PROCEDIMENTOS PARA A ESTIMAÇÃO DE PARÂMETROS EM GRÁFICOS DE CONTOLE

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1 POCEDIMENTOS PAA A ESTIMAÇÃO DE PAÂMETOS EM GÁFICOS DE CONTOLE Aa Paula S. Figueiredo Arioto Bretaha Jorge Ecola Federal de Egeharia de Itajubá - Av. BPS, Itajubá MG aapaula@iem.efei.br eumo There are a few differet method to etimate the eceary parameter to deig a cotrol chart. Oe may coider (i) all the data a jut oe ample ad the calculate the tatitic from thi data et, or (ii) coider withi ample tatitic or (iii) betwee ample tatitic. The firt ad the third method may be iflated by a out of cotrol ituatio ad thu they are ot idicated a a method for parameter etimatio. We decribe withi ample etimatio which i the method idicated to be ued o the cotrol chart deig. Cotrole Etatítico da Qualidade Palavra chave: Etimator, Statitic, Parameter 1. Itrodução A aálie decritiva de um proceo permite idetificar alguma regularidade e daí um poível modelo repreetativo para o proceo ob aálie. Além dito, também é realizada a fim de que o aalita calcule medida de poição e de variabilidade, tai como a média e o devio padrão do proceo. Eta medida ão etão utilizada o modelo de moitorameto do proceo. O projeto de um gráfico de cotrole, por exemplo, utiliza a etimativa da medida de poição e de variabilidade do proceo e o modelo de ditribuição ormal. Segudo Luca (1976) um problema prático muito importate é o de e obter uma boa etimativa do devio padrão, um do parâmetro a erem etimado. Se o valor verdadeiro do devio padrão do proceo for maior do que o devio padrão etimado, etão haverá um úmero maior de iai de ituação fora de cotrole do que e eperaria receber. Ete falo alarme podem cauar alteraçõe e ajute deeceário o proceo. Se por outro lado, for etimado um valor meor para o devio padrão, iai que deveriam idicar uma ituação de fora de cotrole podem ão er aialado e um ajute eceário deixa de er realizado.. Etatítica e Parâmetro Um cojuto de dado pode er repreetado por variávei aleatória (V.A.) deomiada etatítica. A etatítica é uma fução do dado ob aálie e pode er

2 calculada memo quado há um cojuto de dado em ehum igificado epecífico, ou eja, a etatítica é obtida atravé de uma operação com um cojuto de dado. Quado e deeja decrever a cetralização do cojuto de dado utiliza-e uma medida de localização, como por exemplo a média aritmética x ou a mediaa ~ x. Quado e deeja decrever o epalhameto do dado utiliza-e a uma medida da diperão, como por exemplo, a amplitude, a raiz quadrada do valor médio da oma do quadrado do devio ou o devio padrão amotral. Se um proceo de produção apreeta um certo grau de cotrole etatítico etão poderá er caracterizado por uma medida que repreete um padrão de variação etável, coitete e repetitivo. Ete padrão, que ão varia muito ao logo do tempo, pode er aproximado por um hitograma repreetado a ditribuição de probabilidade f(x) em que x é um reultado poível da V.A. quatitativa gerada ou obtida o proceo. A aproximação cotíua de f(x) é a fução deidade de probabilidade da V.A. X. Eta fução ão caracteriza a eqüêcia temporal do dado, porém é um modelo matemático utilizado para aproximar o padrão