Motivação e Definição..1. Factores Básicos...3. Constante...3. Factor derivativo e Integral...4. Factores Básicos...12

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1 ÍNDICE Motivação e Defiição.. Diagramas de Bode... Factores Básicos...3 Costate...3 Factor derivativo e Itegral...4 Factores de ª ordem...5 Factores de ª ordem...7 Sistemas de Fase míima e Não-Míima... Diagramas Polares... Factores Básicos... Factor derivativo e Itegral... Factores de ª ordem...3 Factores de ª ordem...4 Formas Gerais dos Diagramas Polares...6 Critério de Estabilidade de Nyquist...8 Aplicação à Aálise de Estabilidade... Pólos e Zeros Sobre o Eixo Imagiário...4

2 RESPOSA EM FREQUÊNCIA João Miguel Guerreiro Dias Alves Loureço

3 Resposta em Frequêcia-Diagrama de Bode RESPOSA EM FREQUÊNCIA A resposta em frequêcia de um sistema é defiida como a resposta em regime estacioário, quado aquele é sujeito a uma etrada siusoidal. As pricipais vatages deste tipo de abordagem decorrem de:. Facilidade com que a resposta em frequêcia de um sistema pode ser obtida;. Possibilidade de determiar a fução de trasferêcia de determiados sistemas; 3. Possibilidade de aalisar a estabilidade absoluta e relativa de um sistema, mesmo quado se descohece a sua fução de trasferêcia em cadeia fechada; 4. Possibilidade de projectar um sistema de cotrolo, aida que se descoheça a fução de trasferêcia. 5. O projecto de sistemas de cotrolo o domíio da frequêcia permite ao projectista cotrolar a largura de bada e miimizar os efeitos do ruído a que o sistema está sujeito. 6. Existêcia de uma relação, o míimo idirecta, etre a resposta em frequêcia e a resposta trasitória. É importate otar que pelo facto de se aalisar um sistema de cotrolo o domíio da frequêcia, ão sigifica que alguma vez, este esteja sujeito a etradas siusoidais. Vamos agora verificar que as características da resposta em frequêcia de um sistema podem ser obtidas directamete da fução de trasferêcia siusoidal, isto é, a fução de trasferêcia a qual substituímos S por jω, sedo ω a frequêcia agular (ωπf [rad/s]). Cosidere um sistema liear e ivariate o tempo com fução de trasferêcia G(s), etrada r(t) e saída c(t), represetado da seguite forma: s () Gs () ds () s () ( s+ p)( s+ p)...( s+ p ). Supohamos que o sistema vai ser sujeito a uma etrada siusoidal de amplitude A e frequêcia ω, isto é, L r(t) A si(ωt) Rs () Aω s + ω. Podemos etão cocluir que a saída do sistema em trasformadas de Laplace é dada por, Aω Cs () GsRs () () Gs () s + ω.3 Se expadirmos em fracções parciais vamos obter: Cotrolo de Sistemas II

4 Resposta em Frequêcia-Diagrama de Bode _ Ao Ao A A Cs () s + j ω s j ω s + p s + em que Ao _ é o complexo cojugado de Ao. Calculado a trasformada iversa, L.4 _ jωt jωt p t p t pt ct () Aoe + Aoe + Ae + Ae + K + Ae.5 e, tedo em ateção que, estado a estudar sistemas estáveis, p, p,...,p são úmeros cujas partes reais são positivas, podemos cocluir que os termos que lhes estão associados se extiguem ao fim de um certo tempo. Desta forma a resposta em regime estacioário resulta em, jωt ct () Aoe + Aoe _ jωt AG( jω) _ AG( jω) em que Ao e Ao é o seu complexo cojugado. Se substituirmos j j estas expressões em.6 vamos obter : ct Aj G j e jωt A j G j e j t () ( ω) + ( ω) ω A G(jω) si(ωt +Φ(ω)).7 Assim, a partir do mometo em que o regime trasitório se tora desprezável, a resposta do sistema é siusoidal. Se comparamos a saída com a etrada deduz-se que, G(jω) AG ( j ω ) ct () e que arg(g(jω))φ(ω).8 A rt () Sedo G(jω) desigado por resposta em frequêcia do sistema com fução de trasferêcia G(s). Pelo cohecimeto de G(jω) sabemos a relação de amplitudes e a desfasagem etre o sial de saída e o de etrada, quado este último é siusoidal com frequêcia ω. Seguidamete apresetam-se duas das represetações possíveis da resposta em frequêcia:. Diagrama de Bode;. Diagramas Polares. p.6 DIAGRAMA DE BODE O Diagrama de Bode de G(jω) é composto por dois gráficos. O primeiro represeta a curva do módulo de G(jω) em decibeis 3 ( x log G(jω) ) e o segudo represeta a curva da fase. Sedo ambos fução da frequêcia em escala logarítmica. As pricipais vatages da represetação em diagrama de Bode são as seguites: Se G(jω) G(jω) e jφ(ω) o seu cojugado é G(-jω) G(jω) e -jφ(ω). si(ωt)(e jωt - e -jωt )/j Uma fase positiva (Φ(ω)>)é deomiada avaço de fase e uma fase egativa((φ(ω)<) é deomiada atraso de fase. 3 Usualmete desigado por gaho. Cotrolo de Sistemas II

