TESTE DE HIPÓTESES. Se a Hipótese Nula (H 0 ) é: COMETE O ACEITA DECISÃO CORRETA O PESQUISADOR ERRO TIPO II COMETE O REJEITA DECISÃO CORRETA

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1 Embora com pouco tempo, devido à preparação da 3ª edição do livro Estatística ESAF, preocupado com os cadidatos que farão a prova para Fiscal-RS em 19/08/06 resolvi, mesmo em cima da hora, fazer um resumo sobre o assuto Teste de Hipóteses (que servirá também para outros cocursos), cotado com a colaboração do meu filho, Márcio Bello, a digitação. TESTE DE HIPÓTESES Defiição: É uma regra de decisão utilizada para aceitar ou rejeitar uma hipótese estatística com base em elemetos amostrais. Hipóteses: Teremos sempre duas hipóteses, H 0 (Agá-zero), que é a hipótese ula ou hipótese probada e H 1 ou H A (hipótese alterativa). Geralmete a hipótese alterativa (H 1 ) represeta a suposição que o pesquisador quer provar, sedo a hipótese ula (H 0 ) formulada com o expresso propósito de ser rejeitada. Coseguido rejeitar H 0, a hipótese alterativa terá de ser aceita, coseguido etão o pesquisador provar o que queria. A hipótese ula é sempre a hipótese a ser examiada. Se a aceitarmos, implicitamete estaremos rejeitado H 1 e se rejeitarmos H 0, etão ão podemos rejeitar H 1, devedo esta ser aceita. Tipos de erro: Dois tipos de erro podem ser cometidos um Teste de Hipóteses: Erro Tipo I () A hipótese ula é verdadeira e o pesquisador a rejeita. Erro Tipo II (β) A hipótese ula é falsa e o pesquisador a aceita. Qual dos dois tipos de erro é o mais grave e que deve ser evitado? Façamos uma aalogia com a decisão de um Juiz de Direito: o que será mais grave? Codear um iocete ou absolver um culpado? É claro que será mais grave a codeação de um iocete. Rejeitar a hipótese ula sedo ela verdadeira equivale a codear um iocete, logo o Erro Tipo I é o mais grave e deverá ser miimizada a probabilidade deste tipo de erro ser cometido. Essa probabilidade chama-se Nível de Sigificâcia do Teste, dado por. Já a probabilidade de β do Erro Tipo II ão pode ser calculada, a meos que se especifique um valor alterativo para μ. O poder ou potêcia do teste é dado por (1 β). Podemos resumir as possibilidades do Teste um quadro: Se a Hipótese Nula (H 0 ) é: VERDADEIRA FALSA O PESQUISADOR ACEITA H 0 REJEITA H 0 DECISÃO CORRETA COMETE O ERRO TIPO I () COMETE O ERRO TIPO II (β) DECISÃO CORRETA Teste de Hipóteses.doc Pedro Bello Págia 1

2 TIPOS DE TESTE DE HIPÓTESES PARA A MÉDIA: 1) Bicaudal ou Bilateral H 0 : μ = μ 0 H 1 : μ μ 0 Ode: μ é a média populacioal e μ 0 é o valor suposto para a média populacioal. Gráfico do teste bilateral: Ode: R.A. é a região de aceitação (da hipótese ula) e R.C. é a região crítica ou região de rejeição. A froteira etre essas regiões será dada por um valor tabelado (Tabela da Distribuição Normal ou da Tabela da Distribuição t-studet) como veremos mais adiate. ) Teste Uicaudal ou Uilateral à direita H 0 : μ μ 0 H 1 : μ > μ 0 Gráfico do teste: Teste de Hipóteses.doc Pedro Bello Págia

