2 Técnicas de CEP para Processos Multicanal

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1 19 Técica de CEP para Proceo Multicaal Ete capítulo apreeta a técica exitete a literatura para o cotrole de proceo multi-caal. Ao memo tempo, o coceito fudametai ubjacete ão apreetado, a forma do divero modelo e hipótee báica aumida por cada uma da técica. Como poderá er obervado ão pouco o trabalho exitete obre o cotrole dee tipo de proceo, tema aida pouco explorado a literatura..1. Group Chart O uo de gráfico de cotrole idividuai para cada fluxo eria uma alterativa pouco viável para o cotrole de PMC, obretudo quado e trabalha com um grade úmero de caai, dada a obrecarga da produção, exibição e iterpretação imultâea do divero gráfico gerado. Uma alterativa viável ão o gráfico de cotrole de grupo ou group chart pela ua facilidade de elaboração e iterpretação. Uma group chart apreeta, reumidamete, em um úico gráfico, iformaçõe da caracterítica de qualidade cotrolada proveiete de todo o fluxo. Tai gráfico foram deevolvido por Boyd (1950) e permaecem como a técica covecioal para cotrole dee tipo de proceo, edo o procedimeto padrão recomedado o livro de CEP como Motgomery (004), Pyzdek (199) e outro. A idéia báica do gráfico de cotrole de grupo coite a plotagem apea do valore extremo da etatítica coiderada (maior e meor valor para a etatítica em quetão etre todo o fluxo em uma determiada amotragem). Etado ete poto detro do limite do gráfico, todo o demai também etarão. Ee coceito pode er aplicado tato para o gráfico da média ( X ) quato para o

2 0 gráfico da amplitude (R). Cada valor plotado deve er idetificado o gráfico pelo úmero do caal a que correpode para facilitar a aálie poteriore. Pyzdek (199) detaca que para e aplicar CEP em PMC é importate fazer a ditição etre doi tipo de caua epeciai: aquela que afetam todo o caai, afatado-o do alvo, e aquela que afetam um ou pouco caai. Geralmete ea caua pouem orige diferete e ua ditição facilitará tato a idetificação quato a olução do problema de falta de cotrole. O gráfico de cotrole de grupo ão capaze de moitorar imultaeamete o doi tipo de caua epeciai comu ao PMC. Uma mudaça global o proceo (que afete todo o caai), erá detectada quado, o gráfico de cotrole de grupo, houver poto excededo eu limite. Já a eibilidade do gráfico baeado apea ee critério de detecção ( poto fora do limite de cotrole ) para caua afetado apea um caal é reduzida. Para verificar e uma caua epecial compromete apea o deempeho de um caal em particular, o gráfico de cotrole de grupo pode adotar uma regra uplemetar de decião baeada o critério de corrida. Segudo ee critério, propoto iicialmete por L.S Nelo (1986), uma érie igificativamete loga de valore extremo proveiete de um memo caal é iterpretado como um ial fora de cotrole. Aim, e um caal produzir a leitura máxima ou míima por r veze coecutiva, ee caal é coiderado como fora de cotrole. O valor de r é determiado em fução do úmero () de caai de um proceo. Uma combiação de valore para (r,) é apreetada por Pyzdek (199, p.15): Tabela.1 Comprimeto de Corrida igificativo (úmero de valore máximo ou míimo coecutivo) para um úico caal de um PMC. Número de Caai () Comprimeto de corrida igificativo (r) Fote: Pyzdek (199) De acordo com a Tabela.1, para um proceo com cico caai por exemplo, e um memo caal apreetar valor máximo ou míimo por quatro veze coecutiva, ete etará fora de cotrole. O úmero médio de amotra obervada até que ocorra um ial o gráfico de cotrole é deotado por NMA (Cota et al., 004). Exitem doi tipo de NMA. O

