operação. Determine qual o percentual de vezes que o servidor adicional será acionado.

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1 P r i m e i r o e m e t r e d e 2 4 Revião da Poion e da Exponencial. Suponha ue o aceo a um ervidor de web iga uma Poion com taxa de uatro aceo por minuto. (i) Encontre a probabilidade de ue ocorram aceo num período de doi minuto. (ii) Se ocorrerem mai do ue aceo num dado minuto um ervidor adicional deve entrar em operação. Determine ual o percentual de veze ue o ervidor adicional erá acionado. 2. O número de falha por dia em uma fábrica egue uma Poion com parâmetro 3. A emprea tem recuro interno ue lhe permitem reparar até trê máuina por dia. Quando a falha ultrapaam trê em um ó dia, é contratada aitência externa para executar o conerto excedente. (i) Qual a probabilidade de ue, em um dado dia, e tenha ue reuiitar aitência externa? (ii) Qual o número eperado de conerto diário realizado pela emprea? (iii) Qual o número eperado de conerto diário realizado pela aitência externa? 3. O número de navio petroleiro ue chegam à determinada refinaria por dia tem uma ditribuição de Poion de parâmetro trê. A intalaçõe atuai do porto podem atender, no máximo, uatro navio por dia. O eventuai excedente deverão eguir para outro porto. (i) Num dia, ual a probabilidade de haver navio ue não poam er atendido? (ii) Qual o número eperado de navio ue ão atendido diariamente na refinaria? (iii) Qual o número eperado de navio ue terão de e dirigir diariamente a outro porto? (iv) De uanto deverão er aumentada à intalaçõe atuai para permitir atender todo o navio em aproximadamente 99,5% do dia de erviço? 4. Suponha ue a duração de uma chamada de celular (em minuto) é exponencialmente ditribuída com parâmetro de,4. Determine: (i) O tempo médio e a variabilidade da duração da chamada. (ii) A probabilidade de ue uma chamada dure entre 2 e 5 minuto. (iii) A mediana, o primeiro, o terceiro e a amplitude interuartílica do tempo de chamada. (iv) A probabilidade de ue a duração upere o valor eperado. 5. O tempo de epera, numa parada, pela chegada de um ônibu é, em média, de 5 minuto. Admitindo ue ee tempo é uma variável exponencial, determine a probabilidade de ue alguém: (i) Epere mai de 5 minuto por ônibu.

2 P r i m e i r o e m e t r e d e 2 4 (ii) Epere mai de 5 minuto por ônibu. Reolva utilizando a Poion. (iii) Pegue um ônibu no minuto imediatamente eguinte à chegada na parada. (iv) Epere por mai de minuto por um ônibu dado ue á eperou 5 minuto. O Modelo M/M/ GD/ /. Um lava rápido Automático funciona com omente uma baia. O carro chegam conforme uma ditribuição de Poion com uma média de 4 carro por hora e podem eperar no etacionamento oferecido e a baia etiver ocupada. O tempo para lavar um carro egue uma ditribuição exponencial, com média de minuto. Carro ue não coneguem vaga no etacionamento podem eperar na rua onde etá ituado o lava rápido. Io ignifica ue, de fato, na prática, não há limite para o tamanho do itema. (i) Determine o percentual de utilização da baia de lavagem. (ii) Determine a probabilidade de um carro ue chega ter ue eperar no etacionamento ante de entrar na baia de lavagem. (iii) Se houver cinco vaga no etacionamento, determine a probabilidade de ue um carro ue chega achar uma vaga. (iv) Quanta vaga devem er oferecida, no etacionamento, para ue um carro ue chega tenha meno de % de probabilidade de não encontrar uma vaga. (v) Quanto minuto, em média, podem er gato para lavar um carro e o tempo de epera na fila for fixado em no máximo 5 minuto (reolva analiticamente). 2. Um retaurante de comida rápida tem um único guichê de atendimento para carro. O carro chegam de acordo com uma ditribuição de Poion a uma taxa de 2 carro a cada 5 minuto. O epaço na frente do guichê comporta no máximo carro (incluindo o ue etá endo atendido). Outro carro devem eperar fora do epaço (na rua) e for neceário. O tempo de atendimento de cada cliente (carro) egue uma exponencial com média de,5 minuto. Determine: (i) A probabilidade de o atendente etar ocioo. (ii) O número eperado de cliente para erem atendido. (iii) O tempo de epera de um cliente até chegar ao guichê de atendimento. (iv) A probabilidade de ue um cliente (carro) tenha ue eperar na rua.