3 3) Teste Uicaudal ou Uilateral à esquerda H 0 : μ μ 0 H 1 : μ < μ 0 Gráfico do teste: OBS: Repare que a hipótese ula sempre temos uma igualdade (=, ou ) e a hipótese alterativa uma desigualdade (, > ou <). Distribuição Normal ou t-studet? Qual usar para arbitrar o valor tabelado que será a froteira etre as regiões de aceitação e rejeição? Para esclarecer melhor, vamos fazer o seguite quadro: TAMANHO DA AMOSTRA É GRANDE SE A VARIÂNCIA POPULACIONAL (σ ) É CONHECIDA USO A DISTRIBUIÇÃO NORMAL ( > 30) É DESCONHECIDA NORMAL É PEQUENO É CONHECIDA NORMAL ( 30) É DESCONHECIDA t-student Vemos etão, que só iremos utilizar a Distribuição t-studet (chamada de distribuição das pequeas amostras) quado a amostra for pequea (para até 30 elemetos observados) e a variâcia populacioal for descohecida. Se a amostra for grade (maior do que 30 elemetos), pouco importará ser cohecida a variâcia populacioal e usaremos a Tabela da Distribuição Normal para arbitrar o valor Z TAB B (ZTABELADO). Teste de Hipóteses.doc Pedro Bello Págia 3

4 B Assim, vemos que a maior parte dos casos usaremos a Distribuição Normal, pois basta que uma das codições seja atedida: amostra grade ( > 30) ou variâcia populacioal cohecida. Já para usar a Distribuição t-studet, duas codições terão de acotecer simultaeamete: amostra pequea ( 30) e variâcia populacioal descohecida. Para procedermos ao teste, além de cohecer o valor tabelado (Z TAB se usarmos Distribuição Normal ou t se usarmos Distribuição t-studet), temos que ecotrar o TABB valor calculado (Z CALC ou t CALC ), dado por: Z CALC Z CALC = se o desvio padrão populacioal (σ) for cohecido ou; σ =, pois se a amostra for grade ( > 30) e ão soubermos o valor do desvio S padrão populacioal (σ), usaremos o desvio padrão amostral (S). Se a amostra for pequea ( 30) e o desvio padrão populacioal for descohecido, usaremos a Distribuição t-studet e teremos a estatística teste: t CALC = S Supodo que usaremos a Distribuição Normal Padrão (Z): 1) Para o teste bilateral: Se Z TAB B < ZCALC < Z TABB, aceitaremos H 0. - Z TAB Z TAB Caso Z CALC < Z TAB, ou Z TAB < Z CALC, rejeitaremos H 0. Teste de Hipóteses.doc Pedro Bello Págia 4

5 B ) Para o teste uilateral à direita: Se Z CALC < Z TAB, aceitaremos H 0. Z TAB Se Z TAB B < ZCALC, rejeitaremos H 0. 3) Para o teste uilateral à esquerda: Se Z TAB B < ZCALC, aceitaremos H 0. -Z TAB Se Z CALC < Z TAB, rejeitaremos H 0. O mesmo raciocíio vale para os casos em que usarmos a Distribuição t-studet, com a difereça que compararemos t CALC com t TAB. B Teste de Hipóteses.doc Pedro Bello Págia 5

6 Para facilitar, vamos fazer o seguite roteiro (receitiha de bolo, passo a passo) para resolução de questões de Teste de Hipóteses e a seguir aplicá-lo em algus exemplos: Alterativa (H 1 ); 1º Passo: Pelo euciado do problema, estabelecer a Hipótese Nula (H 0 ) e a Hipótese º Passo: Também pelos dados do euciado, defiir a distribuição a ser utilizada (Normal ou t-studet); Z TAB ou t TAB ; B 3º Passo: Utilizado a Tabela Normal Padrão ou a Tabela t-studet, ecotrar o valor de 4º Passo: Fazer o deseho da curva, plotado o eixo das abscissas o valor tabelado, que será a froteira etre a área de aceitação (RA) e a(s) área(s) de rejeição (RC-Região Crítica); ateriormete. 5º Passo: Calcular a estatística teste (Z CALC ou t CALC ) utilizado uma das fórmulas dadas 6º Passo: Comparar o valor calculado com o valor tabelado e cocluir pela aceitação ou rejeição da Hipótese Nula. Ates de partimos para os exemplos, vamos praticar um pouco o uso das tabelas com os pricipais íveis de sigificâcia () geralmete adotados: I) Na Tabela da Distribuição Normal Padrão: I.1) Para o Teste Bilateral: I.1.a) Se = 1%, teremos / = 0,5% = 0,005 (para cada lado) e a área de aceitação será de 99% (0,99), sedo 0,495 à esquerda e 0,495 à direita do poto máximo da curva (a Distribuição Normal é simétrica). Verificado a Tabela Normal, temos 0,4949 para uma abscissa de,57 e 0,4951 para uma abscissa de,58. Logo, por iterpolação, a abscissa correspodete à área de 0,495 será a média das duas abscissas, ou seja,,575. Mas para facilitar, vamos adotar, o teste bilateral, quado = 1%, Z TAB =,58. Vejamos o gráfico da curva ormal: Nesse caso, H 0 só será aceita se o valor de Z CALC estiver etre,58 e,58. Teste de Hipóteses.doc Pedro Bello Págia 6