3 1 primeiro, cohecido por NMA ob cotrole, ou NMA 0, repreeta o úmero médio de amotra obervada até que ocorra um alarme falo, quado o proceo ecotra-e ob cotrole. O egudo, cohecido por NMA fora de cotrole, ou NMA 1, repreeta o úmero médio de amotra obervada etre o mometo em que a caua epecial ocorreu e o mometo em que eta é detectada. Uma alterativa para e ecolher o valor crítico de r é calcular o NMA 0 para diferete valore de r e adotar o valor de r correpodete ao meor NMA 0 aceitável detre o calculado. L.S Nelo (1986), apud P.R Nelo (1986) forece o eguite reultado: para um proceo com caai idêtico, o úmero médio de amotra eceária para gerar r veze coecutiva o valor máximo (ou míimo) por um memo fluxo, quado o proceo etá ob cotrole etatítico, é dado por: r -1 NMA0 = (.1) -1 Por exemplo, e um proceo cotém cico caai e um memo caal apreetar o valor máximo ou míimo por quatro veze coecutiva, eu NMA 0, erá: -1 NMA 0 = = 156 (.) o que igifica que, etado o proceo ob cotrole etatítico, epera-e que um memo caal gere um valor máximo (ou míimo) o gráfico de cotrole quatro veze coecutiva em média, apea uma vez a cada 156 amotra. Aim como o gráfico de cotrole covecioai, o uo de group chart também exige que o proceo em aálie apreete determiada caracterítica, ou eja, para uo do gráfico de cotrole de grupo é eceário que: Não haja autocorrelação ou correlação cruzada etre o caai; e Todo o caai teham a mema ditribuição (e com mema média e mema variâcia), e etejam ajutado em um memo valor-alvo. Cao a média varie de caal para caal, ma a amplitude permaeça cotate, Pyzdek (199) mecioa que pode er cotruído um gráfico de cotrole de grupo para a difereça de cada caal em relação à ua média. É

4 evidete que dificilmete erão ecotrado valore exatamete iguai para a média e a diperõe (amplitude) do divero caai, havedo, portato, uma difereça etre ete. Ma é importate que tai difereça ão ejam igificativa, porque e houver um caal muito diferete do demai, ete produzirá empre valore extremo, ecodedo mudaça ofrida pelo outro caai. Na prática, ea premia muita veze ão ão verificada. Além dio, o gráfico de cotrole de grupo, em ua forma cláica, apreetam uma érie de devatage que o tora uma ferrameta de aplicação limitada, como por exemplo, o fato de ão erem muito prático quado o proceo apreeta o úmero de caai muito grade, dado que todo o caai devem er coiderado a cada período de amotragem. Uma poível olução para ee tipo de problema é alterar obervaçõe, coletado a cada itate de amotragem, obervaçõe de apea parte do caai, de maeira cíclica. Ver Ott e See (1973). Outra devatagem é uma limitação do critério de corrida de L.S Nelo (1986), quado há mai de um caal fora de cotrole imultaeamete. Nete cao, o valore extremo podem e alterar etre ee caai, impedido que eja gerada uma eqüêcia uficietemete loga (de comprimeto igual ou meor que r) de máximo ou míimo oriudo de um ó caal, como ial de decotrole. Outra devatagem, mecioada por Motgomery (004, p.88), do critério de corrida etá relacioada ao fato de o NMA 0 do memo er dicreto. A Tabela. motra, em fução do úmero de caai do proceo (para divero valore de r), o úmero médio de amotra até que e oberve uma eqüêcia de r valore máximo ou míimo coecutivo de um memo caal, upodo o proceo em cotrole (todo o caai com a mema média e mema variâcia). Valore coiderávei para o NMA 0 de um equema de CEP cotumam variar etre 00 e 500. O valo de 370 é um padrão, que correpode ao NMA 0 omial o gráfico de X com limite de 3 σ. O valor de 00 é o míimo recomedado quado e deeja uma grade eibilidade do gráfico de cotrole. Já o valor de 500, é o máximo que e vê em trabalho de pequia.

5 3 Tabela. NMA 0 para Proceo ob Cotrole com Critério de Corrida em PMC Número de Comprimeto de Corrida Sigificativo (r) Caai () Fote: própria É fácil obervar que, para vário valore de, e um NMA 0 de 370, por exemplo, o critério de corrida ão forece NMA 0 eta faixa e muito meo, o valor exato. Coidere, por exemplo, um proceo com 10 caai. O valore mai próximo de 370 ão 111 ou 1111 amotra. A adoção do parâmetro aociado ao meor NMA (r = 3) acarretará um grade úmero de alarme falo. Por outro lado, a ecolha do parâmetro aociado ao maior NMA (r = 4) implicará a retirada de um grade úmero de amotra até que a ituação real de fora de cotrole eja detectada, aumetado aim o tempo de detecção. Maiore NMA 0 correpodem também a maiore NMA 1. Aim, o valor elecioado para r coite um trade-off etre o úmero de alarme falo produzido pelo gráfico e o tempo de detecção de uma caua epecial; ma, depededo do úmero de caai do proceo, pode-e ão

