5 Análise de sistemas no domínio da frequência. 5.1 Resposta em regime estacionário a uma onda sinusoidal

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1 5 Aálise de sistemas o domíio da frequêcia O termo resposta a frequêcia utiliza-se para desigar a resposta de um sistema, em regime estacioário, a uma oda siusoidal. Esta resposta, para o caso de um sistema liear, é também uma siusóide, com a mesma frequêcia, mas com uma amplitude e um desfasameto que depedem da frequêcia da oda. Neste capítulo estudaremos três tipos de traçados, de Bode, de Nyquist e de Nichols, e itroduzir-se-á um critério para determiação de estabilidade o domíio da frequêcia. 5. Resposta em regime estacioário a uma oda siusoidal Seja G(s) a fução de trasferêcia de um sistema, cuja etrada é rt () = Rsi( t). Como Rs () = s +, a trasformada de Laplace da saída é: G( j) G( j) Gs () = + termos da forma j s j j s j ( ) ( + ) i s p i (5.) Se aplicarmos a trasformada de Laplace iversa, temos: ( ) ( ) G j jt G j jt pt i ct () = e e + termos da forma e i (5.) j j Se o sistema fôr estável, em regime estacioário os termos dado que: ( ) ( ) G j jt G j jt css () t = lim c() t = e e = t j j ( ) j( t+ G( j) ) G( j) j t+ G( j) G j ( ) = e e = j j ( ) ( ) si ( ) = G j t+ G j ( ) ( ) j( G( j) ) p i e t i tederão para, isto é:, (5.3) G j = G j e (5.4) Sistemas de Cotrolo I 53

2 Vemos assim que, em regime estacioário, um sistema SLIT respode a uma oda siusoidal com uma oda siusoidal, com uma gaho G( j ) e um desfasameto de G( j ). Se variarmos a frequêcia da oda de etrada, podemos verificar como o gaho e a o desfasameto (mais vulgarmete a fase) variam com a frequêcia, isto é, determiamos a resposta a frequêcia do sistema. Existem 3 tipos de traçados gráficos que são ormalmete utilizados, e vamos começar com o diagrama de Bode. 5. Traçado logarítmico Diagramas de Bode Os diagramas de Bode, também cohecidos como traçados de cato ou logarítmicos, cosistem em dois gráficos, o º represetado o logaritmo do módulo e o º a fase, ambos em fução do logaritmo da frequêcia. Ates de apresetar este traçado, vamos itroduzir algus coceitos: O logaritmo de um úmero complexo é também um úmero complexo, cuja parte real é o logaritmo do módulo, e a parte imagiária é proporcioal ao argumeto do úmero: Neperiao - ( ) Decimal - ( ) jg( j) ( ) ( ) ( ) l G j = l G( j) e = l G( j) + j G( j) (5.5) jg( j) ( ) ( ) ( ) log G j = log G( j) e = log G( j) + j, 434 G( j) (5.6) O módulo, em decibeis (db), é dado por log G( j) Lm( G( j) ) =. Esta otação apreseta algumas vatages, dado que os valores em dbs de dois úmeros iversos difere apeas o sial, quado um úmero duplica o seu valor, em dbs sobe 6 dbs, e quado um úmero decuplica o seu valor sobe dbs. A bada de frequêcia etre f e f é deomiada de oitava se f / f =, e é deomiada de década se f / f =. O úmero de oitavas etre f e f geéricas é dada por: f f ( ) log f / f log() = = (5.7) O úmero de décadas etre f e f geéricas é dada por: Sistemas de Cotrolo I 54