7 I.1.b) Se = 5%, teremos / =,5% = 0,05 (para cada lado) e a área de aceitação será de 95% (0,95), sedo 0,475 à esquerda e 0,475 à direita. Verificamos, a Tabela Normal, que uma área de 0,475 correspode à abscissa 1,96. Logo, o teste bilateral, quado = 5% etão Z TAB =1,96. Vejamos o gráfico da curva ormal: Aceitaremos H 0 se: 1,96 < Z CALC < 1,96 I.1.c) Mesmo raciocíio para = 10%, / = 5% = 0,05 (para cada lado). Área de aceitação igual a 0,90, sedo 0,45 à esquerda e 0,45 à direita. Na Tabela Normal uma área de 0,4495 correspode à abscissa 1,64 e uma área de 0,4505 correspode à abscissa de 1,65. Logo, com precisão, a abscissa seria 1,645. Mas para facilitar vamos adotar o teste bilateral, quado = 10%, Z TAB = 1,64. Vejamos o gráfico da curva ormal: Aceitaremos H 0 se: 1,64 < Z CALC < 1,64 Teste de Hipóteses.doc Pedro Bello Págia 7

8 I.) Para o teste uilateral (vamos cosiderar apeas o teste à direita, sabedo que vale o raciocíio para o teste à esquerda, bastado iverter os lados). I..a) Se = 1% (0,01), a área de aceitação será de 99% (0,99) à esquerda. Mas até a metade da curva (a Distribuição Normal é simétrica) temos 50% (0,5) de área. Logo, queremos a abscissa correspodete a uma área de 0,49. Verificado, a Tabela Normal, o valor mais próximo é de 0,4901, correspodete à uma abscissa de,33. Assim, o teste uilateral à direita, quado = 1%, teremos Z TAB =,33. e o teste uilateral à esquerda para o mesmo, Z TAB =,33. Vejamos o gráfico da curva ormal: I..b) Se = 5% (0,05), teremos área de aceitação = 0,95 à esquerda. Procuraremos, a tabela ormal a área de 0,45 (0,95 0,50), que correspode à abscissa de 1,64. Portato, o teste uilateral à direita, quado = 5%, etão Z TAB = 1,64 e o teste uilateral à esquerda para o mesmo, Z TAB = 1,64. Vejamos o gráfico da curva ormal: Teste de Hipóteses.doc Pedro Bello Págia 8

9 I..c) Se = 10% (0,10), área de aceitação = 0,90 à esquerda. Na Tabela Normal o valor mais próximo de 0,40 (0,90 0,50) é de 0,3997, que correspode à abscissa de 1,8. Portato, o teste uilateral à direita, para = 10%, Z TAB = 1,8 e o teste uilateral à esquerda, Z TAB = 1,8. Vedo o gráfico da curva ormal: II) Na Tabela da Distribuição t-studet: Nesta tabela, temos que levar em cosideração dois parâmetros: (alfa), que é o ível de sigificâcia e ϕ (fi) que é o úmero de graus de liberdade (g.l.) ou degrees of freedom (d.f.), dado por: (úmero de elemetos da amostra) meos 1 uidade ou seja: ϕ = 1. Temos que ter ateção também para o tipo de tabela, que pode ser: bilateral ou uilateral. Aqui, a tabela que usaremos é bilateral, como pode ser otado o deseho da curva a própria tabela (o fial deste resumo). Assim, o teste bilateral o da tabela será o próprio utilizado o teste. Mas para o teste uilateral teremos que procurar, esta tabela, o dobro do. II.1) Teste bilateral, supodo uma amostra de 5 elemetos ( = 5). Etão, ϕ = 5 1 ϕ = 4. Para um = 5%, vemos a tabela que a célula iterseção de = 0,05 e ϕ = 4 os forece,0639. Portato: t TAB =,0639 para = 5% e = 5. Vejamos o gráfico: Teste de Hipóteses.doc Pedro Bello Págia 9

