Capítulo I Tensões. Seja um corpo sob a ação de esforços externos em equilíbrio, como mostra a figura I-1:

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1 apítuo I Seja um corpo ob a ação de eforço externo em equiíbrio, como motra a figura I-1: Figura I-3 Eforço que atuam na eção para equiibrar o corpo Tome-e, agora, uma pequena área que contém o ponto, área eta que é uma parte da eção. hamando eta pequena área de, erá r F a parte do eforço que nea atua. Figura I-1 orpo em equiíbrio ob a ação de eforço onidere-e um ponto dete corpo. Para que apareçam o eforço que atuam nete ponto, é precio dividir o corpo em dua parte, por meio de um pano (a uperfície geométrica mai impe) que contenha o ponto. Feita ea divião, aparece uma eção do corpo, a qua contém o ponto. Figura I- trecho de área com ua força correpondente Pode-e, aim, definir tenão para o ponto e o pano coniderado, como endo r Limite ρ 0 r F Figura I- Ponto e pano em um corpo Ioe-e, então, uma da dua parte obtida, de modo que ea e comporte como e não tivee ocorrido a divião; ito ó é poíve e atuarem eforço na eção, que traduzam a infuência da outra parte do corpo (na eção em exame) e mantenham o equiíbrio da parte ioada. Figura I-5 Tenão atuante em um ponto OS: tenão depende de dua variávei, o ponto e o pano; ea traduz a infuência da outra parte do corpo no pano e ponto coniderado. ρ tenão tem como dimenão força dividida por área. 1

2 1 Tenão orma e Tenão de iahamento. ontata-e que a tenão aemeha-e a um vetor e pode-e repreentá-a por ua projeçõe em dua direçõe perpendicuare entre i, a aber: gindo tenõe normai () nete ponto e pano, oberva-e a ocorrência de variação na ditância entre ee. Ocorre tração, endo poitiva a tenão norma, quando aumenta a ditância entre o doi ponto. orma ao pano e ontida no pano. À projeção cuja direção é norma (ou eja, perpendicuar) ao pano, dá-e o nome de Tenão orma, que é indicada pea etra grega (igma) À componente cuja direção etá contida no pano, é dado o nome de Tenão de iahamento, ou tenão tangencia, indicada pea etra grega τ (táu). Figura I-8 Tenão norma poitiva Tração o cao contrário ocorre compreão, endo negativa a tenão norma. τ ρ Figura I-8 Tenão norma negativa ompreão 1. Tenão de iahamento Figura I-6 - Tenão norma e tenão de ciahamento como componente da tenão ρ. Eta tenõe, norma e de ciahamento, também ão funçõe da mema dua variávei, o ponto e o pano. o memo pano e ponto anteriore, a tenão de ciahamento provoca ecorregamento entre ee. tenão de ciahamento (τ) poitiva tende a girar o ponto, em torno do ponto vizinho, no entido horário. 1.1 Tenão orma Sejam doi pano paraeo e infinitamente próximo; ejam, ainda, doi ponto, um de cada pano, como e motra na figura I-7. Figura I-9 Tenão de iahamento poitiva tenão de ciahamento (τ) negativa tende a girar o ponto, em torno do ponto vizinho, no entido anti-horário. τ Figura I-7

3 Ea tenõe ρ pouem a mema direção e entido do eforço interno (FORÇ) na eção. Figura I-10 Tenão de ciahamento negativa 1.3 náie da tenão em um ponto onidere-e uma barra reta ob a ação de eforço externo em equiíbrio. onidere-e ainda que, o eforço externo, apicado a ea barra, têm como inha de ação o eixo dea barra, como motra a figura I-11. im, é poíve determinar a tenão norma que atua no ponto P e no pano da eção tranvera S, para a barra primática da figura I-11: FORÇ 30k ÁRE 30 x x10 - m Daí: FORÇ ρ ÁRE 6 10 m m 50MPa 30k S 15k P tenão ρ aim obtida tem, por hipótee, a mema direção da FORÇ, que nee exempo é a norma. Portanto, ρ é perpendicuar, nee exempo, ao pano da eção S. Figura I-11 arra oicitada por força norma eta ituação, a eçõe tranverai da barra ão oicitada apena pea força norma, como motra a figura I-1. 30k S 15k Figura I-1 Diagrama de Força ormai fim de determinar a tenão ρ que atua no ponto P da eção tranvera S, da barra a figura I-11, admita-e (imagine-e) que ea tenão ρ tem vaor dado por: onde: FORÇ ρ ÁRE FORÇ reutante do eforço interno na eção determinada pea intereção da barra com o pano dado (Força norma que atua na eção). ÁRE área dea eção (). tenão norma, componente de ρ, norma ao pano da eção, é então igua à própria tenão ρ. tenão τ que atua no ponto, componente de ρ na direção do pano da eção, é, coneqüentemente, igua a zero. ρ τ 0 P Figura I-13 Tenão norma que atua no ponto P. oniderando que o quociente força por área forneça tenão, para o memo ponto P etudado até agora, a tenão norma no pano que faz 30 o com o pano da eção tranvera pode er obtida por meio de: P 3

