ANÁLISE E CONTROLE DE SISTEMAS LINEARES

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1 sid.ipe.br/mtc-m9/0/ pud ANÁLISE E CONTROLE DE SISTEMAS LINEARES Valdemir Carrara URL do documeto origial: < INPE São José dos Campos 0

2 PUBLICADO POR: Istituto Nacioal de Pesquisas Espaciais - INPE Gabiete do Diretor (GB) Serviço de Iformação e Documetação (SID) Caixa Postal 55 - CEP São José dos Campos - SP - Brasil Tel.:(0) /69 Fax: (0) pubtc@sid.ipe.br CONSELHO DE EDITORAÇÃO E PRESERVAÇÃO DA PRODUÇÃO INTELECTUAL DO INPE (RE/DIR-04): Presidete: Marciaa Leite Ribeiro - Serviço de Iformação e Documetação (SID) Membros: Dr. Atoio Ferado Bertachii de Almeida Prado - Coordeação Egeharia e Tecologia Espacial (ETE) Dr a Iez Staciarii Batista - Coordeação Ciêcias Espaciais e Atmosféricas (CEA) Dr. Gerald Jea Fracis Bao - Coordeação Observação da Terra (OBT) Dr. Germao de Souza Kiebaum - Cetro de Tecologias Especiais (CTE) Dr. Maoel Aloso Ga - Cetro de Previsão de Tempo e Estudos Climáticos (CPT) Dr a Maria do Carmo de Adrade Noo - Coselho de Pós-Graduação Dr. Plíio Carlos Alvalá - Cetro de Ciêcia do Sistema Terrestre (CST) BIBLIOTECA DIGITAL: Dr. Gerald Jea Fracis Bao - Coordeação de Observação da Terra (OBT) REVISÃO E NORMALIZAÇÃO DOCUMENTÁRIA: Marciaa Leite Ribeiro - Serviço de Iformação e Documetação (SID) Yolada Ribeiro da Silva Souza - Serviço de Iformação e Documetação (SID) EDITORAÇÃO ELETRÔNICA: Vivéca Sat Aa Lemos - Serviço de Iformação e Documetação (SID)

3 sid.ipe.br/mtc-m9/0/ pud ANÁLISE E CONTROLE DE SISTEMAS LINEARES Valdemir Carrara URL do documeto origial: < INPE São José dos Campos 0

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5 Resumo Este curso de Aálise e Cotrole de Sistemas Lieares foi preparado para ateder as ecessidades de disciplias de Sistemas Lieares e Cotrole de Sistemas Lieares em cursos de Egeharia da Computação, Egeharia Elétrica-Eletrôica, Egeharia Mecâica e Egeharia de Cotrole e Automação. Procurou-se dar êfase aos pricípios básicos ecessários à compreesão do assuto, sem cotudo dar êfase em excesso à teoria. O leitor poderá cosultar os livros citados a bibliografia caso teha ecessidade de iformações detalhadas sobre determiado tópico. Os exemplos foram escolhidos para cosolidar o cohecimeto e permitir a visão das possíveis aplicações, sem cotudo ser exaustivo. Os capítulos de a 6 cobrem a Aálise de Sistemas Lieares e o Cotrole é coberto a partir do capítulo 7. O capítulo faz uma revisão da teoria de equações difereciais lieares, cobrido também as ferrametas ecessárias para a sua compreesão como, por exemplo, as fuções descotíuas (degrau e impulso) e os úmeros complexos. A trasformada de Laplace é desevolvida o capítulo e as equações elemetares de sistemas lieares é apresetada o capítulo seguite. O capítulo 4 mostra a decomposição de fuções de trasferêcia em frações parciais, e os diagramas de blocos são mostrados o capítulo 5. Seguem a aálise da resposta de sistemas lieares às excitações descotíuas e o cotrole clássico (proporcioal, derivativo, itegral) os demais capítulos. O material de cosulta utilizado baseou-se os livros clássicos da área, apresetados a bibliografia. iii

