Em estatística, uma hipótese é uma alegação, ou afirmação, sobre uma propriedade de uma população.

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1 7 TESTE DE HIPÓTESE 7. Itrodução Ao pergutarmo para a peoa a rua qual é a temperatura média do corpo humao, teremo 37 C como a maioria da repota. Um grupo de pequiadore realizou um experimeto para verificar tal afirmação. Coletaram uma amotra com 06 peoa, ecotrado uma temperatura média de 36,8 C e devio-padrão de 0,35 C. Hipótee: Podemo acreditar que a temperatura média do corpo humao é 37 C? Ete exemplo ilutra a abordagem báica uada o tete de hipótee. 7. Defiição Em etatítica, uma hipótee é uma alegação, ou afirmação, obre uma propriedade de uma população. 7.3 Compoete de um tete de hipótee formal a) Hipótee ula: repreetada por H 0, é uma afirmação obre o valor de um parâmetro populacioal (como a média). Deve coter a codição de igualdade edo ecrita como, ou. (Ao fazermo efetivamete o tete, trabalhamo com a hipótee de que o parâmetro é igual a um valor epecífico). Coiderado a média, temo trê forma poívei: Exemplo: A hipótee ula correpodete a upoição de que a temperatura média do corpo humao é 37 C é exprea por H 0 : µ 37 C. Tetado diretamete a hipótee ula, bucamo chegar a uma cocluão que o leve a rejeitar H 0 ou ão rejeitar H 0. 53

2 b) Hipótee alterativa: repreetada por H ou H A, é a afirmação que deve er verdadeira e a hipótee ula é fala. Para a média, a hipótee alterativa comporta apea uma da trê forma: c) Erro a decião Erro tipo I: Coite em rejeitar a hipótee ula quado ela é verdadeira. Ete erro ão é um cálculo malfeito ou uma fae de proceo mal deempehada; é um erro que pode ocorrer como coeqüêcia caual de um eveto raro. A probabilidade dete eveto ocorrer é chamada ível de igificâcia. P ( erro I) P( x RR H 0 é verdadeira) Erro tipo II: Coite em ão rejeitar a hipótee ula quado ela é fala. P ( erro II) P( x RR H 0 é fala) β α O que ocorre de verdade A hipótee ula é verdadeira A hipótee ula é fala Decião Rejeitar Ho Erro tipo I Decião correta Não rejeitar Ho Decião correta Erro tipo II d) Etatítica de tete É uma etatítica amotral, ou um valor baeado o dado amotrai utilizada para tomar uma decião obre a rejeição da hipótee ula. No exemplo utilizado, aplicamo o teorema cetral do limite para obter a etatítica de tete: e) Região crítica É o cojuto de todo o valore da etatítica de tete que levam à rejeição da hipótee ula. No exemplo, a região crítica é repreetada pela parte ombreada a figura acima e coite o valore da etatítica de tete iferiore a z -,96 ou uperiore a z,96. 54

3 f) Valor crítico Valor (e) que epara (m) a região crítica do valore da etatítica de tete que ão levam à rejeição da hipótee ula. Ele depedem da atureza da hipótee ula, da ditribuição amotral pricipal, e do ível de igificâcia α. g) P-valor Um p-valor muito pequeo ugere que o reultado amotrai ão muito improvávei de ocorrerem, egudo a hipótee ula. No exemplo a etatítica de tete ecotrada foi z - 5,88, e como o tete é bilateral o valor de p é dua veze a área à equerda de z. Pela tabela da ditribuição Z, ecotramo uma área de 0,000 e portato o p-valor é 0,000. h) Cocluão De acordo com a etatítica de tete, cocluímo que exitem evidêcia uficiete para rejeitarmo a hipótee ula, ao ível de 95% de cofiaça. Ito é, ão podemo coiderar que a média de temperatura do corpo humao é igual a 37 C. Exemplo Uma máquia eche pacote de açúcar egudo uma ditribuição ormal, edo calibrada para operar com uma média de 500g e variâcia cotate igual a 400g. Periodicamete é recolhida uma amotra de 6 pacote para verificar e a produção etá ob cotrole, ou eja, e a média é igual a 500g. Cao a amotra forecee uma média de 49g, você pararia a produção para regular a máquia? 55