4 P 30 P Figura I-16 no ponto P em um pano a 30º do pano da eção tranvera, obervada da direita da barra Para eta ituação, a tenão de ciahamento τ tem ina negativo. 30 ρ ρ Figura I-1 Para ete pano incinado, a área vae: o co30 e a tenão ρ, fica: 3 FORÇ ρ ÁRE 3 10 m 3 10 m 1. Deformaçõe e Deocamento 1..1 Deformaçõe O materia uado pea Reitência do Materiai é o óido pouco deformáve e para ete materia, a deformaçõe medem a mudança na poição reativa entre ponto muito próximo; aim, partindo com doi ponto e eu pano paraeo na ituação inicia: dx tenão norma () é a norma ao pano e vae: ρco30 o m co30 o 37,5MPa ete pano, o ponto P também recebe a tenão de ciahamento (τ). τ ρ en30 ρ o m τ en30 o 11,65MPa Figura I-15 no ponto P em um pano a 30º do pano da eção tranvera a figura I-15, para um obervador que etá à direita da barra é poíve fazer a eguinte repreentação: τ ρ τ Figura I-17 Em função da tenõe que nee atuam, a poição reativa fina pode er: γ dx+ dx Figura I-18 dy Eta poição pode er encarada como reutante da oma (uperpoição) de uma variação na ditância entre o ponto (e entre o pano) com um ecorregamento entre o ponto (e entre o pano). γ dx+ dx dx dy Figura I-19 Movimento do ponto e pano O aongamento ε (épiion) e a ditorção γ (gama) ão a chamada

5 deformaçõe, número muito pequeno e em dimenão, uado como medida para a pequena mudança na poiçõe reativa. infinitamente próximo), ocorrem deocamento, de ponto e de eçõe tranverai da barra da etrutura, em reação à ua poiçõe iniciai. im, o aongamento ε mede a variação de ditância reativa entre o doi pano (e ponto) atravé de: dx ε dx onde dx á variação na ditância inicia dx. Vae obervar que o aongamento ε poui o memo ina que a variação dx. Ee terão ina poitivo quando a ditancia aumentar (tração) e negativo no cao contrário (compreão). ditorção γ, por ua vez, mede o ecorregamento (deizamento) reativo entre o pano. dy γ dx O ina da ditorção γ erá poitivo quando o ponto tende a girar no entido horário, em torno do vizinho e negativo no entido contrário. Obervando a figura I-19, e verifica que a reação geométrica entre a ditorção γ e dy é dada por: dy tg γ dy dx tgγ dx Eta deformaçõe ão uficientemente pequena para que e poa ecrever: γ tgγ e dy γdx Uma obervação importante é que a deformaçõe ão funçõe de dua variávei: ponto e pano. 1.. Deocamento omo coneqüência da deformaçõe (mudança na ditância reativa entre ponto e entre pano 5 Tai deocamento, embora ejam em gera pequeno, ão finito, ito é, não ão infiniteimai (infinitamente pequeno). É o que acontece para a barra reta da figura I-0, que na auência de eforço poui comprimento, cuja eçõe tranverai, neta ituação inicia, ditam entre i de uma ditância infiniteima dx. x dx Figura I-0 arra reta de comprimento. O comprimento da barra é igua à oma da ditância dx da eçõe vizinha (jutapota), de onde reuta: 0 dx Imaginando que a variação de comprimento da barra reuta da oma da variaçõe da ditância entre a eçõe jutapota, ao ongo de toda a barra, é poíve ecrever: dx 0 o ocorrer a variação na ditância entre eçõe vizinha, o novo comprimento da barra paa a er: x dx+ dx + Figura I-1 arra reta de comprimento. e variação + de comprimento. ( dx + dx) dx dx dx Sendo, porém, ε, e obtém dx dx εdx 0

6 + ε dx + im, a variação de comprimento pode er ecrita como: 0 que, para haver aongamento contante ocorra oicitação também contante, endo eta oicitação a tenão norma. d d ou eja, OS: ε dx 0 Um acao particuar importante ocorre quando ε é contante. eta ituação, a equação acima pode er ecrita: ε 0 dx ε ou eja, é poíve medir a deformação atravé de e. Ea expreão deve-e reatar, não é empre váida. Ea hipótee é aceitáve para regiõe da barra não próxima da mudança bruca de eção, e da apicação de força externa que não e aemeham a uma preão contante em toda a eção. figura I-3 motra aguma ituaçõe onde a expreão não é váida. 1.5 com Força orma onidere-e o cao de uma barra reta, que pode er primática, ou não, oicitada apena por força norma, como a motrada na figura I-. VLE HIPÓTESE ÃO VLE Figura I- arra reta oicitada por uma força norma. VLE ÃO VLE VLE ÃO VLE omo, por hipótee, a eçõe ão pana, ante e depoi da apicação da força norma, todo o ponto de uma eção quaquer da barra ofrem o memo deocamento εdx, em reação a uma eção vizinha, que, na auência de eforço, etava anteriormente, a uma ditância dx. im, para todo o ponto da eção, têm-e o memo aongamento ε, em reação ao ponto da eção vizinha. Uando materia homogêneo (todo o ponto materiai têm iguai caracterítica) e iotrópico (eta caracterítica não de pendem de direção) é aceitáve coniderar 6 Figura I-3 Situaçõe onde a expreão não é váida. a barra curva com raio de curvatura (do eixo da barra) da mema ordem de grandeza que a dimenão da eção tranvera (barra de grande curvatura), a hipótee, também, não fornece bon reutado. VLE