5 Resposta em Frequêcia-Diagrama de Bode. Uma vez que a amplitude de G(jω) é expressa em decibeis (db), produtos e divisões de factores elemetares G(jω) trasformam-se em adições e subtracções de gahos, respectivamete. As fases são igualmete adicioadas ou subtraidas 4.. As curvas do gaho de G(jω) podem ser aproximadas por segmetos de recta, o que permite um esboço rápido e simples, sem o recurso a cálculos muito complicados. 3. O facto da frequêcia estar represetada uma escala logarítmica permite uma aálise das características da resposta em frequêcia, tato as altas como as baixas frequêcias. Factores Básicos Os factores básicos 5 costituites de uma fução de trasferêcia são :. Costate K. Factores itegrativo e derivativo ( jω ) 3. Factores de primeira ordem ± + jω 4. Factores de seguda ordem ( jω) + ξω jω+ ω ω Uma vez cohecidos os diagramas de Bode de cada um destes factores básicos, e tedo em cota que uma fução de trasferêcia resulta do seu produto, podemos costruir o diagrama de Bode de qualquer fução de trasferêcia adicioado as curvas correspodetes aos vários factores que a costituem. Vamos agora obter o diagrama de Bode de cada um destes factores básicos, o que irá permitir costruir o diagrama de qualquer fução de trasferêcia. ± Costate K K db log K costate.9 fasearg(k) Φ(ω) º K > 8º K <. Como se pode verificar o gaho e a fase ão variam com a frequêcia. As duas situações possíveis são mostradas as figuras seguites. Se K >, o gaho é positivo; se K <, o gaho é egativo. Em qualquer dos casos a curva do gaho é uma recta com declive ulo. 4 G(jω)( G (jω) / G (jω) ) e j(φ (ω)-φ (ω)) em que G (jω) G (jω) e jφ (ω) e G (jω) G (jω) e jφ (ω) G(jω) db *log( G (jω) / G (jω) ) *log G (jω) +*log G (jω) arg(g(jω))φ(ω)φ (ω) - Φ (ω) 5 Os factores foram ormalizados para que apresetassem um gaho estacioário uitário, ou db. Cotrolo de Sistemas II 3

6 Resposta em Frequêcia-Diagrama de Bode A(ω) db K > K < ω Φ(ω) º -8º K> K< ω Figura. - Diagrama de Bode do factor costate Factor itegrativo e derivativo jω Quado a fução de trasferêcia tem um pólo a origem, o gaho (db) é dado por: ± e a fase : /jω db log /jω log - log ω Φ(ω) - jω º - 9º - 9º - log ω Como o eixo da frequêcia é apresetado uma escala logarítmica, o gaho é represetado como uma recta com um declive egativo de -db/dec 6, que itercepta o eixo da frequêcia em ω. Relativamete à fase, observa-se que esta é sempre igual a -9º e, cosequetemete, idepedete da frequêcia. Gaho db Gaho db - - Fase (graus) Frequêcia (rad/s) Fase (graus) Frequêcia (rad/s) Frequêcia (rad/s) Figura. - Diagrama de Bode do factor itegrativo 89 - Frequêcia (rad/s) Figura.3 - Diagrama de Bode do factor derivativo Para o factor derivativo ( jω), o gaho é dado por: jω db log jω log ω e a fase : Φ(ω) Φ(jω) 9º log ω 6 Chama-se década (dec) ao itervalo etre duas frequêcias a relação de para (ω e ω para qualquer ω ), ou seja, com a difereça de o logaritmo. Numa escala logarítmica qualquer década tem sempre a mesma distâcia a horizotal. Cotrolo de Sistemas II 4

