Noções de Inferência Estatística

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1 Noçõe de Iferêcia Etatítica Itrodução: O objetivo pricipal da iferêcia etatítica é fazer afirmaçõe obre caracterítica de uma população, baeado-e em reultado de uma amotra. Para io veremo como e relacioam etatítica ( caracterítica do elemeto de uma amotra ) com parâmetro ( caracterítica do elemeto de uma população ). iferêcia etatítica e divide em dua grade área: etimação ( potual e itervalar) e tete de hipótee. Coceito áico lgu coceito báico ão eceário para o deevolvimeto da Iferêcia Etatítica: População: cojuto de elemeto que formam o uivero de oo etudo e que ão paívei de er obervado, ob a mema codiçõe. motra: é um ubcojuto de elemeto extraído de uma população. motragem: proceo de eleção da amotra motragem aleatória imple: proceo de amotragem ode todo o elemeto da população tem a mema chace de fazer parte da amotra. Outro coceito importate: Parâmetro: alguma medida decritiva aociada à população. Etatítica: qualquer valor calculado com bae (apea) o elemeto da amotra. Etimador: uma etatítica detiada a etimar um parâmetro populacioal. Etimativa: é o valor umérico do etimador com bae a obervaçõe amotrai. Símbolo mai comu Etimador Parâmetro Média X Variâcia Proporçõe pˆ p etatítica, como fuçõe de variávei aleatória, ão também variávei aleatória, e portato, têm uma ditribuição de probabilidade, eperaça e variâcia.

2 Itrodução à motragem Na maioria do cao é impraticável obervar toda uma população, eja pelo alto cuto, eja por dificuldade divera. Examia-e etão uma amotra da população. Se ea amotra for batate repreetativa, o reultado obtido poderão er geeralizado para toda a população. O uo de amotra que produzam reultado cofiávei e livre de viee é o ideal. im, a maeira de e obter a amotra é tão importate que cotitui uma epecialidade detro da Etatítica, cohecida como motragem. O procedimeto cietífico para obteção de dado amotrai podem er dividido em trê grupo: levatameto amotrai, plaejameto de experimeto e levatameto obervacioai. Nó iremo o cocetrar pricipalmete em levatameto amotrai o quai a amotra é obtida de uma população bem defiida, por meio de proceo bem protocolado e cotrolado pelo pequiador. O vário procedimeto de e ecolher uma amotra podem er agrupado em doi grade grupo: o chamado plao probabilítico e plao ãoprobabilítico. O primeiro grupo reúe toda a técica que uam mecaimo aleatório de eleção do elemeto da amotra, atribuido a cada um dele uma probabilidade, cohecida a priori, de pertecer à amotra. No egudo grupo etão o demai procedimeto, tai como: amotra itecioai, ode o elemeto ão elecioado com auxílio de epecialita, e amotra de volutário. lgu plao probabilítico ão delieado a eguir: motragem leatória Simple Ete tipo de amotragem coite em elecioar a amotra atravé de orteio, em retrição. Qualquer ubcojuto da população, com o memo úmero de elemeto, tem a mema probabilidade de fazer parte da amotra. eleção pode er facilitada com o uo de úmero aleatório. Exitem algoritmo computacioai capaze de gerar dado que atifazem aproximadamete a eta propriedade. motragem Etratificada Iformaçõe adicioai podem aprimorar um deeho amotral. Por exemplo, em uma pequia obre reda familiar média, cohece-e de atemão a regiõe da cidade ode predomiam moradia de diferete clae de reda. Ete cohecimeto pode er uado para defiir ub populaçõe homogêea egudo a reda, e aí etão ortear amotra detro de cada uma dea regiõe. Ete procedimeto é cohecido como a divião da população em etrato, e coequetemete, defiem o plao de motragem Etratificada. motragem itemática É um proceo imple que coite em ortear o primeiro elemeto e extrair o demai itematicamete. Calcula-e o itervalo de eleção, dado por = I=N/, orteia-e o primeiro elemeto do cojuto e completa-e a amotra, extraido um elemeto a cada I elemeto.