7 ocorrem na eçõe da barra. figura I-7 repreenta o diagrama de eforço oicitante para eta barra. ÃO VLE Figura I- arra curva. a barra cuja eção tranvera apreenta uma dimenão muito menor que a outra (eção degada), a hipótee, também, não vae. 30k S1 Figura I-7 S 15k omo é poíve obervar, a força norma que atua na eção S 1 é poitiva e vae 30k enquanto a força norma que atua na eção S é negativa e vae 15k. Deta forma e pode determinar a tenõe na eçõe S 1 e S : eçõe S 1 e S têm área igua a: OS: ÃO VLE VLE Figura I-5 arra de eção degada. Seção S m 30 x x10 - m m 50MPa o preente curo conidera-e que a tenão norma no ponto e no pano da eção vae: P P 1.6 Exempo 1. Determinar a tenão norma no ponto da eçõe S 1 e S da barra da figura I- 6. Seção S m Figura I m 5MPa 30k S1 S 15k P P P Soução: Figura I-6 Figura I-9 O primeiro pao a er executado é a determinação do eforço oicitante que 7

8 . Determinar a tenão norma no ponto da eçõe S 1 e S da barra da figura I- 30. S1 S S1 S 1.7 Reoogia reoogia etuda reaçõe entre tenõe e deformaçõe para o materiai. 0 k Soução: Figura I O primeiro pao a er executado é a determinação do eforço oicitante que ocorrem na eçõe da barra. figura I-31 repreenta o diagrama de eforço oicitante para eta barra Enaio de Tração O enaio de tração (ou de compreão) conite em e apicar a uma barra primática, de comprimento inicia e área da eção tranvera inicia, uma força norma, contante ao ongo do comprimento da barra, produzindo variação de comprimento, crecente com o tempo, até que ocorra a ruptura da barra. 0 k + S1 300 Figura I-31 S 160 omo é poíve obervar, a força norma que atua na dua eçõe é poitiva e vae 0k. Deta forma e pode determinar a tenõe na eçõe S 1 e S : Seção S 1 S1 Seção S MPa 0x10 6 m + Ruptura Figura I-3 Ete enaio ão reaizado em máquina emehante à apreentada na figura I-33. eta máquina a barra primática, chamada de corpo de prova, é fixada por ua extremidade. Uma dea extremidade é prea ao cabeçote móve e a outra no cabeçote fixo. O cabeçote móve e afata do fixo com veocidade contante durante o enaio. S π ( 80) 3,98 3,98MPa 3,98MPa 8

9 abeçote Móve abeçote Fixo ε om ito, e torna poíve verificar a reação entre a tenão e a deformação ε em cada intante do enaio e traçar um gráfico que motre eta função até a ruptura do corpo de prova. Ete gráfico é conhecido como Diagrama Tenão x Deformação. figura I-35 é um exempo dete tipo de diagrama. Figura I-33 Máquina para o Enaio de tração eta máquina a barra primática, chamada de corpo de prova, é fixada por ua extremidade. Uma dea extremidade é prea ao cabeçote móve e a outra no cabeçote fixo. O cabeçote móve e afata do fixo com veocidade contante durante o enaio. orpo de Prova Figura I-3 orpo de prova para o enaio de tração O motradore que aparecem na figura da máquina de tração regitram, repectivamente, o afatamento do cabeçote e a reitência do corpo de prova a ete avanço. O afatamento do cabeçote nada mai é do que a variação de comprimento que o corpo de prova etá endo ubmetido e a reitência a ete avanço é a força norma de oicitação. O quociente entre a força norma de oicitação e a área da eção tranvera inicia do corpo de prova fornece a tenão norma de tração. Por er o corpo de prova uma barra primática com materia homogêneo e iotrópico, pode-e obter em cada intante a deformação ε pea reação: MTERIL DÚTIL Ruptura Figura I-35 Diagrama Tenão - Deformação Deve-e notar que eria poíve deenhar, também, com o reutado do enaio de tração, um gráfico x. Ta gráfico, porém, caracterizaria apena o comportamento da barra. om o diagrama tenão x deformação, e buca obter um gráfico caracterítico do materia que contitui a barra. omo e verá a eguir, um materia irá apreentar um diagrama tenão x deformação que e enquadra em um entre doi tipo poívei de diagrama. Sabendo que tenão e deformação etão reacionada, procura-e, também, a partir do diagrama, etudar ea reação, obtendo incuive expreõe para a funçõe tenão - deformação. Tai expreõe, como é o cao da Lei de Hooke, que erá vita adiante, ão chamada de equaçõe contitutiva do materia. ε 9