de variação da medida obtida em um proceo (Wheeler, 1995). O parâmetro é uma cotate da fução ditribuição de probabilidade f(x) ou de ua aproximação cotíua, a fução deidade de probabilidade. Utiliza-e a fução ditribuição de probabilidade f(x) a ua forma dicreta ou cotíua para modelar um proceo real. O parâmetro de f(x) pode er etimado por uma etatítica obtida a partir do dado coletado. Uma vez que utiliza-e um úmero fiito de dado ão e pode epecificar uma úica fução f(x) para um proceo. Haverá empre uma arbitrariedade relacioada com o uo de uma fução f(x) repreetativa do hitograma gerado pelo dado obtido do proceo. Por io ão e deve pear o parâmetro de uma ditribuição como edo o verdadeiro e úico valore da diperão ou localização do proceo, ma como aquele que foram obtido ou etimado cao foe válido o modelo adotado a priori, ou por hipótee (Wheeler, 1995). 3. Cotrole Etatítico Cada um do quadro da Figura 1 repreeta a ditribuiçõe da etatítica aaliada coletada uceivamete ao logo do tempo. O valor omial é o valor alvo do proceo, em toro do qual epera-e que a ditribuiçõe etejam cetralizada. Ao logo do tempo, tato o valor médio amotral, quato a variâcia podem e alterar, modificado o perfil deta ditribuiçõe. A Figura 1a repreeta um proceo ob cotrole. Ete é um proceo que etá cetrado em eu valor eperado (valor alvo ou valor omial) e cuja variâcia e matém cotate ao logo do tempo. A Figura 1b decreve um proceo decetralizado com relação a eu valor omial, embora ob cotrole, uma vez que a medida cetral e a variâcia ão cotate ao logo do tempo. A Figura 1c motra um proceo fora de cotrole o qual o valor cetral e a variâcia ão ão cotate ao logo do tempo. A Figura 1d realça o apecto da previibilidade: e um proceo etá ob cotrole, erá poível prever, detro de certo limite, o reultado eperado de amotra futura. Por outro lado um proceo fora de cotrole deixa o obervador em poder fazer previõe para o valor futuro.

3 4. Etimadore A etatítica de localização e de diperão ão etimadore do parâmetro da fução ditribuição de probabilidade f(x) para proceo que e apreetem ob cotrole. Porém e o proceo ão e apreeta ob cotrole etatítico, o dado ão repreetam o padrão de variação do proceo, memo porque ete padrão ão é úico, e portato ão e pode etimar uma úica fução f(x) repreetativa e adequada. Embora poam er calculada etatítica a partir do dado obtido, tai etatítica omete decrevem o padrão de variação paado (Wheeler, 1995). Figura 1 - epreetação gráfica de proceo de produção ob cotrole cetrado o valor omial (a), ob cotrole porém com devio (b) e fora de cotrole (c e d). Fote: Adaptado de Hoyer e Elli (1996), p Para etimar o parâmetro da fução f(x) o aalita pode dipor de apea um cojuto de dado, ou eja, apea uma amotra ou dipor de um úmero k de amotra de um proceo cujo comportameto poa er repreetado pela fução f(x) dicreta ou cotíua. O procedimeto de etimativa é tal que o aalita defie o parâmetro que erá etimado e o etimador que erá utilizado. O parâmetro de localização e diperão a erem etimado podem er, por exemplo, a média e o devio padrão ou a variâcia. A etatítica a erem utilizada ão, por exemplo, a média aritmética e o devio padrão amotral.

