Análise de dados industriais

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1 Aálie de dado idutriai Ecola Politécica Departameto de Egeharia Química Roberto Guardai 014 Parte 1. Coceito Báico de Etatítica Itrodução Lita de ímbolo Bibliografia Etatítica decritiva Erro de medida, precião e eatidão Repreetação de dado de proceo Caracterítica de ditribuiçõe de dado Fução Deidade de Probabilidade Amotra e População Correlação e covariâcia Idetificação de dado aômalo ( outlier )

2 Itrodução O itema de itrumetação e de cotrole de proceo idutriai viveram um grade avaço o último vite ao, como coeqüêcia da evolução a microeletrôica e a área computacioal. Houve um aumeto impreioate da quatidade de iformaçõe dipoívei ao operadore de proceo químico, com a diemiação de itrumeto medidore da variávei de proceo, aim como do itema de tramião, cocetração e armazeameto de dado. Atualmete, praticamete toda a italaçõe idutriai de proceo produtivo ão provida dee itema. Em italaçõe petroquímica, por eemplo, é comum a eitêcia de milhare de eore de vazão, temperatura, ível e preão, além de aaliadore de compoição em correte e equipameto, capaze de medir em tempo real uma grade quatidade de variávei de iteree. Atualmete o egeheiro(a) de proceo cotam com iformaçõe valioa, com eorme quatidade de dado de proceo, o que poibilita moitorar em detalhe variávei epecífica, ou o deempeho de equipameto e de determiada área de uidade idutriai. A aplicação da técica de etatítica multivariada, ee cao, pode forecer iformaçõe quato a correlaçõe etre grupo de variávei, em geral ão evidete em aálie baeada em pare de variávei, apea. Uma vez idetificado padrõe de correlação, ea técica podem er aplicada para idetificação de diferete regime de operação da uidade, aim como a detecção de ituaçõe aômala, erro de medida em eore, ou falha em uidade. Dado hitórico de variávei de proceo têm ido uado também a otimização de codiçõe de operação de uidade idutriai. Ete curo apreeta técica de aálie etatítica multivariada adequada à aplicação em proceo da idútria química, viado etrair iformaçõe obre o comportameto de uidade idutriai a partir da eploração de dado de operação, e que cotituem a bae para a cotrução de modelo etatítico e para a implemetação de cotrole etatítico em uidade idutriai. O coceito apreetado, aim como o treiameto com eercício baeado em cao idutriai reai, cotituem ferrameta de grade valor para a aálie de proceo idutriai. O obetivo é oferecer um couto de método etatítico adequado à aplicação a cao de iteree, cotituídoe, aim, em complemeto da formação de profiioai de egeharia de proceo.

3 3 Lita de ímbolo Cov matriz (pp) de covariâcia da p variávei aleatória E() eperaça, ou valor eperado, da variável e erro aleatório; coordeada em uma bae ortogoal apó rotação (Fig. 3.1) e freq GL m N éimo compoete pricipal freqüêcia de amotragem úmero de grau de liberdade úmero de compoete pricipai elecioado úmero total de obervaçõe em uma população úmero total de obervaçõe em uma amotra P() probabilidade acumulada, Eq p úmero de variávei em um itema multivariado p() fução deidade de probabilidade, Eq Q variável qualquer em um proceo R matriz (pp) de correlação da p variávei aleatória r k SD ih coeficiete de correlação etre a variávei k e ditâcia etatítica etre a obervaçõe i e h SCP K SS SSCP w k X X (i,k) med oma do produto cruzado da variávei cetrada a média X e X k oma do quadrado da variável aleatória X matriz (pp) da oma do quadrado e produto cruzado da p variávei devio padrão calculado para uma amotra peo da variável aleatória o k éimo compoete pricipal variável aleatória cetrada a média vetor vertical de variávei aleatória cetrada a média, com p liha, correpodete a uma dada obervação variável aleatória matriz de dado eperimeta, com liha e p colua i éima obervação da k éima variável média de uma variável calculada para uma amotra

4 4 Subcrito: i k mi, med, ma refere e à i éima obervação refere e à k éima variável refere e à éima variável, ou ao éimo compoete pricipal valore míimo, mediao e máimo de uma variável Símbolo grego erro a medição de uma variável Q média de uma população devio padrão de uma população erro itemático em uma medida âgulo de rotação do eio de coordeada (Fig. 3.1) variável chi aociada à ditribuição de ditâcia quadrática Bibliografia BERTHOUEX, P.M., BROWN, L.C. Statitic for Evirometal Egieer. Lewi Publiher, d. Ed., New York, 00. HAIR Jr, J.F., ANDERSON, R.E., TATHAM, R.L., BLACK, W.C. Multivariate data aalyi. Pretice Hall, 5 th. Ed, Upper Saddle River, HIMMELBLAU, D. M. Proce Aalyi by Statitical Method. Joh Wiley & So, 1970 JOHNSON, R.A., WICHERN, D.W. Applied Multivariate Statitical Aalyi. Pretice Hall, 4 th. Ed, Upper Saddle River, JOLLIFFE, I.T. Pricipal Compoet Aalyi. Spriger Verlag, New York, SHARMA, S. Applied Multivariate Techique. Joh Wiley & So, Ic, New York, 1996.

