade Bode Americano ( ) Engenheiro, pesquisador e inventor Pioneiro em Teoria de controle (aplicada à aviação) Telecomunicações Em 1929 entra para o Bell Labs Em 1938 desenvolve o método gráfico conhecido como Diagrama de Bode Análise gráfica de ganho e fase de sistemas Ganhou diversos prêmios por suas contribuições científicas 4

5 Introdução Resposta em frequência Resposta em regime estacionário de um sistema submetido a um sinal de entrada senoidal Varia se a frequência do sinal de entrada ao longo de uma faixa de interesse e estuda se a resposta resultante A resposta em frequência pode ser obtida experimentalmente empregando geradores de sinal senoidal e equipamentos de medida de precisão 5

6 Resposta em regime para sinal senoidal Seja um sistema LTI definido por G s Onde o sinal de entrada x(t) ésenoidal e dado por Se o sistema for estável, o sinal de saída y(t), em regime estacionário, será dado por Onde Y s X s Xsenωt x t y t Ysen ωt φ Y X e Im φ arctg Re 6

7 Resposta em regime para sinal senoidal Observações Um sistema LTI submetido a uma excitação senoidal, terá como resposta, em regime estacionário, um sinal também senoidal de mesma frequência A amplitude e o ângulo (fase) do sinal de saída são, em geral, diferentes do sinal de entrada 7

8 Resposta em regime para sinal senoidal Função de transferência senoidal A função de transferência senoidal de qualquer sistema éobtida substituindo se s por jω Éuma grandeza complexa e pode ser representada por magnitude e fase, tendo como parâmetro a frequência Fase negativa Atraso de fase Fase positiva Avanço de fase Y jω X jω 8

9 Diagrama de Bode Função de transferência na forma de Bode G s z1 s 1 2 s z 1 1 n z p ω 1 2 s p s 2ξω sω s s 2ξ 1 s 1 p 1 ωn ωn n n Representação de uma função de transferência senoidal Gráfico do módulo (magnitude) x frequência Gráfico da fase x frequência Representação padrão do módulo Logaritmo Multiplicação dos módulos éconvertida em adição Unidade Decibel [db] Gjω 20 log 10 9

10 Ganho K 20 logk 0 arctg K 0 O ganho éuma curva horizontal O ângulo de fase do ganho K é nulo Possui o efeito de deslocar a curva do logaritmo da função de transferência para cima e para baixo 10

11 Fator integral e derivativo (s) ±1 Fator 1/s 1 jω 20 log 20 logω 1/ω Gjωarctg 90 0 Fator s 20 log 20 log jω ω ω arctg 0 90 o o 11

12 Diagrama de Bode Uma oitava Intervalo de frequência entre ω 1 e 2ω 1 Uma década Intervalo de frequência entre ω 1 e 10ω 1 Para ω = 1, tem se 1 Gjω 20 log 0 j1 Gjω 20 log j1 0 Para ω qualquer, tem se 1 jω 20 log 20 logω 1 arctg o arctg 90 0 o 1/ ω arctg 0 90 o 20 log 20 log jω ω ω arctg 0 90 o 12

13 13

14 Fator de primeira ordem (s + 1) ±1 Fator 1/(s+1) 1 20 log 20 log 1ωT 1 jωt ωt ωt Gjωarctg arctg 1 1 Para ω << 1/T (baixas frequências) log Aproximação assintótica 0 Gjωarctg 1 0 o 2 14

15 Para ω >> 1/T (altas frequências) 20 logωt 90 arctg 1 o Aproximação assintótica Para ω =1/T (frequência de canto) 20 log Gjωarctg 45 1 o 15

16 16

17 Fator (s+1) No diagrama de Bode, para fatores recíprocos, as curvas de módulo em db e fase apenas trocam de sinal. Logo: 20 log 1 20 log 1 jωt ωt ωt Gjω arctg

18 18

19 Fator de segunda ordem (s² + 2ζs/ω n + 1) ±1 Fator 1/(s²/ω n2 + 2ζs/ω n + 1) 1 20 log jω jω 2ξ 1 ω n ω n 2 ω ω 20 log 1 2ξ 2 ωn ω n

20 ω 2ξ ω n arctg 2 1 ω ω n Para ω << ω n (baixas frequências) log Aproximação assintótica 0 Gjωarctg 0 1 o 20

21 Para ω >> ω n (altas frequências) Aproximação assintótica Para ω = ω n (frequência de canto) 2 ω ω 20 log 40 log 2 ωn ωn 2ξ Gjωarctg arctg0180 o 1 20 log 2ξ 2ξ Gjωarctg 90 0 o 21

22 22

23 Procedimento de construção 1) Reescrever a função de transferência na forma de Bode 2) Verificar se os termos de ordem superior (quadráticos) podem ser reescritos como termos de 1º ordem com raízes reais 3) Fazer s = jω 4) Separar cada um dos termos 5) Identificar as frequência de canto associadas a cada termo 6) Desenhar as curvas assintóticas Módulo em Fase em graus 7) Somar graficamente as curvas assintóticas 8) Realizar correções para o traçado da curva real 23

24 Bibliografia [1] OGATA, K. Engenharia de controle moderno. 3ª ed. Rio de Janeiro: Prentice Hall, [2] CHAPARRO, L. F. Signals and systems using MATLAB. Oxford: Elsevier,

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