4 Cota Neto (1977) apreeta a propriedade que um etimador deve pouir: ãotedecioidade, coitêcia, eficiêcia e uficiêcia. O uo de um etimador ãotedecioo ão garate que o erro de etimação eja meor do que eria e utilizado um etimador tedecioo. Uar uma etatítica o lugar de uma outra ão garate um erro de etimação meor (Wheeler, 1995). 4.1 Etimativa da Média Dada a fução f(x) que melhor aproxima o proceo aaliado, o parâmetro que caracteriza a cetralização do proceo é a média µ em ua aproximação cotíua é dada por µ= f ( x) dx (1) todo x A etimativa da média para uma amotra é a ua média aritmética x. A média aritmética mede a localização de um cojuto de dado e decreve a ua cetralização. Para um úmero k de amotra, a etimativa da média é a média aritmética da média amotrai. Ete ão o melhore etimadore, para uma e k amotra, para o parâmetro µ da fução deidade de probabilidade. 4. Etimativa da Variâcia e do Devio Padrão Dada a fução f(x) que melhor aproxima o proceo aaliado, o parâmetro que caracteriza a diperão do proceo é a variâcia de f(x), deotado por σ ou V(x) e dado em ua aproximação cotíua por σ = V( x) = ( x µ ) f( x) dx todo x O devio padrão SD(x) caracteriza a diperão do proceo a mema uidade de medida de eu dado e é defiido como a raiz quadrada da variâcia, deotado por σ. Ete parâmetro de diperão pode er etimado por etatítica de diperão diferete, detre ela a amplitude amotral, o devio padrão amotral e a raiz quadrada do valor médio da oma do quadrado do devio. Eta etatítica podem er calculada coforme a Equaçõe 3, 4 e 5. = x x (3) = max 1 1 i= 1 mi () ( x x) (4) 1 i = ( xi x) (5) i= 1 A etimativa da média, variâcia e devio padrão podem er obtida de poe de apea uma amotra ou de um úmero k de amotra Etimativa do devio padrão baeado em k amotra A preeça de k amotra de tamaho faz com que o aalita, além de ecolher o etimador a er utilizado para etimar o parâmetro de diperão, teha que ecolher o

5 método de tratar o dado o procedimeto de etimativa. Wheeler (1995) apreeta diferete maeira de e utilizar a etatítica de diperão para etimar o devio padrão SD(x) e a variâcia V(x). A Figura apreeta trê poívei maeira. Figura - Método para e etimar a diperão Fote: Adaptado de Wheeler (1995), p A Figura a repreeta o método para e etimar a diperão em que todo o dado da k amotra ão agrupado em uma úica amotra. Ete método é cohecido como método da variação total poi coidera todo o dado como edo apea um cojuto de dado e a partir dele calcula o devio padrão. A Figura b repreeta um método para etimar a diperão em que cada amotra é tratada eparadamete e a etatítica de diperão é calculada para cada amotra. Ete método, ou eja o da variação detro da amotra é obtido a partir de k amotra de tamaho. De cada amotra é obtida a etatítica de diperão e etão é calculada a média aritmética dete k valore. Eta etatítica média é etão utilizada para etimar o parâmetro de diperão da ditribuição de x. O método apreetado a Figura c é um método idireto para e obter a etimativa da diperão. Ete método baeia-e a variação etre amotra e utiliza a média de cada amotra para cotruir um cojuto de dado do qual é obtida a etatítica de diperão. Segudo Wheeler (1995) e o proceo ão apreeta ehuma falta de cotrole detectável, ou eja e ão etá atuado em preeça de caua epeciai de variação, o trê método apreetado produzem etimativa de SD(x) emelhate. Porém e a k amotra provêm de um proceo que ão eteja ob cotrole, o trê método ão ão equivalete. Nete cao a etimativa baeada o método de variação total e de variação etre amotra (a e c a Figura ) ão ujeita a erem iflacioada. O método da variação total ou da variação etre amotra ão devem er utilizado para e obter o limite de um gráfico de cotrole, poi por etarem ujeito a erem iflacioado, impoibilitam que o gráfico eja utilizado para moitorar o proceo. Deta maeira, a etimativa devem er realizada a partir do método da variação detro da amotra (Wheeler, 1995). Shewhart deliberadamete ecolheu o método de variação detro da amotra para a etimação do devio padrão para o cálculo do limite de cotrole do gráfico de cotrole (Wheeler, 1995). A Tabela 1, adaptada de Wheeler (1995) relacioa o etimadore do devio padrão para proceo moitorado atravé de amotra com tamaho > 1. O etimadore do devio padrão apreetado a Tabela 1 fazem uo de fatore de correção de ão-