5 5 Nete teto, o reultado de uma medição qualquer em um proceo em um dado itate de tempo erá deomiado de obervação. Uma dada obervação pode er cotituída por um úico dado eperimetal, ou, o cao de itema com múltipla variávei, por um couto de valore. Uma obervação erá deomiada de (i,k), edo i o ídice da obervação a érie de obervaçõe (com i variado de 1 a N obervaçõe) e k o ídice da variável (com k variado de 1 a p variávei). Por eemplo, upodo que uma uidade idutrial eam coiderada medida de vazão, temperatura e ph de uma correte de efluete ao logo do tempo. Supodo que e deee etudar uma érie de 100 medida ao logo de um determiado período de tempo, etão o úmero de obervaçõe N é igual a 100 e P é igual a 3. Um dado qualquer, como, por eemplo, (0,3) refere e à vigéima obervação da variável ph, da érie de 100 obervaçõe. A bae de dado referete a ee eemplo eria etão cotituída por uma matriz de dado, com 100 liha e 3 colua. Etatítica decritiva Erro de medida, precião e eatidão A medida de variávei de proceo a idútria apreetam ormalmete flutuaçõe, a forma ilutrada a Figura 1.1, a qual é motrado o gráfico de uma érie temporal do valore medido,, da vazão, Q, em uma correte de proceo. Obervam e tedêcia de logo período (ou baia freqüêcia) utamete com flutuaçõe de amplitude e freqüêcia variávei. 6 5 vazão (m 3 /h) tempo (mi) Figura 1.1. Eemplo de érie temporal de variável medida em uidade idutrial.

6 6 Toda medição tem imperfeiçõe que dão origem a um erro o reultado. O erro pode er repreetado como: Q, (1.1) em que o erro pode ter um compoete itemático,, também chamado bia, e um compoete aleatório, e Aim, tem e: Q ( e ). (1.) Erro itemático ( bia ) cauam devio peritete etre o valor medido e o valor devido de uma variável, e ormalmete ão cauado por defeito em metodologia ou procedimeto de medição, ou por decalibração de itrumeto. Podem er elimiado ou dimiuido pela adoção de correçõe de procedimeto ou com a calibração de itrumeto de medição. A magitude do erro itemático ão pode er etimada, a meo que e coheça o valor real da variável medida. Erro aleatório têm origem em variaçõe temporai, epaciai, etocática ou impreviívei da gradeza de ifluêcia. Não podem er elimiado, ma eu valor médio tede a zero com o aumeto do úmero de obervaçõe, e ua variação pode er quatificada aplicado e coceito etatítico. Precião é uma medida do epalhameto de mediçõe repetida da mema variável. O epalhameto e deve ao erro aleatório. Mediçõe precia pouem erro aleatório pequeo. Eatidão, ou acurácia, é a reultate do doi tipo de erro. Uma medição com boa eatidão poui erro itemático zero e erro aleatório míimo. A Figura 1. ilutra ee coceito, para um cao de comparação etre 4 medidore de ph, quado o valor real da variável é 8,0. Somete o medidor D apreeta boa eatidão.