3 f f ( ) = = log f / f (5.8) Tedo em mete estes coceitos, podemos agora apresetar o traçado de Bode. Vamos cosiderar que partimos duma fução de trasferêcia a seguite forma (caso ão esteja devemos coverte-la para esta forma): ( ) G j = ( + )( + ) jta jtb s ξ j j + jt + jt b j + + m ( ) ( )( ) r (5.9) O módulo, em dbs de (5.9), é: Lm( G( j) ) = Lm( ) + Lm( + jta) + rlm( + jtb) + ξ j mlm( j) Lm( + jt ) slm( + jtb ) Lm j + +, (5.) e a fase é: ( G( j) ) ( ) ( jt ) r ( jt ) = + + a + + b + ξ j m ( j) ( + jt ) s ( + jt b ) j + +. (5.) Esta última equação pode escrever-se como: ( G( j) ) ( ) ata( T ) rata( T ) = + a + b + ξ j mπ ata( + jt ) s ata( + jtb ) ata j + + (5.) O traçado dos diagramas de Bode obtém-se através das equações (5.) e (5.). Como ambas as equações são uma soma de termos, vamos primeiramete abordar o traçado de cada um desses termos. 5.. Diagramas de Bode para diferetes tipos de factores Aalisdo as equações (5.) e (5.), podemos ver que existem 4 tipos de factores: (5.3) ( ) m j ± (5.4) Sistemas de Cotrolo I 55

4 + jt ± r (5.5) ξ j j + + (5.6) Vamos esboçar os traçados de Bode para cada tipo de factor, dado que o traçado completo é a soma, frequêcia a frequêcia, da cotribuição idvidual de cada termo Gaho Um valor de maior que a uidade possui um valor em db positivo, equato que se for meor o valor é egativo. Em termos de fase, ela será também costate, e igual a ou a π, cosoate seja positivo ou egativo. A seguite figura mostra o diagrama de Bode, para =. Bode Diagram Magitude (db) Phase (deg) Frequecy (rad/sec) Figura 5. Traçado de Bode para = 5... Factores itegradores e derivativos O módulo de, em db, é dada por: j Lm = log( ) j (5.7) Sistemas de Cotrolo I 56

5 Numa escala semi-logarítmica, trata-se de uma recta com um declive de - db/década. Do mesmo modo, um factor derivativo, j, tem um módulo dado por (5.8), e trata-se de uma recta com um declive de db/década. Lm( j) = log( ) (5.8) Caso a multiplicidade do pólo ou zero em s seja m, as rectas têm umm declive de m db/década. Em termos de fase, para um termo do tipo ( ± m (( j) ) j ) ± m, ela é dada por: =± mπ (5.9) A figura seguite ilustra o diagrama de Bode para j. 5 Bode Diagram Magitude (db) Phase (deg) Frequecy (rad/sec) Figura 5. Diagrama de Bode de j Factores de ª ordem Vamos começar por. O módulo, em db, é dado por: + jt Lm = log + + jt ( T ) (5.) Sistemas de Cotrolo I 57

6 Para / T, (5.) pode ser aproximada por log() = db. Para / T, (5.) pode ser aproximada por log( T ), que represeta uma recta com um declive de - db/década. Estas aproximações assitóticas, ou assítotas, cruzam-se para c =, T frequêcia que se desiga por frequêcia de cato. O erro etre a curva real e a aproximação assitótica é maximo para No que respeita `fase, é dada por: = ata + jt c, e vale log( ) = log() 3dB. ( j) (5.) Para a frequêcia de cato, a fase é de π /4, e varia, à medida que varia de a, de a π /. A aproximção que se faz é cosiderar que a fase pode ser cosiderada como uma fução liear por partes, dada por:, < c π =, = + jt 4 π, > c c (5.) O traçado de zeros ão oferece problemas de maior dado que: Lm( + jt ) = Lm + jt, e (5.3) + = + jt. (5.4) ( jt ) Se cosiderarmos pólos ou zeros múltiplos, as equações ateriores trasformam-se em: ± ( ) r ( ) Lm + jt =± rlm + jt, e (5.5) ± ( jt ) r r ( jt ) + =± +. (5.6) Sistemas de Cotrolo I 58

7 Bode Diagram Magitude (db) - - Phase (deg) Frequecy (rad/sec) Figura 5.3 Diagramas de Bode real e asitótico de + j 4 Bode Diagram Magitude (db) 3 9 Phase (deg) 45-3 Frequecy (rad/sec) j Figura 5.3 Diagramas de Bode real e asitótico de Factores quadráticos Quado os pólos ou zeros são complexos cojugados, aparecem factores quadráticos, do tipo: Sistemas de Cotrolo I 59