6 4 chegar a uma boa olução de compromio. Io pode ocorrer para qualquer valor de NMA 0 epecificado como deejável, ão apea para Método Alterativo à Group Chart..1. Método de Mortell e Ruger Recohecedo a limitaçõe do equema de corrida e do ceário de validade do eu preupoto, bem como do preupoto do gráfico cotrole de grupo cláico, Mortell e Ruger (1995), deevolveram um equema de cotrole para PMC em que há correlação cruzada etre o caai. Para cotrolar o doi tipo de caua comu ao PMC (aquela que afetam todo o caai imultaeamete e aquela que afetam um úico caal), o autore citado utilizaram um modelo que decompõe a variabilidade do proceo em dua parte, e propueram cotrolar eparadamete, por meio de doi gráfico de cotrole ditito, cada uma dea parte. ode O modelo de proceo por ele adotado é: Y tjk = µ + At + e tjk (.3) Y tjk = variável aleatória que repreeta a o valor eperado da k-éima obervação do caal j o itate t.média do ubgrupo do caal j o itate t; µ = média global do proceo (cotate); A t = variável aleatória ormalmete ditribuída com média igual a zero e variâcia igual a σ a, que repreeta o valor eperado da medida de todo o caai o itate de tempo t. Pode er iterpretada como a parcela da variação que é comum a todo o caai (ível-bae); O ubgrupo repreetam um cojuto de dado gerado por um úico caal quae um memo itate de tempo. Coidere, por exemplo, um proceo de cico caai, edo que, a cada amotragem, amotra de dua uidade ão retirada de cada um do caai do proceo. Nee cao, para cada amotragem, tem-e cico ubgrupo de tamaho doi, edo que eta dua uidade advida de um memo caal foram amotrada em itate muito próximo (que podem, para efeito de modelagem, er coiderado como um memo itate t).

7 5 e tjk = variávei i.i.d para t, j, com média zero e variâcia igual a σ, que repreeta o devio da média do caal j em relação à média de todo o caai o itate t. Pode er iterpretada como a parcela de variação idividual de cada caal. Daqui em diate, por implicidade, erá adotada a omeclatura M&R para repreetar a referêcia Mortell e Ruger (1995). Para a detecção de mudaça comu a todo o caai (mudaça em A t ), M&R utilizam uma variação do gráfico de cotrole de Shewhart, o qual a etatítica plotada Y t repreeta a média do ubgrupo de todo o caai Yt = j= 1 Y t j. Como coeqüêcia, ete gráfico apreetará limite de cotrole mai etreito do que a group chart, para um memo NMA 0, o que o tora uma ferrameta mai eível à detecção de caua epeciai que afetem a média de todo o caai imultaeamete. De fato, pelo modelo apreetado em (.3) a variâcia de a Y tj é igual V ( Ytj ) = σ σ a +, e uma group chart tem eu limite baeado ea variâcia, equato a etatítica Y t tem variâcia dada por V ( Yt ) = σ σ a +. Note-e que, a cada itate t, A t aume um úico valor; por io a compoete σ a da variâcia ão é reduzida ao e calcular Y t como a média do valore de Y tj o divero () caai. Para detectar alteraçõe a compoete do proceo referete a um caal idividual (ou em mai de uma dea compoete idividuai do caai), ito é, mudaça o parâmetro do e tj ', ele utilizam a amplitude da média do fluxo o itate t para detectar mudaça a média de um ou pouco caai, deotada por: R t = MaxYtj MiYt j (.4) ode, MaxY tj = máximo valor obtido detre a média de todo o ubgrupo; MiY tj = míimo valor ecotrado detre a média de todo o ubgrupo.