7 7 Medidor Bia Precião Eatidão alto bom baio A baio baio baio B alto baio baio C zero bom bom D ,5 8,0 8,5 9,0 Figura 1.. Comparação do erro itemático ( bia ), precião e eatidão de 4 medidore de ph (5 medida cada) para o valor real da variável igual a 8,0. Repreetação de dado de proceo A primeira etapa a viualização de dado, a partir da plailha em que ormalmete ão apreetado, é a cotrução de gráfico com érie temporai de cada variável, como motrado a Figura 1.1. Cada poto o gráfico da érie temporal repreeta um valor armazeado pelo itema de aquiição de dado, o qual foi autado para aquiição de ial proveiete do eor com a freqüêcia de 1 mi 1. Em etudo dedicado a caracterizar ocilaçõe de variávei de proceo, é recomedado que a freqüêcia de amotragem do dado ea o míimo igual a.freq mi, em que freq mi é a freqüêcia de corte, ou ea, a meor freqüêcia que e deea coiderar o etudo. A preparação do dado pode eceitar de procedimeto de uavização ( data moothig ), baeado em média móvei o tempo, com egmeto de tempo adequado. A Figura 1.3 ilutra o efeito da uavização: cada curva uavizada foi obtida com o valor médio da variável em diferete egmeto de tempo, cada um dele evolvedo um úmero de poto, k, diferete. Para um couto de obervaçõe de uma variável, a média o tempo para egmeto de k poto cada é obtida pela Eq k 1 k i ik1 i k,k 1,...,N Como motrado a Figura 1.3, o efeito da uavização é elimiar ocilaçõe de maior freqüêcia, matedo a tedêcia de período mai logo. O úmero de poto a er icluído o cálculo da média móvel depede do obetivo de cada etudo epecífico. O cálculo da média pode er feito com egmeto uperpoto ou eqüeciai. A uperpoição de egmeto dimiui a (1.3)

8 poibilidade de haver decotiuidade a érie temporai fiai obtida, como pode er vito comparado e a Figura 1.4 e cocetração (ppm) Dado origiai média móvel ( dia) média móvel (5 dia) tempo (dia) Figura 1.3. Efeito da uavização do dado: a curva motram a obervaçõe origiai com medida diária de cocetração de um cotamiate em uma correte de efluete, a média móvei de dia e de 5 dia. Vazão tempo (miuto) Dado origiai (freq = 1/mi) Média móvel ( mi) Média móvel (4 mi) Média móvel (10 mi) Figura 1.4. Suavização do dado por egmeto de tempo uperpoto.

9 9 Vazão tempo (miuto) Dado origiai (freq = 1/mi) Segmeto de 4 mi Segmeto de 10 mi Figura 1.5. Suavização do dado por egmeto de tempo eqüeciai. Uma forma uual de repreetar érie de dado é por meio de gráfico de freqüêcia, deomiado de hitograma. Na Figura 1.6, um couto de 7 mediçõe de cocetração, apreetada a tabela, ão dipota em um gráfico e eu valore claificado por clae de cocetração, gerado um hitograma a forma cláica, com gráfico de barra, em que a altura de cada barra correpode ao úmero de obervaçõe em cada clae (ou itervalo) de valore. A bae de cada barra cobre o itervalo de valore de cada clae. O hitograma pode er epreo a forma de freqüêcia relativa, ou ea, o úmero de obervaçõe em cada clae dividido pelo total de obervaçõe (). Hitograma poibilitam uma etimativa iicial do valor domiate em um couto de dado (aquele com maior freqüêcia de ocorrêcia), bem como viualizar o grau de diperão do dado em toro do valor domiate e obervar e a imetria da ditribuição. Além dio, podem er idetificada obervaçõe ituada fora da ditribuição, ou ea, dado aômalo (cohecido como outlier ).

10 ,9 7,8 8,9 5, 7,7 9,6 8,7 6,7 4,8 8,0 10,1 8,5 6,5 9, ,4 6,3 5,6 7,3 8,3 7, 7,5 6,1 9,4 5,4 7,6 8,1 7,9 Dado origiai (7 medida de cocetração) cocetração ordem Repreetação e claificação do dado Número de ocorrêcia (Freqüêcia) Cocetração Figura 1.6. Seqüêcia para obteção de hitograma de dado.

11 11 Ditribuiçõe de dado Dado de proceo ão caracterizado a partir de parâmetro da ua ditribuiçõe. O parâmetro mai utilizado para caracterizar uma população ão a média e a variâcia. A média,, também deomiada valor eperado, ou eperaça de, E(), para uma população com N obervaçõe, é dada por: E N 1 i (1.4) N i1 A variâcia,, eprea a diperão do dado em relação à média: N 1 ( ) (1.5) i N 1 i1 A divião por (N 1) deve e ao úmero de grau de liberdade, GL, aociado ao cálculo da variâcia, ou ea, o úmero de iformaçõe eceária para que a Eq. 1.5 fique determiada. Para o cálculo da média, ão eceária a N obervaçõe (GL = N); para o cálculo da variâcia, ão eceária N 1 obervaçõe e a média (poi com N 1 obervaçõe e a média calcula e a N éima obervação). A variâcia tem valor poitivo ou ulo. A diperão é ormalmete repreetada pela raiz quadrada da variâcia, ou ea, o devio padrão, : N ( ) i i1 (1.6) N 1 Outra caracterítica de populaçõe de dado utilizada comumete ão: Moda, ou valor domiate: valor da variável correpodete ao maior valor a ditribuição de freqüêcia de ocorrêcia, o que correpode ao máimo o hitograma. Mediaa: valor que divide uma população de obervaçõe, quado eta ão ordeada. Eemplo: coiderado a eguite população com 9 dado, ordeado em ordem crecete: dado: ; a propriedade dea população ão: média: = 8,7; devio padrão: = 5,9; mediaa: med = 7; coiderado que ea icluído um dado a mai, ficado a população com 10 dado: dado: ; a propriedade ão: = 30; = 7; med = 8,5;