3 motragem por coglomerado Embora poa produzir reultado meo precio e comparada à etratificada, ete proceo tem um cuto fiaceiro bem meor. Chama-e de coglomerado um grupameto de elemeto da população. Ete tipo de amotragem coite, um primeiro etágio em elecioar o coglomerado. Num próximo etágio, todo o elemeto do coglomerado elecioado ão obervado (amotragem de coglomerado em um etágio) ou e faz uma eguda eleção de coglomerado e eta e aaliam todo o elemeto ( amotragem de coglomerado por doi etágio ). Toda a eleçõe devem er aleatória. Trabalharemo um cao imple de amotragem probabilítica : a amotragem aleatória imple, com repoição Erro amotrai e ão amotrai 1 O uo de um levatameto amotral itroduz um tipo de erro, que pode e reumido a difereça etre o valor de uma certa caracterítica a amotra e o parâmetro de iteree a população. Eta difereça pode ocorrer apea devido à particular amotra elecioada, ou etão devido a fatore extero ao plao amotral. Quado o erro é devido à amotra elecioada é chamado de erro amotral e quado é devido à fatore idepedete do plao amotral (erro de medida, digitação, etc) é chamado de erro ão amotral. Coidera-e um erro amotral aquele devio que aparece porque o pequiador ão levatou a população toda. Cada amotra poível de um plao acarreta em um devio. Vejamo o equema que e egue que coidera a média como a caracterítica de iteree. Vamo deotar por a média da variável a população e X a média amotral. População ou Uivero motra poívei de tamaho 1 1 => X1 3 => X.. X - = E = erro. i => X3 N k => Xk 1 NOTS DE UL: ESTTÍSTIC ÁSIC. UNIVERSIDDE FEDERL DE MINS GERIS

4 No cao da média, o etudo do erro amotral coite baicamete em etudar o comportameto da difereça (X - ) quado X percorre toda a poívei amotra que poderiam er formada atravé do plao amotral ecolhido. Cohecedo-e a ditribuição amotral de X pode-e avaliar ua média e eu devio padrão. Nete cao particular o devio padrão recebe o ome de erro padrão de X. Ditribuiçõe motrai Diferete amotra extraída da população irão origiar valore ditito para a etatítica coiderada. Por ete motivo, dizemo que a etatítica ão variávei aleatória, já que eu valor ão pode er predito com certeza ate da amotra ter ido extraída. ditribuição de probabilidade de uma etatítica quado coideramo toda a amotra poívei de tamaho é deomiada de ditribuição amotral. Ditribuição motral da Média ditribuição amotral da média X, de amotra cauai imple de tamaho, extraída de uma população que tem média e devio padrão, tem a eguite caracterítica: E( X ) = V( X ) = / Cao a população teha ditribuição Normal com média e devio padrão, a ditribuição amotral da média X, é Normal com média e devio padrão /. ditribuição amotral da média X, de amotra aleatória imple de tamaho extraída de uma população ão Normal, com média e devio padrão, é aproximadamete ormal com média e devio padrão /, quado é uficietemete grade. Ete reultado é uma aplicação de um importate teorema de probabilidade, chamado Teorema Cetral do Limite. Para a utilização dete reultado, é uual coiderar que o tamaho da amotra é uficietemete grade quado é pelo meo 30. EXEMPLO : Uma máquia de empacotar café o faz egudo uma ditribuição ormal, com média 500 e devio padrão de 10g. Colhe-e uma amotra de =100 pacote e ete ão peado. Se a máquia etiver regulada qual a probabilidade de ecotrarmo a média da amotra diferido de 500g de meo de grama? 100 X ~ N500, 100 P( X 500 ) P(498 X 50) P( Z ) 95% USS & MORETTIN. Etatítica áica. Editora Saraiva, 003

