Análise de Sistemas no Domínio da Freqüência. Diagrama de Bode

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1 Análise de Sistemas no Domínio da Freqüência Diagrama de Bode

2 Análise na Freqüência A análise da resposta em freqüência compreende o estudo do comportamento de um sistema dinâmico em regime permanente, quando sujeito a uma entrada senoidal com amplitude constante e freqüência variável! θ ( ) = sin( ) i t A1 wt θ () = sin( φ) t A wt o 2 θ () t = A sin( wt) = Ae i 1 1 j( wt) θ () t = A sin( wt ϕ) = Ae o 2 2 j( wt ϕ ) θo() t Ae A = = e θ () t Ae A i j ( wt ϕ ) 2 2 j( wt) 1 1 j( ϕ ) 2/30

3 Análise na Freqüência ut () = Asin( wt) 1 G(s) yt () = Asin( wt φ) 2 Vamos demostrar que: Em ω : A 2 =A 1 G(i ω) φ é arg(g(iω)) 3/30

4 Relação entre o operador s de Laplace e iω Seja: ω Aω ut ( ) = Asin( ωt) U( s) = A a saída é: Y(s) =G(s)*U(s) =G(s)* s ω s + ω supondo que G(s) seja dado por: (s-z 1)(s-z 2)...(s-z m) (s-z 1)(s-z 2)...(z-z m) G(s)= então Y( s) = * (s-p )(s-p )...(s-p ) (s-p )(s-p )...(s-p ) s 1 2 n 1 2 n Aω + ω 2 2 ou 1 2 m ( ) em frações parciais tem-se: Y s (s-z )(s-z )...(s-z ) = (s-p )(s-p )...(s-p ) 1 2 n Aω, ( s+ ωi) ( s ωi) Y(s)= C1 C2 C3 Cn Cn+1 Cn , s p s p s p s p s+ ωi s-ωi n 4/30

5 Relação entre o operador s de Laplace e iω C C C C C s p s p s p s+ ωi s-ωi n+1 n+2 Y(s)=... ora: A Cn+1 = lim ( s+ iω) Y( s) = lim ( s+ iω) G( s) U( s) = G( iω) s ωi s ωi 2i A Cn+2 = lim( s iω) Y( s) = lim ( s iω) G( s) U( s) = G( iω) s ωi s ωi 2i C = lim ( s p ) Y( s), k = 1,2,..., n. k s p k k Assim: A A e + e + e + + G iω + ω < 2 e G i 2 e pk i i pt 1 p2t pt 3 iωt iωt y(t)=c C C... ( ) ( ), admitindo 0 (sist. estável) A iωt A y(t) regime = G( iω) + ( ω) 2 e G i 2 e i i iωt 5/30

6 Relação entre o operador s de Laplace e iω A iωt A iωt y(t) regime = G( iω) + ( ω) ora como G(i ω) é complexo então: 2 e G i 2 e i i iarg( G( iω)) iarg( G( iω)) G(i ω)= G(i ω) e G(-i ω)= G(i ω) assim: e e A y(t) G(i ω) 2i iarg( G( iω )) regime = e A arg( ( )) e + G(i ω) e 2 e i iωt i G iω iωt iωt iarg( G( iω)) iωt+ iarg( G( iω)) e + e y(t) regime = A G(i ω) portanto: 2 i Basta então fazer s=iω para se conhecer a resposta em freqüência do sistema G(s)!!! yt () regime = Gi ( ω) Asin( ωt + ar g ( Gi ( ω)) a magnitude da saída é a magnitude da entrada A multiplicada por G(iω) a fase da saída é a fase da entrada ωt somada ao arg(g(iω)) 6/30

7 Relação entre o operador s de Laplace e iω Outra formulação para se encontrar a relação entre o operador de Laplace s e a freqüência ω. Dado que: θ dθ() t = = ω dt dθ() t dt j( ωt) j( ωt) ( t) Ae ( j ) Ae )( = ( jω θ t) Aplicando Laplace dos dois lados tem-se: sθ jω Θ s jω ( s) = ( ) ( s) =!!!! 7/30

8 Diagrama de Bode: Exemplo Seja um sistema de primeira ordem: Quando sujeito a uma entrada senoidal unitária na freqüência ω, a magnitude da saída y(t) e a diferença de fase (em regime) serão: Ou: yt ( ) = Gs ( ) e ϕ = Gs ( ) r s= iω s= iω K Gi ( ω) = e ϕ = K 1+ Tωi 1+ Tiω 8/30

9 Diagrama de Bode: Exemplo K No exemplo: Gi ( ω ) = e Gi ( ) K 1 T i 1 Tωi ω = + + ω e Resposta em Freqüência Banda Passante! K/sqrt(2) 9/30