8 6 O gráfico da amplitude tem a caracterítica de er eível apea a variaçõe que afetem o caai idividualmete e ão a variaçõe a parcela A t, comum a todo o caai. De fato, em (.4) a parcela µ + A ) em MaxY tj e em tj ( t t j MiY tj e aulam mutuamete, o que reta é Max ( e )- Mi ( e ). Deta maeira, a parcela σ a da variâcia de Y tj é elimiada, o gráfico de R t tem deempeho uperior à group chart, pricipalmete quado a variação a média do proceo ao logo do tempo a. é uperior à parcela de variação idividual de cada fluxo, ou eja, quado σ > σ No memo artigo, M&R propueram também a abordagem do reíduo máximo como alterativa ao uo de R t como variável de cotrole. Para obter o reíduo máximo ubtrai-e a média global ( Y t ) de todo o caai da máxima média obervada em todo o caai ( max( Y tj ) ). Se ete reíduo etiver abaixo do limite uperior de cotrole, LSC, todo o demai reíduo também etarão. Aálie emelhate é válida para o reíduo míimo comparado com o limite iferior de cotrole, LIC, ão edo eceário, portato, plotar o reíduo de todo o caai. Da mema forma que o gráfico de R t, o gráfico de cotrole do reíduo máximo e míimo (que correpode a uma group chart do reíduo) é ieível a variaçõe a parcela comum A t, edo, portato, uma forma de iolar a variação do e tj '. Com io, o limite do gráfico do reíduo e toram mai etreito que o limite de uma group chart do Y tj ', torado tal gráfico, portato, mai eível a alteraçõe a média de algum caal idividualmete. Atravé de etudo aalítico e imulaçõe, M&R compararam o deempeho de divero equema de cotrole para detectar mudaça que afetem um ou pouco caai. Gráfico de Shewhart, CUSUM e EWMA (com cotate de amortecimeto iguai a 0,1; 0,3 e 0,8) da etatítica R t foram comparado ao equema de corrida e ao CUSUM do reíduo máximo. Para cada método foram coiderado proceo com, 3, 5, 10 e 0 caai, edo que a média de um do caai foi alterada de 0 para 0,5; 1; 1,5 e, e o deempeho do divero equema, foi etão comparado.

9 7 Não houve uma uiformidade do reultado: o equema de melhor deempeho variou coforme o úmero de caai do proceo e a magitude da mudaça ofrida pelo caal; a aber: O gráfico de Shewhart apreetou o pior deempeho para mudaça meore que pequea variaçõe. σ, ão edo idicado, portato, para detecção de O gráfico de EWMA com fatore de poderação meore apreetou melhor deempeho a detecção de pequea mudaça, equato o gráfico EWMA com fatore de poderação maiore apreetou melhor deempeho a detecção de mudaça maiore. Aida aim, e, apear da ecolha de um fator correto de poderação torá-lo um cadidato viável para a detecção de mudaça em um ou pouco caai, eu deempeho foi iferior ao deempeho do CUSUM e do equema de corrida. O CUSUM que utiliza a etatítica R t como variável de cotrole apreetou melhor deempeho tato para pouco caai e grade mudaça, como para muito caai (acima de 0) e pequea mudaça. O equema de corrida apreetou melhor deempeho tato para pouco caai e pequea mudaça como para muito caai (acima de 0) e grade mudaça. Deta forma, o autore apreetam um equema de cotrole que itetiza em um par de gráfico a iformaçõe proveiete de todo o caai de um proceo, o que permite o cotrole de dado que apreetem correlação erial o ível-bae. O trabalho de Mortell e Ruger (1995) repreeta um grade pao, ao recohecer explicitamete em eu modelo a dua parcela idepedete do valor da variável medida em cada caal parcela comum e parcela idividual do caal e também ao propor equema de cotrole que decompoham a medida ea dua parcela para moitorá-la eparadamete. Todo o trabalho poteriore eguem ea liha.

10 8... Ruger, Alt e Motgomery Como vito a eção aterior, M&R apreetaram uma alterativa ao gráfico de cotrole de grupo tradicioal que garate a uperação de alguma de ua limitaçõe. O método de cotrole decrito baeia-e o modelo apreetado pela equação (.3). Ruger, Alt e Motgomery (1996) aproveitam o modelo de PMC decrito por M&R (Y tj = µ + A t + e tj ) e decrevem uma técica de cotrole para PMC com dado autocorrelacioado baeada a Aálie de Compoete Pricipai, PCA. (... PCA i a tatitical techique for traformig a et of radom variable ito a ew et of Pricipal Compoet Variable, PCV, that are mutually idepedet, where each PCV i a liear combiatio of the origial variable - Ruger, Alt e Motgomery 1996, pag. 993). Tratam o proceo multicaai como um cao particular de proceo multivariado e, aim como M&R, utilizam doi gráfico de cotrole ditito para moitorar a diferete fote de variação dee tipo de proceo. O primeiro gráfico de cotrole moitora a variável primeira compoete pricipal que é, fudametalmete, a média de todo o caai um determiado itate de tempo. Ete gráfico é repoável por detectar caua epeciai que afetem todo o caai, e ada mai é que o gráfico do ível-bae Y t ugerido por M&R para o cotrole dee tipo de caua. O egudo gráfico de cotrole e baeia a etatítica T de Hotellig (etatítica utilizada para o cotrole da média de proceo multivariado, aáloga à etatítica X, do cao uivariado) do outro -1 compoete pricipai, ode repreeta o úmero de caai do proceo. Ete gráfico correpode ao gráfico de S (qui-quadrado), e é repoável pelo moitorameto de caua epeciai que afetem a uiformidade etre caai. Um ial ee gráfico é reultado de uma caua epecial que teha alterado a média de um ou algu caai. É, eecialmete, um gráfico de Shewhart, o qual a decião de cotrole é baeada apea o dado mai recete e, apreeta a vatagem de er ieível à mudaça que afetem a média global do proceo.