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7 Aalysis ad Cotrol of Liear Systems Abstract This course of Aalysis ad Cotrol of Liear Systems was prepared to help uder gratuated studets i the courses of Liear Systems ad Liear Cotrol Systems i Computer Egieerig, Electrical Egieerig, Electroics, Mechaical Egieerig ad Cotrol ad Automatio Egieerig. The basic priciples ecessary to uderstad each topic were emphasized, avoidig to give much attetio o theory. The readers are ecouraged to cosult the books cited i the bibliography if they eed more iformatio o a particular subject. The examples cotaied i this book were chose i order to cosolidate the kowledge ad to provide to the readers the possible applicatios of theory, however ot beig to much comprehesive, i favor of clariess. Chapters -6 cover the Aalysis of Liear Systems ad the Cotrol is covered startig from Chapter 7. Chapter reviews the theory of liear differetial equatios, ad covers the tools ecessary for their uderstadig, like, for istace, discotiuous fuctios (step ad impulse) ad complex umbers. The Laplace trasform is developed i Chapter ad the basic equatios of liear systems is preseted i the ext chapter. Chapter 4 shows the decompositio of trasfer fuctios i partial fractios, ad the block diagrams are show i Chapter 5. I sequece the respose aalysis of liear systems with discrete excitatios ad the classic cotroller (proportioal, derivative, itegral) are preseted i the remaiig chapters. The bibliografy used to compile this course was based o the classical books of Cotrol Systems. v

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9 Sumário CONCEITOS FUNDAMENTAIS.... Noções básicas de sistemas.... Liearizações de sistemas ão lieares Números complexos Séries de fuções com ifiitos termos Fuções descotíuas o tempo....6 Equações difereciais ordiárias a coeficietes costates Movimeto harmôico amortecido Exercícios... TRANSFORMADA DE LAPLACE...3. Defiição de trasformada de Laplace...3. Propriedades da trasformada de Laplace Trasformadas de Laplace de fuções simples Fução de trasferêcia Poliômio característico SISTEMAS DINÂMICOS LINEARES Elemetos de sistemas diâmicos Mecâico traslacioal Mecâico rotacioal Elétrico Hidráulico Elemetos de etrada fotes Modelagem de sistemas diâmicos pela trasformada de Laplace Elemetos trasformadores e trasdutores Elemetos trasformadores Elemetos trasdutores Exercícios TRANSFORMADAS INVERSAS DE FUNÇÕES DE TRANSFERÊNCIA Trasformada iversa de Laplace para sistemas lieares Decomposição em frações parciais para m < Decomposição em frações parciais quado m Decomposição em frações quado G(s) possui pólos múltiplos Aálise algébrica da fução de trasferêcia Exercícios DIAGRAMA DE BLOCOS Coceito de diagrama de blocos Maipulação de diagrama de blocos Exercícios ANÁLISE DO TRANSIENTE DE RESPOSTA Trasiete de resposta Sistemas de primeira ordem Resposta do sistema de primeira ordem ao degrau uitário Resposta do sistema de primeira ordem ao impulso uitário Resposta do sistema de primeira ordem à rampa Sistemas de seguda ordem...87 vii Pág.

10 6.3. Resposta do sistema de seguda ordem para 0 < ζ < Resposta do sistema de seguda ordem para ζ = Resposta do sistema de seguda ordem para ζ > Aálise de desempeho com base a resposta trasiete CONTROLE CLÁSSICO DE SISTEMAS Defiições Cotroladores auto-operados Cotrole o-off Cotroladores proporcioais (P) Cotrolador proporcioal-derivativo (PD) Cotroladores itegrais (I) Cotrolador proporcioal-itegral (PI) Cotrolador proporcioal-itegral-derivativo (PID) Exercícios... APÊNDICE A... 7 A- Alfabeto Grego... 7 viii