5 Ditribuição motral da Proporção 3 Coidere que a proporção de elemeto uma população com determiada caracterítica é p. im, para cada elemeto da população podemo defiir uma variável X, tal que X = 1, e o elemeto é portador da caracterí tica 0, e o elemeto ão é portador da caracterí tica Ito é, X ~eroulli(p) = iomial (1,p), e portato E(X) = p e V(X) = p(1-p). Seja X 1, X,..., X uma amotra aleatória imple retirada com repoição dea população, e eja S X o total elemeto portadore da caracterítica a amotra. 1 i Tem-e que S ~ iomial (,p). Defia como pˆ a proporção de elemeto portadore da caracterítica a 1 X i amotra, ito é, S. pˆ X Utilizado o Teorema Cetral do Limite, tem-e que a ditribuição amotral de p(1 p) pˆ é aproximadamete N p,, quado é uficietemete grade. EXEMPLO: Supoha que 30% de uma ecola ejam mulhere. Colhemo uma amotra aleatória de 10 etudate e calculamo a proporção de mulhere a amotra. Qual a probabilidade de que a proporção de mulhere a amotra difira em meo de 1% da proporção de mulhere da população? 1 p 0,3(1 0,3) pˆ ~ N p, N0,3; N (0,3;0,01) 10 P( pˆ p 0,01) P( 0,01 0,3 p 0,01) P( 0,07 Z 0,07) 0,056 EXERCÍCIOS: Reolver o exercício 4, 5, 6, 7 e 8 (pág 178 e 179) do eguite livro: RETT, REIS E ORNI. Etatítica para curo de Egeharia e Iformática. Editora Átla 3 NOTS DE UL: ESTTÍSTIC ÁSIC. UNIVERSIDDE FEDERL DE MINS GERIS

6 Etimação qui etudaremo o problema de avaliar parâmetro populacioai, a partir de operaçõe com dado de uma amotra. EXEMPLOS: 1) Etimar a proporção de peça defeituoa um lote. ) Etimar o peo médio de um determiado produto de uma liha de produção. Exitem doi tipo de etimação de um parâmetro populacioal: etimação potual o Método do mometo o Míimo Quadrado o Máxima Veroimilhaça etimação itervalar Etimação Potual Procura ecotrar um valor umérico úico que eteja batate próximo do verdadeiro valor do parâmetro. Ete procedimeto ão permite julgar a magitude do erro que podemo etar cometedo. Etimadore Potuai Do Pricipai Parâmetro Populacioai Parâmetro Etimador Média () 1 X X i i 1 Variâcia ( ) 1 X i X 1 Devio padrão Proporção (p) 1 i 1 1 X pˆ ode X i X i 1 X = úmero de elemeto da amotra que pouem a caracterítica = tamaho da amotra Muito provavelmete uma etimativa potual ão coicide exatamete com o valor verdadeiro do parâmetro populacioal que etá edo etimado e, além dito, eta etimativa ão traz aociada a ela uma medida de ua precião. etimação itervalar que erá apreetada a eguir ajuda a reolver ete tipo de problema.

7 Etimação por Itervalo de Cofiaça Procura determiar um itervalo que abraja o valor do parâmetro populacioal, com uma certa margem de eguraça. Ete procedimeto permite julgar a magitude do erro que podemo etar cometedo. De um modo geral, o baearemo a amotra para cotruir um itervalo que com alto grau (ou ível) de cofiaça coteha o verdadeiro valor do parâmetro, o itervalo de cofiaça. Grau de cofiaça é a probabilidade do itervalo de cofiaça coter o verdadeiro valor do parâmetro. É também chamado de ível de cofiaça e geralmete expreo em porcetagem. Formalizado um pouco, e deotarmo o parâmetro de iteree por, deejamo obter um itervalo com limite iferior I e limite uperior S tal que P(I < < S) = γ ode γ é próximode 1. O limite dete itervalo ão variávei aleatória poi depedem da amotra elecioada. Um itervalo dete tipo é deomiado itervalo de γ(100)% cofiaça para o parâmetro. Valore de γmai comumete uado ão 95% e 99%. Para eclarecer o coceito de itervalo de cofiaça, upoha que retiremo um grade úmero de amotra de tamaho (fixo) da população em etudo e para cada amotra, cotruamo um itervalo. O limite do itervalo reultate variarão de amotra para amotra. Por exemplo, ao deejar um itervalo de cofiaça de 95%, e 100 dee itervalo foem calculado a partir de 100 amotra diferete, deve-e eperar que em toro de 95 dee itervalo coteham o valor do verdadeiro parâmetro. figura a eguir ilutra ito. MOSTR Itervalo de cofiaça ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) O verdadeiro valor do parâmetro etará cotido em (100)% dee itervalo.