11 9 O autore ugerem aida a aplicação de um equema EWMA a fim de obter uma melhoria o deempeho gráfico de S para a detecção de pequea mudaça. O gráfico reultate, MEWMA, é uma exteão do EWMA uivariado, porém com abordagem um pouco diferete da abordagem MEWMA tradicioal para proceo multivariado: o MEWMA propoto, primeiro o dado ão amortecido e ó depoi icorporado à etatítica S, equato o MEWMA covecioal a etatítica S é amortecida. O autore cotatam que, à medida que o úmero de caai aumeta, obtêm um grade aumeto da eibilidade do gráfico de S a pequea variaçõe, epecialmete quado o hift (magitude da mudaça ofrida pelo caal) ocorre em mai da metade do caai do proceo, cao em que eu deempeho é maximizado. Embora ee equema de cotrole poa er apreetado e compreedido detro dea formalização de CEP multivariado, o cao particular do modelo de proceo multicaal coiderado, o fato de haver apea uma compoete pricipal e o fato de toda a parcela reiduai do caai pouírem, por hipótee, o memo deviopadrão, faz com que (como e viu) o gráfico de T degeere em um gráfico de S, já preexitete, aida que pouco utilizado pela idútria (que prefere o gráfico de S que é totalmete equivalete). Aim, o equema de Ruger et al. (1996) pode er compreedido como emelhate ao equema de M&R, cotrolado a uiformidade etre caai por um gráfico de S o lugar de um gráfico da amplitude R...3. Colbeck Colbeck (1999) apreeta quatro método ditito para cotrole de dado proveiete de um proceo multicaal e compara o eu deempeho atravé de etimativa para NMA 0 e NMA 1, gerada por imulaçõe computacioai. O critério adotado para aálie do deempeho baeia-e a idéia de que quado o proceo etá ob cotrole ão é eperado obervar com freqüêcia iai fora de cotrole, poi ete eriam alarme falo. Aim, é deejável que o método aaliado apreete valore alto para NMA 0. Por outro lado, quado o proceo etá fora de cotrole, o ideal é que eta ituação eja detectada o quato ate. Nete cao, é deejável que o método aaliado produza valore baixo para NMA 1. Deta forma,

12 30 o método de cotrole ideal eria aquele que produzie ao memo tempo o maior valor para NMA 0 e o meor valor para NMA 1. O primeiro método propoto coite em etabelecer o limite para a group chart em fução da média e do devio-padrão da ditribuiçõe do máximo e míimo de uma amotra da ormal padrão. Colbeck (1999) obtém ete parâmetro por imulação de Mote Carlo e demotra que, apear do formato da ditribuiçõe do valore máximo e míimo ão e ditaciar muito do formato de uma ditribuição ormal, ua média é diferete de zero e eu devio-padrão diferete de um. A implicação dio é que o limite reultate ão mai afatado da liha média que o limite que o limite do gráfico de cotrole de grupo tradicioai, pricipalmete quado há um grade úmero de caai. O egudo método, ititulado Fatore de Correção, leva em cota que a taxa de alarme falo global é maior que a taxa de alarme falo de cada caal idividualmete, e com bae ete modelo, determia o limite de cotrole que produzirão uma taxa de alarme falo global epecificada; tai limite variam em fução do úmero de caai do proceo. O Apêdice A apreeta o detalhameto dete método e apota um erro diagoticado em eu deevolvimeto. O terceiro método utiliza o gráfico de cotrole de grupo tradicioal com limite de trê igma, idepedete do úmero de caai que compõem o proceo. Ete método foi apreetado como uma referêcia de comparação para a medida de deempeho do outro método a erem tetado. O quarto método, deomiado Limite de Cotrole Simulado determia experimetalmete, por imulação de Mote Carlo, o valore para o limite de cotrole que produzam uma taxa de alarme falo global epecificada (o cao de 0,7%). O limite de cotrole reultate do quatro método podem er viualizado a Tabela.3. O termo LSC i e LIC i, utilizado para cálculo do limite de cotrole do método um, doi e quatro, repreetam o limite de cotrole uperior e iferior repectivamete, para o i-éimo método (i =1, e 4) para proceo com caai ( = até 10). É ete termo que reide a peculiaridade de cada método. Para o método um, por exemplo, ão limite de 3 σ calculado a partir da média e do devio-