4 Tete para uma população Reumo de tete ( população) Média µ populacioal (σ cohecido) Média µ populacioal (σ decohecido) Proporção populacioal Variâcia populacioal Etatítica de Tete x µ z σ x µ t g. l. p p z ˆ pq µ cohecida : χ ( ) σ µ decohecida : H 0 : σ σ χ em que σ ( xi ) xi 7.3. Exercício O alário médio do etagiário do ecritório de admiitração é de,5 alário míimo. Se uma emprea particular emprega 49 empregado com,3 alário míimo e devio-padrão de 0,5 alário míimo, podemo afirmar que eta emprea etá pagado um alário iferior a média? Tetar eta hipótee coiderado um ível de igificâcia de 5%. 56

5 Queredo determiar o peo médio de icotia do cigarro de ua produção, um fabricate recolheu uma amotra de 5 cigarro, obtedo uma média de 38 mg, com um devio de 0,5 mg. Ao ível de 95% de cofiaça, tetar e o peo médio de icotia é uperior a 40 mg. 3 Um crítico ecoômico afirma que 80% de todo o cotribuite coideram icoveiete a cobraça de determiado impoto. Se uma amotra aleatória de 30 cotribuite iclui 45 que acha icoveiete, tete e a proporção populacioal ugerida pelo crítico é verdadeira. 4 Uma maeira de mater ob cotrole a qualidade de um produto é cotrolar ua variabilidade. Uma máquia de café eche pacote com devio padrão de 0g. O peo de cada pacote egue ditribuição ormal. Uma amotra de 6 pacote foreceu 69 g. Com ee reultado, você diria que a máquia etá deregulada em relação à variâcia? 57

6 5 Avaliou-e em 000 kg a média e em 40 kg o devio-padrão da teão de ruptura de certo cabo produzido por uma fábrica. Depoi de ter ido itroduzida uma mudaça o proceo de fabricação do cabo, a teão de ruptura de uma amotra de 8 cabo apreetou 300 kg. Ivetigar a igificâcia do aumeto aparete da variâcia ao ível de 5% utilizado a eguite hipótee: A partir de agora vamo eteder a teoria de tete de hipótee para o cao em que temo dua amotra. Com bae ea amotra iremo comparar parâmetro equivalete da populaçõe evolvida. Exitem doi cao a erem coiderado: dado emparelhado (populaçõe correlacioada) e dado ão emparelhado (populaçõe ão correlacioada). No cao de dado ão emparelhado temo trê ubdiviõe: quado a variâcia da populaçõe ão cohecida quado a variâcia da populaçõe ão decohecida, ma podem er upoto iguai quado a variâcia da populaçõe ão decohecida e ão podem er upoto iguai 7.3. Dado emparelhado Dua amotra ão coiderada emparelhada quado etão relacioada dua a dua egudo algum critério. Por exemplo, vamo upor um grupo de aimai idetificado um a um foram ubmetido durate uma emaa a uma dieta com certo tipo de ração. O peo do aimai foram medido o iício e o fial da dieta. Aim foram formada dua amotra com valore referete ao ate e depoi da dieta. Io gera um grupo de dado 58

7 emparelhado, poi cada valor da primeira amotra etá perfeitamete aociado ao repectivo valor da eguda amotra. Cao o aimai ão foem idetificado ão haveria como aociar o valore da dua amotra, e o dado eriam ão emparelhado. Portato, calculado a difereça µ d correpodete a cada par de valore etaremo reduzido o dado a uma úica amotra de difereça Dado ão emparelhado Cao a amotra ão ejam emparelhada, teremo que calcular a difereça etre o valore da dua amotra. Nete cao, a amotra podem ter tamaho diferete deotado por e. Reumo de tete ( populaçõe) Tete para dua populaçõe Etatítica de Tete Dua média amotra pequea ( < 30 ou < 30) e depedete (dado emparelhado) ( ) ( ) ) ( d d em que d t d d µ d ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) : com gl em que x x t parecem iguai populacioai Variâcia p p p µ µ Dua média amotra pequea e idepedete (dado ão emparelhado) ( ) ( ) : com gl x x t parecem diferete populacioai Varâcia µ µ 59