3 P r i m e i r o e m e t r e d e Suponha ue proprietário de carro abateçam uando o tanue etá exatamente na metade. Uma média de 7,5 cliente por hora chegam a um poto com uma única bomba. O frentita leva em média 4 minuto para atender cada carro. Auma ue o tempo envolvido ão exponenciai. (i) Determine e W para a ituação. (ii) Suponha ue etea faltando gaolina em algun poto e o conumidore mai precavido etão abatecendo uando o tanue etá agora ¾ cheio ainda. Cada carro etá pondo meno combutível em cada viita ao poto e então aumimo ue o tempo gato por cada carro no poto é agora de 3 minuto. Como a falta de gaolina afetou o valore de e W Suponhamo ue a chegada de peoa a uma cabine telefônica igam uma Poion, com ritmo de 5 chegada por hora. A duração média de um telefonema é de 3 minuto e egue uma ditribuição exponencial negativa. Determine: (i) Qual a probabilidade de uma peoa chegar à cabine e não ter ue eperar? (ii) Qual o número médio de peoa na fila? (iii) Qual o número médio de peoa no itema? (iv) Qual o número médio de cliente uando o telefone? (v) Qual o tempo médio de fila? (vi) Para ue taxa de chegada o tempo médio de epera erá de aproximadamente 3 minuto? (vii) Qual a fração do dia durante a ual o telefone etá em uo? 5. Carro chegam ao poto de pedágio automatizado de acordo com uma ditribuição de Poion, com uma média de 9 carro por hora. O tempo para paar pelo poto de pedágio e ditribui de acordo com uma exponencial de média 36 egundo. O motorita têm reclamado do tempo de epera e a conceionária da via etá dipota a reduzir o tempo de médio de paagem pelo poto para 3 egundo intalando um novo dipoitivo mai eficiente, ma bem mai caro. Para ue o cuto eam amortizado em um tempo razoável ela etabeleceu dua condiçõe para efetuar a troca: (a) o número médio de carro na fila do itema atual deve er uperior a 5 e (b) a probabilidade de um carro eperar na fila mai do ue um minuto deve er maior do ue 75%. (i) Verifiue e a troca de dipoitivo deve er feita. Jutifiue. (ii) Se a troca for feita ual erá o tempo médio de epera na fila?

4 P r i m e i r o e m e t r e d e 2 4 O Modelo M/M//GD/ /. Etudante chegam a um laboratório de computação de acordo com Poion a uma taxa média de 5 por hora. Cada etudante gata em média 5 minuto no computador e aume-e ue ete tempo ea exponencialmente ditribuído. O laboratório tem atualmente 4 computadore e algun aluno têm reclamado ue o tempo de epera ão muito longo. (i) Determine o tamanho médio da fila e o tempo médio de epera. Calcule a probabilidade de um aluno chegar e encontrar um computador diponível. (ii) Se o coordenador do laboratório colocar mai um computador, como ficam o valore do item (a)? 2. Um peueno banco tem doi caixa ue ão igualmente eficiente e ue ão capaze de atender uma média de 8 cliente por hora com tempo de erviço exponencialmente ditribuído. Um caixa demora em média,2 minuto para atender um cliente. Conidere ue ee tempo exponencial. Determine: (i) O número eperado de cliente no banco. (ii) O tempo médio ue um cliente gata no banco. (iii) A fração de tempo ue um caixa etá livre. (iv) A probabilidade de ue um conumidor gate mai do ue trê minuto no banco. (v) Determine o valor da fórmula C de Erlang para ee itema. 3. Uma peuena cidade é atendida por dua emprea de tele-táxi, endo ue cada uma tem doi táxi e dividem o mercado igualmente. O telefonema chegam a central de cada emprea, de acordo com uma Poion de média oito por hora. O tempo médio de cada corrida é de 2 minuto e egue um modelo exponencial. Um invetidor comprou a dua emprea e tem interee em conolidá-la em uma única central de atendimento. (i) Analie e a unção da dua emprea em uma ó é vantaoa para o novo proprietário. Utilize como critério o tempo médio ue um cliente epera por um táxi na dua ituaçõe. (ii) Se o tempo médio por viagem foe de 4,5 minuto (ao invé de 2 minuto), a união da dua emprea eria recomendável? 4. Um trailer de Xi tem doi atendente. O cliente chegam de acordo com uma ditribuição de Poion a cada 3 minuto e 2 egundo em média e ão atendido pelo primeiro ervidor ue etiver livre. O tempo ue um atendente leva para fazer um Xi no capricho é, em média, de 5 minuto e 48