11 CONCEITOS FUNDAMENTAIS Neste capítulo serão abordados algus coceitos ecessários à compreesão e o estudo de cotrole de sistemas. Serão revistos a termilogia empregada, os coceitos de sistemas, a liearização de sistemas ão-lieares, uma revisão de úmeros complexos, de séries covergetes com ifiitos termos, fuções descotíuas o tempo e as soluções de equações difereciais de sistemas lieares.. Noções básicas de sistemas Sistemas são cojutos de compoetes que atuam jutos realizado determiada fialidade. Um sistema pode ser costituído de sub-sistemas, e pode também ser parte de um sistema maior. O estado de um sistema é o cojuto de valores ecessários e suficietes que permitem saber, a cada istate, a cofiguração e a situação atual de todo ele. Por exemplo, para cotrolar a temperatura de uma câmara frigorífica é ecessário que esta temperatura esteja dispoível para o cotrolador, de tal forma que ele possa aumetá-la quado a câmara estiver muito fria ou reduzi-la se estiver quete. A temperatura (e tudo o mais que for ecessário) costitui uma das variáveis de estado deste sistema. O estado de um sistema é caracterizado, portato, pelas suas variáveis de estado. Sistemas diâmicos são sistemas cujas variáveis de estado variam o tempo, segudo leis físicas que podem ser modeladas matematicamete. Uma plata é também um cojuto de compoetes, ou parte de uma máquia, ou uma máquia como um todo, com a fialidade de desempehar uma determiada operação. Uma plata ecessariamete ão egloba o equipameto que efetua o seu cotrole, equato que um sistema pode represetar ambos. A Figura. exemplifica a difereça etre uma plata e um sistema. Em outras palavras, uma plata é um sistema que precisa ser cotrolado. Sob este poto de vista, a plata pode até coter um cotrolador itero de um ou mais de seus compoetes, mas estes cotroladores ão são vistos exteramete. Sistema Cotrole Plata Figura. - Um sistema pode evolver um cotrole, que também pode ser cosiderado um sistema, e a plata a ser cotrolada. Uma perturbação é um esforço ou sial que afeta a resposta do sistema ou de uma plata. A perturbação é cosiderada geralmete a forma aditiva à diâmica, isto é, sobrepõe-se ao modelo matemático da diâmica. Cotudo, certas perturbações exibem características ão aditivas que depedem do estado da plata e atuam de forma ão-liear. Cotrole realimetado ou cotrole em malha fechada é uma operação que reduz a difereça etre a saída (resposta) de um sistema ou plata a uma referêcia extera préestabelecida. Um sistema de cotrole de temperatura ambiete por meio de um equipameto

12 de ar-codicioado ou um simples termostato são exemplos de cotrole realimetado. A Figura. ilustra a represetação gráfica de um cotrole realimetado. O cotrolador calcula o sial de atuação com base a discrepâcia etre a saída da plata e a referêcia extera. Servo-sistemas são cotroladores de posição, velocidade ou de aceleração. Um servosistema é composto por um elemeto sesor, pela lógica de cotrole e pelo atuador (de posição, velocidade ou aceleração). Reguladores automáticos são sistemas cotroladores em malha fechada ode o sial de referêcia é costate e ão pode ser alterado. referêcia do cotrole Cotrole sial de atuação Plata saída ou estado Figura. Cotrole realimetado ou em malha fechada Sistemas em malha aberta ou cotroladores em malha aberta são sistemas o qual o cotrolador ão ecessita da iformação da saída ou do estado da plata para utilizar o sial de atuação (ver Figura.3). referêcia do cotrole Cotrole sial de atuação Plata saída ou estado Figura.3 Represetação do cotrole em malha aberta Modelos de sistemas são represetações que permitem estabelecer relações etre causa e efeito de sistemas diâmicos. Os modelos podem ser físicos ou matemáticos. Modelos físicos assemelham-se a sistemas reais, porém são mais simples, matedo as características mais importates. Os modelos matemáticos procuram represetar o comportameto diâmico dos sistemas por meio de equações matemáticas (equações de derivadas, equações de difereças). Pode-se prever o comportameto diâmico de uma plata pela aálise do seu modelo físico ou matemático. Por exemplo, seja o sistema diâmico mostrado a Figura.4, composto por uma massa m, uma mola de coeficiete k e um amortecedor com coeficiete de amortecimeto b. Este sistema, que se desloca a vertical, pode represetar um sistema de suspesão de um veículo. A equação matemática que descreve o movimeto do cojuto em fução do deslocameto x o da massa e da extremidade do amortecedor e mola, x i, é também mostrada a figura.