13 31 padrão da ditribuiçõe do valore máximo e míimo plotado o group chart. Colbeck extrai o valore de µ max, µ mi e σ max mi, que variam em fução do úmero de caai do proceo, da ditribuição de máximo e míimo de amotra de tamaho de uma ditribuição ormal padrão, tabelada por Godwi (1949).

14 3 Tabela.3 Limite de Cotrole para o Quatro Método MÉTODO ANALISADO LIMITES DE CONTROLE LIMITES DE CONTROLE i 1-Ditribuição do Máximo e Míimo - Fatore de Correção 3- Group Chart Tradicioal LSC = µ + LSC LC = µ LIC = µ + LIC 1 S 1 LSC = µ + LSC LC = µ LIC = µ LIC LSC LIC = µ + 3 LC = µ = µ 3 σ σ σ σ σ σ 1 LSC máx máx / mí 1 1 p = Φ LSC 1 1 p = Φ LIC = µ + 3σ = µ 3σ 1 LIC mí máx/ mí ode Φ repreeta a ditribuição acumulada da ormal padrão. 4- Limite de Cotrole Simulado LSC = µ + LSC LIC LC = µ µ LIC 4 4 σ σ LSC 4 = limite uperior de cotrole etimado para um proceo ormal padrão, via imulação = 4 4 LIC = LSC Fote: Própria Vale realtar que, para o método do fatore de correção a probabilidade p preete a fórmula do limite de cotrole repreeta a probabilidade de alarme falo por um caal idividual, calculada a partir da probabilidade de alarme falo global 0,007 e em fução de.

15 33 Quado a média e o devio-padrão do proceo em quetão forem decohecido, devem er ubtituído por ua etimativa, o que implica uma alteração do limite de cotrole que paariam a er ecrito da eguite forma: LSC = X + LSC i R d (.5) LC = X (.6) LIC = X LIC i R d (.7) No cao da group chart tradicioal em particular, o termo LSC i e LIC i devem er ubtituído pelo valor 3. Valore de NMA 0 e NMA 1 do método propoto foram calculado a partir de imulaçõe computacioai para que eu deempeho pudeem er comparado. O Método 1, que utiliza a ditribuição do máximo e míimo para cálculo do limite de cotrole, apreetou um bom NMA 1 e NMA 0 coiderado aceitável. O Método, que utiliza fatore de correção, apreetou valore de NMA 0 muito alto ma um pobre poder de detecção idicado por alto valore de NMA 1. Io e explica devido ao erro de Colbeck o cálculo do limite, ver Apêdice A. A group chart tradicioal, (Método 3), apear de demotrar um excelete potecial aociado ao NMA 1, teve um NMA 0 coiderado iaceitável, ou eja, produz muito alarme falo quado o proceo etá ob cotrole (o que já era de e eperar, dado que a taxa de alarme falo global é maior que a idividual, e crece com o úmero de caai). Por fim, o Método 4, do limite de cotrole imulado apreetou o melhor deempeho tato em termo de NMA 0 quato de NMA 1. Ee reultado e cocluõe, porém, ão coeqüêcia de vário erro e equívoco. Sem dúvida, o limite de 3 σ ó poderiam levar a uma taxa de alarme falo que crece com o úmero de caai; Colbeck motrou io. Porém, o método do fatore de correção ó ão reultou o NMA 0 deejado devido ao erro de cálculo cometido pelo autor. Quato ao Método 1, que coidera a ditribuiçõe do máximo e do míimo, a grade difereça ecotrada por Colbeck etre o NMA 0 obtido e o deejado