12 1 ubtituido e o último dado, 4, por um valor bem maior, por eemplo 85, a população fica: dado: ; a propriedade ão: = 34,3; = 18,7; med = 8,5. Nee eemplo, ao er adicioado um dado a mai à população (de 9 para 10), todo o parâmetro foram afetado. Ao er ubtituído um do dado (4) por outro de valor coideravelmete maior (85), tato a média quato o devio padrão foram afetado (ete muito mai, poi a diperão da ditribuição aumetou muito). No etato, ão houve alteração a mediaa. Eta é uma propriedade importate da mediaa: é pouco eível a variaçõe o valore etremo do dado de uma população, o que o tora meo ucetível a alteraçõe em cao de preeça de dado aômalo. Há outro parâmetro para caracterizar uma população de dado, que ão utilizado em aplicaçõe epecífica, como o coeficiete de variação, quarti, perceti etc, cua defiição pode er ecotrada em livro de etatítica. Podem e repreetar graficamete ditribuiçõe de obervaçõe a forma de caia e alogameto ( bo ad whiker ), como motrado a Fig O gráfico poibilita viualizar rapidamete caracterítica importate de uma população de obervaçõe. Começado pela caia, que cobre 50% do dado, com limite o quartil referete ao 5% meore valore da obervaçõe e o quartil correpodete ao 75% meore valore. Um quartil correpode a uma quarta parte da obervaçõe, dipota em ordem crecete de valor. O egmeto, ou alogameto ( whiker ), cobrem toda a faia de valore da obervaçõe da variável (de mi a ma ). Novo valore medido, que e ituem fora da faia, ão coiderado aômalo, podedo correpoder a medida errada, por eemplo. No gráfico, é idicada a mediaa, que divide a população em dua parte iguai e dá uma idéia iicial obre a imetria da ditribuição do dado. Mediaa (P = 0,50) bo (50% do dado) outlier Quartil 5% (P = 0,5) Quartil 75% (P = 0,75) whiker cobrem o etremo da ditribuição Figura 1.7. Repreetação de ditribuição de dado a forma de bo e whiker.

13 13 Fução Deidade de Probabilidade Sea P() a probabilidade de ocorrêcia de um dado valor da variável aleatória, pertecete a uma população. Etão, da propriedade de probabilidade, abe e que: N i1 1 P i (1.7) Se for uma variável cotíua, etão a probabilidade eite para qualquer valor de detro do domíio da variável e pode e eprear a Eq. 1.7 a forma itegral: 1 dp (1.8) Defiem e a fuçõe probabilidade acumulada, P(), de ocorrêcia de um dado valor meor ou igual a e a fução deidade de probabilidade, p(), da eguite forma (Figura 1.7): edo, etão: P pd P dp, 0 1 P (1.9) dp p (1.10) d Portato, pd 1 (1.11) P (1.1) p() 1 P() 0,5 mediao Área = 1 Figura 1.7. Apecto típico e propriedade da fuçõe P() e p().

14 14 Pode-e, etão, eprear a média,, de uma variável cotíua, como:. p d. dp (1.13) Graficamete, a média repreeta a área idicada a Figura P() Área total = média de Figura 1.8. Repreetação gráfica da média, med. A variâcia é eprea como: p d (1.14) A variâcia é chamada de mometo de ordem de em toro da média, epreado aim uma medida da diperão quadrática do dado em toro da média. De modo geral, defie e um mometo de ordem t de uma ditribuição de valore de como: M t p d t (1.15) O mometo ão importate para uma érie de cálculo aociado a proceo químico, relacioado a propriedade de ditribuiçõe de dado, aim como a egeharia de proceo que trata de ditribuiçõe em populaçõe, como em proceo idutriai de polimerização, critalização, e o etudo de ecoameto de fluido em vao de proceo Tipo comu de ditribuiçõe Quado e trabalha com variávei aleatória, ou ea, cuo valor é afetado por fatore ão cotrolado, é eceário icorporar o cálculo a probabilidade de uma variável aumir um determiado valor. A ferrameta dipoívei para etimativa de itervalo para valore