7 Resposta em Frequêcia-Diagrama de Bode As curvas do gaho e da fase são simétricas relativamete às do factor itegrativo. Assim o gaho apreseta um declive positivo de db/dec 7 e a fase é sempre igual a 9º, idepedetemete da frequêcia. ± ω + j Factores de primeira ordem Vamos agora estudar a evolução do gaho para + j ω, log j + ω + jω + ω log log log + ω log Para baixas frequêcias ω << ( para facilidade de compreesão cosidere ω ), o gaho pode ser aproximado por, log log db uma vez que ω é desprezável relativamete a. Sigifica, etão, que para frequêcias iferiores a, o gaho aproxima-se assimptóticamete do eixo dos db. Para as altas frequêcias ω >> ( para facilidade de compreesão cosidere ω ), o gaho pode ser aproximado por, log ω log log ω - log uma vez que é desprezável relativamete a ω. Pode-se assim cocluir que para frequêcias superiores a o gaho é represetado por uma recta com um declive de db/dec. Em ω temos a itercepção etre as duas rectas. Este resultado pode ser obtido se igualarmos as duas expressões ateriores. Como o gaho é aproximado assimptóticamete partido da hipótese de que a frequêcia é muito superior ou iferior a, facilmete se pode cocluir que será esta frequêcia, desigada por frequêcia de cato, que estamos a cometer o maior erro de aproximação. O gaho para ω é dado por, log + j ω log + log log ω log log 3.3 db Este valor permite cocluir que o erro cometido a frequêcia de cato é aproximadamete igual a 3 db. O erro é simétrico relativamete a ω. Uma oitava 8 abaixo (ω /) e acima (ω ) da frequêcia de cato, o erro é sesivelmete igual a db. Com base o que foi referido até este poto, pode-se esboçar a curva do gaho do seguite modo:. Determiar a frequêcia de cato ω. 7 log(ω ) -log (ω ) log + log (ω ) -log (ω ) db, o que mostra que o gaho cresce db uma década. 8 Chama-se oitava ao itervalo etre duas frequêcias a relação de para (ω e ω para qualquer ω ), ou seja, com a difereça de.3 o logaritmo. Cotrolo de Sistemas II 5

8 Resposta em Frequêcia-Diagrama de Bode. Desehar a recta horizotal em db e a recta com declive de db/dec, iterceptadose estas a frequêcia de cato. 3. Se ecessário, a curva exacta é obtida por adição do erro à aproximação assimptótica em determiadas frequêcias. Geralmete uma curva suave pode ser esboçada se tivermos em cota que o erro a frequêcia de cato é 3 db e db uma oitava acima e abaixo daquela frequêcia. A fase por sua vez será dada por: ω Φ( ω) tg Para ω << temos Φ(ω) º e para ω >>, temos Φ(ω) 9º, a frequêcia de cato, ω, Φ() 45º. Como se pode verificar a figura seguite, pode-se aproximar a curva exacta por vários segmetos de recta. Esta aproximação cosiste em, duas rectas horizotais, uma a º para frequêcias iferiores a., outra a 9º para frequêcias superiores a e fialmete um segmeto de recta que liga aquelas duas e que passa por 45º quado ω. Embora os erros devido à aproximação possam ser apreciáveis 9, esta deve ser utilizada, uma vez que facilita bastate a cotrução da curva da fase. Relativamete a o gaho é dado por, + jω log + jω log log log log + ω + jω + ω como se pode observar o gaho deste factor é o simetrico do aterior, o que permite cocluir que as aproximações assimptóticas para as baixas e altas frequêcias são: ω << log log db ω >> log log ω log - log ω Gaho db Gaho db Fase (graus) Frequêcia (rad/sec) Frequêcia (rad/sec) - - Fase (graus) Frequêcia (rad/sec) - - Frequêcia (rad/sec) Figura.4 - Diagrama de Bode de (+jω)/ Figura.5 - Diagrama de Bode de /(+jω) Como se pode cocluir destas expressões, a curva do gaho é simétrica à do último factor aalisado e apreseta um declive de - db/dec. A frequêcia de cato situa-se em ω. Os erros devido às aproximações assimptóticas são simétricos aos obtidos ateriormete, isto é, - 3 db em ω e - db uma oitava abaixo e acima da frequêcia de cato. A fase por sua vez será dada por: 9 Sempre iferiores a 6º. Cotrolo de Sistemas II 6