5 P r i m e i r o e m e t r e d e 2 4 egundo. O trailer tem atualmente ei vaga para eperar entado. Como o lanche é bom e o preço também o cliente etão dipoto a fazer fila e eperar em pé cao neceário. (i) Determine o número lugare ue o trailer deve ter, de modo ue a probabilidade de ue um cliente tenha ue eperar em pé, ea de no máximo,5. (ii) Qual a probabilidade de ue um cliente tenha ue eperar mai do minuto na fila para er atendido. 5. Um centro ue trabalha com peoa em crie é gerenciado por uma euipe de voluntário treinado ue atendem telefonema de peoa depreiva. A experiência motrou ue à medida ue o Natal e aproxima ele devem etar preparado para atender uma demanda crecente ue chega a uma taxa de chamada de uma a cada minuto. Cada chamada reuer aproximadamente 2 minuto de um atendente para acalmar e convencer a peoa ue ligou a não tomar nenhuma atitude impenada. No momento o centro etá planeando ter 5 atendente para dar conta da demanda de Natal. (i) Analie a ituação do centro determinando a ua etatítica báica e verificando e o número mínimo de atendente voluntário planeado é uficiente para ue o tempo médio, de epera de uma peoa em crie ue ligou, não upere 5 egundo. (ii) Qual eria o tempo médio de epera e o centro contar com ei voluntário. (iii) Se a taxa de chamada aumentar para uma a cada 8 minuto, ual eria o número mínimo de atendente para ue o tempo de epera ea inferior a egundo? O Modelo M/M//GD/c/. Uma etação de erviço é formada por um único ervidor ue pode atender uma média de doi conumidore por hora. Uma média de trê cliente por hora chega olicitando erviço. A capacidade do itema é de trê cliente. (i) Na média uanto cliente potenciai entram no itema por hora? (ii) Qual a probabilidade de ue o ervidor etea ocupado? 2. Uma média de 3 carro por hora tenta utilizar o drive-in do retaurante Mic Rofone. Se um total de mai do ue uatro carro etão na fila (incluindo o carro endo atendido) um cliente não entrará na fila. eva em média uatro minuto para ue um cliente ea atendido.,,, W, W e W