8 , (5.7) ξ j j + + para o caso de pólos. Estamos aqui a cosiderar que ξ < pois, caso cotrário, os pólos seriam reais e estariamos o caso aterior. O módulo, em db, é dado por: e a sua fase como: ξ j Lm log π j = + + = ξ j j + +, (5.8) ξ = log + ξ = ata ξ j + j+ (5.9) Do mesmo modo que fizémos para factores de ª ordem, podemos ver que, para o módulo, quado, (5.9) pode ser aproximada por log() = db. Para, (5.9) pode ser aproximada por 4log( ), que represeta uma recta com um declive de -4 db/década. As assítotas cruzam-se em =, que é a frequêcia de cato. Já vimos que quado ξ <, a resposta a um degrau apreseta um pico. Do mesmo modo, quado ξ < / =.77 existe um pico a reposta em frequêcia. A frequêcia para a qual esse pico ocorre chama-se frequêcia de ressoâcia, e é dada por: r =, (5.3) ξ ξ que depede apeas de ξ, e o valor do pico é dado por: Sistemas de Cotrolo I 6

9 r = (5.3) M ξ Bode Diagram Magitude (db) Phase (deg) Frequecy (rad/sec) Figura 5.4 Diagramas de Bode real e asitótico de ξ j j + +, com ξ =.5 e = 4 Para o caso de pólos e zeros múltiplos, utilizam-se as equações: ± r j j Lm ξ ξ j rlm j + + =± + +, e (5.3) ± r ξ j ξ j j r j + + =± + +. (5.33) 5.. Diagramas de Bode de uma fução de trasferêcia geérica Para uma fução de traferêcia geérica somam-se as cotribuições, poto a poto, dos vários factores. Utilzado os exemplos dados as sub-secções ateriores, vamos cosiderar a fução de trasferêcia para a frete: Sistemas de Cotrolo I 6

10 Gs () = j + j j + j j ( )( ) (5.34) Bode Diagram 5 Magitude (db) Phase (deg) Frequecy (rad/sec) Figura 5.5 Diagramas de Bode real de Gs () = j + j j + j j ( )( ) Na fig. 5.5 apresetam-se os diagramas reais de Bode. Nas figura seguite os assitóticos, ode, a preto, se apresetam os diagramas globais e a azul os idividuais. 5 Magitude (db) Frequecy (rad/s) Sistemas de Cotrolo I 6

11 5 Phase (deg) Frequecy (rad/s) Figura 5.6 Diagramas de Bode assitóticos de Gs () = j + j j + j j ( )( ) 5..3 Sistemas com fase míima As fuções de trasferêcia que ão possuem sigularidades (pólos e zeros) do lado direito do plao s são chamados de sistemas de fase míima. Para esses sistemas o diagrama de fases pode-se obter directamete do digrama de amplitudes, e o diagrama de amplitudes pode-se obter do de fases, desde que se coheça a magitude para uma frequêcia. Para os sistemas com fase míima, o âgulo de fase para = é obtido de 9( m), sedo o úmero de pólos e m o úmero de zeros. Para esses sistemas, a partir de um dos diagramas assitóticos é possível determiar a fução de trasferêcia do sistema através da aálise do declive das rectas (o caso de se usar o diagrama de fase tem que se coheçer a magitude para uma frequêcia, para se determiar o gaho). No caso de o sistema ser de fase ão-míima, a fução de trasferêcia pode também ser determiada, mas é ecessário os dois diagramas simultaeamete. Sistemas de Cotrolo I 63