10 Tipo de Materiai Dependendo do materia, e pode obter um diagrama Tenão x Deformação entre doi tipo. Um dee tipo é o da figura I-35, típico do materiai chamado dúctei, e o outro é o da figura I-36, caracterítico do materiai frágei. Ruptura MTERIL FRÁGIL Figura I-36 Diagrama Tenão x Deformação para materiai frágei. diferença báica entre ete diagrama é que no primeiro dee, do materia dúcti, exite uma região onde ocorre uma grande deformação com a tenão mantendo-e praticamente contante. Eta região é conhecida como Região do Ecoamento. Importante obervar que o materia atinge uma grande deformação ante da ocorrência da ruptura. Em gera, a eção onde ocorre a ruptura não é pana e na ua vizinhança exite um grande etreitamento de eção conhecido como etricção. ε com o materiai dúctei. aparência da fratura é emehante a da figura I-38: Figura I-38 Ruptura do corpo de prova de um materia frági. ote-e que na fratura do materiai frágei não é ignificativa a redução de eção como ocorre com o materiai dúctei (não há etricção) náie do diagrama Tenão- Deformação figura I-39 reproduz o diagrama caracterítico do materiai dúctei, detacando-e, porém, a exitência de vário fenômeno importante. p Trecho reto R e E Região Eática ecoamento Região Pática Ruptura Região da Etricção ε figura I-37 motra a ruptura dete tipo de materia. Figura I-39 Diagrama caracterítico do materiai dúctei Etrcção Primeiramente, na figura I-39, e deve obervar o trecho reto, correpondente a uma fae inicia do enaio, onde a tenão e a deformação etão reacionada atravé de uma contante. contante x ε Figura I-37 Ruptura do corpo de prova de um materia dúcti. Para o materiai frágei, a deformação até a ruptura é pequena, quando comparada com aquea que ocorre Verifica-e que ea contante é uma caracterítica do materia da barra (mudando-e o materia da barra, muda a incinação obtida) e o eu vaor é o coeficiente anguar da reta. Eta contante é chamada de Móduo de Eaticidade 10

11 Longitudina (E) do materia, ou Móduo de Young, de onde e ecreve, então: E ε expreão conhecida como Lei de Hooke. Ruptura Retorno Eático ε α E tgα Deformação Reidua Figura I-1 Região pática Figura I-0 Móduo de Eaticidade ontinuando a aumentar a deformaçõe e a tenõe, termina o trecho reto na tenão imite de proporcionaidade ( p ) e chega-e depoi a um vaor de tenão chamado de Tenão Limite de Eaticidade, indicada por E. Se, para um vaor de tenão não uperior a E, é retirado o eforço, a barra vota ao eu comprimento inicia, deaparecendo a deformaçõe ε. io e chama comportamento eático do materia. região compreendida entre a tenõe 0 e E é a Região Eática do diagrama. partir da tenão E o materia deixa o comportamento eático e paa a ter um comportamento em que memo retirado o eforço empre permanecerá uma deformação reidua, e a barra não retorna ao eu comprimento inicia,. Ete comportamento é conhecido com comportamento pático e a região correpondente no diagrama é a Região Pática. ε a região pática, conforme já mencionado, uma deformação reidua empre exitirá apó a retirada do eforço. Ito é, e oicitando o corpo de prova até um determinado ponto da região pática e interrompendo o enaio, retirando todo o eforço apicado, ete corpo manterá uma deformação permanente. Procedendo-e ao decarregamento de forma gradua, reutará uma reta de decarregamento aproximadamente paraea ao trecho inicia de carregamento, como foi motrado na figura anterior. onvém obervar que ante do término da região eática exite um pequeno trecho em que a reação /ε não é contante. Tem-e, aim, um trecho reto de comportamento eático inear do materia, até a tenão imite de proporcionaidade ( p ), eguido de um trecho curvo, de comportamento eático não-inear, até a Tenão Limite de Eaticidade ( E ). figura I-, que e egue, correponde a um trecho da figura I- 1 e motra ea tenõe. E p e Fina do trecho reto Trecho reto Fina da eaticidade ε 11 Figura I- Por terem vaore muito próximo, na apicaçõe é comum a unificação, com deta trê tenõe ( ) p E e

12 maior detaque para a tenão de ecoamento e. Se o corpo de prova, apó ter ido carregado até atingir a Região Pática, e ter ido totamente decarregado, for oicitado novamente, em um novo enaio de tração, o diagrama tenão - deformação irá apreentar uma região eática maior do que apreentava anteriormente, com vaor da tenõe Ε maior que aquee do enaio anterior, para a mema barra. Ete efeito é conhecido como encruamento. ota-e, também, que no materia encruado a região pática é menor e a tenão imite de ruptura é maior, quando comparada com aquea do enaio do materia no etado origina. R Região eática Ruptura Enaio de tração com o materia deformado páticamente ε Região pática Figura I- 3 o diagrama Tenão - Deformação, o maior vaor da tenão é conhecido como tenão imite de ruptura ( R ). OS: Um materia omente eático poui uma única função tenão deformação para o carregamento e o decarregamento. Figura I-5 Materia Linear O materia inear que obedece a Lei de Hooke no carregamento e no decarregamento. ε decarregamento carregamento Figura I-6 Materia que repeita a Lei de Hooke Variação na Ditância ee curo erá coniderada como váida, em todo o exempo, a Lei de Hooke. de onde: E ε ε E oniderando vaer a ditância entre dua eçõe de uma barra reta, ε Deformação na apicação da força Retorno apó a retirada da força ε Figura I-7 a variação de ditância entre a dua eçõe vae: Figura I- Materia Eático Um materia omente inear motra egmento de reta ditinto para o carregamento e o decarregamento. fornecendo ε dx 0 1