13 m x o k b mɺɺ x b( xɺ xɺ ) k ( x x ) = 0 o o i o i x i Figura.4 Um sistema composto por uma massa, mola e amortecedor pode represetar a suspesão de um veículo. O diagrama mostrado Figura.5 ilustra os diferetes tipos de sistemas e os modelos matemáticos utilizados a sua represetação. Sistemas diâmicos estocásticos possuem um comportameto imprevisível, e portato ão podem ser modelados. Um ruído é um exemplo de uma diâmica estocástica. Sistemas determiísticos, ao cotrário, possuem uma diâmica previsível que pode ser modelada matematicamete. Se o sistema for determiístico, ele pode ser modelado por parâmetros cocetrados ou distribuídos. Sistema a parâmetros cocetrados sigifica que, dado as codições do sistema um istate, é possível prever a sua codição em qualquer istate. Já com parâmetros distribuídos, o estado é uma fução de outros parâmetros. Um exemplo de um sistema com parâmetros cocetrados é o sistema massa-mola-amortecedor mostrado a Figura.4. Este tipo de sistema é descrito por uma equação diferecial o tempo (df/dt). A distribuição de temperatura uma placa aquecida, por sua vez, é um sistema com parâmetros distribuídos, uma vez que a temperatura em cada poto depede da posição ode é medida e do tempo. Sistemas a parâmetros distribuídos são goverados por equações difereciais parciais ( f/ x). Quado o sistema possuir parâmetros cocetrados, ele poderá ser modelado por fuções cotíuas ou discretas o tempo. Sistemas discretos são aqueles que assumem valores apeas em determiados istates de tempo. Eles podem, evetualmete, ser modelados por fuções cotíuas. A propriedade discreta pode tato estar o próprio sistema quato a forma de se medir o sistema. Se a medição for discreta, a itervalos regulares o tempo, este sistema é cosiderado discreto. Exemplos de sistema discretos são: o úmero de habitates cotamiados a cada ao pelo vírus da gripe, a temperatura máxima do dia observada durate um ao um dado local, etc. Se um sistema diâmico cotíuo for simulado um computador, ele passa a ser discreto, uma vez que é impossível obter o valor do estado a cada istate de tempo, mas somete os potos calculados pelo computador. Na prática, porém, cosidera-se que o cálculo efetuado pelo computador é preciso o suficiete para que o sistema possa ser admitido como cotíuo. Sistemas cotíuos o tempo são aqueles os quais é possível cohecer o estado a qualquer istate de tempo. Detro de sistemas cotíuos, o comportameto diâmico pode ser liear ou ão liear. Sistemas lieares são descritos por equações lieares (defiidas logo a seguir) que se assemelham à equação de uma reta, ao passo que sistemas ão lieares possuem termos com o quadrado, ou o cubo, ou o seo ou aida a fução expoecial das variáveis de estado. Se o sistema for liear, os coeficietes da equação liear podem ser costates (sistema a parâmetros costates) ou etão variar letamete o tempo (sistemas variates o tempo). Se os coeficietes variam rapidamete o tempo, é muito provável que este sistema ão seja liear. Exemplos de sistemas com parâmetros variates o tempo são aeroaves e foguetes. Neles, a massa do veículo varia coforme o combustível é cosumido, e as características diâmicas sofrem ifluêcia desta variação. Fialmete, os 3

14 sistemas podem aida depeder de apeas uma ou de mais de uma variável de estado. No primeiro caso tem-se os sistemas moovariáveis e, o segudo, tem-se sistemas multivariáveis. A Figura.4 mostra um exemplo de sistema moovariável. Porém, o cojuto completo de suspesão de um veículo seria um sistema multivariável, já que depederia do úmero de rodas presetes o veículo. Para cada roda, acresceta-se uma equação a mais o modelo matemático e, portato, mais uma variável de estado. Modelos matemáticos Estocásticos comportameto imprevisível Parâmetros cocetrados T = f(t) Determiísticos Parâmetros distribuídos T = f(x, y, t) Discreto x k = f(x k, x k-, ) Cotíuo xɺ = f ( x, t) Liear Não liear xɺ = A x Bu xɺ = f ( x, u, t) Variate o tempo A = A(t) (foguete) Parâmetros costates A = cte (m-k-b) Moovariáveis Multivariáveis Figura.5 Sistemas diâmicos e sua represetação por modelos matemáticos Serão utilizados aqui apeas modelos matemáticos, uma vez que eles permitem efetuar a aálise do comportameto diâmico dos sistemas, bem como sua cotrolabilidade, isto é, a verificação se estes sistemas podem ou ão ser cotrolados e como deve ser este cotrole. Além disso, serão abordados sistemas lieares a quase totalidade do curso, pricipalmete em virtude de que a teoria de cotrole modera deriva exclusivamete de sistemas lieares. Um sistema y = H(x) é liear se obedece à relação: H ( α x β x ) = α H ( x ) β H ( x ) = α y β y (.) Seja, por exemplo, a equação diferecial ordiária de a ordem y = mɺɺ x b xɺ k x. Esta equação é liear, pois se x = x x, etão 4