8 Dua média amotra grade ( > 30 e > 30) e idepedete (dado ão emparelhado) Dua proporçõe Variâcia populacioai cohecida : z ( x x ) ( µ µ ) z x p σ σ ( p p ) ( p p ) ˆ ˆ x pq pq em que Dua variâcia F Exercício São dado o valore pago por 9 peoa (em reai), ate e depoi de erem ubmetida a uma ova política de arrecadação alarial. Tete a hipótee de que a ova política foi eficiete para dimiuir a cotribuição, coiderado um ível de igificâcia de %. Ate Depoi Difereça O getore do etor de rico à aúde fizeram um etudo com a fucioária do HC que etavam grávida. De 30 empregada que lidavam com éter-glicol, 0 (ou 33,33%) tiveram aborto (epotâeo), ma, de 750 que ão etavam expota ao éter-glicol, apea 0 (ou 6%) abortaram. Com 99% de cofiaça, tete a afirmação de que a mulhere expota ao éter-glicol apreetam maior taxa de aborto. 60

9 Expota ao éter glicol Não expota ao éter glicol x 0 x 0 p 0,3333 p 0,6 3 De populaçõe ormai levataram-e amotra com a eguite caracterítica: Pop A: x 00 i xi 496 Pop B: 9 x i 45 x i 73 Com 0% de igificâcia, tetar: H 0 : σ σ H : σ σ 6

10 7.4 Tete de Aderêcia Utilizamo um tete de aderêcia para tetar a hipótee de que uma ditribuição de freqüêcia obervada e ajuta (ou adere) a determiada ditribuição teórica. Ou eja, podemo verificar e o reultado obtido em um experimeto eguem determiada ditribuição. Como a freqüêcia amotrai geralmete apreetam algum afatameto do valore que eperamo, urge a perguta: erá que a difereça exitete etre o valore obervado e o eperado é igificativa etatiticamete? Para repoder eta perguta utilizamo a etatítica de tete abaixo, com bae a ditribuição qui-quadrado. Ao cotrário do tete de hipótee ateriore, em que deveríamo determiar e o tete era uilateral ou bilateral, o tete de aderêcia empre erão uilaterai à direita. Quado a etatítica de tete for grade exite uma forte dicordâcia etre o valore obervado e eperado, coduzido a uma rejeição da hipótee ula. Para repreetar melhor a difereça etre a freqüêcia obervada e eperada, calculamo o quadrado de O E eecialmete pelo memo motivo que elevamo ao quadrado x - x o cálculo do devio padrão. Ma além dio preciamo ecotrar a magitude dea difereça em relação ao valore eperado, e por io dividimo pela freqüêcia eperada. No etato, a ditribuição teórica de ( O E) E é uma ditribuição dicreta e pode er aproximada por uma ditribuição qui-quadrado, que é cotíua, podedo apea e o valore de E forem maiore ou iguai a 5 (clae podem er combiada para que a oma da freqüêcia ão eja iferior a 5). 6

11 7.4. Exemplo Um dado é laçado 0 veze, obtedo-e o eguite reultado: face Freq Tetar a hipótee de que o dado ejam perfeito, ao ível de 5%. H 0 : O dado é hoeto H 0 : O dado ão é hoeto 7.5 Tabela de cotigêcia São tabela de dupla etrada cotruída com o propóito de etudar a relação etre a dua variávei de claificação. Em particular, pode-e deejar aber e a dua variávei ão relacioada de algum modo. Se r de liha e c de colua, etão o de grau de liberdade é φ (r )(c ). Ob: quado φ, o tete ão é tão eficiete como o outro cao. Yate ugeriu que foe feita uma correção de cotiuidade: 63

12 7.5. Exemplo Deeja-e aber e o fato de uma peoa trabalhar mai de 8 hora por dia etá relacioado ao fato de ter uma reda uperior a R$ por mê. Para verificar eta upoição coletou-e uma amotra caual de 00 peoa, obtedo o reultado: Gaha mai de R$ Gaha meo de R$ Trabalha mai de 8h/dia 5 0 Trabalha meo 5 40 Tete, ao ível de 5%, a hipótee de idepedêcia etre trabalhar 8h/dia e gahar mai de R$ por mê. A tabela dá a freqüêcia do úmero de erro de impreão por págia de determiado livro: N erro por págia Total N de págia Ajutar ea ditribuição a uma ditribuição de Poio e tetar a aderêcia do ajutameto, ao ível de %. 64