12 5.3 Traçado polar - Diagramas de Nyquist O traçado polar, ou diagrama de Nyquist, de uma fução de trasferêcia é o lugar geométrico descrito, em coordeadas polares, pelos potos cujo módulo é G( j ) e cuja fase é G( j ), quado varia de a. Equato o traçado Bode existiam gráficos (de módulo e de fase), toda a iformação é codesada aqui um só gráfico. O gráfico polar de ( ) G j é chamado de traçado directo, equato que o gráfico de [ ( )] G j é chamado de traçado iverso. A obteção de um diagrama de Nyquist detalhado pressupõe a utilização de um pacote CADSC, como Matlab. No etato, ele pode ser esboçado através de técicas que descreveremos de seguida. Vamos cosiderar que utilzaremos fuções de trasferêcia descritas como: Gs () = z ( s+ z ) i= m p ( + j) s s p j= i (5.35) com gaho DC, z zeros, p pólos fora da origem, e m pólos a origem. Sabemos que o módulo de (5.35) é dado por: G( j) = z z= p m p= + T z + T p, (5.36) e a sua fase por: mπ G( j) = + ta T ta T z p ( z) ( p) (5.37) z= p= Coforme iremos ver o capítulo seguite, por vezes ecessitamos de calcular o diagrama de Nyquist para frequêcias egativas. Tal ão costitui problema, dado sabermos que: G( j) = G( j) (5.38) Sistemas de Cotrolo I 64

13 5.3. Diagramas de Nyquist para diferetes factores Do mesmo modo que fizémos para o digrama de Bode, vamos determiar o diagrama de Nyquist para cada tipo de factores que aparecem as fuções de trasferêcia Itegradores e derivativos O traçado polar para um factor itegrador - imagiário egativo, dado que: G( j) = - coicide com o semi-eixo j π j G( j) = = e (5.39) j j σ Figura 5.7 Traçado polar de um factor itegrador Do mesmo modo, o traçado polar para um factor derivativo - G( j) o semi-eixo imagiário positivo, dado que: π j = j - coicide com G( j) = j= e (5.4) j σ Figura 5.8 Traçado polar de um factor derivativo Sistemas de Cotrolo I 65

14 5.3.. Factores de primeira ordem Cosideremos primeiramete pólos - G( j) =. Sabemos que pode ser expresso, + jt a forma polar, por: G( j) = j ta( T ) e + T (5.4) Podemos represetar esta fução uma forma tabelar: /T G( j ) + T G( j ) π 4 ta ( T ) π Este traçado correspode a um semi-círculo. As partes reais e imagiárias de (5.4) são: T x= ; y= (5.4) + T + T e satisfazem a equação: x + y = Obviamete, esta é uma equação de uma circuferêcia cetrada em, (5.43) e com raio. O diagrama polar está esboçado a figura seguite. j / σ Figura 5.9 Traçado polar de um factor de ª ordem (pólo) Sistemas de Cotrolo I 66

15 Para um zero -+ jt, é fácil de ver que o traçado é uma semi-recta paralela ao semieixo imagiário positivo, cetrada em. j σ Figura 5. Traçado polar de um factor de ª ordem (zero) Factores quadráticos Cosideremos primeiro pólos - G( j) = j + ξ j +. Costruido uma tabela coforme se fêz ateriormete, temos: G( j ) ξ + ξ G( j ) π ta ξ π A forma exacta do traçado irá depeder da razão de amortecimeto. Idepedetemete disso, o traçado começa em º e termia em π. Para sistemas com < ξ <.7, o poto do traçado mais distaciado da origem correspode à frequêcia de ressoâcia ξ r =. Sistemas de Cotrolo I 67

16 Figura 5. Traçado polar de um termo quadrático (pólos) Para os termos quadráticos correspodetes a zeros, o traçado começa em º e termia em π Factor de atraso Para os termos G( j) = e jt, dado que: jt G( j) = e = cos( T) j si( T ) (5.44) o traçado é uma circuferêcia cetrada a origem e de raio uitário Diagramas de Nyquist para fuções de trasferêcia geéricas O comportameto do traçado, quado, depede apeas do úmero de sigularidades a origem. Atededo à ossa fução de trasferêcia geérica Sistemas de Cotrolo I 68