10 II.) Agora, se o teste for uilateral, com o mesmo tamaho de amostra, e o mesmo, ão poderemos pegar diretamete a iterseção de =0,05 com ϕ = 4, pois o valor forecido é para um teste bilateral. Teremos que pegar a iterseção de ϕ = 4 com = 0,10, pois esta tabela (bilateral), = 0,05 correspode a 0,05 de cada lado. Teremos que pegar = 0,10, que correspoderá a 0,05 de cada lado. Assim a célula iterseção de = 0,10 com ϕ = 4 forecerá t TAB = 1,7109. Vejamos o gráfico: Aqui, este resumo foi mostrado apeas o Teste de Hipóteses para a Média, que é o assuto explicitamete descrito o Edital para Fiscal-RS e os pricípios básicos do que seja um Teste de Hipóteses. Mas há outros tipos de Testes de Hipóteses, como: Teste de Hipóteses para a Proporção, Teste de Hipóteses para a Variâcia, Teste de Hipóteses para a Difereça etre Médias e outros tipos de Teste de Hipóteses. Os mesmos pricípios descritos o iício deste resumo aplicam-se aos demais testes. O que muda é a forma de cálculo da estatística teste e as tabelas a serem utilizadas. Por exemplo, o Teste de Hipóteses para a Variâcia, a Tabela a ser utilizada é a da Distribuição de Qui-Quadrado; já o Teste de Hipóteses para a Proporção utilizamos apeas a Tabela da Distribuição Normal, já vista aqui. Em outra oportuidade poderei vir a falar especificamete dos outros Testes de Hipóteses, mas com a tarefa facilitada por este resumo. Quem o eteder bem, ão terá dificuldade em eteder os demais Testes. Vamos aos exemplos: Teste de Hipóteses.doc Pedro Bello Págia 10

11 EXEMPLO 1: Uma amostra de 36 elemetos de uma variável X ormalmete distribuída foreceu: X = 4,3 e S = 5,. Testar, o ível de sigificâcia 0,05, a hipótese de que μ > 40. Resolução: Seguido o roteiro, temos: 1º passo: H 0 : μ = 40; H 1 : μ > 40 (teste uilateral à direita); º passo: a amostra é grade ( > 30). Logo, usaremos a Tabela Normal; 3º passo: o teste é uilateral, com = 0,05. Logo, para uma área de 0,45, teremos Z TAB = 1, 64 ; 4º passo: desehar a curva, plotado Z TAB ; 5º passo: calcular a estatística teste. Z CALC = = S 4,3 40 = 5, 36 6º passo: Z CALC > Z TAB. B,3 5, 6 = 13,8 5, =,65. Coclusão: ao ível de sigificâcia de 5%, REJEITO H 0 : μ = 40. Logo, μ > 40. EXEMPLO : Uma amostra de 0 elemetos de uma variável X ormalmete distribuída foreceu: X = 53,4 e S = 7,5. Testar, o ível de sigificâcia 0,05, a hipótese de que μ = 50. Resolução: Hipóteses: H 0 : μ = 50; H 1 : μ 50 (teste bilateral); A amostra é pequea ( 30) e σ (desvio padrão populacioal) é descohecido. Logo, a distribuição a ser utilizada é a t-studet, com = 0 ϕ = 19 e = 0,05. Cosultado a tabela, ecotraremos t TAB =, Teste de Hipóteses.doc Pedro Bello Págia 11