16 34 deve-e ao uo de limite de cotrole baeado a média e o devio-padrão da ditribuiçõe, o que é iadequado, poi a ditribuiçõe ão aimétrica. A emelhaça viual, obervada por Colbeck (1999), do eu hitograma (gerado por imulação) com a forma de uma ditribuição ormal é egaoa: a cauda (jutamete a região além do trê devio-padrão) a difereça é muito grade. O autor deveria trabalhar com limite baeado o quati da ditribuiçõe ( quati de 1 α ). Nete cao, eu limite coicidiriam com o limite calculado com fatore de correção (e tiveem ido calculado corretamete), poi o eveto máximo e míimo detro do limite e todo o poto detro do limite ão equivalete. Ele igorou a expreõe da ditribuiçõe acumulada de máximo e míimo, que ão cotruída exatamete a partir da equivalêcia etre o eveto X i b I i=1 max e ( X i b) I i=1 ( X i a) >. e etre o eveto mi X i a e o complemeto de Portato, eria deeceário trabalhar com a ditribuiçõe de máximo e míimo, poi chegar-e-ia ao limite etabelecido pelo método do fatore de correção. Por exemplo, a ditribuição acumulada do máximo é: ode, etão [ Fx ( b ] F ) max X ( b) = (.8) = ao úmero de caai do proceo e, fazedo α = b [ F ] x ( b) 1 b F = max X 1 α α (.9) = 1 F x o que igifica que ambo o método levam ao memo limite. Fica claro etão, porque o limite obtido por imulação foreceram melhor reultado: ele Colbeck (1999) ão comete ehum erro. Apea, pouem a

17 35 imprecião ierete à imulação. Seu valore exato poderiam ter ido calculado pelo método de fatore de correção. A Tabela.4 a eguir apreeta o valore do limite uperiore de cotrole etimado, 4 LSC, obtido para α = 0, 007 e o valore exato para o memo, calculado por: 1 = Φ 1 k 0,99865 (.10) Tabela.4 Comparação do Limite de Cotrole obtido por Simulação (Método 4) e Limite de Cotrole exato (obtido por.10) Número LSC exato 4 LSC de caai obtido por (.10) 3,1 3,3 3 3, , , , , , , , Fote: Própria De qualquer forma, memo o limite corretamete corrigido (calculado como motrado o Apêdice A), aplicam-e ao cao de obervaçõe idepedete, o modelo de proceo adotado pela group chart tradicioai, e ão coideram a exitêcia de correlação cruzada etre o valore do divero caai, em decorrêcia da parcela comum de variação, ituação que é mai típica do proceo multicaal reai...4. Pao Pao (005) deevolveu uma técica para o cotrole etatítico de um proceo de echimeto com múltiplo caai de uma multiacioal da região Sudete, que apreetava autocorrelação e correlação cruzada etre o caai.

18 36 Para tato, propô a decompoição do valore da caracterítica de qualidade em cada caal em dua parcela: uma, repreetado o ível-bae e outra, repreetado a difereça idividual de cada caal em relação ao ível-bae. Tal etratégia foi utilizada como alterativa para a elimiação da correlação cruzada exitete etre o caai (decorrete da parcela comum), fazedo com que cada uma da parcela correpodete foe apea autocorrelacioada. Para moitorar ea dua parcela de variação foram utilizado doi pare de gráfico: Um par de gráfico de X (gráfico de obervaçõe idividuai), e MR (movig rage) da média (em cada itate de tempo) do caai, para o moitorameto de variaçõe o ível-bae, a fim de detectar mudaça que afetem o proceo como um todo. Um par de group chart de X e MR para a difereça calculada de cada caal em relação ao ível-bae, a fim de detectar variaçõe idividuai em um ou pouco caai. Ee par de gráfico correpode ao equema de cotrole alterativo idicado por M&R (do reíduo máximo e reíduo míimo ), porém com alguma particularidade o que e refere ao limite de cotrole utilizado. O proceo em quetão, além de apreetar correlação cruzada etre o caai e correlação erial do ível-bae, apreetou também correlação erial da difereça em relação ao ível-bae, o que iviabilizou o uo da group chart tradicioai. Nem memo o equema propoto por M&R coiderou a quetão da correlação erial da difereça em relação ao ível-bae, também ão edo uma alterativa viável para o proceo em quetão. Deta forma, Pao (005) trabalhou com uma adaptação da group chart tradicioai, modificado a fórmula de cálculo do limite de cotrole para coiderar tal correlação. Outra peculiaridade do proceo aaliado é que eu caai ão tiham mema média e mema variâcia, e que tai média ão foram ajutada ate de e calcular o limite de cotrole para a group chart. Na verdade, ão havia a poibilidade de ajute idividual do caai, dado que, por e tratar de magueira, podiam o máximo er trocada. Em cotrapartida, a capacidade do proceo, egudo a