17 Gs () = s z z= m ( + st ) p ( + stp) p= z (5.45) etão: z ( + jt ) z z= lim G( j) = lim = lim ( ) m m j p ( + jtp) ( j) p= (5.46) Assim, o diagrama provém do ifiito quado m>, com um âgulo de m π. Quado m=, provém do eixo real positivo, do poto. Quado m<, provém da origem. O comportameto do traçado, quado, depede da difereça etre os graus das poliomiais do deomiador e do umerador. Para a fução ser físicamete realizável, temos. Dividido o umerador e o deomiador por ( l ( j) j ) z, temos: a lim G( j) = z, l= m+ (5.47) p z Quado l>o, o diagrama morre a origem, com um âgulo de l π. Quado l=, o traçado acaba o eixo real em a z Traçado de Nyquist quado existem pólos o eixo imagiário Se Gs () possuir pólos o eixo imagiário, em s=± j, etão deveremos expadir Gs () em fracções parciais. G() s = + ( s j ) { outros termos} (5.48) sedo ( ) = lim s j G( s) (5.49) Para valores de a vizihaça de, podemos cosiderar: Sistemas de Cotrolo I 69

18 G( j) = ( j j ) j ( ) (5.5) A partir de (5.5), temos que: lim G ( j ) =, (5.5) e π, par π lim G( j) =, >, π ( + ), < impar (5.5) 5.4 Traçado de Nichols Neste tipo de traçado, à semelhaça do diagrama de Nyquist, usa-se apeas um úico gráfico, este caso do logaritmo da amplitude, em dbs, versus a fase. Para este tipo de traçado, os gráficos de G( j ) e de relação à origem, dado que: e G ( j) são ati-simétricos em G ( j) ( db) = G( j) ( db) (5.53) G j G j ( ) = ( ) (5.54) Para estes traçados, uma variação de gaho traduz-se apeas uma traslacção do gráfico. A seguir apresetam-se os traçados de Nichols para algus termos usuais. Sistemas de Cotrolo I 7

19 Nichols Charts 5 O p e - L o o p G a i (d B) Gs () s Gs () s s Gs () s Gs () s Gs () s s Ope-Loop Phase (deg) Figura 5. Diagramas de Nichols para diferetes termos 5.5 Comparação dos vários traçados A figura seguite compara os diferetes traçados para a fução quadrática Gs () =. s s ξ + + Bode Diagrams Ph as e (de g); Ma gi tud e (d B) M r r Frequecy (rad/sec) a) Bode Sistemas de Cotrolo I 7

20 Nyquist Diagrams Im agi ar y Axi s r Real Axis b) Nyquist Nichols Charts r Mr Op e- Lo op Ga i (d B) Ope-Loop Phase (deg) c) Nichols Figura 5.3 Diferetes traçados 5.6 Critério de estabilidade de Nyquist O critério de estabilidade de Nyquist baseia-se o teorema de Cauchy, e traduz-se a aplicação de uma trasformação coforme de um cotoro o plao s por uma determiada fução. Estes coceitos foram itroduzidos a disciplia de Matemática Aplicada. Sistemas de Cotrolo I 7

21 Já foi referido que, para que um sistema em malha fechada seja estável, a sua poliomial característica () s = + G() s H() s deve ter todas as raízes o semi-plao esquerdo. O critério de Nyquist vai determiar se isso é verdade ou ão, mas o plao GsHs () () Bases matemáticas Covém relembrar os coceitos de rodeado e fechado. Um poto P diz-se rodeado pelo camiho Γ se este percurso ivolver P. A região situada à esquerda desse camiho, se este fôr percorrido o setido da seta, diz-se que é fechada por Γ. P P P a) rodeado e fechado b) rodeado e ão fechado c) fechado e ão rodeado Figura 5.4 Noção de rodeado e fechado Admitamos que a fução F(s) é uma fução aalítica em todo o plao s, excepto um úmero fiito de potos, e escolha-se um cotoro fechado Γ s o plao s ode F(s) é aalítica. Se fizermos a trasformação coforme deste camiho pela fução F(s) vamos obter o plao F(s) também um cotoro fechado, que desigaremos por F. O teorema de Cauchy diz-os que, se Γ s rodeia Z zeros e P pólos de F(s) o plao s, etão a sua represetação coforme o plao F(s) rodeia a origem N vezes, ode N = Z P, o mesmo setido em que Γ s rodeia as sigularidades o plao s se N é positivo, e em setido cotrário se N é egativo. Este coceito é fácil de eteder, se atetarmos a figura seguite. Na fig. a) estão represetados o cotoro movemos ao logo de s Γ s e os pólos e zeros da fução F(s). Repare que quado os Γ, a cotribuição agular total de φ, φ e Ψ é ula. No etato, a cotribuição agular total de Ψ é de π, positiva visto tratar-se de um zero. Portato, a ispecção do mapeameto F(s) uma rotação completa o mesmo setido - demostra- Sistemas de Cotrolo I 73

