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1 Formatação de ote 1 Teorema da amotragem

2 Do aalógico para o digital A amotragem (itatâea) de um ial ou orma de oda aalógica é o proceo pelo qual o ial paa a er repreetado por um cojuto dicreto de úmero. Ete úmero, ou amotra, ão iguai ao valor do ial em itate bem determiado (o itate de amotragem). A amotra devem er obtida de maeira a que eja poível recotituir o ial com exactidão. Ou eja, a orma de oda origial, deiida em tempo cotíuo, paa a er repreetada em tempo dicreto por amotra obtida em itate de amotragem epaçado coveietemete. Ao itervalo de tempo etre amotra chama-e itervalo de amotragem, T. O eu ivero é a requêcia de amotragem, = 1/T amotra por egudo. Para que eja poível recotituir o ial origial é eceário que a requêcia de amotragem eja, o míimo, igual ao dobro da requêcia máxima cotida o ial aalógico é o que diz o teorema da amotragem. Cao cotrário produz-e um eómeo ideejável, deomiado de aliaig, que e traduz uma obrepoição de epectro que iviabiliza a correcta recuperação do ial (o auto erá ilutrado mai à rete). À requêcia de amotragem míima chama-e requêcia de Nyquit. Amotragem 2

3 Siai amotrado Exemplo com iuóide com a requêcia idicada: 1 ( = 250 Hz t (m) 1 ( = 750 Hz t (m) 1 ( = 1250 Hz t (m) Frequêcia de amotragem: 1 khz A mema equêcia de amotra oi obtida em trê iuóide dierete. Poderá ervir para recuperar ea trê iuóide? Claro que ão!! De acto, com eta amotra ó poderemo recuperar ielmete a primeira iuóide. Porquê? R.: Porque é a úica ituação que repeita o teorema da amotragem: a requêcia de amotragem deverá er, o míimo, igual ao dobro da requêcia máxima do ial a amotrar. Amotragem 3

4 Tipo de amotragem Amotragem itatâea (ou ideal) A ução amotradora é um trem de impulo de Dirac. A amotra ão itatâea (em duração). O eu epectro é compoto pelo epectro origial mai réplica idêtica. Amotragem atural A ução amotradora é um trem de impulo com uma certa largura. Cada amotra, de duração ão ula, toma a orma da ução amotrada. O epectro é compoto pelo epectro origial mai réplica cuja amplitude dimiui com eo cardial. Amotragem de topo plao Cada amotra tem um valor cotate em toda a ua duração ão ula. O epectro ore do eeito de abertura: a baixa requêcia o epectro origial vem multiplicado por um eo cardial. No receptor é precio compear o eeito de abertura com um iltro cuja ução de traerêcia é um eo cardial ivertido. Ete é o tipo de amotragem mai imple e vulgar. Também é deigado de ample-ad-hold. Amotragem 4

5 Amotragem itatâea Sial a amotrar: g( Fução de amotragem: trem de impulo de Dirac: = c ( = ( t T ) C ( ) = ( ) = Sial apó amotragem: g = ( = g( c( = g( ( t T ) = g( T ) ( t T = ) G ( ) = G( ) * C( ) = G( ) * ( = ) = = G( ) ito é, G ( ) = G( ) + G( ± ) + G( ± 2 ) + Cocluõe: o epectro é ormado por iguai réplica do epectro origial. A recuperação do ial origial az-e paado g ( por um iltro paa-baixo de requêcia de corte adequada. Amotragem 5

6 Amotragem itatâea: tempo e requêcia g( Tempo Sial origial F Frequêcia G() t -W W 1 c( Sial amotrador F C() =1/T -T 0 T 3T 5T t Apó amotragem g ( F G () g (0) g (T ) g (2T ) -T 0 T 3T 5T t -W 0 W 2 Amotragem 6

7 Amotragem itatâea: a requêcia Epectro de ial amotrado e recuperação do ial aalógico origial atravé de iltragem paa-baixo 1986 by Sieme AG Amotragem 7