15 15 de variávei e parâmetro de ditribuiçõe baeiam e em forma típica para alguma ituaçõe caracterítica. Para variávei biária, por eemplo, como a cotage de falha em itema de itrumetação em uma idútria, ou de falha a qualidade de um produto, é comum o uo de fuçõe de ditribuição biomial, ou de ditribuição geométrica. No cao em que eveto devem er claificado em dua ou mai categoria, utiliza e a ditribuição multiomial. Para cotage de tempo etre eveto em um dado proceo, ou de freqüêcia de falha em um itema qualquer, por eemplo, utiliza e a ditribuição de Poio. Epreõe matemática para ea fuçõe poibilitam o cálculo de probabilidade de úmero de falha, ou de ditribuição de período de tempo etre falha, por eemplo. Decriçõe e aplicaçõe dea ditribuiçõe ão apreetada em livro obre etatítica. A variávei com a quai egeheiro de proceo ormalmete e ocupam ão variávei cotíua (como vazõe, compoiçõe, preão, ou temperatura), coletada a forma de érie temporai, e o iteree é obterem e iformaçõe obre a uidade idutrial baeada a ditribuição de valore dea variávei ao logo do tempo. O valore de variávei aleatória cotíua apreetam curva de ditribuiçõe a forma de io, edo a mai comum a ditribuição ormal. A ditribuição ormal é baeada o fato de que a medida de uma variável aleatória qualquer ão afetada por um couto de flutuaçõe de muito fatore idepedete. Com ea hipótee, o teorema do limite cetral prevê que o valore da variável têm ditribuição da fução deidade de probabilidade egudo uma fução gauiaa, ou ormal. Teorema do limite cetral Se a flutuação total o valor de uma variável aleatória for o reultado da oma da flutuaçõe de muita variávei idepedete e de importâcia aproimadamete igual, etão a ditribuição de valore tederá para a ditribuição ormal, ão importado a atureza da ditribuiçõe da variávei idividuai. O eemplo cláico é o ogo de dado. A ditribuição de probabilidade para o laçameto de um dado ão viciado por um grade úmero de veze é motrada a Figura 1.10a: o valore poívei ão o iteiro de 1 a 6, com probabilidade iguai. Porém, e forem aotado o valore médio de muito laçameto de, por eemplo, 5 dado (ou a média de cada 5 laçameto de um memo dado), etão há 5 eveto idepedete, com igual probabilidade, cotribuido para o valor da média. O reultado da ditribuição da média é motrado a Figura 1.10b. À medida que aumeta o úmero de dado que compõem a média, a ditribuição tede a uma curva em forma de io. Por eemplo, a Figura 1.10c motra a ditribuição da média de 10 laçameto de dado.

16 16 a b c Figura Ditribuição de probabilidade da média do laçameto de 1 (a), 5 (b) e 10 (c) dado ão viciado (Barro Neto et al, 001). A ditribuição ormal, ou ditribuição gauiaa, de uma população com média e devio padrão tem fução deidade de probabilidade eprea a forma da Eq p e (1.14) A Figura 1.11 apreeta um gráfico dea fução, para o cao em que = 0 e = p() Figura Ditribuição ormal da fução deidade de probabilidade para uma variável aleatória, com = 0 e = 1.

17 17 Alguma propriedade importate da ditribuição ormal: 1) A área ob a curva correpode à probabilidade. A área total, portato, vale 1. ) A curva é imétrica em relação à média e em forma de io. 3) A probabilidade do valor da variável etar o itervalo etre a média e é de 68,6%; a probabilidade da medida etar o itervalo etre a média e 3 é de 99,73%. Portato, praticamete todo o dado etão cotido o itervalo etre a média e 3. A probabilidade ão calculada aplicado e a Eq Por eemplo, a probabilidade de que P P. Amotra e População Uma população com N elemeto cotitui o couto completo de obervaçõe de uma variável. Uma amotra é um ubcouto da população, com obervaçõe. Supõe e que uma população ea um grade couto de N obervaçõe, do qual ão retirada amotra. Uma amotra repreetativa tem a mema caracterítica da população da qual a amotra foi retirada. A caracterítica de uma população podem er etimada a partir de caracterítica da ditribuição de valore a amotra. A média, med, e a variâcia,, de uma amotra com obervaçõe ão eprea como: 1 med i i1 i1 i 1 med (1.15) (1.16) Para amotra cotedo obervaçõe cada, etraída aleatoriamete e idepedetemete de uma população com ditribuição ormal com média e variâcia, pode e demotrar que: A média amotrai med têm ditribuição ormal, com média e variâcia igual a: (1.17) ou ea, à medida em que o úmero de obervaçõe a amotra aumeta, a variâcia da ditribuição da média med tede a 0.