9 Resposta em Frequêcia-Diagrama de Bode ω Φ( ω) tg Para ω << temos Φ(ω) º e para ω >>, temos Φ(ω) -9º, a frequêcia de cato, ω, Φ() - 45º. ± ( jω) + ξω jω+ ω Factores de seguda ordem ω ω Vamos agora cosiderar o factor de seguda ordem,. ( jω) + ξω jω+ ω Cosiderado apeas a situação em que < ξ <, uma vez que em caso cotrário o factor tem dois pólos reais distitos, o que sigifica que o D.B. pode ser obtido cosiderado o factor quadrático como o produto de dois factores de ª ordem. O gaho é dado por, ω log logω log ω ω + ξωω ( jω ) + ξω jω+ ω ( ) ( ) Para baixas frequêcias, ω << ω, e tedo em cota que ω é desprezável face a ω e ( ) ξωω é desprezável face ω 4, a expressão aterior pode ser aproximada por, logω log ω 4 4logω 4logω db Pode-se assim cocluir que a assimptota correspodete às baixas frequêcias é uma segmeto de recta horizotal em db. Para frequêcias elevadas, ω >> ω, e uma vez que ω é desprezável face a ω e ( ) é desprezável face a ω 4, logω log 4 ω 4logω 4logω ξωω que é a equação de uma recta o Diagrama de Bode, passado por db quado ω ω e com declive igual a - 4 db/dec. Desta forma,pode-se cocluir que a frequêcia de cato do factor quadrático é ω. A fase deste factor é dada por ξωω Φ( ω) tg ω ω mas, uma vez que a fução tg(ω) ão é ijectiva em todo o seu domíio, é usual π π cosiderar a restrição ao itervalo, a sua iversão, o que implica que sempre que Quado ξ, o termo de seguda ordem tem dois pólos imagiários puros em ± j ω. Para ξ <, o sistema tem pólos com parte real positiva, o que idica istabilidade. Cotrolo de Sistemas II 7

10 Resposta em Frequêcia-Diagrama de Bode se utiliza a expressão aterior uma calculadora vulgar, a fase do termo quadrático vai variar etre º e -9º, o que ão é correcto. Para obviar este problema pode-se trasformar o termo quadrático o produto de dois simples. ω ω s + ξωs+ ω ( s+ ξω + jω ξ )( s+ ξω jω ξ ) Se fizermos s jω, podemos obter a fase como ω+ ω ξ ω ω ξ Φ( ω) ξω tg tg ξω que é uma expressão equivalete à aterior. Recorredo a esta expressão cocluímos que para ω << ω temos Φ(ω) º e para ω >>ω, temos Φ(ω) -8º, a frequêcia de cato, ωω, Φ(ω ) -9º. al como para os factores de primeira ordem, vamos aproximar por segmetos de recta a curva da fase. Esta aproximação cosiste, em duas rectas horizotais, uma a º para frequêcias iferiores a.ω, outra a -8º para frequêcias superiores a ω e fialmete um segmeto de recta que liga aquelas duas e que passa por -9º quado ωω. As curvas exactas do gaho e da fase podem diferir bastate das aproximações, como se pode verificar a figura seguite, em que se visualizam as aproximações assimptóticas e as curvas do gaho e da fase para vários valores de ξ, o que se justifica pelo facto daquelas ão depederem somete da frequêcia atural ão amortecida (ω ), mas também do factor de amortecimeto (ξ), que ão aparece as aproximações. Próximo à frequêcia de cato (ω ) observa-se uma sobrelevação, desigada por pico de ressoâcia, sedo a sua amplitude determiada pelo coeficiete de amortecimeto. Podese assim cocluir que o erro depede de ξ, isto é, é tato maior quato meor for ξ. Gaho db ξ.5 - ξ.3-4 ξ.7 Fase (graus) - ω ω Frequêcia (rad/s) ξ.5 ω -5 ξ ξ.7 - ω ω ω Frequêcia (rad/s) Figura.6 - Diagramas de Bode do termo ω para vários valores de ζ s + ξωs+ ω Cotrolo de Sistemas II 8