13 como vem: dx E 0 dx E 0 O móduo de eaticidade é propriedade do materia da barra e endo um ó ete materia, pode-e ecrever: 1 dx E Quando a barra for primática (eção tranvera contante) e ao ongo de eu comprimento não houver variação da força norma, a expreão acima fica: 0 E Figura I-8 Pode-e determinar a variação de comprimento de uma barra oicitada por tração uando a expreão: E omo vito, eta expreão pode er uada dede que não exitam variaçõe de eforço, materia e área de eção tranvera ao ongo do comprimento da barra. ee exempo, embora ao ongo da barra, não ocorra a variação de eforço, ocorre uma mudança de eção em, fazendo com que a barra tenha uma eção contante no trecho e outra eção contante no trecho. Pode-e, então, determinar a variação de comprimento da barra atravé da oma agébrica da variaçõe de comprimento do doi trecho; ito é: E + E 1.8 Exempo 3. Para a barra da figura I-7, determinar a variação de comprimento e variação de ditância entre a eçõe S 1 e S quando e abe que E 00GPa. 0 k Soução: S1 300 S Figura I-7 S1 50 figura I-8 repreenta o diagrama de eforço oicitante para eta barra. 0 k S S S 0k 300 k k k π , , 10 3 ( 80) Para determinar a variação de ditância entre S 1 e S ( D S1-S ) podemo uar o memo raciocínio: D S1 S D S1 S E S1 0k 160 k E 3 D 3, , 10 S1 S S 0k 70 + k π 00 3 ( 80) 13

14 D S1 S, Obervar que eta variaçõe ( e D) ão muito pequena quando comparada com a ditância iniciai. Fuência:- caracterizada peo crecimento do deocamento, com eforço contante, em prazo ongo. Etc. Dimenionamento Dimenionar uma etrutura ignifica indicar a oução econômica para eu materia e geometria, de modo que ea atifaça o pré-requiito etabeecido para eu bom funcionamento. ruína da etrutura ocorre quando ea deixa de atender a um (ou mai) do prérequiito etabeecido; é uua aociar ruína a deocamento, a tenõe, ou a ambo. omo exempo, o deocamento que normamente ocorre na extremidade de uma aa de avião em vôo, é inaceitáve para o pio de uma aa de aua. Em termo de tenão é comum diferenciar tipo de ruína, tai como: Ruptura:- onde a deagregação do materia provoca divião na etrutura. Ecoamento:- já caracterizado no enaio de tração Fambagem:- ituação em que eforço provocam ateraçõe na geometria da etrutura reutando mudança em eu comportamento tenõe de ruína ( Ruína e τ Ruína, empre poitiva) etão aociada ao fenômeno decrito, vaendo: R e τ R para a ruptura; e e τ e, para o ecoamento; f e τ f, para a fambagem; etc..1 dmiívei tenõe admiívei ( e τ ) ão uada como imite uperiore para a tenõe que podem ocorrer numa etrutura; ea (tenõe admiívei) ão empre menore que a tenõe de ruína e obtida com a divião deta útima (ruína) por um número maior que um, chamado de coeficiente de egurança () ruína τ ruína Por exempo, a tenão norma admiíve ao ecoamento é: e im, o dimenionamento, para a tenão norma, deve er feito de acordo com a equação: τ F> Figura I-9 F> arra Fambada Fadiga:- cauada por ociaçõe na intenidade do eforço. omentário obre o oeficiente de egurança 1

15 adoção de um coeficiente de egurança detina-e a cobrir incerteza (poívei pequena variaçõe) de divero parâmetro do projeto, como dimenõe da peça, caracterítica do materiai, carregamento, etc., uma vez que não é poíve etabeecer exatamente para tai parâmetro na prática. O coeficiente de egurança, porém, não deverá, jamai, cobrir erro de cácuo ou de contrução. Quanto maior o vaor de adotado, maiore erão a área da eçõe tranverai obtida para a peça, e menore a tenõe no ponto da etrutura, que impicam, por ua vez, em maior cuto (gato de materia) e menor probabiidade de ocorrência de ruína. ota-e, daí, que cuto e rico de ruína variam inveramente um com o outro, Itoé, diminuir o rico impica em aumentar o cuto. egurança que aquee de norma devem er utiizado, a critério do profiiona..3 Extrema o divero pano da eçõe tranverai encontra-e a maior tenão norma de tração (máx{}), o maior móduo da tenõe normai de compreão (mín{}) e a maior tenão de ciahamento (máx{τ}) em móduo. Eta ão a chamada tenõe extrema.. Exempo. Determinar a tenõe extrema que irão atuar na barra da figura I-50; cuja eçõe tranverai de eu trecho primático, etão repreentada na figura I-51. Deve-e aientar que não exite a poibiidade de projetar e contruir uma etrutura com rico de ruína igua a zero. 100k D 100k E 100k Por io, o coeficiente de egurança deve er uficientemente grande para que o rico de ruína eja menor ou igua ao rico coniderado aceitáve peo er humano, em atingir um vaor que impique em um cuto que inviabiize o projeto. Dada a grande importância do coeficiente de egurança, vaore mínimo de foram etimado, a partir da Etatítica e do conhecimento hitórico do comportamento de etrutura já contruída. Seu vaore foram fixado pea norma técnica. Ou eja, é dever do profiiona repeitar ee vaore mínimo. Em cao epeciai, onde a ocorrência de ruína da etrutura pode impicar em dano, ao er humano, ignificativamente maior que aquee decorrente da ruína da etrutura uuai, vaore maiore de coeficiente de 15 Soução: 1 36 cm Trecho Figura I cm Trecho DE 1cm Trecho D Ø33cm Figura I-51 Seçõe tranverai da barra Determinada a reaçõe de apoio, é poíve deenhar o diagrama do eforço oicitante. ete exempo, ó exite força norma.

