n Obtido através desvio padrão da população (σ)

Transcrição

1 3/5/ Etatítica Geral Tete t de STUDENT Cap. 7, 8 e 9 Callegari-Jacque, S. M. Bioetatítica: Pricípio e Aplicaçõe, 3. Apotila: Regazzi, A. J., Curo de iiciação à etatítica. Curo: Saúde/CUA/UFMT Profº: Glauco Vieira de Oliveira Ditribuição t de Studet. Itrodução (Relação etre o tete Z e t) Tete de hipótee z Objetivo: comparar uma média amotral () com uma média populacioal cohecida (µ). O que era eceário para o tete? σ σ ( X ) Cálculo do erro padrão da média (σ ) Obtido atravé devio padrão da população (σ) Quado ão e cohece o valor σ? Temo a etimativa do erro padrão, (), atravé do dado amotrai: ( X )

2 3/5/. Itrodução (Relação etre o tete Z e t) Ditribuição t de Studet v grau de liberdade Tete de ipótee de uma Média Populacioal. Tete t para uma média - Situação de uo: Quado X é Normalmete ditribuída com variâcia decohecida. (Ob: X- Variável aleatória) Tedo uma amotra aleatória de tamaho de determiada população, (X, X,..., X idepedete), etão: t X - µ ( X ) compare X - µ Z σ ( X ) tem ditribuição t de Studet com - grau de liberdade. Deevolvedo a fórmula, temo: t X - µ

3 3/5/ Tete de ipótee (tete t) Dee modo podemo tetar: : µ µ cotra a : µ < µ, ou µ > µ, ou µ µ em que uaremo a etatítica t, dada ateriormete Tete bilateral DECISÃO Tete uilateral Se t t TAB rejeita-e Obervação: t : Valor calculado em módulo de t (valor poitivo de t) t TAB : Valor tabelado de t a um ível α de probabilidade ( valor de t crítico ) Tete de ipótee (tete t) Obervação: O valor de t TAB é obtido em Tabela apropriada: Quado o pequiador tem em mão apea um tipo de tabela t Tabela bilateral Tete bilateral: etrar com α Tete uilateral: etrar com α Tabela uilateral Tete bilateral: etrar com α/ Tete uilateral: etrar com α Eercício Determiada firma deejava comprar cabo tedo recebido do fabricate a iformação de que a teão média é de 8kgf. Efetuou-e um eaio em 6 cabo e obteve a teão média de ruptura 775 kgf, com devio padrão de 45 kgf. Efetuar um tete uilateral para aaliar e a afirmação do fabricate é verdadeira ao ível de 5% de probabilidade. Repota: : µ 8 kgf v a : µ < 8 kgf t 5%,5; t calc -4,; Cocluão: Rejeita-e a 5% de probabilidade pelo tete t, ou eja, a afirmação da emprea ão é verdadeira. 3

4 3/5/ Tete t para dua média 3. Tete para o cao de dua amotra idepedete (Tete t para dua média) Quado e aplica: - muito problema aparecem quado e deeja tetar hipótee obre média de diferete populaçõe. Quado a variâcia da populaçõe ão ubtituída pela variâcia da amotra, ito é em lugar de σ, o tete Z paa ao tete t, ode em fução da variâcia da populaçõe erem ou ão iguai etre i, teremo doi cao a erem coiderado. Sejam X e Y ormalmete ditribuída, edo ua variâcia decohecida Deejamo tetar: : µ X µ Y cotra a : µ X < µ Y, ou µ X > µ Y, ou µ X µ Y Ate devemo tetar : σ X σ Y cotra a : σ X > σ Y, ou Tete Prelimiar para comparação de dua média: (Tete F) Tete de Comparação de Variâcia de Dua Populaçõe Coiderado dua amotra de tamaho e da variávei aleatória ormai X e Y, repectivamete, Etatítica F é calculada, do eguite modo. Oberve que, colocado a maior variâcia o umerador, F calc é empre >. Aim, ete curo, iremo adotar a Tabela uilateral para F>. (de modo que temo a :σ X > σ Y ) F calc maior meor O valor crítico de F depede do ível de igificâcia uado (α) e do úmero de grau de liberdade ( ) de cada amotra, edo idicado por: F α; gln;gld, Ode gl N ; grau de liberdade da variâcia do umerador gl D grau de liberdade da variâcia do deomiador Se F calc F Tab rejeita-e 4