8 Amotragem Frequêcia de amotragem demaiado baixa provoca aliaig 1986 by Sieme AG Amotragem 8

9 Amotragem atural 1986 by Sieme AG Amotragem 9

10 Amotragem atural Sial a amotrar: g( Fução de amotragem: trem de impulo com duração T e amplitude A: c = j2π t c( = e (érie de Fourier) Coeiciete da érie: c TAic( T ) = Sial apó amotragem: No tempo: ( = g( c( = g( c = e j2πt Na requêcia: S( ) F[ ( ] = = F g( ce = j2πt Em itema lieare podemo trocar a operaçõe de itegração e de adição: S( ) = j2π t c F j2π t [ g( e ] Ma F[ g( e ] = G( ) =, logo S( ) = cg( ) = TAic( TAG( ) + TAic( ± T ) G( ± T ) G( ) + ) = Amotragem 10

11 Amotragem atural Sial origial Sial amotrador (trem de impulo rectagulare) Sial amotrado Sial amotrador: j2 t π = ct () = TA ic( Te ) ( = 1 T) Sial amotrado: j2 t t () = ct () gt () = TAgt () ic( T ) e π = Epectro de requêca: S( ) = TA ic( mtg ) ( m ) m= Amotragem 11

12 Amotragem de topo plao t () = gt ( ) ht ( T) = = = g () t h() t (ial amotrado de topo plao) Impulo de amotragem ( é a covolução do ial amotrado itataeamete, g (, com o impulo de amotragem h( g () t = g( T ) ( t T ) = (Amotragem itatâea) j H( ) = Tic( T) e π T (Epectro do impulo de amotragem) () t = g () t h() t S( ) = G ( ) H( ) com G ( ) = G( m ) m= H ( ) G( = S ) = G ( ) H ( ) = ) ( Amotragem 12

13 Amotragem de topo plao: deevolvimeto Sial a amotrar: g( Sial apó amotragem: = ( = g( T ) h( t ) T h( é um (úico) impulo rectagular de amplitude uitária e duração T. O eu epectro é: H ( ) = Tic( T ) e jπt Vamo azer a covolução do ial amotrado itataeamete, (, com ete impulo h(: g g ( h( = g ( τ ) h( t τ ) dτ = Trocado a ordem da itegração e adição: g ( h( = g( T g( T ) ( τ T ) h( t τ ) dτ ) ( τ T h t τ ) ( ) dτ Ma, da propriedade da traormada de Fourier, t t ) h( dt = h( ), ( 0 t0 logo, g ( h( = g( T ) h( t ). T Ma ito é (, aial! Amotragem 13

14 Amotragem de topo plao: deevolvimeto Etão edo ( g ( h( = podemo ecrever: H ( ) G( = S ) = G ( ) H ( ) = ) ( ou aida S ( ) = H ( ) G( ) + H ( ) G( ± ) + Daqui e vê que toda a réplica epectrai ão aectada por H(). A ito dá-e o ome de eeito de abertura. O eeito de abertura é tato mai pericioo quato maior or a duração T da amotra (o lobo pricipal do eo cardial é mai apertado). Apó o iltro paa-baixo do receptor teremo H ( ) G( ). Como o que queremo recuperar é G ( ), teremo de uar um iltro compeador de ução de traerêcia 1 H ( ) = 1 T ic( T ) Amotragem 14

15 Amotragem Amotragem atural Amotragem de topo plao Amotragem 15

16 Amotrage: reumo de equaçõe g( - ial origial a amotrar c( - ução amotradora h( - impulo rectagular com H ( ) = TicT e jπt O ial amotrado vale: Amotragem itatâea Tempo: ( = g ( = g( T ) ( t ) T Frequêcia: S ) = G ( ) = G( ) ( Amotragem atural Tempo: ( = g( c( = TAg( ic( e j2πt Frequêcia: S ( ) = TA ic( T ) G( ) Amotragem de topo plao (PAM) Tempo: ( = g( c( h( = g( T ) h( t T ) g ( Frequêcia: S ) = G ( ) H ( ) = H ( ) G( ) ( Amotragem 16

17 Modulação de impulo Além da modulação de amplitude de impulo (PAM) podemo também coiderar a modulação de duração e modulação de poição de impulo: Sial modulador Portadora PDM PPM PDM Pule Duratio Modulatio PPM Pule Poitio Modulatio Amotragem 17

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