B. A. Angelico, P. R. Scalassara, A. N. Vargas, UTFPR, Brasil

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1 Estabilidade Estabilidade é um comportamento desejado em qualquer sistema físico. Sistemas instáveis tem comportamento, na maioria das vezes, imprevisível; por isso é desejável sempre garantirmos a estabilidade do sistema. 1 of 20

2 Nyquist Nos anos 1940, Nyquist desenvolveu um método para determinar a estabilidade de sistemas em malha-fechada analisando-se a malha aberta. O método de Nyquist baseia-se no Gráfico Polar. R(s) + E(s) G(s) H(s) Y(s) O Método de Nyquist é capaz de determinar a estabilidade do sistema malha-fechada acima somente analisando-se o Gráfico Polar da função de transferência de malha-aberta resultante do produto G(s)H(s). 2 of 20

3 Critério da Estabilidade de Nyquist Critério de Nyquist Se um contorno A, que envolve todo o semiplano direito do plano-s, for mapeado através da função de transferência de malha aberta, G(s)H(s), então o número de polos de malha fechada, Z, no semiplano da direita é igual ao número de polos de malha aberta, P, no semiplano da direita menos o número de rotações no sentido antihorário, N, do contorno mapeamento, isto é, Z = P N Esse mapeamento é chamado de Diagrama de Nyquist de G(s)H(s). Trabalhamos com a análise de F(s) = G(s)H(s) em vez de F(s) = 1 + G(s)H(s), e por isso deve-se contar as rotações do contorno mapeado em torno do ponto 1 (ponto de análise). 3 of 20

4 Critério da Estabilidade de Nyquist Critério de Nyquist O valor P representa o número de Polos de L(s) = G(s)H(s) no semiplano direito (P equivale a quantidade de Polos com parte real positiva). O valor N é o número de voltas completas em torno do ponto 1; essas voltas são realizadas por uma reta que liga o ponto 1 ao Diagrama de Nyquist fazendo-o variar desde ω = até ω = +. N é positivo no sentido counter-clock-wise ccw e negativo no sentido clock-wise cw. O sistema será estável quando Z = 0. Qualquer outro valor de Z diferente de zero implica em Instável. 4 of 20

5 Na figura a seguir, o sistema da parte (a) é estável pois P = 0 e N = 0; e o sistema da parte (b) não é estável pois P = 0 e N = 2. 5 of 20

6 Exemplo Considere a função de transferência B. A. Angelico, P. R. Scalassara, A. N. Vargas, UTFPR, Brasil L(s) = 1 s(1+τs). Determine a frequência ω 1 em que a fase é φ(ω 1 ) = 45 o. Baseando-se no gráfico, pode-se afirmar que o sistema será estável para qualquer τ > 0? 6 of 20

7 Exemplo Considere a função de transferência B. A. Angelico, P. R. Scalassara, A. N. Vargas, UTFPR, Brasil L(s) = K s(τ 1 s +1)(τ 2 s +1). Baseando-se no gráfico, pode-se afirmar que o sistema será estável para todos os valores τ 1 > 0,τ 2 > 0,K > 0? 7 of 20

8 Exemplo Considere a função de transferência B. A. Angelico, P. R. Scalassara, A. N. Vargas, UTFPR, Brasil L(s) = K s 2 (τs +1). Baseando-se no gráfico, pode-se afirmar que o sistema será estável? 8 of 20

9 Exemplo No sistema abaixo, para quais valores do ganho K o sistema é estável? 9 of 20

10 Solução: Percebemos que P = 2 (dois pólos no semiplano direito). Note que se 1/k estiver no intervalo (0, 1.33) então N = +2 pois há duas rotações no sentido ccw. Concluímos que o sistema é estável quando 1/k (0, 1.33). Se (1/k) < 1.33 então N = 0 e o sistema será instável. 10 of 20