22 os que estamos a preseça de um zero detro do cotoro pólos detro desse cotoro é ulo. Γ s, dado que o úmero de p z s s F p a) Plao s b) Plao F(s) Figura 5.5 Exemplo 5.6. Aplicação para sistemas de cotrolo Em cotrolo, estamos iteressados em saber se os zeros de () s = + GsHs () () estão todos o semi-plao esquerdo, ou ão. Se cosiderarmos Fs () = GsHs () (), etão podemos aplicar directamete os coceitos ateriores, com a difereça de que temos de ispeccioar quatas vezes o poto = + j é rodeado. Se cosiderarmos Γ s um cotoro que feche todo o semi-plao direito, a aplicação directa do teorema de Cauchy diz-os que a sua represetação coforme o plao F(s) rodeia o poto = + j N vezes, ode N = Z P, o mesmo setido em que Γ s rodeia as sigularidades o plao s se N é positivo, e em setido cotrário se N é egativo. Como: NG( s) NH( s) DG( s) DH( s) + NG( s) NH( s) () s = + G() s H() s = + = (5.55) D D D D G( s) H( s) G( s) H( s) podemos saber os pólos da fução, e os zeros são determiados através de Z = N+ P. O sistema é estável se Z =, isto é, se N = P. O cotoro Γ s tem que fechar o semi-plao direito do plao s, mas a fução deve ser aalítica este cotoro. Caso F(s) possua pólos o eixo imagiário, o camiho deve cotorá-los. Assim, admitido esta situação, utilizaremos o seguite cotoro: Sistemas de Cotrolo I 74

23 3 A 4 B C 5 D Figura 5.6 Cotoro o plao s Podemos cosiderar este cotoro dividido em 5 partes:. Neste caso temos uma semi-circuferêcia de raio ifiito, cujo âgulo varia de π π a. Portato, para determiar a trasformação coforme, calculamos lim Fs ( ) R jθ s= Re (5.56). Para este caso, a trasformação coicide com o diagrama de Nyquist, com a difereça de que varia de a ; 3. Trata-se do simétrico da trasformação obtida o poto aterior, dado que F ( j) = F( j) 4. O cotoro o plao s é uma semi-circuferêcia de raio ifiitesimal, cujo âgulo π π varia de a. Para determiar a trasformação coforme, calculamos lim Fs ( ) ε jθ s j = εe (5.57) 5. A mesma coisa que o poto aterior, com a difereça que a substituição é jθ s+ j = ε e. Sistemas de Cotrolo I 75

24 5.6.3 Exemplo de aplicação Vamos determiar a estabilidade do sistema de cotrolo cuja fução de trasferêcia em malha aberta é GH () s = s st + st +. ( )( ) Primeiramete, vamos esboçar o diagrama de Nyquist, isto é, o mapeameto da semirecta da fig. 5.6 pela fução Fs () = GsHs () (). Fazedo a tabela, temos: F( j ) ( + )( + ) T T G( j ) π π ( ) ta T ta ( T ) 3 π O diagrama de Nyquist está represetado a figura seguite (para =, T =, T =): Nyquist Diagrams From: U() 5 Imagiary Axis To: Y() Real Axis Figura 5.7 Diagrama de Nyquist O sistema possui um pólo em s=. Correspode ao mapeameto de um semicircuferêcia de raio ifiitesimal, do tipo 4 ou 5, cetrada em. Temos assim: lim Fs ( ) = lim = e ε jθ e jθ jθ jθ s= ε ε εe εe T εe T ( + )( + ) jθ (5.58) Sistemas de Cotrolo I 76