12 Desehado a curva, temos: t CALC = = S 53,4 50 7,5 0,07. Como: t TAB B < tcalc < t TABB, ao ível de sigificâcia de 5% ACEITO H 0 : μ = 50. EXEMPLO 3: Uma idústria produz lâmpadas cuja duração segue uma distribuição N (800;1.600). Testar a hipótese de que μ = 800 cotra a alterativa de μ 800 se uma amostra aleatória de 30 lâmpadas tem um tempo médio de vida de 788 horas. Adotar = 0,05. Resolução: As hipóteses já estão o euciado: H 0 : μ = 800; H 1 : μ 800 (teste bilateral); Usaremos a distribuição Normal, pois a variâcia populacioal é cohecida, σ = σ = 40. = 0,05 0, 05 = Desehado a curva, temos:, pois o teste é bilateral. Para uma área de 0,475, Z TAB = 1, 96. Z CALC = = 1,64. σ Como: Z TAB B < ZCALC < Z TAB, ao ível de sigificâcia de 5% ACEITO H 0 : μ = 800. Teste de Hipóteses.doc Pedro Bello Págia 1

13 EXEMPLO 4: Uma amostra de tamaho = 18 de população ormal tem média X = 31,5 e desvio padrão S = 4,. Ao ível de sigificâcia de 5%, estes dados sugerem que a média populacioal seja superior a 30? Resolução: Hipóteses: H 0 : μ = 30; H 1 : μ > 30 (teste uilateral à direita); Amostra pequea ( = 18) e σ descohecido. Logo, t-studet, com ϕ = 17 e = 0,05. Mas como o teste é uilateral e a tabela é bilateral, usaremos = 0,10. Para este e ϕ = 17 a tabela forece: t TAB = 1,7396. Desehado a curva, temos: t CALC = = S 31,5 30 4, 18 1,515. Resposta: Não, a média é igual a 30, pois como: t CALC < t TAB, B ACEITO H 0 : μ = 30. EXEMPLO 5: Em uma amostra de 10 elemetos a média da amostra observada foi de 30. Sabe-se que a variâcia da população é igual a 160. Testar a hipótese de μ = 18 cotra a alterativa μ > 18 ao ível de sigificâcia de 10%. Resolução: As hipóteses já estão o euciado: H 0 : μ = 18; H 1 : μ > 18 (teste uilateral à direita); A amostra é pequea, mas a variâcia populacioal é cohecida. Por isso, usaremos a Distribuição Normal. O teste é uilateral, com = 0,10. Logo, para uma área de 0,40 (0,90 0,50) ecotraremos, a Tabela Normal Z TAB = 1, 8. Teste de Hipóteses.doc Pedro Bello Págia 13

14 Desehado a curva, temos: = 0,10 Z CALC = = σ = = 3. Vemos que ZCALC > Z TAB. B 4 Coclusão: ao ível de sigificâcia de 10%, REJEITO H 0 : μ = 18. Logo, μ > 18. EXEMPLO 6: O diâmetro médio de parafusos em uma amostra de 400 parafusos foreceu o valor de 5mm. Sedo 4mm o desvio padrão do processo de fabricação, pode-se afirmar, ao ível de sigificâcia de 5%, que o diâmetro médio de todos os parafusos seja iferior a 5,4mm? Resolução: Temos = 400; X = 5; σ = 4; = 5%. Hipóteses: H 0 : μ = 5,4; H 1 : μ < 5,4 (teste uilateral à esquerda); Distribuição: Normal, pois = 400 (amostra grade). Teste uilateral à esquerda, com = 0,05. Etão, para uma área de 0,45 (0,95 0,50) ecotraremos, a Tabela Normal Z TAB = 1, 64. = 0,05 Teste de Hipóteses.doc Pedro Bello Págia 14