10 Diagrama de Bode: Exemplo O diagrama de bode é uma versão logarítmica dos gráficos de resposta em freqüência onde: Log do módulo x log da freqüência (gráfico da magnitude) Linear da fase x log da freqüência (gráfico da fase) O módulo é plotado no eixo y numa escala linear cujos valores são dados por: 10/30

11 Diagrama de Bode: magnitude Idéia Geral do Diagrama (construção e interpretação): Seja um sistema governado por G(s) na forma: Ps () Gs ( ) = então Qs () 20log Gs ( ) = 20log Ps ( ) 20log Qs ( ) Gs () = Ps () Qs () Exemplo: K( s+ a) Gs () = ( s+ b) 20log Gs ( ) = 20log Ks ( + a) 20log ( s+ b) log Gs ( ) = 20 log ( k) + 20 log ( wi+ a) 20 log ( wi+ b) /30

12 Diagrama de Bode: magnitude 20log Gs ( ) = 20log ( k) + 20log ( ωi+ a) 20log ( ωi+ b) ou log Gs ( ) = 20log ( k) + 20log ( ω + a) 20log ( ω + b) Termo independente da freqüência Termo dependente da freqüência: para w<<a vale 20log 10 (a) para w>> a vale 20log 10 (w) Termo dependente da freqüência: para w<< b vale -20log10(b) para w>> a vale -20log10(w) 12/30

13 Diagrama de Bode: magnitude 20log Gs ( ) = 20log ( k) + 20log ( ω + a) 20log ( ω + b) Então a expressão acima para ω>> a e ω >> b: 20log Gs ( ) = 20log ( k) + 20log ( ω) 20log ( ω) Num gráfico onde a escala do eixo x é logarítmica, ou seja log 10 (ω)=x 20log Gs ( ) = constante + 20x 20 x (soma de três parcelas) 10 Termo independente Reta com inclinação de +20db/década p/ w>>a Reta com inclinação de -20db/década p/ w>>b 13/30

14 Diagrama de Bode: magnitude log 10 Gs ( ) = 20 log 10( k ) + 20log10( ω + a ) 20 log10( ω + b ) 80 Bode Diagram Gs () = Ks ( + a) ( s+ b) 60 Magnitude (db) ( s + 10) Gs () = ( s + 100) Bode Diagram Frequency (rad/sec) Magnitude (db) ao encontar um zero sobe +20dB/dec e ao encontrar um pólo desce -20dB/déc!! Frequency (rad/sec) 14/30

15 Diagrama de Bode: magnitude Ks ( + a) 100( s+ 10) 100( s+ 10) Gs () = Gs () = Gs () = s+ b s+ s+ s+ 2 2 ( ) ( 100) ( 100)( 100) 20log Gs ( ) 20log Gs () = log 10( k ) 20log 10( ω + a ) 20log 10( ω + b 10 ω + b = 20log + 2* ( k) 20log 10( ω + a ) 20lo g1 0( ω + b ) ) 20log ( ) logo: lo g 10 Gs ( ) = 20 log 10(100 ) + 20log10 ω + 40log 10( ω ( 10 ) ) 15/30

16 Diagrama de Bode: magnitude l og10 Gs ( ) = 20 log 10( 100 ) + 20 log 10( ω + 10 ) 40 log 10( ω ) 100 Bode Diagram 50 Magnitude (db) 0-50 ao encontrar um zero duplo sobe +40dB/déc. e Frequency (rad/sec) ao encontrar um pólo duplo desce -40dB/déc.!! 16/30

17 Diagrama de Bode: magnitude Dicas: Ganho DC => G(s) s=0 Ganho no infinito G(s) s= 100( s + 10) Gs () = ( s + 100) G(0) = 10 20*log (10) = 20dB e G( ) = *log (100) = 40dB Magnitude (db) Bode Diagram Frequency (rad/sec) 17/30

18 Diagrama de Bode: magnitude Caso Especial: zeros ou pólos na origem. (Ganho DC => G(s) s=0 = Ganho no infinito G(s) s= =0) O pólo(zero) fornece uma reta com inclinação negativa (positiva). O valor da inclinação depende do número de pólos (zeros). Cada pólo(zero) contribui com -20dB(+20dB) 100( s+ 10) Gs ( ) = Gs ( ) = s 0 ss ( + 100) 20log ( Gs ( ) ) = 20log (100) + 20log ( ω log ( ω log ( ω) Reta com inclinação -20dB e que em ω=1 vale zero db! (em ω =10 vale -20dB) 18/30

19 Diagrama de Bode: magnitude Caso Especial: zeros ou pólos na origem. Ganho DC: G(s) s=0 = Ganho no infinito: G(s) s= =0) 100( s + 10) Gs ( ) = Gs ( ) s 0 ss ( + 100) Magnitude (db) Bode Diagram Frequency (rad/sec) log 10 Gs 20log 10(100) 20log 10( ω + 20log 10 ( ω ( ( )) = log ( ω) 10 19/30