15 y = mɺɺ x b xɺ k x = m ( ɺɺ x ɺɺ x ) b ( xɺ xɺ ) k ( x x ) = mɺɺ x b xɺ k x mɺɺ x b xɺ k x de ode se coclui que (.) y = y y (.3) Nem todos os sistemas físicos reais são lieares. Na verdade, a grade maioria deles é ão liear até um certo grau. Isto ão sigifica que a teoria de cotrole de sistemas lieares ão possa ser aplicada a sistemas ão lieares, mas sim que se deve proceder a uma liearização (quado possível) do sistema a fim de torar o cotrole meos suscetível às ão liearidades. Ifelizmete em sempre esta prática resulta um sistema cotrolável.. Liearizações de sistemas ão lieares O comportameto de sistemas ão lieares pode ser aproximado por meio de um sistema liear equivalete, em toro de uma região pequea de operação. Dado etão um modelo ão liear, o modelo liearizado é obtido por expasão em série de Taylor da diâmica, e cosidera-se esta expasão apeas o termo costate e o termo de primeiro grau. Se y = f(x) represetar uma diâmica ão liear, etão a expasão em série de Taylor desta fução forece: 3 df d f d f 3 y f ( xo ) ( xo ) ( x xo ) ( x ) ( ) ( ) ( ) o x xo x 3 o x xo (.4) dx dx 3! dx Se, cotudo, a fução depeder de mais de uma variável, como por exemplo y = f(x, x,, x ), etão a série de Taylor com termos até o primeiro grau, em toro do poto ( x,, x ) fica: f f y f ( x,, x ) ( x,, x ) ( x x ) ( x,, x ) ( x x ). (.5) x x O valor f ( x,, x ) é cohecido como poto de operação. A aproximação da série de Taylor é válida, portato, uma pequea região em toro do poto de operação. Quase todos os sistemas diâmicos exibem alguma ão liearidade. Felizmete, também quase todos podem ser aproximados por meio de equações lieares. Algus exemplos destes sistemas são forecidos a seguir. Exemplo. O arrasto aerodiâmico em um veículo (atrito do ar que tede a deter seu movimeto), mostrado esquematicamete a Figura.6, é modelado matematicamete em fução da velocidade xɺ por: Fa = ρ Cd A xɺ ode ρ é a desidade do ar, C d é o coeficiete de atrito, e A é a área frotal do veículo. O atrito aumeta, portato, com o quadrado da velocidade. Logo, tem-se um comportameto ão liear desta força. A liearização da força em toro do poto de operação v leva a 5

16 Fa ρ Cd A v ρ Cd A v ( v v ) = ρ Cd A v ( v v ) v Figura.6 Arrasto aerodiâmico de um veículo em movimeto. Exemplo. O movimeto de um pêdulo simples, mostrado a Figura.7, pode ser obtido pelo equilíbrio dos mometos que atuam ele, ou seja: τ θ = ɺɺ θ θ = ( ) ml m g l se 0 Uma vez que seθ ão é liear, pode-se etão liearizar a equação em toro do poto de operação θ = 0, que resulta: τ θ ɺɺ, τ( θ) τ (0) (0) = ml θ m g l cos(0) θ e fialmete τ( θ) ml ɺɺ θ m g l θ. l θ m P = m g Figura.7 Movimeto de um pêdulo simples Os sistemas lieares ocupam lugar de grade destaque a aálise e o estudo de cotroladores. Sistemas lieares ivariates o tempo (parâmetros costates) são descritos matematicamete por equações difereciais ordiárias, e portato a aálise destas equações difereciais forece iformações sobre a cotrolabilidade de sistemas. 6