11 Sistemas de Fase Mínima e de Fase Não-Mínima Sistemas que não possuem zeros e polos no semiplano direito são denominados sistemas de fase mínima. Sistemas que possuem zeros e/ou polos no semiplano direito são denominados sistemas de fase não mínima. Em ambos os tipos de sistema, a inclinação da curva de módulo em db quando ω tende a 20(q p) db/década, onde p e q são os graus dos polinômios do numerador e do denominador da função de transferência, respectivamente. Em sistemas de fase mínima, o ângulo de fase quando ω tende a 90 (q p). Em sistemas de fase não mínima isso não ocorre. 11 of 20

12 A análise seguinte é considerada para sistemas de fase mínima. Margem de Ganho (K g ): Mudança no valor do ganho a malha aberta no ponto com fase de 180 necessária para tornar instável o sistema a malha fechada. Em outras palavras, é o recíproco de G(jω) na frequência ω 1 em que o ângulo é 180, ou seja, quando φ(ω 1 ) = 180 o temos K g = 1 G(jω 1 ). Expressa em db, a margem de fase será positiva se o sistema (de fase mínima) for estável e será negativa para sistema (de fase mínima) instável. [ ] 1 K g = 20log 10 db = 20log G(jω 1 ) 10 G(jω 1 ) db 12 of 20

13 Margem de Fase (φ pm ): Mudança no valor de fase de malha aberta no ponto com ganho unitário, necessária para tornar instável o sistema a malha fechada. Em outras palavras, é o atraso de fase adicional, na frequência de cruzamento de ganho, necessária para que o sistema atinja o limiar de instabilidade. φ pm = 180 +φ, onde φ é o ângulo de fase da função de transferência de malha aberta no cruzamento de ganho. Para sistemas de fase mínima estáveis, φ pm deve ser positiva. As margens de fase e de ganho são medidas da proximidade do diagrama polar em relação ao ponto 1+j0. Tais margens podem ser utilizadas como critérios de projeto; Para um sistema de fase mínima, as margens de ganho e de fase devem ser positivas para que o sistema seja estável; Margens de ganho e de fase apropriados protegem contra variações no comportamento do sistema; Para um desempenho satisfatório, a margem de fase deve estar situada entre 30 e 60 e a margem de ganho deve ser superior a 6 db; 13 of 20 B. A. Angelico, P. R. Scalassara, A. N. Vargas, UTFPR, Brasil

14 14 of 20 B. A. Angelico, P. R. Scalassara, A. N. Vargas, UTFPR, Brasil

15 No gráfico do meio, a margem de ganho é o inverso da distancia d, ou seja 1/d. A margem de fase é o angulo que deveria ser incrementado de modo que o gráfico assumisse 180 o, e no gráfico central é φ of 20

16 A margem de fase é o valor que, se for adicionada ao sistema, torna-o instável. A margem de fase positiva garante a estabilidade. Em projetos, costuma-se escolher margem de fase entre +30 o e +60 o. 16 of 20

17 Note que se a Margem de Ganho for maior que 1 (ou Margem de Fase for negativa), então o sistema será instável. 17 of 20

18 Considere os gráficos acima e suponha que x = 0.5 e PM = 25 o. Determine a Margem de Ganho e Margem de Fase. 18 of 20

19 Relação: fator de amortecimento ξ e Margem de fase R(s) + E(s) G(s) Y(s) H(s) Considerando o sistema em malha fechada acima, suponha que definimos L(s) = G(s)H(s) e que L(s) tenha a forma-padrão de 2a. ordem Pode-se mostrar que L(s) = ω 2 n s(s +2ξω n ) ξ = 0.01φ pm, 0 < ξ < of 20

20 Dica de atividades Dica 1. Fazer os Exercícios apresentados no Cap. 9 do livro Sistemas de Controle Modernos - Richard C. Dorf, Robert H. Bishop. 2. Fazer os Exercícios apresentados no livro K. OGATA, Engenharia de Controle Moderno. 20 of 20

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