18 Normalmete a etimativa de parâmetro da ditribuição de uma população ão feita utilizado e variávei como a variável aleatória t, que egue a ditribuição de Studet, com 1 grau de liberdade e é defiida como: med t (1.18) A variâcia da amotra,, tem ditribuição de valore defiida pela variável aleatória, que egue a ditribuição qui quadrado, com 1 grau de liberdade, defiida como: 18 1 (1.19) Detalhe a repeito da deduçõe e uo dea variávei, bem como o valore da curva de ditribuição para diferete valore de GL podem er vita em livro teto obre etatítica. Itervalo de cofiaça A variávei t e ão importate a etimativa de itervalo de cofiaça para a média e a variâcia populacioai a partir da caracterítica de uma amotra. Com bae a defiiçõe da Eq e 1.19, o itervalo de cofiaça ão defiido, para a média e variâcia, como: med t t 1 1, 1 med 1, (1.0) 1 1. (1.1) 1, 1 1, Na Eq. 1.0 e 1.1, o ubcrito ( 1) refere e ao úmero de grau de liberdade evolvido o cálculo; o ubcrito (1 ) refere e ao grau de igificâcia adotado o cálculo do itervalo. O termo é o grau de cofiaça, ou ea, a probabilidade de que a caracterítica etimada da população (média a Eq. 1.0, variâcia a Eq. 1.1) teha valor detro do itervalo. Na maioria do cao adota e = 0,05, ou ea, a probabilidade de que a caracterítica da população teha valor maior ou meor que o itervalo é de,5% (o total, portato, a probabilidade de erro a etimativa do itervalo é de 5%). Livro teto de etatítica (por eemplo, Barro Neto et al, 001) apreetam tabela com valore de t e para diferete valore de GL e. Para amotra com úmero de obervaçõe maior que 30,

19 19 o valore de t e têm variaçõe muito pequea. A variávei aleatória t e ão utilizada freqüetemete em tete de hipótee, para comparaçõe etre média e variâcia de diferete amotra. Tamaho míimo de uma amotra Podem e utilizar o memo coceito para determiar o úmero míimo de obervaçõe que devem etar cotida em uma amotra,, para que o devio etre a média da amotra, med, e a média da população,, ea meor que uma dada tolerâcia,, com um grau de cofiaça. Nete cao, é eceário cohecer o valor de, o que ormalmete pode er feito a partir de dado hitórico de amotra da variável, com um úmero de obervaçõe cohecido. Etão, o tamaho da amotra pode er determiado, para = ( med ), por: t,. gl. (1.) Na Eq. 1., gl é o úmero de grau de liberdade utilizado par calcular, o devio padrão de uma amotra ateriormete cohecida da variável. Pode e utilizar, para o valor da variável t, tato o valor, quato 1, porque a ditribuição de t é imétrica. Correlação e Covariâcia Coceito Báico e Defiiçõe Variávei aleatória coiderada: 1,... p (p = úmero de variávei) Obervaçõe (mediçõe): i 1,... ( = úmero de obervaçõe) Vetor de média da amotra,, ou de valore eperado, E( ), da variávei : i1 i E, 1, p (.1)

20 0 Para o vetor de média da população utiliza e ormalmete o ímbolo. Outra forma de eprear a média:, ou i. Pi (.) i1. p d (.3), ou em que P i ( ) repreeta a probabilidade de ocorrêcia da i éima obervação da variável e p( ) repreeta a fução deidade de probabilidade de. A i éima obervação da variável aleatória cetrada a média X é defiida como X i X, 1, p i, ou i i. Portato, a variável X tem média igual a zero e egue a mema ditribuição que. Variâcia de uma variável aleatória: X i i SS i1 i1 (.4) GL 1 1 O ímbolo SS refere e à oma do quadrado ( um of quare ) da variável cetrada a média, X. Devio padrão de uma variável aleatória: (.5) Comumete utiliza e o ímbolo para o devio padrão da amotra de obervaçõe e o ímbolo para o devio padrão de toda a população. i éima obervação da variável aleatória padroizada z : z i i (para a amotra), ou z i i (para toda a população). Cada variável padroizada z, =1, p, é adimeioal e tem média igual a zero e devio padrão igual a 1, o que auilia o procedimeto de aálie, porque elimiam e a difereça umérica etre diferete variávei.