17 Ates porém de apresetar-se os sistemas diâmicos lieares, covém efetuar-se uma pequea recordação de úmeros complexos, séries ifiitas e de fuções descotíuas o tempo, que serão vistos as próximas seções..3 Números complexos Números complexos surgem em decorrêcia da solução de equações algébricas a forma: a x a x a x a0 = 0. (.6) Pode-se mostrar que se for ímpar, uma das raízes é real. Além disso, se houver raízes complexas, etão elas aparecem aos pares, formado pares cojugados. As raízes complexas surgem quado a solução da equação aparece a raiz quadrada de um úmero egativo. Seja, por exemplo, a equação do o grau: a x b x c cujas raízes são: = 0, (.7) x i b ± b 4ac =, i =, (.8) a Se o valor sob a raiz for egativo, isto é, se = b 4ac < 0, etão esta equação ão possui raízes reais, mas sim duas raízes complexas cojugadas, dadas por: b b x = j, e x = j, (.9) a a a a ode j é a base dos úmeros complexos, e vale j =. Um úmero complexo z = x y j pode ser etedido como um poto um plao, já que possui duas coordeadas idepedetes, ou seja z = (x, y), com z C (cojuto dos úmeros complexos), e x e y R (cojuto dos úmeros reais). x é deomiado de parte real: x = Re( z), (.0) e y é a parte imagiária do úmero complexo: y = Im( z). (.) O cojugado de um úmero complexo é também um úmero complexo o qual a parte imagiária troca de sial com relação ao úmero complexo origial. Represeta-se o cojugado de um úmero complexo por uma barra sobre o símbolo da variável. Assim, se z = x y j for um úmero complexo, seu cojugado é dado por z = x y j. É claro que o cojugado do cojugado é o próprio úmero complexo, isto é z = z. A soma de um úmero complexo com seu cojugado resulta um úmero real: z z = x y j x y j = x. (.) Da mesma forma, a difereça de um úmero complexo e seu cojugado resulta um úmero imagiário puro: 7

18 z z = x y j x y j = y j. (.3) O cojugado da soma de dois úmeros complexos é igual à soma dos cojugados: z z = z z (.4) O cojugado de um produto etre dois úmeros complexos é também igual ao produto dos cojugados: z z = z z, (.5) e o cojugado do iverso de um úmero complexo é igual ao iverso do cojugado: z = z. (.6) Segue, da defiição de base complexa, que j =, j 3 = j, j 4 =, j 5 = j, e assim em diate. Igualmete, tem-se também pela defiição, que /j = j, bastado que se multiplique o umerador e o deomiador por j para se provar a idetidade. Logo, o produto de dois úmeros complexos é também um úmero complexo, pois: z ( x y j) ( x y j) x x ( x y x y ) j y y j = = = = x x y y ( x y x y ) j e o produto de um úmero complexo pelo seu cojugado é um úmero real: (.7) z = ( x y j)( x y j) = x x y y j = x x y y (.8) Igualmete, a razão de úmeros complexos também pode ser reduzida a um úmero complexo bastado que se multiplique o umerador e o deomiador pelo cojugado do deomiador: x y j x y j x y j x x y y x y x y z = = = j = a b j x y x y x y x y x y j j j Com isso tem-se que qualquer úmero a forma: (.9) z = aj a j aj aj a0 m m bm j bm j b j b j b0 (.0) pode ser reduzido a um úmero complexo z = x y j. De fato, qualquer poliômio em j pode ser reduzido a um úmero complexo com parte real e parte imagiária, uma vez que potêcias da base complexa podem ser reduzidas a um úmero real ou imagiário puro, como mostrado o exemplo a seguir. Exemplo.3 Simplificar o úmero complexo dado por z = Solução: 3 j j j 3j j

19 Primeiramete simplifica-se o umerador e o deomiador do úmero complexo por meio da defiição de potêcia da base complexa, ou seja, j = e j 3 = j. Tem-se etão que: j 4j 3 5j z = = 3 j 4 j Em seguida, multiplica-se o umerador e o deomiador pelo cojugado do deomiador, o que resulta: 5j j 4j 5j 6 4j z = = = = 3 j j j Números complexos podem ser postos em coordeadas polares (r, θ), a forma: jθ z = r(cos θ j se θ ) = r e (.) A prova da expressão acima é dada a próxima seção..4 Séries de fuções com ifiitos termos A relação apresetada a seção aterior, e repetida aqui jθ z = r(cos θ j se θ ) = r e (.) é, de certa forma, de difícil compreesão. Afial, o que sigifica a fução expoecial de um úmero complexo? Sabe-se, por exemplo, que e = ode e é a base dos logaritmos eperiaos, mas como avaliar a expoecial de um úmero imagiário, ou e j, ou aida e? Para obter este resultado e algus outros, recorre-se à expasão de fuções em séries ifiitas. Ao aplicar-se a série de Taylor à fução expoecial em toro do poto x = 0, tem-se que: x x 3 x x 0 d e d e d e 3 e e (0) ( x 0) (0) ( x 0) (0) ( x 0) (.3) 3 dx dx 3! dx É coveiete ressaltar que o símbolo! idica o fatorial de um úmero, isto é, o produto deste úmero por todos os iteiros positivos meores do que ele:! = () () Uma vez que a derivada da fução expoecial é igual a ela própria, todas as derivadas acima resultam iguais a e a série fica: x x x x x e x (.4) 3! 4! 5! Pode-se mostrar que esta fução, e também as séries do seo e do co-seo são covergetes, isto é, a cada ovo termo calculado da série, a fução tede para seu valor real, isto é: x lim = 0 (.5)! e portato 9