6 P r i m e i r o e m e t r e d e 2 4 (i) Qual é o número médio de carro eperando para erem atendido por hora? (ii) Na média uanto carro erão atendido por hora? (iii) Eu recém entrei na fila. Quanto tempo vai levar até receber minha comida? 3. Um lava rápido automático funciona com omente uma baia. O carro chegam conforme uma ditribuição de Poion com uma média de 4 carro por hora e podem eperar num etacionamento com uatro vaga. Se o etacionamento etiver cheio o cliente ue chegam deitem e procuram outro lava rápido. O tempo para lavar e limpar um carro egue uma ditribuição exponencial, com uma média de minuto. O proprietário uer determinar o impacto da vaga limitada obre a perda de cliente para a concorrência. Coniderando ea ituação, determine: (i) A probabilidade de ue um carro ue chega pae imediatamente à baia de lavagem. (ii) Tempo de epera etimado até o início do erviço. (iii) Número eperado de vaga vazia no etacionamento. (iv) A probabilidade de toda a vaga etarem ocupada. (v) A percentagem de redução de tempo médio de erviço ue limitará o tempo médio no itema a aproximadamente minuto (reolva por tentativa-e-erro). (vi) Determine o número de vaga ue deve exitir no etacionamento para ue o percentual de carro perdido para a concorrência ea inferior a %. 4. A montagem de geradore elétrico na Electro é realizada à taxa de unidade por hora de acordo com uma ditribuição de Poion. Em eguida, o geradore ão tranportado por uma eteira rolante até o departamento de inpeção para um tete final. A eteira pode tranportar no máximo ete geradore. Um enor eletrônico para automaticamente a eteira uando ela etiver cheia, o ue impede ue o departamento de montagem final monte mai unidade até haver epaço diponível. O tempo para inpecionar o geradore egue uma exponencial, com média de 5 minuto. (i) Qual é a probabilidade de ue o departamento de montagem final parar a produção? (ii) Qual é o número médio de geradore na eteira tranportadora? (iii) O engenheiro de produção afirma ue a interrupçõe no departamento de montagem poder er reduzida, aumentando a capacidade da eteira. Na verdade, ele afirma ue a capacidade pode er aumentada até o ponto em ue o departamento de montagem poderá trabalhar 95% do tempo em interrupção. Ea afirmativa é utificável?

7 P r i m e i r o e m e t r e d e Uma lanchonete pode acomodar no máximo peoa entada. O cliente chegam de acordo com uma Poion com uma taxa de 5 por hora e ão atendido (um de cada vez) à taxa de 2 por hora. O ue não coneguem lugar vão procurar outro etabelecimento. (i) Qual é a probabilidade de ue um cliente não coniga entar na lanchonete porue ela etá cheia? (ii) Suponha ue trê amigo uerem comer na lanchonete, ma ó irão fazê-lo e todo puderem er acomodado. Qual é a probabilidade de ue ito aconteça. (iii) Qual a probabilidade de a lanchonete etar com apena metade da ua capacidade. (iv) Determine o número médio e o devio padrão do número de cliente na lanchonete. (v) Qual é o número eperado de lugare vago na lanchonete? O Modelo M/M//GD/c/. Uma barbearia com 2 barbeiro pode acomodar um máximo de 5 peoa de cada vez (3 eperando e 2 endo atendido). O freguee chegam de acordo com uma ditribuição de Poion em média a cada 2/3 minuto. O barbeiro atende em média 4 cliente por hora egundo uma exponencial. (i) Que percentagem do tempo o barbeiro etá ocioo? (ii) Qual a taxa de chegada efetiva de freguee? (iii) Que fração de freguee potenciai vai embora? (iv) Qual o número eperado de freguee aguardando atendimento? (v) Quanto tempo em média um freguê fica na barbearia? 2. O etor de reclamaçõe da loa Tabaara poui capacidade para no máximo uatro cliente. Sabe-e ue chega um cliente a cada 5 minuto para fazer uma reclamação e ue há doi funcionário trabalhando no memo. Sabe-e também ue um funcionário leva em média 8 minuto para atender um cliente. (i) Qual a probabilidade do etor de reclamaçõe ter apena um cliente efetuando uma reclamação? (ii) Qual a probabilidade de ue alguém ue ueira fazer uma reclamação tenha ue eperar na fila? (iii) Determine o número eperado de cliente ue não erão atendido em um dia normal de 8 hora de trabalho do atendente. (iv) O gerente acha ue não ão neceário doi funcionário e uer reduzir para apena um. Determine em uanto aumentaria o tempo de epera e io for colocado em prática.