21 1 Covariâcia etre a variávei e k : k X X i ik i ik SCP i1 i1 k k (.6) GL 1 1 O ímbolo SCP K refere e à um of cro product, ou oma do produto cruzado da variávei cetrada a média X e X k. No cao de p variávei, é mai fácil repreetar a oma SS e SCP k a forma da matriz de covariâcia, Cov (pp), que tem a eguite forma: cov p Cov 1... p (.7) p1 p... p A matriz de covariâcia, que é imétrica, cotém, a diagoal pricipal, a variâcia da p variávei e, o demai elemeto, a covariâcia da variávei. Se a p variávei forem idepedete, etão a matriz Cov é diagoal. Em otação matricial, para uma população de obervaçõe da p variávei e vetor de média (p1), a matriz de covariâcia pode er repreetada como: 1 1 T Cov E μ. μ E... p p (.8) 1 1 p p em que o valor eperado de um argumeto t, E(t), é defiido como a Eq..1 a.3. No cao, o argumeto é o produto do vetore ( ) e ( ) T (o ímbolo T idica a matriz trapota) e, o deomiador, o valor é ubtituído por ( 1), que é o úmero de grau de liberdade referete ao cálculo da variâcia, como a Eq..6. O cálculo da covariâcia etre dua variávei quaiquer pode er feito também utilizado e a variávei padroizada z. Nee cao, obtém e o coeficiete de correlação etre a dua variávei e k, r k : r k i1 z z ik i 1 ik i1 i 1... k ik k k (.9)

22 É comum repreetar a correlação etre dua variávei a forma do coeficiete de determiação, que correpode a (r k ). No cao em que = k, a Eq..9 reulta a divião da variâcia por ela mema: i i1 r 1 (.10) 1. O coeficiete de correlação de uma dada variável em relação a i própria vale 1, e a correlação etre dua variávei quaiquer varia o itervalo de 1 a 1. Devido a ea propriedade, o coeficiete de correlação é um idicador importate da correlação liear etre variávei aleatória, poi valore próimo a zero idicam auêcia de correlação (variávei liearmete idepedete) e valore próimo a 1 ou 1 idicam variávei liearmete correlacioada (poitiva ou egativamete). É importate obervar que o fato de haver, evetualmete, valor de r k próimo de zero ão igifica que a variávei e k ão eam correlacioada. Tal fato é ilutrado a Fig. 1. Se a matriz de covariâcia, Cov, for cotruída com variávei padroizada, é chamada de matriz de correlação, R (pp) : 1 r1... r1p R r rp (.11) rp1 rp... 1 A matriz de correlação é imétrica e tem o elemeto da diagoal pricipal iguai a 1. No cao de variávei aleatória liearmete idepedete, ea matriz tora e diagoal. O uo da matriz de correlação é importate o cao em que a variávei têm valore umérico muito diferete, poi tai valore afetam a matriz de covariâcia, equato a matriz de correlação tem o valore do elemeto limitado etre 1 e 1.

23 3 k k r k = r k = 0,961 Aociação ão liear: valor de r k ão correpode à tedêcia obervada k r k =0,037 Figura 1. Eemplo de gráfico de diperão de valore de dua variávei, e k, com o repectivo valore de r k. Defiiçõe de ditâcia Muito método etatítico baeiam e a ditâcia etre obervaçõe, ou grupo de obervaçõe, ou, alterativamete, a ditâcia etre variávei, ou grupo de variávei. A ditâcia mai comumete uada é a ditâcia euclideaa. Dada dua obervaçõe, A e B a variávei 1 e, coforme motra a Figura, a ditâcia euclideaa etre o poto é defiida como: D AB a b a (.1) 1 1 b A D AB B 1 Figura. Ilutração da defiição de ditâcia euclideaa etre dua obervaçõe A (coordeada a 1, a )e B (coordeada b 1, b ) a variávei 1 e.

24 4 No cao de um itema com p variávei, a ditâcia é: D AB p a b 1 (.13) Ditâcia etatítica etre dua obervaçõe quaiquer, i e h, de uma variável: SD i h ih (.14) Ditâcia etatítica etre dua obervaçõe quaiquer, i e h, para p variávei: SD ih p 1 i h (.15) A ditâcia etatítica é útil por coiderar a variâcia de cada variável o itema. Ditâcia etatítica geeralizada etre dua obervaçõe, a forma matricial: SDik T 1 Cov i k i k (.16) em que é um vetor de dimeão p. Deidade de ditribuição ormal de probabilidade multivariada: é obtida ubtituido e a ditâcia etatítica o epoete da fução o cao de uma úica variável, Eq. 1.14, pela ditâcia etatítica etre cada poto e a média, a forma geeralizada (Eq..16). O termo pré epoecial deve er alterado para que o hipervolume ob a curva teha área total igual a 1, ficado a forma da Eq..17: p 1 μ e p / 1/ Cov T 1 μ Cov / (.17)