8 Itervalo de cofiaça para a proporção Em muita ituaçõe, o pricipal parâmetro de iteree é alguma proporção p. Vamo obter um itervalo de cofiaça para o parâmetro o de uma ditribuição b(,p). Sabe-e que e X = úmero de uceo a prova, etão X tem ditribuição aproximadamete ormal com média μ=p e variâcia σ²=p(1-p) logo: Z Z X p N (0,1) pq X p pq ( pˆ p) pq N(0,1) im para γ=0,95 teremo: P 1,96 Z 1,96 ( pˆ p) P 1,96 1,96 0,95 pq pˆ 1,96 p(1 p) 0,95 p(1 p) p pˆ 1,96 Temo que para γ qualquer, 0 <<1 : IC( p, ) pˆ z pˆ(1 pˆ) EXEMPLO 4 : Na avaliação de doi itema computacioai, e, foram elecioada 400 carga de trabalho ( tarefa ) upotamete uma amotra aleatória da ifiidade de carga de trabalho que poderiam er ubmetida a ete itema. O itema foi melhor que o em 60% do cao. Cotruir um itervalo de cofiaça para p ( proporção de veze que o itema foi melhor que o, coiderado toda a poívei carga de trabalho ) uado ívei de cofiaça de 95%. 0,6(1 p0,6) IC( p, 95%) 0,6 1,96 0,600 0, Cocluímo que o itervalo (55,%;64,8%) cotém o parâmetro p, com ível de cofiaça de 95%. Cotrua agora o itervalo de cofiaça de 99%. Oberve que ao exigir-e maior cofiaça, o itervalo aumeta em magitude. 4 RETT, REIS E ORNI. Etatítica para Curo de Egeharia e iformática. ÁTLS

9 Itervalo de cofiaça para a média populacioal Pelo Teorema Cetral do limite abemo que : X Z Ou eja, dado γ podemo ecotrar valore Zγ tal que : P z P X z X z X z Etão o itervalo de cofiaça erá: IC(, ) X z EXEMPLO 5 : Em uma idútria de cerveja a quatidade ierida em lata tem-e comportado como uma variável aleatória com média 350ml e devio padrão 3ml. pó algu problema a liha de produção upeita-e que houve alteração a média. Uma amotra de 0 lata acuou média de 346lm. Cotrua um itervalo de cofiaça para o ovo valor da quatidade média μ de cerveja ierida em lata, com ível de cofiaça de 95%, upodo que ão teha ocorrido alteração o devio do proceo. 3 IC(, ) X z 346 1, , 31ml 0 O itervalo (344,69; 347,31) cotém, com 95% de cofiaça, o verdadeiro valor da média μ, quatidade média de cerveja ierida a lata apó o problema a liha de produção. Variâcia decohecida O itervalo de cofiaça decrito ateriormete ó poderá er utilizado a ituaçõe em que cohecemo a variâcia da população, o que ão é uual a prática. Para cotorar ete problema o procedimeto recomedado é ubtituir pela variâcia calculada com o dado da amotra, e utilizamo a etatítica t da ditribuição t de Studet. No devio padrão calculado com o dado da amotra devemo coiderar o deomiador ( -1 ). 5 RETT, REIS E ORNI. Etatítica para Curo de Egeharia e iformática. ÁTLS

10 Ditribuição t de Studet Supodo a população com ditribuição ormal, a etatítica t tem ditribuição cohecida como ditribuição t de Studet, com gl = -1 grau de liberdade. T X S Eta ditribuição tem uma forma parecida com a ormal, todavia um pouco mai dipera ( veja o capítulo 7 do oo livro texto - OUTROS MODELOS CONTÍNUOS). Para amotra grade e próxima da ditribuição ormal. f(x) t com gl = (ormal padrão) t com gl = 3 t com gl = 1 0 x Gráfico de ditribuiçõe t de Studet e da ormal padrão 6 Itervalo de cofiaça para a média com o uo da ditribuição t de Studet IC(, ) x t ode é o devio padrão da amotra. EXEMPLO: Deeja-e avaliar a dureza eperada μ do aço produzido ob um ovo proceo de têmpera. Uma amotra de 10 corpo de prova do aço produziu o eguite reultado de dureza em HRc: 36,4 35,7 37, 36,5 34,9 35, 36,3 35,8 36,6 36,9 Cotruir um itervalo e cofiaça para a média de 95%. x 36, 15 0,735 IC(, ) x t 0,735 36,15,6 36,15 0,53 10 Ode tγ =,6 para gl = 10 1 = 9 e p = 5% ( veja a tabela t ) EXERCÍCIOS: Reolver o exercício 9 a 1 da págia 191 do Livro: RETT, REIS E ORNI. Etatítica para curo de Egeharia e Iformática. Editora tla Tamaho de amotra 6 RETT, REIS E ORNI. Etatítica para Curo de Egeharia e iformática. ÁTLS