11 Resposta em Frequêcia-Diagrama de Bode Uma vez compreedida a importâcia do pico de ressoâcia, tora-se ecessário determiar a frequêcia em que ocorre, deomiada frequêcia de ressoâcia, assim como a expressão que o relacioa com o coeficiete de amortecimeto. Como o pico de ressoâcia correspode a um máximo, a frequêcia correspodete é obtida igualado a zero a derivada do módulo do factor quadrático em ordem a ω, d ω d ω dω ( jω) + ξω jω+ ω dω ( ω ω ) + ( ξωω) resolvedo a equação aterior vamos obter como soluções, ω r, e ωr ω ξ em que esta última, como a frequêcia é uma gradeza real, só é válida para ξ ou ξ.77. Este facto sigifica que, para todos os valores de ξ superiores a.77, a frequêcia de ressoâcia é ula e o pico de ressoâcia é uitário. A primeira solução apeas idica que o declive da curva do módulo versus frequêcia é ulo para ω, o que ão correspode a um máximo quado ξ é iferior a.77. Se substituirmos ω r o módulo do factor de seguda ordem e simplificarmos, obtém-se, M r ξ ξ, ou M db ( ) r log ξ ξ o pico de ressoâcia. Substituido a frequêcia de ressoâcia a expressão da fase verifica-se que, ξ ξ Φ( ωr ) tg º se ξ + 9 ξ Na figura seguite podemos observar que quado ξ tede para zero, M r tede para ifiito e que para valores de ξ superiores a.77 o pico de ressoâcia é uitário. As expressões do gaho e da fase do factor ( jω) + ξω jω+ ω, podem ser obtidas ω por simples troca de siais das expressões ateriores, sedo as respectivas curvas simétricas às da figura.6. Exemplo: Costrua o diagrama de bode do sistema represetado pela seguite fução de trasferêcia: 5 GS ( ) ( S+ )( S+ ) Resolução G( jω) log5 log ω + log ω + db Pico de ressoâcia Coeficiete de amortecimeto Figura.7 Cotrolo de Sistemas II 9

12 Resposta em Frequêcia-Diagrama de Bode ω ω Φ( ω) tg tg Recorredo às aproximações assimptóticas: ω << G( jω ) log 5 log log 6. db db < ω < G( jω) log 5 log log ω 6. logω db ω >> G( jω) log 5 logω log ω logω db Aalisado estas expressões verifica-se que a aproximação cosiste, um patamar a 6 db, um segmeto de recta com uma icliação de - db/dec e fialmete uma recta com uma icliação de -4 db/dec. Nas duas figuras seguites podem ser vistas as curvas aproximadas, figura.8, e as curvas exactas, figura.9. Gaho db Fase (graus) Frequêcia (rad/sec) /(S+) /((S+)(S+)) /(S+) - - Frequêcia (rad/sec) Figura.8 - Diagrama de Bode aproximado da fução de rasferêcia do exemplo Gaho db Fase (graus) Frequêcia (rad/sec) Frequêcia (rad/sec) Figura. 9 - Diagrama de Bode da fução de trasferêcia do exemplo Cotrolo de Sistemas II

13 Resposta em Frequêcia-Diagramas Polares SISEMAS DE FASE MÍNIMA E NÃO-MÍNIMA Os sistemas cuja fução de trasferêcia ão tem pólos ou zeros o semi-plao complexo direito são desigados de fase míima. Em situação cotrária, isto é, com pólos e/ou zeros o semi-plao complexo direito, são desigados de fase ão-míima. Os sistemas de fase míima têm uma característica muito importate, que é, perate o cohecimeto do módulo de G(jω) é sempre possível determiar completamete a sua fase, e vice-versa. Os sistemas de fase ão-míima ão têm esta relação úica, módulo-fase. Por exemplo cosideremos a seguite fução de trasferêcia: G( jω) jω+ jω+ cujos diagramas de Bode estão represetados as figuras seguites, para valores de iguais a e -, respectivamete. Gaho db Gaho db - Fase (graus) Frequêcia (rad/sec) - Fase (graus) Frequêcia (rad/sec) Frequêcia (rad/sec) Figura.9 - Diagrama de Bode de jω + G ( j ω) jω + - Frequêcia (rad/sec) Figura. - Diagrama de Bode de jω G ( j ω) jω + Comparado os dois diagramas podemos observar que, quer seja egativo ou positivo a curva do gaho é idêtica. Cotudo, a fase de G(jω) difere para egativo e positivo. Para além das propriedades já referidas, deve-se assialar que:. Para uma fução de trasferêcia de fase míima G(S) com m zeros e pólos, excluido os pólos a origem, a fase é igual a (-9)*(-m) quado Sjω e ω.. Para dois sistemas com a mesma característica de módulo, o de fase míima apreseta uma meor variação de fase que o de fase ão-míima. edo em cota o poto e que para qualquer sistema a icliação da assimptota quado ω é igual a -x(-m) db/dec, é sempre possível determiar se um sistema é de fase míima ou ão. Cotrolo de Sistemas II

