Universidade Gama Filho Campus Piedade Departamento de Engenharia de Controle e Automação

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1 Universidade Gama Filho Campus Piedade Departamento de Engenharia de Controle e Automação Laboratório da Disciplina CTA-147 Controle I Análise da Resposta Transitória (Este laboratório foi uma adaptação do laboratório montado pelo Professor Paulo Valente da UNESP) INFORMAÇÕES IMPORTANTES 1. As atividades de laboratório deverão ser feitas individualmente, e os relatórios em grupos de até 3 (três) alunos. 2. Caso algum aluno não possa fazer as atividades, no dia previsto de seu laboratório, o mesmo deverá entregar o relatório individualmente. 3. Os trabalhos ou relatórios deverão ser entregues, quando necessário, na semana seguinte depois do laboratório. 4. As soluções deverão ser de forma clara, simples e organizadas. Se houver figuras, tabelas e equações, essas deverão ser numeradas e referenciadas. Não deverá ser utilizado no relatório material já apresentado na introdução. 5. Sempre que houver listagens de sessões do Matlab, estas deverão ser incluídas como apêndices. 6. A folha de rosto do relatório será a página que contém as atividades. OBJETIVO Neste laboratório, você usará o Matlab para avaliar uma importante característica de sistemas lineares e invariantes no tempo que é a resposta transitória. Para se analisar, ajustar e controlar sistemas dinâmicos, é necessário haver uma base para sua identificação e especificação de desempenho, que é feita através da resposta do sistema a excitações padronizadas, segundo as quais são definidas as características de desempenho. O ajuste e projeto dos controladores, por exemplo, devem ter o objetivo de fazer que essas características de desempenho cumpram as especificações. REFERÊNCIAS 1- Material disponível no site do Prof. Leonardo Gonsioroski, 2- OGATA, K. Engenharia de Controle Moderno. Pearson do Brasil, 4a. Ed., OGATA, Katsuhiko. Solução de problemas de engenharia de controle com MATLAB. Rio de Janeiro : Prentice-Hall, INTRODUÇÃO TEÓRICA Entradas de um sistema de controle As excitações ou entradas para sistemas de controle e outros sistemas dinâmicos podem ter caráter aleatório ou determinístico, de acordo com o tipo e a característica de funcionamento do sistema. Funções aleatórias não podem ser expressas analiticamente e não são repetitivas. As funções determinísticas, por sua vez, têm características bem definidas por funções analíticas ou curvas específicas. Uma categoria de sistemas sujeitos a excitações aleatórias é a dos sistemas elétricos de potência, onde os consumidores são livres para ligar e desligar suas cargas a qualquer momento sem aviso da concessionária, que por sua vez tem o compromisso de fornecer energia mantendo constantes a tensão e a freqüência da rede. Outro exemplo é a plataforma de uma câmera utilizada em avião de fotogrametria. O avião voa a uma altitude e a uma velocidade determinadas, e a câmera toma uma série de fotografias do terreno abaixo. Estas fotografias são então montadas umas com as outras para formar um mosaico da área. Torna-se necessário que a plataforma da câmera permaneça nivelada, a despeito dos movimentos do avião. Uma vez que a posição do avião varia devido a rajadas de vento e depende de sua própria estabilidade, a excitação da plataforma é, obviamente, uma função aleatória. Um exemplo de excitação de característica determinística é o molde utilizado numa operação de máquina onde a ferramenta de corte é controlada de modo a reproduzir o contorno do molde. E existem os sistemas de regulação