25 π π Como θ varia de etão o âgulo de F(s) varia de seguite ilustra este facto. π π +. A figura Nyquist Diagrams From: U() 5 Im agi To a : ry Y( Ax ) is Real Axis Figura 5.8 Cotoro o plao F(s) Relativamete à semi-circuferêcia de raio ifiito (tipo ), teremos o seguite mapeameto: j3θ lim Fs ( ) = lim = e (5.59) ε jθ jθ jθ jθ s= εe ε εe ( εe T+ )( εe T+ ) π π Como θ varia de etão o âgulo de F(s) varia de 3 π 3 π. Este cotoro ão é represetado o gráfico. Embora ão seja muito perceptível o gráfico, o poto +j é rodeado vez. Isto implica que, dado o úmero de pólos de F(s) o semi-plao direito ser ulo, existe um zero de F(s) o semi-plao direito, isto é, o sistema é istável. A estabilidade do sistema geérico depede do poto em que o traçado de Nyquist itersecta o semi-eixo real egativo de F(s). Se itersectar ates de +j, o sistema é istável; caso cotrário é estável. Obviamete isto depede de uma relação etre o gaho e as costates de tempo. Esta relação pode-se determiar de duas maeiras: Sistemas de Cotrolo I 77

26 Vamos represetar F(s) em termos de parte real e imagiária. Temos etão: F( j) = = = j jt + jt + j TT + j T + T + ( ) ( T T) j( TT ) + ( ( )) ( ) ( )( ) ( ) = = j TT T + T T + T + TT ( ) ( ) A parte imagiária é ula quado ( ) ( TT ) a =±. Para essas frequêcias, a parte real vale TT quado: (5.6) = =. A ª igualdade correspode T + T F( j) =. Isto é, T + T TT < < (5.6) TT o sistema é estável. Outra maeira será aplicar a rede de Routh-Huritz. A poliomial característica é: ( ) = s TT + s T + T + s+ (5.6) 3 A rede de Routh-Huritz é etão: 3 s TT s T + T s ( T+ T) TT s T + T T+ T O sistema é estável se < <. Formado a equação auxiliar, para = c, temos TT =±. TT Sistemas com tempo de atraso s Cosidere-se o sistema Gse ( ) τ, com Gs ( ) racioal e só com pólos. Sabemos que o seu jτ jτ módulo é G( j) e = G( j) e G( j) e = G( j) τ. O seu diagrama de Sistemas de Cotrolo I 78

27 π quado o seu Nyquist é etão uma espiral decrescete Caso a fase seja maior que módulo é igual a, etão o sistema é estável, dado que, quado a fase dimiuir para o seu módulo é meor que. 5.7 Marges de gaho e de fase π, Coforme se viu, em sistemas que potecialmete podem ser istáveis, um aumeto de gaho ormalmete traduz-se uma variação do grau de estabilidade do sistema. Quato mais perto o digrama de Nyquist passar do poto +j, mais rápida e oscilatória será a resposta do sistema. A estabilidade relativa pode etão exprimir-se em fução da distâcia míima etre o traçado de Nyquist de GH(s) e o poto +j. Esta estabilidade relativa mede-se ormalmete em termos de marges de gaho e de marges de fase. A margem de gaho é o factor pelo qual é ecessário multiplicar o gaho para que o sistema se tore margialmete estável. Se gaho) para a qual a fase de GH(j) é como: c é a frequêcia (frequêcia da margem de π, etão a margem de gaho, a, é defiida ( ) ( ) G j H j a= (5.63) c A margem de fase é defiida como o atraso adicioal ecessário para que o sistema se tore margialmete estável. Se desigarmos por φ a frequêcia (frequêcia da margem de fase) para a qual o módulo de GH(j) é uitário, temos: c ( φ) ( φ) γ= π+ G j H j (5.64) 5.7. Exemplo Vamos cosiderar a fução de trasferêcia.8 GH () s =. Para ( s )( s )( s 3) determiar as marges de gaho e de fase, vamos separar GH ( j ) em partes real e imagiária. Etão: Sistemas de Cotrolo I 79