14 Resposta em Frequêcia-Diagramas Polares DIAGRAMAS POLARES O diagrama polar de uma fução de trasferêcia G(s) cosiste uma represetação o plao complexo da amplitude e da fase de G(jω) em coordeadas polares, quado a frequêcia varia etre zero e ifiito. Para qualquer poto do diagrama polar, qualquer que seja a frequêcia ω ω, a amplitude e a fase são obtidas medido o comprimeto do vector que liga a origem ao poto e o âgulo que este vector faz com o eixo real positivo, respectivamete. A fase é cosiderada positiva (egativa) quado medida o setido cw (ccw 3 ). As projecções de G(jω) os eixos real e imagiário correspodem às suas partes real e imagiária, respectivamete, como se pode verificar o gráfico seguite. Como vatages da utilização dos diagramas polares podemos destacar, o seguite:. A possibilidade de um só gráfico visualizar as características da resposta em frequêcia de um sistema em todas as frequêcias Img Re(G(jω)) G(jω) G(jω) Im(G(jω)) Re. O diagrama polar costitui a base para a aplicação do critério de estabilidade de Nyquist, como iremos verificar posteriormete. Figura. - Diagrama Polar Como desvatages podemos referir que a frequêcia ão está explicitamete represetada o diagrama e que, a sua costrução, a cotribuição dos vários factores que compõem a fução de trasferêcia ão é clara. Vamos agora obter os diagramas polares correspodetes aos vários factores costituites de uma fução de trasferêcia. Factor Derivativo e Itegral (jω) ± O diagrama polar de G(jω)jω é o eixo imagiário real uma vez que, Eixo Imagiário 8 ω G(jω) ω e G(jω) 9º O diagrama polar de G( jω) jω é o eixo imagiário egativo porque, G( jω) j ou G ( j ω) jω ω ω G( jω) jω º 9º 9 º 6 jω 4 ω ω - -4 /jω -6-8 ω Eixo Real O Diagrama polar é muitas vezes deomiado Diagrama de Nyquist. Setido do movimeto dos poteiros do relógio. 3 Setido cotrário ao do movimeto dos poteiros do relógio. Cotrolo de Sistemas II

15 Resposta em Frequêcia-Diagramas Polares Aalisado as últimas expressões coclui-se que, quado ω o G(jω) e quado ω o G(jω). ± + jω Factores de ª Ordem Para G(jw) + jω o módulo é, G( jω) + ω e a fase j ω + ω jω + ω + ω Φ(ω) -tg - (ω/) Para as frequêcias,,, vamos ter: Re( G( jω)) G( jω) ω Im( G( jω)) G( jω) º Eixo Imagiário.6.4. Re( G( jω)) ω Im( G( jω)) Re( G( jω)) ω Im( G( jω)) G( jω) G( jω) 45º G( jω) G( jω) 9º ω ω ω Eixo Real Como se pode observar a figura, o gráfico polar deste termo é uma semi-circuferêcia com cetro em (.5, ) e raio igual a.5. + jω jω Para o termo G( jω) + o módulo e a fase são dados por, + ω G( jω) e Φ(ω) tg - Eixo Imgiário 5 (ω/) sedo o seu diagrama polar uma recta vertical, paralela ao eixo imagiário positivo, com iício o poto (,), como se pode observar a figura ao lado. 4 3 ω Eixo Real Cotrolo de Sistemas II 3

16 Resposta em Frequêcia-Diagramas Polares Factores de ª Ordem ( jω) + ξω jω+ ω ω ± Vamos cosiderar iicialmete o factor ω ω G(jω) ω ( ω ω ) j ξω 3 ω ( jω) + ξω jω+ ω ( ω ω ) + ξω ω ( ω ω ) + ( ξω ω) j cujo módulo e a fase são dados por ω G(jω) ( ω ω ) + ( ξωω) ξωω + ω ω ξ Φ( ω) tg ω ω ω ω ξ tg tg ξω ξω Para as altas e baixas frequêcia temos Re( G( jω)) G( jω) ω Im( G( jω)) G( jω) º Re( G( jω)) G( jω) ω Im( G( jω)) G( jω) 8º O diagrama polar deste factor iicia-se em (,) e termia em (,), tededo para este último poto por valores egativos 4, para uma variação de ω de zero a ifiito. Examiado a expressão* deduz-se que o eixo imagiário é itersectado em ω ω, sedo esta frequêcia caracterizada por, Re( G( jω)) ω ω Im( G( jω)) ξ G( jω) ξ G( jω) 9º ora-se assim claro que a forma exacta do diagrama, ver figura*, depede do coeficiete de amortecimeto ξ, embora a forma aproximada seja a mesma, quer o sistema seja subamortecido (<ξ<), ou sobreamortecido 5 (ξ >). Para um sistema subamortecido, o poto do diagrama que mais dista da origem possui uma frequêcia igual à de ressoâcia, sedo o valor do pico de ressoâcia igual à razão etre a distâcia etre este poto e a origem e a distâcia etre a origem e o poto correspodete à frequêcia ula. Para o factor, Eixo Imagiário ξ.3 /ξ ξ.5 ω ω /ξ /ξ /ξ ξ Eixo Real ξ5 4 Para ω, o diagrama polar é tagete ao eixo real egativo. 5 Para ξ maior que um, o diagrama assemelha-se a uma semicircuferêcia Cotrolo de Sistemas II 4