6 tedecioidade, d, d *, c, c 4 e c 4, que ão fução do tamaho da amotra. Ete fatore (com exceção de c 4 ) ão tabelado e podem er ecotrado em Motgomery (1991). O fator de correção para o etimador média da variâcia amotral é o valor c 4. Ete fator de correção coidera o úmero k de amotra de tamaho utilizada para o cálculo da etatítica. O valor do fator de correção c 4 correpode ao valor c 4 de uma amotra de tamaho [k (-1) + 1]. Tabela 1 - Etimadore do parâmetro de diperão Etatítica Média da amplitude aiz quadrada da média da oma do quadrado do devio Devio padrão amotral Valor médio da variâcia amotral Etimadore para SD(x) Etimadore para V(x) Nãotedecioo Não- Tedecioo Tedecioo tedecioo Variação detro da amotra d * d c d ( ) c 4 c ' 4 * d ( ) Segudo Wheeler (1995) a ecolha da etatítica de diperão ão é tão importate como a ecolha do método de etimação. O método de etimativa baeado em variação detro da amotra ão é iflacioado por dado oriudo de proceo que ão e apreetem ob cotrole etatítico. Para um proceo atuado a preeça de caua epeciai, o etimadore baeado a variação etre amotra ão ão iflacioado igualmete. O etimadore baeado a amplitude e o devio padrão amotral ão meo eívei a valore extremo do que o etimador baeado a média da variâcia amotral. O etimadore baeado a amplitude e o devio padrão amotral ão mai robuto e por io preferido para o cálculo do limite de cotrole. 4.. Etimativa do devio padrão baeado em obervaçõe idividuai Um proceo moitorado atravé de obervaçõe idividuai é eecialmete um proceo de amotra eqüeciai de tamaho = 1. O cotrole etatítico ete cao é baeado a obervaçõe idividuai, da quai erão obtida a etimativa eceária para o projeto do gráfico de cotrole. Nete cao ão é poível utilizar o método de variação detro da amotra para etimar a variabilidade do proceo. Para obervaçõe idividuai ão há difereça etre o método de etimação baeado a variação total e a variação detro da amotra. Dito decorre a poibilidade de e etimar a variabilidade com etatítica iflacioada, a meo que o proceo eteja atuado de fato ob cotrole. Porém, é poível utilizar o pricípio do método de etimação baeado em variação detro

7 da amotra para etimar a variabilidade em proceo moitorado com obervação idividual. A etimativa do devio padrão SD(x) para o projeto de gráfico de cotrole de idivíduo apreetada por Motgomery (1991) baeia-e a utilização de dua obervaçõe coecutiva e o cálculo da média móvei M, (do iglê Movig age) para etimar a variabilidade do proceo. A Média Móvel (M i ) de dua obervaçõe coecutiva é defiida por Mi = xi xi 1 (5) A etimativa do devio padrão SD(X) é etão obtida atravé do etimador M / d, ou eja a média geral da média móvei, dividida pelo fator de ão tedecioidade d. O fator d é uma cotate tabelada em fução do tamaho da amotra, o cao da média móvei a amotra tem o tamaho =, e para ete cao d é igual a 1,18. A Tabela relacioa o etimadore do devio padrão e variâcia para um proceo moitorado atravé de obervaçõe idividuai. Tabela - Etimadore de diperão para obervaçõe idividuai Etatítica de diperão M c 4 M d Etimadore de SD(x) Tedecioo Nãotedecioo Etimadore de V(x) Tedecioo Nãotedecioo c 4 M d Cryer e ya (1990) apreetam a etimativa do devio padrão para gráfico de