15 Z CALC = = σ 5 5, = 0, = 4 =. Como Z CALC < Z TAB, ao ível de sigificâcia de 5%, REJEITO H 0 : μ = 5,4. Logo, o diâmetro médio é iferior a 5,4mm. EXEMPLO 7: Um esaio de tesões de ruptura de 6 cabos produzidos por uma compahia mostrou a tesão média de ruptura de 7.750kg e o desvio padrão de 145kg, ao passo que o fabricate declara que aquela tesão média é de 8.000kg. Será verdadeira a declaração do fabricate, ao ível de sigificâcia = 0,05? Resolução: Neste problema as hipóteses ão estão explícitas o euciado e aqui deveremos iterpretá-lo. O que o pesquisador irá querer provar? Que o fabricate está falado a verdade ou que está metido? Falamos ateriormete que H 1 represeta a suposição que o pesquisador quer provar, sedo H 0 formulada com o expresso propósito de ser rejeitada. Logo, as hipóteses serão: H 0 : μ = (afirmação do fabricate); H 1 : μ < (suposição do pesquisador); A amostra é pequea ( = 6) e σ descohecido. Logo, t-studet, com ϕ = 5 g.l. e = 0,05. Mas o teste é uilateral à esquerda e a tabela é bilateral. Portato o osso t tabelado será a célula iterseção de ϕ = 5 com = 0,10, ou seja: t TAB =, 015. = 0,05 t CALC = = S = 50 59,196 4,3. Como t CALC < t TAB, B ao ível de sigificâcia de 5%, REJEITO Portato o fabricate está metido, pois μ < H 0 : μ = Teste de Hipóteses.doc Pedro Bello Págia 15

16 EXEMPLO 8: Supohamos que em idivíduos ormais quato à visão, a pressão itra-ocular seja uma variável aleatória ormalmete distribuída com média 0 e variâcia 4 (em uidade de mm de mercúrio). Um cietista, queredo por à prova a sua hipótese de que o glaucoma causa um aumeto tecioal, mediu as pressões de 16 pacietes portadores de glaucoma, obtedo uma média igual a 4. O cietista deve ou ão mater sua hipótese, ao ível de sigificâcia = 0,005? Resolução: Novamete, vamos iterpretar o euciado. O que o cietista quer provar? Que o glaucoma causa aumeto da pressão. Logo, a hipótese alterativa (que o cietista quer provar) é que a média é superior a 0. Portato, as hipóteses são: H 0 : μ = 0; H 1 : μ > 0 (teste uilateral à direita); Temos: = 16; X = 4; μ = 0; σ = 4; = 0,005. A amostra é pequea, mas a variâcia populacioal é cohecida (σ = 4) e σ =. Portato, usaremos a Tabela Normal, ode a área de 0,495 (0,995 0,500) correspode a uma abscissa de,58. Logo, Z TAB =, 58. = 0,005 Z CALC = = σ = 4 16 = = 8. 4 Como Z CALC > Z TAB, ao ível de sigificâcia de 0,5%, REJEITO H 0 : μ = 0. Assim, aceito que μ > 0, ou seja, o cietista está correto e deve mater sua hipótese de que o glaucoma aumeta a pressão itra-ocular. Teste de Hipóteses.doc Pedro Bello Págia 16

17 EXEMPLO 9: Os graus dos aluos de Estatística têm sido baixos, com média de 5, e desvio de 1,. Com um curso de revisão miistrado pelo colega Joselias, pretede-se aumetar o redimeto dos aluos. Etre 36 aluos que freqüetaram tal curso, a média foi de 6,4. Pode-se dizer, ao ível de sigificâcia de 8%, que o curso é eficiete? Resolução: Temos = 36; X = 6,4; μ = 5,; σ = 1,; = 0,08. Hipóteses: H 0 : μ = 5,; H 1 : μ > 5, (teste uilateral à direita); Tabela: Normal, pois = 36 (a amostra é grade). Para = 0,08 teremos Z TAB = 1, 41, abscissa correspodete à área de 0,4 (0,9 0,50). = 0,08 Z CALC = = σ 6,4 5, 1, 36 = 1, 1, 6 = 6. Como Z CALC > Z TAB, ao ível de sigificâcia de 8%, REJEITO H 0 : μ = 5, e aceito que μ > 5,, ou seja, o curso miistrado pelo professor Joselias é eficiete. EXEMPLO 10: Questão da prova para Aalista do BACEN Área 4, elaborada pela FCC. Uma amostra aleatória de 9 valores de salários extraída de uma população, cosiderada ormal e de tamaho ifiito, apresetou média igual a R$800,00 com um desvio padrão igual a R$10,00. Os registros históricos idicam que a média dos salários da população é igual a R$740,00. Deseja-se testar a hipótese, ao ível de sigificâcia, se o valor da média verificada a amostra difere do valor de R$740,00. Seja H 0 a hipótese ula do teste (μ = 740), H 1 a hipótese alterativa (μ 740) e t / > 0 o quatil da distribuição "t" de Studet, o ível de sigificâcia, para testes bicudais com 8 graus de liberdade. Sabedo-se que H 0 foi rejeitada, tem-se que: Teste de Hipóteses.doc Pedro Bello Págia 17