17 Resposta em Frequêcia-Diagramas Polares G(jω) ( j ω ) + ξω j ω+ ω ω ω ξω ω j + ω ω ω cujo módulo e a fase são dados por, G(jω) Φ( ω) tg ( ω ω ) + ( ξωω) ω ξωω + ω ω ξ ω ω + ω ω ξ tg tg ξω ξω Para as altas e baixas frequêcia temos Re( G( jω)) ω Im( G( jω)) Re( G( jω)) ω Im( G( jω)) + G( jω) G( jω) º G( jω) G( jω) 8º sedo a fase de -8º, para ω, justificada por um crescimeto mais rápido do módulo da parte real do que da parte imagiária. al como o factor aterior, também este vai itersectar o eixo imagiário em ω ω, sedo esta frequêcia caracterizada por, Re( G( jω)) G( jω) ξ ω ω Im( G( jω)) ξ G( jω) 9º Na figura ao lado pode-se observar a forma geral do diagrama polar deste termo para frequêcias ão muito superiores a zero 6. Eixo Imagiário ξ Eixo Real 6 Para quem tem dúvidas relativamete ao facto de que a fase tede para -8º quado a frequêcia tede para ifiito, sugerimos que prologue a curva e desehe vários vectores etre a origem e aquela. Agora, se medir o âgulo etre o eixo real positivo e os vectores, facilmete cocluirá que quato maior o vector (mais elevada a frequêcia) mais perto aquele estará dos 8º. Cotrolo de Sistemas II 5

18 Resposta em Frequêcia-Diagramas Polares Formas Gerais dos Diagramas Polares Supoha uma fução de trasferêcia da forma : G( jω) K( + jω)( + jω) L λ jω ( + jω )( + jω ) L ( ) m b( jω) + b( jω) + L a ( jω) + a ( jω) + L a m b em que m, K>, i para i,,3,...ou a,b,c,..., e λ é o tipo do sistema, ou seja, o úmero de pólos a origem. Com base estes parâmetros passa-se a aalisar a forma do diagrama polar para as baixas e altas frequêcias, respectivamete. Proximidade da Origem (ω ) Quado a frequêcia está próxima de zero, a fução de trasferêcia G(jω) é dada por, K lim G( jω) lim ω ω ( ) λ jω O módulo e fase são, respectivamete, K, λ G( jω), λ > e G( jω) 9 º λ Com base estes resultados podemos cocluir que:. Para λ, o diagrama tem iício o eixo real a uma distâcia K da origem e a tagete ao diagrama polar em ω, é perpedicular ao eixo real.. Para λ, e uma vez que o módulo é ifiito e a fase -9º (quado ω ), o diagrama polar aproxima-se assimptóticamete de uma recta paralela ao eixo imagiário egativo, em que esta é determiada calculado o limite de Re(G(jω)) quado ω. 3. Para λ, o diagrama polar aproxima-se assimptóticamete de uma recta paralela ao eixo real egativo, porque o módulo e a fase de G(j ) são respectivamete, ifiito e - 8º. (*Assimptota é obtida, através do limite de Im(G(jω)) quado ω *). Proximidade do Ifiito (ω ) Quado a frequêcia tede para ifiito G(jω) é dado por, Cotrolo de Sistemas II 6