16 100k 00k D 100k E Trecho DE ete trecho toda a eçõe tranverai etão ujeita a uma força norma de compreão de vaor igua a 100k. eção tranvera dete trecho tem área igua a: Figura I-5 Diagrama de força normai da barra Para determinar a tenõe extrema erá etudado cada trecho da barra. Trecho ete trecho toda a eçõe tranverai etão ujeita à mema força norma de tração de 100k. eção tranvera dete trecho tem área igua a: cm 10 cm Para eta eçõe, a tenão extrema fica: ,5MPa Trecho D ete trecho aguma eçõe tranverai etão ujeita a uma força norma de tração de 100k e outra a uma de compreão de 00k. eção tranvera dete trecho tem área igua a: ( 33cm) π 855,3cm 8,55 10 Pode-e então determinar a tenõe extrema: D ,55 10 D 1,17MPa no trecho tracionado D ,55 10 D,3MPa no trecho comprimido cm,1 10 Para eta eçõe a tenão extrema vae: DE ,1 10 DE,7MPa om ete reutado a tenõe extrema da barra ão:.5 Dimenionar máx { },5 MPa mín { },3 MPa eta fae de conhecimento, dimenionar ignifica repeitar com economia: extrema < dmiívei Deocamento < Vaor pré-fixado. OS: hama-e verificação da etrutura à obtenção do parâmetro envovido no dimenionamento, com a etrutura já executada..6 Exempo 5. Uma barra primática de eção circuar é oicitada por força normai, como motra a figura I-53. Determinar o diâmetro deta barra, para que ea trabahe com egurança igua a à ruptura, quando e abe que o materia com o qua ea erá contruída poui:

17 R 10 MPa na tração e R 00 MPa. na compreão e 1500 kgf/cm R 000 kgf/cm γ 7,8x10 3 kgf/m 3 30 k - 0 k + 10m Figura I-53 10tf Soução: Soução: Figura I-5 anáie da barra motra que no trecho a força norma poui vaor e ina diferente da encontrada no trecho. im, e devem dimenionar dua eçõe, uma para o trecho tracionado e uma para o trecho comprimido. a. Sem coniderar o peo próprio ete cao o diagrama de força normai para a barra fica: Trecho Tracionado 10 R 0000 π d d 0,6 Trecho omprimido 00 R π d d 19,5 omo a barra é primática, o mínimo diâmetro que atifaz a condição de eforço e economia é de 0,6. 6. Uma barra primática com eção circuar e 10m de comprimento é oicitada por uma força de 10 tf, como motra a figura I-5. onhecida a caracterítica de eu materia, determinar, com egurança igua a 1,5 ao ecoamento, o diâmetro da eção na eguinte condiçõe: a. Sem coniderar o peo próprio b. oniderando o peo próprio. 10 m 10 tf Figura I-55 Diagrama de Força orma em coniderar o peo próprio omo a barra é primática e não exite variação da força norma ao ongo de eu comprimento, para quaquer ponto de quaquer eção, pode-e ecrever: { máx } e máx {} kgf kgf cm π d 1,5 d,cm b. oniderando o peo próprio ete cao o diagrama de força normai para a barra fica: 17

18 10 m máx kgf kgf kgf 3 + 7, cm cm 3 π d cm 1,5 10 tf Figura I-56 Diagrama de Força orma coniderando o peo próprio eta ituação, a eção mai oicitada é aquea junto ao engatamento, onde a força norma atuante é máx 10 tf + γ x V o onde V o é o voume da barra. omo a barra é primática, é poíve ecrever eu voume como: V o x L área da eção tranvera L comprimento da barra im, a força norma que atua na eção junto ao engatamento pode er ecrita como: máx 10 tf + γl Deta forma o dimenionamento deve er feito: π d máx 10000kgf + γ 10m máx e máx{ } π d π d kgf 10000kgf + γ 10m 1500 cm π d 1,5 kgf kgf kgf 3 + 7, m cm 3 π d m 1,5 d,cm Obervar que nete cao, o peo próprio do materia não tem ignificado para o dimenionamento. 7. Determinar o diâmetro que devem ter a barra primática da figura I-57, a fim de que não ejam utrapaada a tenõe admiívei do materia. 100MPa (tração) 150MPa (compreão) Soução: 30 Figura I-57 30k Iniciamente, e deve determinar a força norma que atua em cada barra deta treiça. Para ta, etuda-e o equiíbrio do ponto. 30 F F 30k Figura I-58 Equiíbrio do nó. 18

19 F F F F FV 0 en30 60k FH 0 o co30 5k 30k o F om ete reutado, pode er traçado o diagrama de força normai para a barra: 30 60k 8. Um eevador predia tem uma capacidade de carga igua a 60kgf e SU cabina pea 60kgf. O motor eétrico aciona o itema motrado na figura I-60, promovendo a ubida ao enroar o cabo no tambor; a decida ocorre com o deenroar. Ete equipamento trabaha num edifício reidencia de quinze pavimento com veocidade média de 100m/min. O comprimento deenroado do cabo, quando ee erve o andar mai baixo, é de 8m e ee vae 3m quando no andar mai eevado. Determinar o diâmetro dete cabo para que ee trabahe com egurança igua a trê em reação ao ecoamento e para que o degrau entre o pio do andar e da cabina, parada em quaquer andar, não exceda 10. 5k Figura I-59 Força ormai na barra. R 5600kgf/cm e 00kgf/cm E,1x10 6 kgf/cm. De acordo com ete diagrama, a força norma em cada barra fica: 60k -5k Tambor motor om eta força e abendo-e que a barra ão primática, e pode ecrever: barra é tracionada máx { } 100 π d abo abina Figura I-60 d 8 barra é comprimida: 5000 mín { } 150 π d d 1 Soução: O cabo de aço deenroado pode er coniderado como uma barra primática de eção tranvera circuar. ete exempo exitem dua condiçõe a erem atifeita: extrema < e Deocamento <