18 (a) t / < 1,5. (b) t / > 1,5. (c) para qualquer ível de sigificâcia H 0 seria rejeitada, pois ( ) 0. (d) o valor da variável do teste (t calculado) obtido através da amostra e ecessário para comparação com t / e t / é igual a 0,5. (e) a um ível de sigificâcia β, β >, H 0 ão teria sido rejeitada. RESPOSTA: GABARITO LETRA A. t CALC = = S O gráfico do teste bicaudal: 9 60 = = 1,5. 40 t / 0 t / O euciado traz dois dados importates: 1) t / > 0; ) H 0 foi rejeitada. Vimos que t CALC = 1,5. Etão, para H 0 ser rejeitada: t CALC tem que ser iferior a t / ou; t CALC tem que ser superior a t /. Mas t / só pode ser positivo. Nesse caso, iferior a 1,5 (t CALC ) para que H 0 seja rejeitada. t CALC = 1,5 t / Teste de Hipóteses.doc Pedro Bello Págia 18

19 EXEMPLO 11: Questão da prova para o IBGE em 1999 elaborada pelo NCE-UFRJ. Cosidere uma amostra aleatória de tamaho 36 de uma distribuição ormal com média μ e desvio padrão 1,8. Deseja-se testar H 0 : μ 10 versus H 1 : μ > 10. O teste uiformemete mais poderoso de tamaho 1% rejeitará H 0 se a média amostral for, o míimo, igual a: (a) 10,7 (b) 11,1 (c) 11,5 (d) 11,9 (e) 1,3 RESPOSTA: GABARITO LETRA A. No teste uilateral à direita, H 0 será rejeitada se Z CALC > Z TAB. Para = 1%, teremos, a Tabela Normal ( > 30), Z TAB =,33. Substituido Z CALC, a estatística teste, por,33 temos: Z CALC = σ X 10,33 = 1,8 36 X 10,33 = 0,699 = X 10 X = 10, ,3 Esse é o valor que iguala Z CALC a Z TAB e para um valor de média amostral superior a este, H 0 será rejeitada. Como o euciado fala o míimo, o meor valor será 10,7. EXEMPLO 1: Questão da prova para Aalista Técico da SUSEP 006, elaborada pela ESAF. Em uma distribuição de siistro S, formulado-se a hipótese de que ão há difereça etre a freqüêcia esperada e a observada (hipótese ula: H 0 ). Dode, segudo um determiado ível de sigificâcia, podemos afirmar que ocorreu (a) um erro do tipo I, se for aceita a hipótese H 0. (b) um erro do tipo II, se for rejeitada a hipótese H 0. (c) um erro do tipo I, se for aceita a hipótese H 0, sedo esta correta. (d) um erro do tipo II, se for rejeitada a hipótese H 0, sedo esta correta. (e) um erro do tipo I, se for rejeitada a hipótese H 0, sedo esta correta. RESPOSTA: GABARITO LETRA E. Questão teórica facílima, como eu costumo dizer, essa é di-grátis. Só quem ão sabia o míimo do assuto ão a acertou. Basta ver o quadro à págia 1 deste resumo para ecotrar a resposta. Desejo bos estudos e exceletes provas de estatística a todos! PROFESSOR PEDRO BELLO Nas próximas págias estão as TABELAS DAS DISTRIBUIÇÕES: NORMAL E t-student Teste de Hipóteses.doc Pedro Bello Págia 19

20 TABELA DA DISTRIBUIÇÃO NORMAL PADRÃO Extraída do livro Curso de Estatística -Jairo Simo da Foseca & Gilberto de Adrade Martis-Editora Atlas Teste de Hipóteses.doc Pedro Bello Págia 0

21 TABELA DA DISTRIBUIÇÃO t de STUDENT Extraída do livro Curso de Estatística -Jairo Simo da Foseca & Gilberto de Adrade Martis-Editora Atlas Teste de Hipóteses.doc Pedro Bello Págia 1