19 37 emprea, era alta. A alterativa adotada para cotrolar a difereça em um memo par de group chart foi uar, em cada group chart, o maior detre o LSC calculado para todo o caai idividualmete (de acordo com eu parâmetro) e, o meor detre todo o LIC. Epecificamete, o procedimeto adotado foi, a partir de uma érie hitórica de obervaçõe idividuai em cada um do (0) caai: Etimar o ível-bae a cada itate t, pela média aritmética da obervaçõe idividuai do 0 caai; Calcular a difereça de cada obervação idividual de cada caal em relação ao ível-bae; Etudar a érie do ível-bae e a 0 érie de difereça, quato a autocorrelação e correlaçõe cruzada; Tedo ido idetificada autocorrelaçõe, edo porém a érie etacioária, etimaram-e a média e devio-padrão totai de cada érie de dado (i.e., do ível-bae e de cada uma da 0 difereça), diretamete a partir do dado. Vale a pea repetir que a érie de difereça pouíam média ão ula e ditita etre i, bem como diferete devio-padrão; Com bae ee parâmetro, calcularam-e limite de trê-igma para gráfico de obervaçõe idividuai e de amplitude móvel para cada uma da érie de difereça e para o ível-bae; coeqüetemete, obtiveram-e diferete limite para a diferete érie (caai); vale aida explicitar que, dada a autocorrelação, o limite para o gráfico de obervaçõe idividuai ão foram calculado em fução da amplitude móvel média ma im do devio-padrão de logo prazo obtido diretamete do dado; O gráfico de obervaçõe idividuai pouíam doi limite (uperior e iferior), o de amplitude móvel, omete limite uperior (ou pode-e coiderar que todo pouíam limite iferior em zero); em qualquer cao, chamado de LSC j e LIC j o limite uperior e iferior, repectivamete, calculado para o caal j, etão o limite adotado para a group chart de todo o caai foram: LSC group chart = Max( LSC j ) para j = 1,, 3... (.11)

20 38 LIC group chart = Mi( LIC j ) para j =1,, 3... (.1) A equaçõe (.11) e (.1) valem tato para a group chart de obervaçõe idividuai quato para a de amplitude móvel, dede que com o limite LSC j e LIC j correpodete a cada cao. É fácil obervar, pela equaçõe (.11) e (.1) que a ditâcia do limite de cotrole à média de cada difereça idividual (de cada caal), em úmero de deviopadrão da difereça do caal em quetão, variava de caal para caal, edo, em geral, maior que a ditâcia obtida pela fórmula tradicioai de limite de 3 σ ou de probabilidade. A emprea jutificou a ecolha de tal procedimeto pela implicidade e pela alta capacidade do proceo. Por ea mema cotatação de que a ditâcia, para a maioria do caai, era uperior a 3 σ, Pao ão e preocupou em corrigir a abertura do limite: tal correção eria deeceária e memo exceiva. A diertação deixou em aberto a quetão da avaliação do deempeho do equema propoto, que ão pôde er realizada por falta de tempo. Outra direção de proeguimeto também idicada por Pao (005), foi a avaliação da alterativa de e trabalhar com group chart para a difereça padroizada (com média zero e devio-padrão um) em relação ao ível-bae, o que permitiria o uo de limite de cotrole com fatore de abertura (ditâcia à média em úmero de devio-padrão), equivalete para todo o caai. A partir da direçõe de proeguimeto idicada por Pao (005), a preete diertação deevolve um equema de cotrole baeado a difereça de cada caal em relação ao ível-bae para proceo cujo caai apreetem mema média e mema variâcia, aalia o eu deempeho e compara-o com o deempeho do equema de M&R. O equema também pode er aplicado ao moitorameto da difereça padroizada o cao de caai com diferete média e variâcia. Apea a iterpretação do reultado aqui preete, para ete cao é importate ter em mete que um memo hift padroizado correpode a diferete magitude de hift a uidade de medida da caracterítica de qualidade para caai com diferete devio-padrão.