20 ondição de tenão tenão admiíve vae: e kgf / cm 3 60kgf 8m 6 π d,1 10 kgf / cm 60kgf 800cm,1 10 kgf / cm π d cm maior carga que atua no cabo é o reutado da oma entre a capacidade de carga e o peo próprio do eevador (deprezando o peo próprio do cabo) 60kgf + 0kgf 900kgf Sendo d o diâmetro da eção tranvera do cabo, vem: máx{ } π d π d 900kgf d d π π 800kgf / cm d 1,cm 60kgf 800cm 6,1 10 kgf / cm π 1cm d d 1,cm omo o diâmetro do cabo deve atifazer a dua condiçõe, a oução econômica é: d 1,cm otar que com ete diâmetro o coeficiente de egurança do cabo paa a vaer: π d e 00kgf / cm e π 900kgf π d ( 1,cm ) ondição de deocamento.,1 Para atifazer eta condição, e deve embrar que o degrau na parada é coneqüência da variação de poição provocada pea entrada ou aída de carga no eevador; aim, o maior degrau acontece com a apicação da carga máxima permitida (60kgf). Deta forma, a força norma que deve er uada para a atifação dea condição, é eta capacidade de carga do eevador. Lembrando que, aumentando o comprimento crece a variação no comprimento provocada pea força norma, e faz neceário uar o comprimento máximo deenroado (8m) para atifazer eta condição. 10 E 9. barra primática da figura I-61, tem ua eção tranvera igua a um triânguo eqüiátero com 5 de ado e foi contruída com um materia que poui E 8GPa. Para eta barra, determinar: a. tenõe extrema b. Sua variação de comprimento c. O deocamento horizonta do apoio móve d. O deocamento horizonta de cada extremidade. 5k Soução: 1m m Figura I-61 1m D 10k 0

21 nte de iniciar, propriamente a oução, e deve cacuar a área da eção tranvera. hamando de a o ado do triânguo, e tem: a co a b. Variação de comprimento da barra variação de comprimento da barra é igua à oma agébrica entre a variação de comprimento do trecho e a variação de comprimento do trecho D. im, pode-e ecrever: Figura I-6 Seção tranvera da barra a o ( 5) co30 o a co30 71 Para reover o probema, devem er determinada a reaçõe de apoio e contruído o diagrama de eforço oicitante. o cao do probema o único eforço é Força orma cujo diagrama fica: 5k 10k Figura I-63 Diagrama de Força ormai Peo diagrama e tem: 10k Trecho : 5k Trecho D: - a. Extrema tenõe extrema ficam: máx 71 { } máx { } 18,5MPa min { } 71 min { } 36,90 MPa D E 5k 3000 k 8 OS: + E D 10k k , O ina poitivo obtido para indica que a barra ofre um aumento em eu comprimento origina. c. Deocamento horizonta do apoio móve É poíve obervar que na barra da figura I-61, a única eção que não ofre ateração de poição é a eção coocada no apoio impe fixo. im, o deocamento do apoio móve é igua ao deocamento reativo entre a eção (onde e encontra o apoio fixo) e a eção (onde e encontra o apoio móve), ou eja, é a variação na ditância entre a eçõe e ; ito é D D 5k 000 k 8 71 E D 0, 1 omo o ina do deocamento foi poitivo, ee indica que ocorre um afatamento entre a eçõe. omo a eção é fixa e a eção etá a ua

22 equerda, pode-e afirmar que a eção (e, portanto o apoio móve) e deoca para ete ado equerdo. d. Deocamento horizonta de cada extremidade. omo a eção é fixa, cada extremidade motra um deocamento igua à variação de ua ditância ao apoio fixo (). im, D E D 5k 3000 k 8 71 D 0, treiça da figura I-6 é contituída por barra primática com eção tranvera em forma de ane circuar, como e motra na figura I-65. onhecida a tenõe de ruína do materia, determinar a egurança com que a treiça trabaha quando he é apicada uma carga de 0k no nó. 0k 3m Figura I-6 1m m O ina poitivo motra um afatamento entre a eçõe e como a eção etá a equerda de, ee indica um deocamento à equerda. Da mema forma, D D D D D 10k 1000 k 8 71 D 0, E D O ina negativo motra uma aproximação entre a eçõe e como a eção D etá a direita de, ee indica um deocamento à equerda. Ø16 Ø33 Figura I-65 Seção tranvera da barra da treiça. Ruína 50MPa na tração Ruína 100MPa na compreão Soução: oução do probema paa, pea determinação da força normai que atuam em cada barra da treiça. Para ta, e deve, iniciamente, determinar a reaçõe de apoio. Eta reaçõe ão a força apicada no nó e da figura I-66 3m 0k 0k 0k m 0k 1m