8 P r i m e i r o e m e t r e d e A emergência do Hopital Madre Cotovia poui capacidade para no máximo ete paciente. Sabee ue um paciente chega na emergência a cada 7,5 minuto, em média e ue exitem trê médico trabalhando na mema. Sabe-e também ue um médico leva, em média, dez minuto para atender um paciente. (i) Qual a probabilidade da emergência etar lotada? (ii) Paciente ue encontram a emergência lotada ão enviado para outro hopitai. Qual a perda de paciente por hora? 4. O ecritório de uma emprea aérea tem 2 funcionária atendendo telefonema para reerva de vôo. Além dio, uma chamada pode ficar em epera até uma da funcionária etar diponível para atender. Se a 3 linha etão ocupada a chamada recebe o inal de ocupado e a reerva é perdida. A chamada ocorrem aleatoriamente (Poion) a uma taxa média de uma por minuto. A duração de cada ligação tem uma ditribuição exponencial com uma média de 2 minuto. Determine: (i) Quanta chamada erão perdida ao longo de um período de 8 hora? (ii) A probabilidade de ue uma chamada ea imediatamente atendida por uma funcionária. (iii) O número de cliente efetivamente atendido ao longo de uma hora. (iv) A chamada ficará na linha de epera. (v) A chamada receberá o inal de ocupado. 5. Um alão com 3 atendente tem 7 cadeira de epera, além da de trabalho. O freguee ue chegam uando toda a cadeira etão ocupada, vão embora. O freguee chegam, em média, a cada 6 minuto e 24 egundo egundo uma exponencial e o tempo de atendimento é de,25 hora por cliente, em média. (i) Qual a probabilidade de um freguê chegar e er imediatamente atendido? (ii) Qual o número médio de freguee eperando para erem atendido? (iii) Qual a taxa efetiva de cliente ue coneguem er atendido? (iv) Quanto tempo, em média, um freguê fica no alão? (v) Que percentual de freguee vai embora?

9 P r i m e i r o e m e t r e d e 2 4 O Modelo M/M/R/GD/K/K. Uma peuena companhia de tranporte rodoviário poui uma frota homogênea, tanto na capacidade de tranporte uanto na vida útil de eu oito caminhõe. Obervou-e ue o caminhõe uebram egundo uma ditribuição exponencial de média igual a 5 dia, devendo entrar em manutenção. Exite uma única oficina para ee fim cua euipe de 2 mecânico gata no conerto de cada veículo um tempo exponencialmente ditribuído com média de 4,5 dia. (i) Analie a eficiência da oficina, calculando a ua caracterítica operacionai, entre ela a ocioidade do mecânico e o número médio de caminhõe operando. (ii) Cada caminhão fatura, em média, R$ 2, por dia líuido. Aim cada caminhão parado pode er entendido como um preuízo diário dee valor. Determine e eria conveniente contratar mai um mecânico com um alário menal de R$2375, mai 6% de encargo ociai. (iii) Até uanto eria viável pagar a um novo mecânico e for coniderado o encargo ociai. 2. Um grupo de 5 máuina é utilizado para realizar tarefa em uma fábrica. Cada máuina uebra egundo um proceo de Poion de taxa de dua veze a hora. A máuina uebrada ão conertada por trê funcionário ue realizam o conerto em tempo exponencialmente ditribuído com média de 45 minuto. (i) Avalie o funcionamento dee grupo de máuina. (ii) Se a probabilidade de toda a máuina etarem uebrada a um memo tempo for uperior a % então erá neceário contratar um novo mecânico. Jutifiue e io é neceário, nea ituação. (iii) Faça um diagrama da ditribuição de probabilidade do número de máuina operando e determine o número mediano de máuina operando. (iv) Determine o devio padrão do número de máuina em operação. 3. A Toolco opera uma oficina de uinagem com um total de 22 máuina. Sabe-e ue cada máuina uebra uma vez a cada dua hora, em média. O conerto demora 2 minuto, em média. Tanto o tempo entre uebra uanto o de conerto eguem uma exponencial. A Toolco uer determinar o número ótimo de mecânico de manutenção neceário para manter a oficina em funcionamento confortavelmente. Analie a ituação com uma invetigação obre a produtividade da máuina em função do número de mecânico de manutenção. Tal medida é definida como: Produtividade da máuina (Má. diponívei Má. uebrada)/má. Diponívei. Faça um gráfico da produtividade da máuina com valore do número de mecânico variando no intervalo de a 8. Qual eria a ua recomendação para a direção da emprea obre o número ótimo de mecânico. Conidere para io o valor ue proporciona o maior aumento na produtividade da máuina.