28 .8.8 GH () s = = ( s+ )( s+ )( s+ ) s + s + s+.8 GH ( j) = = ( j) ( j) ( j) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3.8 ( 6 6 ) j( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ).8 = = = j j.8 = Para determiar a margem de gaho iguala-se a a parte imagiária: ( c ) ( c ) 3 = = j =± e o módulo correspodete a essa frequêcia, frequêcia da margem de gaho, é:.8 GH ( j ) = = 6.6 Logo a margem de gaho é de.6, ou 8.4 dbs. Para determiar a frequêcia da margem de fase, temos de determiar a frequêcia para a qual o gaho é uitário..8.8 GH ( j) = = = 3 + j x + y ( ) ( ) ( 6 6 ) ( ) ( ) ( ) x + y = =.8 3 z z z 3 6 6z + z z = z+ 36z + z z + z = = Esta equação tem como soluções (empregado Matlab) z= 4. z= 9± 5.7 j. Isto implica que, para =±.5 rad/s o módulo é uitário. Esta é a frequêcia da margem de fase. A margem de fase própriamete dita é dada por: γ= π ta ta ta =.63rad = 36º 3. A figura seguite ilustra, com o diagrama de Bode, as marges de fase e de gaho obtidas em simulação. Sistemas de Cotrolo I 8

29 - Bode Diagrams Gm=8.443 db (at rad/sec), Pm=37.88 deg. (at.9998 rad/sec) Phase (deg); Magitude (db) Frequecy (rad/sec) Figura 5.9 Marges de fase e de gaho 5.8 Resposta em malha fechada A partir da reposta a frequêcia de um sistema em malha aberta pode-se obter uma aproximação à resposta a frequêcia do sistema em malha fechada. Cosideremos um sistema em malha fechada com realimetação. A sua fução de trasferêcia é: G( j) jφ( ) = M( ) e (5.65) + G( j) Se escrevermos a fução de trasferêcia em malha aberta em termos de parte real e imagiária, temos: G( j) = u( j) + jv( j) = u+ jv (5.66) A amplitude vale: G ( ) u + v M( ) = = + G ( ) + u + v ( ) (5.67) Se quadrarmos (5.67), ficamos com: Sistemas de Cotrolo I 8

30 (( ) ) u + v = M + u + v ( ) ( ) u M M u+ v M = M u Mu M + v = M M (5.68) Se adicioarmos perfeito: M M a ambos os membros de (5.68), ficamos com um quadrado u Mu M M M + v + = + M M M M M u + = M M v ( M ) (5.69) Esta última equação cositui a equação de uma circuferêcia com cetro em M, M M e raio ( M ). Sobrepodo essas circuferêcias o diagrama de Nyquist, os potos em que o diagrama itersecta cada circuferêcia dá-os um par de valores (, ) M que os permitem traçar a curva da resposta da frequêcia em malha fechada. i i Pegado as equações (5.65) e (5.66) e utilizado o mesmo processo para a frequêcia, temos: v v v v ata ata ata u u v φ = + = = ata u u v v + u + u+ v + u+ u (5.7) Aplicado tagete a ambos os lados, temos: v N ( ) = ta( φ) = (5.7) u + u + v Rearrajado, temos: Sistemas de Cotrolo I 8

31 v u + u+ v = N v u + u+ + v + = + N N N + N u+ + v = N 4N (5.7) Esta equação cositui a equação de uma circuferêcia com cetro em, N e raio N +. Do mesmo modo que para a curva de magitude, podemos sobrepôr as N circuferêcias N um diagrama de Nyquist e esboçar a fase em malha fechada. Na prática, é mais comum sobrepôr essas curvas um diagrama de Nichols. A figura seguite ilustra esta aplicação para a o sistema em malha fechada, com realimetação uitária e fução de trasferêcia (5.34). 6 Nichols Chart 4.5 db.5 db db 3 db 6 db db - db -3 db -6 db - db Ope-Loop Gai (db) db -4 db -6-6 db -8-8 db - - db - db Ope-Loop Phase (deg) Figura 5. Carta de Nichols, com círculos M e N Sistemas de Cotrolo I 83

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