20 Diagrama de Bode: Fase Idéia Geral do Diagrama da Fase (construção e interpretação): Seja um sistema governado por G(s) na forma: Ps () Gs ( ) = então Qs () 20log Gs ( ) = 20log Ps ( ) 20log Qs ( ) Gs () = Ps () Qs () Exemplo: K( s+ a) Gs () = ( s+ b) Gs () = Ks ( + a) ( s+ b) Gs () = K+ ( s+ a) ( s+ b) 20/30

21 Diagrama de Bode: Fase Gs () = K+ s+ a s+ b ou Gs ( ) = K+ iω+ a iω+ b ou ω ω Gs ( ) = 0+ artan( ) artan( ) a b Termo independente da freqüência Termo dependente da freqüência: para w<<a fase é nula para w>> a fase é 90 o Termo dependente da freqüência: para w<< b fase é nula para w>> b fase é -90 o 21/30

22 Diagrama de Bode: Fase Phase (deg) ω ω Gs () = KCONTRIBUIÇÃO + iω+ a NA iωfase + b ou Gs () = 0+ artan( ) artan( ) a b Termos constantes positivos = 0 o Termos constantes negativos = ±180 o Pólo na origem = -90 o Zero na origem = 90 º Zero (z=s+a) fora da origem : θ = atan(ω/a) Pólo (p=s+a) fora da origem: θ = -atan(ω/a) 60 ( ) 100( 10) Gs () = Ks+ a Gs () = s+ ( s+ b) ( s+ 100) b Ângulo de avanço θ => tan( θ ) = 0.5 a a b Frequency (rad/sec) Phase (deg) 30 Média Geométrica das freqüências: ω c =sqrt(10*100) Frequency (rad/sec) 22/30

23 Diagrama de Bode: Sistema de 2ª Ordem Substituindo s por jω ou Cuja magnitude e fase resultam em: 23/30

24 Diagrama de Bode: Sistema de 2ª Ordem Freqüência de ressonância ω r e valor de Pico M r Dado que O valor de pico de G(jw) ocorre na freqüência ressonante ω r dada por: Obs. a) Para ξ>0.707 não ocorre ressonância e Mr=1. A fase é: b) A magnitude decai monotonicamente com o crescimento da freqüência. 24/30

25 Diagrama de Bode: Sistema de 2ª Ordem Gs () = s (0.005)(10) s Bode Diagram 40 Magnitude (db) Phase (deg) Frequency (rad/sec) 25/30

26 Diagrama de Bode: Sistema de 2ª Ordem Gs () 1 = 2 s s + 2ξ + 1 ωn ωn 26/30

27 Diagrama de Bode: Fase Exemplos: 2 1 a) G( s) = b) G( s) = ( s+ 1)( s+ 2) s( s+ 1) 2 ω 2 c) G( s) = ) ( ) = s + 2 s+ s ( s+ 2) 2 2 n d G s 2 ξωn ωn 2 8s s 1 e) G( s) = f ) G( s) = s+ s s+ 2 ( 1) ( 1) 27/30

28 Constante de erro de posição A partir do diagrama de bode é possível encontrar o erro de posição K p Sistema tipo zero 28/30

29 Constante de erro de velocidade A partir do diagrama de bode é possível encontrar o erro de velocidade K v Sistema do tipo 1 29/30

30 Constante de erro de aceleração A partir do diagrama de bode é possível encontrar o erro de aceleração K a Sistema do tipo 2 30/30

31 Margem de ganho e margem de fase 31/30

32 Formas alternativas de apresentar dados Gráfico polar ou Diagrama de Nyquist: Gráfico logmagnitude x fase ou Gráfico de Nichols 32/30

33 Exemplo: obtenha as margens de ganho e de fase para o sistema, nos casos em que K=10 e K= /30

34 Curva margem de fase (γ) x fator de amortecimento (ξ) para um sistema de 2ª ordem G( s) = s.( s 2 ωn + 2. ξ. ω ) n ξ = γ /30

35 Curvas Mr x ξ e Mp x ξ para um sistema de 2ª ordem G( s) = s.( s 2 ωn + 2. ξ. ω ) n M r : magnitude do pico ressonante M p : sobre-sinal (overshoot) ξ : fator de amortecimento 35/30

36 Largura de banda (bandwidth) e freqüência de corte ω b (cutoff frequency) Resposta em freqüência em malha fechada A LB indica como um sistema vai seguir um sinal senoidal. É proporcional à velocidade de resposta. LB grande corresponde a um pequeno tempo de subida. A LB decresce com o aumento de ξ. 36/30