2 2 automática, que tem o objetivo de manter as variáveis controladas em valores constantes estabelecidos pelos sinais de referência. Entretanto, para se analisar, ajustar e controlar sistemas dinâmicos, é necessário haver uma base para sua identificação e especificação de desempenho. Isto é feito através da resposta do sistema a excitações padronizadas, sobre as quais são definidas as características de desempenho. O ajuste e o projeto dos controladores devem ter o objetivo de fazer que essas características de desempenho cumpram as especificações. As excitações padronizadas mais freqüentemente usadas para identificação e análise de desempenho de sistemas dinâmicos, e especialmente dos sistemas de controle, são as seguintes: As quatro primeiras excitações são da família de funções singulares. A excitação polinomial é uma combinação linear do degrau e de suas integrais. O degrau é a excitação mais utilizada para a análise e a especificação de desempenho transitório. O impulso pode ser útil para a análise da resposta de sistemas a sinais de grande amplitude e curta duração, e para fins de identificação, já que a TL da resposta a um impulso unitário é igual à função de transferência. E a resposta a entradas senoidais é a base dos métodos de resposta em freqüência, os quais possibilitam a identificação, análise de estabilidade, ajuste e projeto de controladores, e ajuste e projeto de filtros. Outra forma de se perturbar um sistema para fins de análise de transitórios é levá-lo a operar em regime permanente, retirar bruscamente a excitação, e observar a resposta, que nestas condições é a resposta livre: o instante da retirada da excitação é considerado o instante inicial (t = 0), e os valores das variáveis nesse instante são as condições iniciais do sistema. A forma de variação da resposta livre depende tão somente das características dinâmicas do sistema, já que a excitação foi retirada. Portanto, é na resposta livre que tais características podem ser observadas com mais clareza. Desempenho em regime transitório e em regime permanente Verificamos que o primeiro passo na análise de um sistema de controle é derivar um modelo matemático para o sistema. Uma vez obtido tal modelo existem vários métodos disponíveis para análise do desempenho do sistema. Um método utilizado nos sistemas reais é o de se analisar o desempenho, através, dos sinais típicos de teste, apresentados no item 2.1. Este método procura utilizar uma base para comparar o desempenho do sistema, que pode ser obtido comparando-se as respostas de vários sistemas a estes sinais de entrada. Pergunta: Qual ou quais destes sinais de entrada típicos devem ser usados para analisar características do sistema? Resposta: Depende da forma da entrada a que o sistema será sujeito mais freqüentemente durante operação normal. Exemplo: Se as entradas para um sistema de controle são funções que variam gradativamente com o tempo, então a função rampa pode ser um bom sinal de teste; ou então para um sistema sujeito a entradas do tipo choque, uma função impulso pode ser melhor.

3 3 Resposta transitória e resposta em regime permanente A resposta sta temporal de um sistema de controle é em geral dividida em duas partes: a. Resposta transitória b. Resposta em regime permanente Sendo c(t) uma resposta temporal; então em geral, ela pode ser escrita como: Resposta em Regime Permanente A definição de regime permanente não é padronizada nos estudos de sistemas e teoria de redes. i. Em análise de redes, às vezes é útil definir regime permanente como uma condição em que a resposta atingiu um valor constante em relação à variável independente. ii. Em estudo de sistemas de controle, porém, é mais adequado definir regime permanente como a resposta fixada quando o tempo tende para o infinito. Portanto, uma onda senoidal é considerada como uma resposta em regime permanente, porque seu comportamento é fixado para qualquer intervalo de tempo, assim como para o tempo tendendo a infinito. Da mesma forma, a função rampa c( t ) = t é considerada uma resposta em regime permanente, embora cresça com o tempo. Resposta transitória É definida como a parte da resposta que vai para zero quando o tempo se torna grande. Portanto, c t ( t ) tem a propriedade:

4 4 SISTEMAS DE PRIMEIRA ORDEM A discussão é baseada em uma equação diferencial de primeira ordem do tipo onde: = constante de tempo (proporciona informações sobre a velocidade da resposta do sistema) A = ganho DC (valor final que a saída se aproxima em resposta a um degrau unitário) Sendo a função de transferência dada por Resposta ao impulso unitário de sistemas de primeira ordem Considerando a resposta de um sistema a um impulso quando as condições iniciais são nulas, temos: Resposta ao degrau unitário de sistemas de primeira ordem Resposta a rampa unitária de sistemas de primeira ordem