obervaçõe idividuai. Utilizam /c 4, que é um etimador ão tedecioo do devio padrão SD(x). O etimador /c 4 é calculado com bae o dado, por exemplo, de um dia de produção ob cotrole. Para cada amotra é calculado o devio padrão amotral. Em fução do tamaho da amotra a etimativa do devio padrão é corrigida pela cotate c 4. A abordagem padrão é a de e utilizar média móvei M o procedimeto de etimação do devio padrão utilizado o etimador M /d. A criação artificial do ubgrupo de tamaho é apotada por Cryer e ya (1990) como uma dificuldade em e etimar SD(x) uma vez que ão e pode perceber facilmete mudaça o valor omial e a diperão. Ou eja, egudo o autore o uo de média móvei ão coduz a uma boa etimativa de SD(x) poi tedêcia e ocilaçõe o cojuto de dado tedem a aumetar o eu valor. Se o proceo produz dado egudo uma ditribuição ormal iid (ideticamete e idepedetemete ditribuído), ão há muita dicrepâcia etre a etimativa obtida com o etimadore apreetado e o valor do parâmetro. Por outro lado Wheeler (1995) argumeta que utilizado uma média móvel de doi valore uceivo como amplitude de peudo amotra de tamaho = o aalita pode obter uma etimativa de SD(x) que é mai ieível a uma falta de cotrole o proceo do que uma etimativa baeada o método da variação total. Se acotecer de a érie de dado

8 etar fora de cotrole, o limite do gráfico de cotrole etarão meo iflacioado e baeado em média móvei de valore uceivo, do que e tiveem ido calculada com bae a variação total. Um valor extremo tem uma cotribuição para a variâcia amotral proporcioal ao quadrado de eu devio da média. No etato um valor extremo cotribui apea proporcioalmete a eu devio da média para a média móvei. É recomedável que o devio padrão SD(x) eja etimado por amba a etimativa, quado poível. Se a etimativa coicidirem, o projeto do gráfico de cotrole trará reultado eguro de moitorameto. Cao haja uma dicrepâcia etre a etimativa é ial de que exite algum problema. Ea mudaça afetarão a etimativa /c 4 mai do que a etimativa M /d. Se o proceo for autocorrelacioado, a etimativa dada por M /d erá mai afetada do que a etimativa dada por S/c 4. Um proceo erá autocorrelacioado quado uma eqüêcia de valore houver algum tipo de relacioameto etre valore uceivo. Em qualquer uma da dua ituaçõe, ou o cao da dicrepâcia etre etimativa ou o cao de dado autocorrelacioado, deve-e efetuar uma ivetigação da caua que afetam o proceo. 5. Cocluõe O procedimeto de etimação do parâmetro da fução f(x) repreetativa do proceo é relevate o projeto do gráfico de cotrole utilizado para moitorar o proceo ob aálie. A etimativa devem er realizada coiderado a variação detro da amotra. No cao do uo do método de variação total ou o de variação etre amotra, o valor etimado pode etar edo uper etimado devido a evetuai valore dicrepate do cojuto de dado. A ecolha do método de etimação é mai importate do que a ecolha da etatítica a er empregada. Ecolhido o método de etimação, coiderado a variação detro da amotra, reta aida a ecolha da etatítica a erem adotada para, a partir deta, obter etimadore apropriado. Etimadore baeado a amplitude e o devio padrão amotral, por erem mai robuto, ão preferido para o cálculo do limite de cotrole. APSF é bolita da CAPES. 6. eferêcia Cota Neto, P.L.O. Etatítica. Ed. Edgard Blücher Ltda, São Paulo, Cryer, J.D. e ya, T. P. The Etimatio of Sigma for a X Chart: M / d or S/c 4? Joural of Quality Techology, v.,.3, p , July Hoyer,W.; Elli,W. A Graphical Exploratio of SPC. Part 1. Quality Progre, v.9,.5, p.65-73, May Luca, J. M. The Deig ad Ue of V-Mak Cotrol Scheme, Joural of Quality Techology, v.8,.1, Ja Motgomery, D.C. Itroductio to Statitical Quality Cotrol. d Editio. Joh Wiley & So, New York, Wheeler, D. J. Advaced Topic i Statitical Proce Cotrol. SPC Pre, Koxville, 1995.