20 e x i = x lim i! (.6) i = 0 As fuções seo e co-seo de x podem igualmete ser expadidas em séries ifiitas em toro do poto x = 0, resultado, respectivamete: e i i x x x x x x se x = ( ) = x (.7) ( i )! 3! 5! 7! 9!! i= 0 i i x x x x x x cos x = ( ) = (.8) ( i)!! 4! 6! 8! 0! i= 0 Nota-se que a série do seo possui apeas expoetes ímpares, equato que a série do coseo possui apeas expoetes pares. Além disso, pode-se mostrar que a derivada destas séries resultam formas corretas, ou seja: x d e d x x x x x x x = x = x = e, (.9) dt dx 3! 4! 3! 4! e d se x d x x x x x x = x = = cos x (.30) dx dx 3! 5! 7!! 4! 6! d cos x d x x x x x x = = x = se x (.3) dx dx! 4! 6! 3! 5! 7! A partir da defiição da fução expoecial em termos de uma série de fatores ifiita, para avaliar agora a expoecial de um úmero complexo basta fazer j j j j j e j. (.3) 3! 4! 5! Porém, sabe-se que j =, j 3 = j, j 4 =, j 5 = j,..., ou seja j 4k i, para i = 0 j, para i = =, para k = 0,,,... (.33), para i = j, para i = 3 e substituido estes resultados a fução expoecial, tem-se j j j j e = j = 3! 4! 5! 6! 7! = j 4! 6! 3! 5! 7! (.34) 0

21 que é um úmero complexo. A expoecial de um úmero complexo z = x yj pode ser avaliada agora como j j j j j j x y x y x y y y y e = e e e yj, (.35) 3! 4! 5! ou aida j x y x y y y y y y y y e e j y. (.36) 4! 6! 8! 3! 5! 7! 9! Vê-se, porém, que a parte real é uma série de co-seo e a parte imagiária é uma série de seo, o que leva a x yj x e = e (cos y j se y). (.37) Este coceito leva à famosa equação de Euler, tida por muitos como a mais bela fórmula matemática, dada a sua simplicidade: e π j = Pode-se agora calcular a expoecial do cojugado de z, que vale: (.38) x yj x e = e (cos y j se y). (.39) Se a parte real do úmero complexo for ula, etão as expoeciais do complexo e de seu cojugado ficam: yj e = cos y jse y, (.40) yj e = cos y jse y A adição de ambas as expressões permite obter o valor do co-seo, equato que a subtração permite calcular o seo: e y y cos y = (e j e j ) (.4) yj yj j yj yj se y = (e e ) = (e e ) j (.4) Estas duas expressões serão utilizadas adiate para calcular a trasformada de Laplace das fuções seo e co-seo..5 Fuções descotíuas o tempo Na solução de problemas diâmicos, é freqüete ecotrar-se situações as quais um sistema sofre um impacto, ou uma ação descotíua o tempo, ou um impulso. Exemplos de tais ações são: o choque etre duas bolas (impulso) o qual a força exercida o cotacto é alta e a duração da ação é curta, e o brusco acioameto de um sistema elétrico ao ligar-se a chave de alimetação. Tais ações são cosideradas descotíuas o tempo, pois assumem valores