10 P r i m e i r o e m e t r e d e Um operador cuida de 5 máuina. Apó cada tarefa a máuina deve er reautada ante de iniciar a próxima. O tempo para procear uma tarefa e ditribui de acordo com uma exponencial com média de 45 minuto. O tempo de preparação para a próxima tarefa egue uma exponencial com média de 8 minuto. (a) Determine o número médio de máuina ue etão eperando aute ou endo autada. (b) Calcule a probabilidade de toda a máuina etarem funcionando. (c) Determine o tempo médio de paraliação de uma máuina. (d) Determine a probabilidade de o mecânico etar ocupado. 5. Conidere um caino com 2 máuina caça-níuei ue concedem prêmio egundo um proceo de Poion de taxa de doi prêmio por hora. Cada vez ue uma máuina concede um prêmio, fica travada até ue um atendente a coloue em funcionamento novamente. Exite no caino um único atendente para realizar ee erviço em um tempo exponencialmente ditribuído com média de 2 minuto. Determine: (a) a probabilidade de exitirem mai do ue 5 caça-níuei travado em um dado intante e (b) o número médio de caça-níuei travado em um dado intante. (c) o tempo médio ue um caçaníuel fica fora de erviço. (d) Determine o devio padrão do número de caça-níuei fora de erviço. FORMUÁRIO DE TEORIA DAS FIAS (QUEUEING THEORY) Na notação de Kendall uma fila é decrita por: A/B/C/Z/K/m Ou mai reumidamente por A/B/C, onde é aumido ue Z FIFO, K e m. Valore de A mai comun. M: ão iid tendo uma ditribuição exponencial; G: ão iid tendo uma ditribuição genérica; D: ão iid e determinítico; Ek: ão iid com ditribuição de Erlang de parâmetro k. Valore de B mai comun. M: ão iid tendo uma ditribuição exponencial; G: ão iid tendo uma ditribuição genérica; D: ão iid e determinítico; Ek: ão iid com ditribuição de Erlang de parâmetro k. A terceira caracterítica (C) repreenta o número de ervidore ue atuam em paralelo. A uarta caracterítica (Z) repreenta a diciplina da fila. A mai comun ão: FIFO Firt In, Firt Out ou FCFS Firt Come, Firt Served; IFO at In, Firt Out ou CFS at Come, Firt Served; SIRO Service In Random Order;

11 P r i m e i r o e m e t r e d e 2 4 GD Diciplina Genérica. Ob.: Z erá omitido uando a diciplina for FIFO. A uinta caracterítica (K) é o número máximo de cliente permitido no itema. O número de cliente inclui o ue etão na fila e o em atendimento. Ob. K é omitido uando for infinito. A exta caracterítica (m) é o tamanho da população ou fonte do itema. A meno ue o número de cliente ea o memo ue o de ervidore a população é coniderada infinita. A notação utilizada na teoria da fila é variada, ma em geral, a eguinte ão comun: número médio de cliente ue entram no itema por unidade de tempo; número médio de cliente atendido (ue aem do itema) por unidade de tempo; R Servidore (mecânico) no itema; K número de máuina ou aparelho no itema; número médio de cliente no itema; número médio de cliente na fila; número médio de cliente endo atendido; W tempo médio ue o cliente fica no itema; W tempo médio ue o cliente fica na fila; W tempo médio ue um cliente leva para er atendido; W(t) a probabilidade de ue um cliente fiue mai do ue um tempo t no itema; W (t) FDA do tempo de epera na fila; w (t) fdp do tempo de epera na fila; W(t) FDA do tempo de permanência no itema; T tempo gato na fila e T tempo gato no itema. Aim e um itema de fila etá em etado etacionário, tem-e: (ei de ittle) W W W Repreentando por p k a probabilidade de ue o itema contenha k membro (ou etea no etado E k ) em um momento t futuro, tem-e: p. k k Para ue o itema etea em euilíbrio é neceário ue em algum momento ue o fluxo uede Entrada, dado por: E k k- p k- + k+ p k+ ea igual ao Fluxo de Saída: E k ( k + k )p k. Em euilíbrio o doi fluxo devem er iguai e então: k- p k- + k+ p k+ ( k + k )p k A olução dea euação fornece:... k p p e k p... p 2 k