5 3/5/ Eercício Tete F 4.. Na Aplicação de doi método X e Y, obteve-e o reultado forecido abaio. Tetar a hipótee de igualdade da variâcia, ao ível de 5% de probabilidade. Método X 4 Y 6 9 Seqüêcia de açõe: ) Mote a hipótee ) Calcule o valor F 3) Ecotre o valor F Tabelado (com bae em alfa e o grau de liberdade do umerador e deomiador) 4) Coclua e rejeita ou ão o. Re pota : F 5% : σ σ v : σ > σ (,8),4; F Rejeita e a calc,5; Tete t para dua média (CASO A) CASO A: Se ão for rejeitada, vamo admitir que a variâcia ão iguai e que, coeqüetemete, o valore aumido por e erão etimativa de um memo valor σ que é a variâcia (comum) de amba a populaçõe. Sedo aim, vamo combiar e a fim de obter um melhor etimador para σ. De modo que variâcia comum ( -) - ( -) A eguir utilizaremo para o tete, a variável aleatória t X - Y Que tem ditribuição t de tudet com ( - ) grau de liberdade. 5

6 3/5/ 6 Tete t para dua média (CASO B) CASO B: Se for rejeitada, vamo admitir que a variâcia ão ão iguai, portato ão tem etido combiarmo e. Nete cao, utilizaremo para o oo tete, a variável aleatória: que egue, aproimadamete, a ditribuição t de tudet com * grau de liberdade, ode: t Y - X * Tete t para dua média (CASO B) CASO B: calculo de * mai coveiete ( ) * Em que: em cada amotra Eercício Supohamo que dua técica de memorização X e Y deverão er comparada, medido-e a eficiêcia pelo tempo eigido para decorar certo tipo de material. O memo material foi apreetado a 8 e 3 peoa que o decoraram atravé da técica X e Y, repectivamete. Verificar e há difereça igificativa etre a dua técica de memorização, adotado-e α5%. O reultado foram: 3 8 5mi mi 7mi mi Y X

7 3/5/ Tete t para dua média (CASO B) Eercício Deejado-e aber de dua raçõe alimetare X e Y para determiada raça de uío ão equivalete, ou e a ração X é Superior à ração Y o etido de cauar um maior aumeto de peo, atravé de orteio, foi dada a ração X à aimai e a ração Y a 9 outro aimai. Formulário X 66kg Y 63kg 4kg 6kg 9 X - Y t ( ) * 4. Tete para o cao de dado emparelhado Tete t para dado emparelhado Quado e aplica: - O reultado de dua amotra cotituem dado emparelhado quado etão relacioado doi a doi egudo critério que itroduz uma ifluêcia marcate etre o divero pare, que upomo, ifluir igualmete obre o valore de cada par. Por eemplo, medida obre o memo idivíduo, ate e depoi da aplicação de algum medicameto ou uma ração, etc. Sejam p. e: X i : o peo de um determiado aimal i ate de receber a ração X i : o peo de um determiado aimal i depoi que recebeu a ração d i X i - X i Tomado aimai eta codiçõe, podemo motar a eguite tabela: 7

8 3/5/ Tete t para dado emparelhado 4. Tete para o cao de dado emparelhado Nº X i X i d i X i - X i X X d X X d X X d Nete tete etaremo tetado a hipótee de que a difereça etre a média da dua populaçõe emparelhada eja igual a um certo valor, o que equivale a tetar a hipótee de que a média de toda a difereça, D, eja igual a. di i d,é um etimador de D p. e:, a hipótee eriam: a : D D <, ou : D > ou D A etatítica do tete é: d D t ( d ) Sob : D, teremo: d t ( d ) Tete t para dado emparelhado 4. Tete para o cao de dado emparelhado Deduzido a fórmula ( d ) Em que: ( d ) d d SQD( d) ( d) ˆ σ ( d) A etatítica do tete é: ˆ σ ( d) ( d) ˆ σ ( d ) d D t d ( d) ( d ) ˆ σ ( d ) ( ) DECISÃO ( ) Note que ao trabalharmo com a difereça d i, o problema erá tetar uma úica média (como o º eemplo dete Capítulo) pela comparação do t de tudet calculado com o valor tabelado obtido em tabela em fução do α e grau de liberdade. 8

9 3/5/ Eercício Tete t para dado emparelhado A tabela abaio motra uma eqüêcia de obervaçõe obre o valore da preõe de ete idivíduo ate e depoi da aplicação de um medicameto que tem por fialidade o abaiameto de preão. Verificar e o medicameto teve efeito igificativo ao ível de % de probabilidade Idividuo Preão Ate (X i ) Depoi (X i ), 3,9, 3 3,, 4 5,3, 5 5,3 3,4 6 3,4, 7 5, 3, Quadro complemetar d i X i - X i d Σ d i Σd Eercício Tete t para dado emparelhado A tabela abaio motra uma eqüêcia de obervaçõe obre o valore da preõe de ete idivíduo ate e depoi da aplicação de um medicameto que tem por fialidade o abaiameto de preão. Verificar e o medicameto teve efeito igificativo ao ível de % de probabilidade Formulário: d D t ( d) ( d ) ( d ) d ( d ) ˆ σ ( d ) ( d) Repota : t t calc % : D v 5,795; (6) 3,43; Rejeita e a : D < 9