5 5 SISTEMAS DE SEGUNDA ORDEM A discussão é baseada em uma equação diferencial de segunda ordem do tipo: onde: = razão de amortecimento = freqüência natural não amortecida Representando o sistema de segunda ordem na forma de função de transferência, temos: Resposta ao degrau unitário de sistemas de segunda ordem sendo a saída c(t) = y(t), temos como características de desempenho o mostrado na figura 2

6 6

7 7 Preparação do Lab3 ATIVIDADES: É fortemente recomendado que esta preparação seja, pelo menos, estudada antes da aula de Laboratório e seja feita e entregue junto com o relatório do Laboratório. Devo avisá-los que se esta preparação não for feita pelo aluno, o mesmo encontrará dificuldades e ficará bastante difícil para ele realizar seu experimento. Leia com atenção e entenda a introdução deste Laboratório, formulando as possíveis dúvidas encontradas em sua leitura e interpretação, transcrevendo-as aqui. ATENÇÃO: Todas as questões abaixo devem ser resolvidas analiticamente 1-Faça o diagrama de blocos e determine, por simplificação, G(s) = G 1 (s) G 2 (s) e G sum (s) = G 1 (s) + G 2 (s) sendo: 2-Encontre a função de transferência de malha fechada G CL (s) sendo que G(s) é o mesmo calculado na questão 1, e a realimentação é unitária, ou seja, H (s) =1. 3-Encontre a resposta ao degrau do sistema, descrito pela função de transferência abaixo. 4-Qual das seguintes funções de transferência de malha fechada tem resposta ao degrau com tempo de subida mais longo(mais lento)? Qual se existir, tem o maior sobre-sinal ( overshoot ). 5-Quanto tempo você espera que o sistema abaixo demore para alcançar o valor 0,32 na resposta a um degrau unitário. 6-Qual das seguintes funções de transferências de malha fechada tem a resposta ao degrau com mais longo tempo de acomodação. Qual resposta ao degrau não tem sobre-sinal ( overshoot ).

8 8 7-Qual é o tempo esperado para que a resposta ao degrau do sistema abaixo se estabeleça dentro de 5% do seu valor final. E a resposta ao degrau de qual dos sistemas abaixo oscila mais?

9 9 LABORATÓRIO ANÁLISE DA RESPOSTA TRANSITÓRIA USANDO O MATLAB Aluno: Aluno: Aluno: Nº: Nº: Nº: 1- Escreva um arquivo (script-file) no Matlab, para solução/simulação de cada um dos itens constantes do Pre-Lab. Antes de resolver os exercícios lembre-se: só serão consideradas as soluções/simulações utilizando o Matlab, ou seja, qualquer resolução com o simulink servirá apenas para sua visualização e possível validação e conferência dos resultados obtidos com o Matlab. Procure sempre usar o comando help para obter informações de funções ou para saber informações sobre sua sintaxe. 2- Os gráficos plotados na figura 1 abaixo mostram a resposta de uma função de transferência simples de 1ª ordem ao degrau unitário. Estime as funções de transferência para as figuras 1a e 1b: Após determinadas as funções de transferência, Simule as respostas para um entrada ao degrau unitário para validação das mesmas. 3- A figura 2 abaixo, mostra a resposta ao degrau de dois sistemas de 2ª ordem simples com nenhum zero. A função de transferência pode ser parametrizada como: Para os gráficos 2a e 2b, estime os valores de e n das respostas ao degrau. Novamente, Simule os modelos obtidos, através da análise das curvas, para validação dos mesmos.

10 4- Criar um Script-file para plotar vários gráficos variando os valores da freqüência natural amortecida e o coeficiente de amortecimento. Analisar o comportamento das respostas a entrada ao degrau. 10

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