23 Figura I-66 Treiça com a reaçõe de apoio e força apicada. Reovendo a treiça, ão determinada a força em cada barra: arra Força orma (k) -1,1 +,0 +6,7 área () da eção tranvera é igua a: [( 33) ( 16) )] 65 π om a força norma de cada barra e a área da eção tranvera, e obtém o coeficiente de egurança para a trê barra: 11. Foi oicitado a um engenheiro determinar o cabo de utentação da barra horizonta da figura I-67, que é mantida em equiíbrio por meio do cabo e de um apoio impe fixo. im, determinar: a. O diâmetro dete cabo (d) para que ee trabahe com egurança igua a em reação ao ecoamento. b. O deocamento da extremidade equerda da barra (D ) quando o cabo poui o diâmetro encontrado no item anterior. R 60 MPa; e 30 MPa; E 10GPa. abo de aço arra (compreão) 3,8m Ruína MPa 65 0k/m arra (tração) 3,1 m Figura I-67 Ruína MPa 65 arra (tração) 6,8 Ruína MPa 65 Soução: Iniciamente, e determina a reaçõe de apoio para a etrutura. Lembrando que o eforço oicitante na eçõe unida por uma articuação podem er força norma e força cortante e que um cabo ó poui reitência à força normai de tração; nee exempo, podemo fazer a eguinte repreentação., Para a etrutura o coeficiente de egurança é o menor entre o trê encontrado; ito é: 3,8m abo de aço 3,1 cabo cabo 0k/m m Figura I-68 3

24 força norma do cabo ( cabo ) pode er determinada pea condição de equiíbrio M ( em ) D 3 π ( 15, ) Tem-e então: k cabo m 0 m m cabo 0k m a. Determinação do diâmetro do cabo (d) omo o cabo é uma barra primática; quando e depreza eu peo próprio, e pode ecrever: onde im, π d cabo máx{ } e 30 d cabo 15MPa d cabo π 0000 π 15 d 15, b. Deocamento da Extremidade equerda da barra (D ) omo a extremidade equerda da barra e a extremidade inferior do cabo e unem em, e o cabo etá upeno pea ua outra extremidade; o deocamento da extremidade equerda da barra é igua à variação de comprimento do cabo, Itoé:. D 3,9 1. inda com reação ao exempo 11; como no etoque exitia um cabo com 16 de diâmetro, foi oicitado ao engenheiro Verificar e o cabo é eguro, para um coeficiente de egurança ao ecoamento igua a 1,, quando a carga apicada na barra paa a er 30 k/m. Soução: eta ituação, a força norma no cabo é: é: k cabo m 30 m m cabo 60k m área da eção tranvera do cabo ( 16) π d π 01 cabo im, e pode ecrever: e 01 1, MPa omo o coeficiente de egurança encontrado é menor que requerido, e pode afirmar que o cabo é eguro. D cabo E cabo OS.: Embora o coeficiente de egurança encontrado eja maior que um e maior que o etipuado, eta ituação é meno egura que a do exempo 11, poi, naquee

25 exempo o coeficiente de egurança é igua a. abo de aço 13. Para o exempo 1, foi oicitado verificar e o cabo é eguro para um coeficiente de egurança igua a,5 à ruptura. Soução: Para reover o probema, bata iguaar a tenão deenvovida pea força norma do cabo ( cabo ) à tenão admiíve à ruptura; ito é: cabo MPa 01, 1 OS: Embora o coeficiente de egurança encontrado eja um número maior que um, ee não atende à condição de dimenionamento já que, ee é menor que o etipuado para o funcionamento da etrutura. ote-e, também, que da trê ituaçõe apreentada (exempo 11; 1 e 13) a ituação do exempo 1 é a que apreenta o menor coeficiente e egurança. 1. Por uma neceidade de trabaho, é apicada, junto com a carga ditribuída de 0k/m, uma carga concentrada de 70 k em uma eção ditante 1m da extremidade equerda; como motra a figura I-69. Para eta ituação, e oicita: a. Determinar o coeficiente de egurança do cabo em reação ao ecoamento e em reação à ruptura. b. Verificar e o cabo é eguro. R 3,8m Soução: 1m 70k m Figura I-69 0k/m Faz-e neceário encontrar a força que irá atuar no cabo neta nova ituação. Eta força é determinada pea condição de equiíbrio M ( em ) 0. k m cabo m 0 m + 70k 3m m cabo 9,5k determinação do coeficiente de egurança, como já foi vito, erá determinada por: cabo e Para o ecoamento ,93 30MPa ão é precio examinar a ruptura, poi ete reutado (0,93) motra o cabo em condiçõe de trabahar. 5

26 Exercício 1. Determinar a máxima carga P que e pode apicar na barra da figura I-70 para que o coeficiente de egurança eja ao ecoamento e para que a variação de comprimento da barra não utrapae. Dado: Trecho Seção Tranvera R (MPa) e (MPa) E (GPa) m 1m E Fio 15tfm D 3m m Figura I-71 Ø Repota:,8cm Determinar o coeficiente de egurança da etrutura motrada na figura I-7, quando a barra ão idêntica. Dado R 10MPa (tração) 0k R 80 MPa (compreão) Repota: Figura I-70 Pmáx 3, 10 Repota Figura I-7,. barra rígida da figura I-71 é apoiada em uma de ua extremidade e é mantida em equiíbrio por um fio vertica coocado na eção deta barra. Determinar a área da eção tranvera do fio () para que o coeficiente de egurança à ruptura eja igua a 3 e para que o deocamento vertica do ponto D não utrapae. Dado: R 00 kgf/cm E,1x10 6 kgf/cm 6