11 Na fae do plaejameto da pequia, muita veze preciamo calcular o tamaho da amotra, para garatir uma certa precião deejada, a qual é decrita em termo do erro amotral máximo tolerado (E 0,) e do ível de cofiaça a er adotado o proceo de etimação. No cao de etimação da média temo: X z z E E 0 0 E0 Ode E 0 é o erro amotral máximo tolerável tolerável variâcia pode er avaliada por meio de etudo ateriore ou em uma amotra piloto. EXEMPLO: Para o exemplo aterior qual deve er o tamaho da amotra e for tolerado um erro amotral de 0,3 e o ível de cofiaça 99%?,576 0,3 (0,54) 39,8 amotra deve coter 40 corpo de prova. Raciocíio aálogo pode er feito para determiar o tamaho da amotra quado o parâmetro de iteree for proporção. z z 4E p(1 p) 0 E 0 ou Ode p é obtido de etudo ateriore ou de uma amotra piloto. Na eguda fórmula temo o chamado itervalo coervador ode para p(1-p) coideramo o máximo valor que ete produto pode ter. EXERCÍCIOS: Reolver o exercício 13 a 4 da págia 195, 196 e 197 do livro: RETT, REIS E ORNI. Etatítica para curo de Egeharia e Iformática. Editora tla Itervalo de Cofiaça para Difereça de Média

12 Frequetemete urgem ituaçõe em que preciamo comparar dua populaçõe, em relação a determiada variável aleatória. Exemplo: Reda média de dua cidade diferete Receita de veda de dua firma Tempo de repota de doi algoritmo Número de leitore de doi periódico Portato é itereate etimar a difereça de média da dua variávei aleatória X ( média μ, devio padrão σ ) e X ( média μ, devio padrão σ ). Para tal calcula-e a difereça da média amotrai x x e forma-e um itervalo de cofiaça. O itervalo de cofiaça é poi: x x erro Variâcia cohecida erro z Variâcia decohecida erro t p p 1 ( 1) ( ( 1) ( 1 1) 1) Ode t depede do grau de cofiaça adotado e grau de liberdade (GL) calculado GL EXEMPLO : O dado abaixo repreetam um cojuto de cifra ( em milhare ) de um joral em dua cidade viziha, durate um período de algu dia: CIDDE : 5, 13, 14, 19, 3, 35, 9, 8, 17, 17, 16, 13, 18, 0 CIDDE : 10, 1, 15, 13, 7, 6, 11, 5, 9,14, 15, 18, 17, 16, 1, 1, 10, 11, 13, 14 Supoha que a variâcia da populaçõe ejam cohecida 40, 14. Determiar um itervalo de 99% de cofiaça. x x x 1,13 1,13 x erro,58 9,13 4,73 9, ,73 O itervalo de 99% cofiaça é: ]4,40; 13,86[

13 EXEMPLO : cifra de veda ( em milhare ) de dua diferete marca de câmara de ar para mee elecioado aleatoriamete: MRC : 15, 0, 33, 7 MRC : 3, 4, 39 Cotruir um itervalo de 95% de cofiaça x x x p 3,75 34,67 x 6,5 104,3 79,08 10,9 gl erro, ,08 17, O itervalo fica ] -8,38; 6,54 [ Itervalo de Cofiaça para difereça de proporçõe ( p p ) z p (1 p ) p (1 p ) Exemplo 3: Numa pequia obre a opiião de moradore de dua cidade e, com relação a um determiado projeto, obteve-e: Cidade Nº de etrevitado Nº de favorávei Cotrua um IC de 95% para a difereça de opiiõe da dua cidade 0,583(1 0,583) 0,450(1 0,450) ( 0,583 0,450) 1,96 0,133 0, Itervalo de Cofiaça = ]0,07; 0,196[ REFERÊNCIS: RETT, REIS E ORNI. Etatítica para curo de Egeharia e Iformática. Editora tla CLRK & DOWNING. Etatítica plicada. Saraiva USS & MORETTIN. Etatítica áica. Saraiva UFMG- NOTS DE UL Etatítica áica:

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