22 diferetes em istates de tempo muito próximos etre si. No mudo real macroscópico, cotudo, ão existem descotiuidades, pois a cada istate pode ser determiado o valor exato da ação. Matematicamete, porém, é coveiete cosiderá-las descotíuas, uma vez que é muito difícil estabelecer quais os limites do impulso e da duração do eveto. Defie-se, com isso, algumas fuções típicas que caracterizam evetos descotíuos o tempo. Estas fuções são: a fução degrau, a fução impulso e a fução rampa. a) Fução degrau uitário A fução degrau uitário correspode a uma ação que modifica istataeamete uma determiada codição, ou variável, de um sistema, como a posição, ou a velocidade, ou a carga elétrica um capacitor, ou a vazão em uma tubulação, a ativação elétrica de um circuito, ou aida o iício da ação de uma força, por exemplo. A fução degrau uitário é defiida como 0, para t 0 ( t) <, para t 0 (.43) cujo gráfico é mostrado a Figura.8. (t) t Figura.8 Fução degrau uitário. b) Fução impulso uitário A fução impulso uitário correspode a uma ação que age sobre um sistema durate um itervalo ifiitesimal de tempo, ou seja, ela atua por um pequeo itervalo de tempo e depois cessa a atuação. Esta fução é também cohecida como fução delta de Dirac. Na fução impulso uitário a potêcia e a eergia despedidas a ação são limitados, porém a ação ão é. Isto se deve ao fato de que o itervalo de tempo que dura o acioameto é muito pequeo, e tede a zero, fazedo com que a força este itervalo teda a ifiito. Um bom exemplo da aplicação de um impulso uitário é o choque etre duas partes mecâicas. A fução impulso uitário é defiida como: 0, para t < 0 δ( t) lim, para 0 t < t (.44) t 0 t 0, para t t cujo comportameto é visto a Figura.9

23 δ (t) t c) Fução rampa Figura.9 Fução impulso uitário. A fução rampa correspode a uma ação que cresce liearmete o tempo, a partir de uma ação ula. Ela é cotíua o tempo, porém sua derivada é descotíua a origem. Quado o tempo tede a ifiito, o valor da ação a fução rampa também tede a ifiito. Na prática isto ão ocorre, uma vez que ão se cosegue gerar ações de itesidade ifiita. A fução rampa é defiida por: 0, para t < 0 ρ( t) t, para t 0 (.45) com comportameto visto a Figura.0. ρ(t) t Figura.0 Fução rampa. As fuções degrau uitário, impulso uitário e rampa são utilizadas as trasformadas de Laplace, pois permitem obter a solução de um sistema sujeito a ações descotíuas o tempo..6 Equações difereciais ordiárias a coeficietes costates. Um sistema diâmico liear ivariate o tempo y(t) é modelado por uma equação diferecial a forma: m m d y d y dy d x d x dx 0 = m m m m 0 a a a a y b b b b x (.46) dt dt dt dt dt dt ode x(t) é cohecido como etrada do sistema, ou etão por termo forçate, y(t) costitui a saída do sistema ou variável de estado e a i (i =,, ) e b j (j =,, m) são costates. Se o termo forçate for ulo, etão a equação diferecial resultate, 3

24 d y d y dy 0 0 = a a a a y, (.47) dt dt dt é deomiada de equação homogêea. A solução da equação diferecial é composta por uma combiação liear das soluções da equação homogêea, adicioada a uma solução (cohecida como solução particular ) da equação diferecial completa. Assim tem-se y( t) = c y ( t) c y ( t) c y ( t) y ( t) (.48) p ode cada y i (t) é uma das soluções da equação homogêea e y p (t) é uma solução particular (pode haver mais de uma solução particular). Pode-se mostrar, sem muita dificuldade, que as soluções da equação homogêea são dadas por: λ y ( t) = α e i t, (.49) i i tal que α i e λ i são costates que depedem da equação homogêea. De fato, substituido esta solução a equação homogêea, tem-se λi t λi t λi t λi t a α λ e a α λ e a α λ e a α e = 0, (.50) i i i i i i 0 i que pode ser reescrita como a λ a λ a λ a =. (.5) i i i 0 0 A equação acima é uma equação algébrica de ordem que irá gerar as raízes, ou soluções λ i da equação diferecial homogêea. Esta equação é cohecida como equação característica da equação homogêea. Esta equação será estudada adiate, quado forem vistas as fuções de trasferêcia de sistemas lieares. A solução da equação homogêea é etão dada por λ ( ) e i t y t = c α (.5) h i i i= mas como ão há como obter separadamete os valores de c i e de α i, etão fazedo b i = c i α i a solução da equação homogêea fica ( ) e i t y t = b λ (.53) h i= i Pode-se agora calcular os valores de b i a partir das codições iiciais, que iformam qual é o estado do sistema o istate t = 0. As codições iiciais estabelecem restrições ão apeas ao valor de y, mas também ao valor de suas derivadas temporais. Num sistema mecâico, por exemplo, as codições iiciais seriam a posição ocupada pelo sistema o istate iicial, sua velocidade e, evetualmete, também sua aceleração. Estas codições levam a um sistema de equações lieares a icógitas: 4