25 5 Idetificação de dado aômalo ( outlier ) Dado aômalo ão dado preete em uma população ou amotra que correpodem a erro groeiro em relação à média, ão repreetado a tedêcia geral obervada o valore de uma dada variável, ou couto de variávei, de um proceo. Podem er cauado por falha em itrumeto, ou procedimeto de medida, ou o regitro de dado de proceo. Há vária técica para detecção de dado aômalo, edo o mai comu baeado o comportameto idividual de cada variável. Há, também, técica de detecção de dado aômalo multivariado, que erão dicutida em outra parte do curo. Etre a técica mai comu etão aquela baeada em carta de cotrole de proceo, que ão érie temporai de cada variável. Como eemplo, a Figura.3a motra uma érie de dado regitrado de vazão em um proceo idutrial. Na Figura.3b, foram acrecetado à mema érie alguma referêcia, ou ea, a média da população de valore e doi limite de cotrole: uperior (LSC) e iferior (LIC). Ee valore correpodem à média mai uma faia de tolerâcia, ormalmete baeada a diperão do dado e em a tolerâcia baeada a qualidade epecificada para o proceo. No cao, ee limite correpodem a uma tolerâcia de 3, reultado em uma faia total de 6, o que, para uma ditribuição ormal, deve coter 99,73% do valore da variável. Oberva-e que há doi poto ituado for a do limite, o que é um forte idício (com 99,73% de probabilidade) de que e tratam de dado com erro. O memo pode er deduzido a Figura.4, que apreeta um hitograma do memo dado, com poto iolado o etremo. Em etudo baeado em dado de proceo, ee dado devem er elimiado para ão trazer erro. Uma da forma mai eficiete de detecção de dado aômalo é o eame cuidadoo de érie e ditribuiçõe do dado, como a Figura.3 e.4, e com bae o cohecimeto obre o proceo. O eame de carta de cotrole é uado, também, a detecção de tedêcia tato o valore médio (calculado-e a média móvel) quato a diperão do dado. A Figura.5 ilutra um cao de outlier bivariado, para o qual a ditâcia euclideaa daria reultado icorreto, uma vez que o poto C etá mai próimo do poto A do que o poto B pela ditâcia euclideaa, equato, pela ditâcia etatítica, etaria fora da região do demai poto. Na Figura.6, ão motrado doi eemplo de outlier : moo e bivariado. A detecção de outlier moo e bivariado é relativamete imple, uma vez que o procedimeto evolve gráfico de érie temporai, ou bivariado, como o eemplo da Figura.6. No etato, a idetificação é muito mai difícil quado o úmero de variávei é alto.

26 a Vazão (m 3 /h) tempo 165 Vazão (m 3 /h) b 6 LSC Média LIC tempo Figura.3. a) Eemplo de érie temporal de dado de proceo, com valore aômalo. B) A mema érie, como carta de cotrole. Número de poto Vazão (m 3 /h) Figura.4. Hitograma da érie temporal da Figura 3..

27 7 X C B A X 1 Figura.5. Eemplo de outlier bivariado. 1 Figura.6. Eemplo de outlier : moovariado e bivariado.

28 8 Procedimeto ugerido para detecção de outlier em bae de dado multivariado. No cao de itema com úmero de variávei p maior que fica difícil a idetificação de outlier baeada apea em érie temporai. A eqüêcia de tete apreetada a eguir tem-e motrado eficiete, ee cao. 1) Eame de érie temporai de cada variável,, = 1,...p. O eame deve evolver: gráfico de érie temporai e de hitograma. ) Eame de gráfico de diperão bivariado (como a Fig..6). 3) Traformação da variávei origiai em variávei padroizada z. Eamiar o valore etremo dea variável para a obervaçõe. Supodo-e uma ditribuição ormal do dado, a probabilidade de haver valore de z maiore que +3, ou meore que -3 é de 0,7%. Pode-e adotar também itervalo de cofiaça para etabelecer o valore de corte de z. 4) Cálculo da ditâcia etatítica para cada obervação da p variávei (Eq..16). A vatagem dete critério é que leva em coideração o padrão de ditâcia quadrática e a diperão da medida de toda a p variávei em cada obervação. O critério de corte, o cao dea ditâcia quadrática, pode er o valor da variável (qui-quadrado), com úmero de grau de liberdade igual a p. Aim, etabelecido um grau de igificâcia, valore da ditâcia etatítica maiore que podem er coiderado outlier e devem er eamiado com cuidado.