12 P r i m e i r o e m e t r e d e 2 4 k i Então: p k p (Euação báica da TF) e p i k i+ i + k i i+ Condição de etabilidade: ρ < ou Condição de Ergodicidade: <. k k p + e p k p k para k > Ditribuição de Poion f(x) P(X x) x e x! para x., 2,... E(X) σ 2 V(X) Ditribuição Exponencial α. e f(t) αt e e t t < e F(t) - e -α t e t < e t E(X) /α e σ 2 V(X) /α 2. Portanto σ /α. Sitema M/M//GD/ / ρ p k P ( ) k ρ ρ N ρ ρ ρ2 2 ρ ρ ( ) W W ( ) W σ N ρ ρ P (N k) ρk -(- ρ)t P(T > t) e -( )t P(T > t) ρe Prof. or í Viali, Dr. - http: // ucr.br /famat /viali/ - Epecializ ação em Engenharia

13 P r i m e i r o e m e t r e d e 2 4 Sitema M/M//GD/ / ρ P i (ρ) (ρ) i i!!( ) + ρ (ρ) p p,! 2,..., (ρ) P p, +, + 2,...! + P( ) ρ ρ W P( ) + W P( ) W P( ) (ρ) P!( ρ) p S S 2 + p + p p S S S S W(t) e (ρ) p [ t( e +!( ρ)( ρ) ] ρ) t (ρ) p W (t) t( ρ) e!( ρ) Sitema M/M//GD/c/ C ( p C ) ρ S C W S ρ[ (c + ) ρ + cρ ( c+ ρ )( ρ) c c+ ] ρ p c+ ρ p ρ p p W ( p ) c W ( p ) c W ( pc) Se c/2 p,,..., c c + Prof. orí Viali, Dr. - http: // ucr.br/famat /viali/ - Epecializ ação em Engenharia

14 P r i m e i r o e m e t r e d e 2 4 Sitema M/M//GD/c m ρ ( p ) ( p ) c! ρ + ρ ρ ( ) ( ) c +!! ρ + (c + )!! p c e ρ e ρ + p ρ { [+ ( ρ)(c )] ρ 2! ( ρ) (c )(c + ) p! 2 + p ρ { [+ ( ρ)(c ρ)] ρ 2! ( ρ) (c )(c + ) 2 p + S! 2 c c } e ρ e ρ } + ρ e ρ e ρ p p! p! e,,..., - e,..., c W p ρ { ρ 2 c ( ρ) (! ρ p ) p (c )(c + ) 2 (! p ) c [ + ( ρ)(c )]} e ρ e ρ p ρ { ρ 2 c ( ρ) (! ρ p ) W p (c )(c + ) + 2 (! p ) c [ + ( ρ)(c )]} + e ρ e ρ Sitema M/M/R/GD/K/K (Oficina de Manutenção) R e,,..,r e R +, R + 2,..., K ( K ) K! ρ R K ρ K P + R R+ R!R K R K p p ρ + R! K ρ! K R R+ R k P p e,,.., R ρ K ( R) p R R R 2 + p + p pr R R R p W (K ) W (K ) k! p ρ P e R +, R + 2,..., K R R!R W S (K ) Ob. O valor ρ é denominado de taxa de ocupação do itema. Prof. orí Viali, Dr. - http: // ucr.br/famat /viali/ - Epecialização em Engenharia

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