19 Resposta em Frequêcia-Diagramas Polares m m b lim ( ) lim ( jω ) + b ( jω ) + L b ω lim ( jω G j ) ω ω a ( jω) + a ( jω) + L ω a ( jω) uma vez que as potêcias de ordem iferior a e m são desprezáveis quado comparadas com as de ordem e m. O módulo e fase são, respectivamete, b / a, m G( jω ), > m e Φ( G( jω )) 9 º ( m) Com base estes resultados podemos cocluir que:. Para m, o diagrama polar termia um poto sobre o eixo real positivo.. Para -m, a curva coverge para a origem e é tagete ao eixo imagiário egativo. 3. Para -m, a curva coverge para a origem e é tagete ao eixo real egativo. Outros dois aspectos importates a costrução de um diagrama polar, são, por um lado, a determiação dos potos em que o eixo real e imagiário são cruzados pelo diagrama e as respectivas frequêcias, e por outro o cohecimeto da forma exacta do diagrama polar a vizihaça do poto -+ j. Como ota fial impõe-se dizer que, cotrariamete às represetações logarítmicas, os diagramas polares as curvas de sistemas complexos ão se obtêm por adição das curvas dos factores simples. Assim, se : G(jω)G (jω) G (jω) em que G (jω) G (jω) Φ(G (jω)) e G (jω) G (jω) Φ(G (jω)) etão G(jω) G (jω) G (jω) e Φ(G(jω)) Φ(G (jω)) + Φ(G (jω)) Cosequetemete, se se deseja obter o diagrama polar de G (jω) G (jω), é mais coveiete esboçar o primeiro diagrama de Bode e posteriormete covertê-lo um polar, do que desehar os diagramas polares de G (jω) e G (jω) e posteriormete multiplica-los o plao complexo por forma a obter o diagrama polar de G (jω) G (jω). m Cotrolo de Sistemas II 7

20 Resposta em Frequêcia-Diagramas Polares CRIÉRIO DE ESABILIDADE DE NYQUIS No semestre passado, foram discutidos dois métodos para determiar a estabilidade de um sistema liear. O critério de Routh-Hurwitz e o Lugar Geométrico das Raízes, que se baseavam a determiação das raízes da equação característica. O critério de Nyquist é um método gráfico que permite determiar a estabilidade de um sistema em cadeia fechada, partido da aálise da resposta em frequêcia de um sistema em cadeia aberta. Este facto é importate a medida em que em sempre as expressões matemáticas de algus compoetes são cohecidas e a obteção da resposta em frequêcia recorredo a testes experimetais ão é muito complicada. Se por um lado forece a mesma iformação relativamete à estabilidade absoluta, como o critério de Routh-Hurwitz, por outro, idica o grau de estabilidade (estabilidade relativa) de um sistema estável, e o grau de istabilidade de um sistema istável. ambém os idica como a estabilidade pode ser melhorada, se ecessário. Vamos cosiderar um sistema em cadeia fechada a forma caóica, como se represeta a figura seguite: R(S) + - E(S) B(S) G(S) H(S) C(S) A fução de trasferêcia em cadeia fechada é dada por, C( S) G( S) RS ( ) + GS ( ) HS ( ) em que, F(S)+G(S) H(S) é desigada por equação característica. Cosiderado que : G(S)N /D e H(S)N /D deduz-se que, NN NN DD + NN C( S) ND GSHS ( ) ( ), FS ( ) +, DD DD DD RS ( ) DD + NN Se compararmos estas três expressões verificamos que : Os pólos de G(S)H(S) e de F(S) são os mesmos; O umerador de F(S) é idêtico ao deomiador de C(S)/R(S), isto é, os zeros de F(S) são os pólos de C(S)/R(S). O que permite afirmar, que um sistema estável, os zeros de F(S), equação característica, ão podem estar o SPCD ou sobre o eixo imagiário. Para itroduzir o critério de Nyquist, vamos cosiderar algumas trasformações do plao complexo S o plao F(S). Supoha uma fução F(S) dada por, Cotrolo de Sistemas II 8

21 Resposta em Frequêcia-Diagramas Polares F(S)S - S em que S é um úmero, possivelmete complexo. Como se pode observar a figura*, o cotoro C o plao S vai ser trasformado o cotoro Γ, o plao F(S), calculado F(S) para os potos de C e marcado o resultado o plao F(S) Cotoro C Cotoro Γ Aalisado a figura ota-se que: O cotoro C evolve o zero de F(S), S, o setido cw; O âgulo do vector S - S sofre uma variação de -36º; O Cotoro Γ egloba a origem do plao F(S) e circula em redor desta o setido cw. Cosideremos agora a fução, FS ( ) S S que é a iversa da aterior. Se o cotoro C for trasformado o plao F(S) através desta fução, o vector S - S ão se altera. Uma vez que F(S) é o iverso deste vector, a sua magitude é o iverso da observada a figura* e a sua variação do âgulo é a simétrica Pode-se cocluir que : O cotoro C evolve o pólo de F(S), S, o setido cw; O âgulo do vector S - S sofre uma variação de -36º, o que sigifica que o âgulo de /(S - S ) varia 36º; O Cotoro Γ egloba a origem do plao F(S) e circula em redor desta o setido ccw. Como terceiro exemplo, supoha que a trasformação F(S) é dada por, Cotrolo de Sistemas II 9