A transformada de Laplace pode ser usada para resolver equações diferencias lineares com coeficientes constantes, ou seja, equações da forma

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1 Introdução A tranformada de Laplace pode er uada para reolver equaçõe diferencia lineare com coeficiente contante, ou eja, equaçõe da forma ay + by + cy = ft), para a, b, c R Para io, a equação diferencial é inicialmente tranformada pela tranformada de Laplace numa equação algébrica. Depoi reolve-e a equação algébrica e finalmente tranforma-e de volta a olução da equação algébrica na olução da equação diferencial inicial. A tranformada de Laplace de uma função f : [, ) R é definida por Lf)) = F ) = e t ft)dt. para todo em que a integral acima converge. Repreentaremo a função original por uma letra minúcula e a ua variável por t, e a ua tranformada de Laplace pela letra correpondente maiúcula e a ua variável. Por exemplo, a tranformada de Laplace da funçõe ft), gt) e ht) erão repreentada por F ), G) e H), repectivamente. Exemplo. A tranformada de Laplace da função f : [, ) R definida por ft) = é dada por F ) = e t dt = e t e T = lim T e = e =, para >. Exemplo. Seja a uma contante real. A tranformada de Laplace da função f : [, ) R definida por ft) = e at é dada por F ) = e t e at dt = e a)t dt = e a)t a = e a) a =, para > a. a

2 Exemplo 3. Seja a uma contante real. Vamo determinar a tranformada de Laplace da funçõe f : [, ) R dada por ft) = co at e g : [, ) R dada por gt) = en at. Para io, vamo calcular a tranformada de Laplace da função h : [, ) R definida por ht) = e iat. H) = e t e iat dt = e ia)t dt = e ia)t ia) = lim T e T co at + i en at ) e ia) ia) = e ia) ia =, para >. ia Calculamo a acima a tranformada de Laplace de H) = Lh)) = ht) = e iat = co at + i en at = ft) + igt) e t co at + i en at) dt = Lf)) + ilg)) = F ) + ig) Comparando a parte real imaginária) do lado direito com a parte real imaginária) do lado equerdo da igualdade obtemo F ) = Re{ ia } = Re{ + ia ia) + ia) } = + a, para > G) = Im{ ia } = Im{ + ia ia) + ia) } = a, + a para >. Exemplo 4. Seja n um inteiro poitivo. Vamo calcular a tranformada de Laplace da função f : [, ) R dada por f n t) = t n, para n =,,,... F n ) = e t t n dt = tn e t n e t t n dt = n e t t n dt = n F n ) Aplicando-e recurivamente a fórmula obtida obtemo F n ) = nn ) F n ) = nn )... F n )

3 ma F ) = é a tranformada de Laplace da função contante, ou eja, F ) =. a tranformada de Laplace de f n t) = t n, para n =,,,... é F n ) = n!, para >. n+ Para calcular a tranformada de Laplace de outra funçõe vamo uar a propriedade que apreentamo a eguir. Teorema Linearidade). Se a tranformada de Laplace de ft) é F ), para > a, e a tranformada de Laplace de gt) é G), para > a, então para contante α e β Lαf + βg)) = αlf)) + βlg)) = αf ) + βg), para > max{a, a }. Teorema ọ Teorema de Delocamento). Seja a uma contante. Se a tranformada de Laplace da função f : [, ) R é F ), para > c, então a tranformada de Laplace da função gt) = e at ft) é G) = F a), para > a + c Exemplo 5. Sejam a e b contante. Uando o Teorema anterior obtemo que a tranformada de Laplace de f : [, ) R dada por ft) = e bt co at é dada por F ) = b, para > a. b) + a

4 Exemplo 6. Sejam a e b contante. Uando o Teorema anterior obtemo que a tranformada de Laplace de f : [, ) R dada por ft) = e bt en at é dada por F ) = a, para > a. b) + a Exemplo 7. Seja a um contante e n um inteiro poitivo. Uando o Teorema anterior obtemo que a tranformada de Laplace de f : [, ) R dada por ft) = e at t n é dada por F ) = n!, para > a. a) n+ Exemplo 8. Seja a uma contante. Pelo Teorema anterior a tranformada de Laplace do coeno hiperbólico de at, ft) = coh at = eat + e at, é dada por F ) = a + + a = a, para > a. Exemplo 9. Seja a uma contante. Pelo Teorema anterior a tranformada de Laplace do eno hiperbólico de at, ft) = enh at = eat e at, é dada por F ) = a + a = a a, para > a. Exemplo. Se a tranformada de Laplace de uma função ft) é F ) = então vamo determinar a função ft). Para io vamo decompor F ) em fraçõe parciai. O denominador de F ) tem dua raíze reai = e =. F ) = + 3 ) ) = A + B, em que A e B ão contante a determinar. Multiplicando F ) por ) ) obtemo + 3 = A ) + B ) = A + B) + A B)

5 Comparando o termo de memo grau obtemo = A + B e 3 = A B de onde obtemo que A = 4 e B = F ) = ) ) = e a função cuja tranformada é F ) é ft) = 4e t + 5e t. Exemplo. Se a tranformada de Laplace de uma função ft) é 3 F ) = então vamo determinar a função ft). O denominador de F ) tem omente uma raiz real, =. Podemo reecrever F ) da eguinte forma F ) = 3 + ) = ) = + + ) ) = ). Obervando a Tabela na página, uando o ọ Teorema do delocamento e o Teorema da Linearidade vemo que a função cuja tranformada de Laplace é F ) é dada por ft) = e t 5e t t. Exemplo. Se a tranformada de Laplace de uma função ft) é F ) = + + então vamo determinar a função ft). Completando quadrado podemo reecrever F ) da eguinte forma F ) = + + = [ + + ] = [ + /) + 3/4] = + / 5/ [ + /) + 3/4] = + / [ + /) + 3/4] 5/ [ + /) + 3/4] = + / + /) + 3/ /) + 3/4 = + / + /) + 3/4 5 3/ 3 + /) + 3/4

6 Obervando a Tabela na página, uando o ọ Teorema do delocamento e o Teorema da Linearidade vemo que a função cuja tranformada de Laplace é F ) é dada por ) ) ft) = 3 e t/ co t e t/ en t.

7 Solução de Problema de Valor Inicial Dizemo que uma função f : [, ) R é eccionalmente contínua ou contínua por parte e ft) é contínua em [, ) exceto poivelmente em um número finito de ponto, no quai o limite laterai exitem. Teorema 3 Derivação). a) Suponha que f : [, ) R eja derivável com f t) eccionalmente contínua. Então Lf )) = F ) f), em que F ) é a tranformada de Laplace de ft). b) Suponha que f : [, ) R eja derivável dua veze com f t) eccionalmente contínua. Então Lf )) = F ) f) f ), em que F ) é a tranformada de Laplace de ft). Exemplo 3. Seja a uma contante. Seja ft) = t en at. Vamo determinar F ). f t) = en at + at co at f t) = a co at a t enat = a co at a ft) aplicando-e a tranformada de Laplace e uando o Teorema anterior obtemo F ) f) f ) = a + a a F ) F ) = a + a )

8 Exemplo 4. Seja a uma contante. Seja ft) = t co at. Deixamo como exercício motrar que F ) = a + a ) Exemplo 5. Vamo reolver o eguinte problema de valor inicial y + y + 5y = 4e t co t, y) =, y ) = Aplicando-e a tranformada de Laplace à equação acima obtemo Y ) y) y ) ) + + Y ) y)) + 5Y ) = 4 + ) + 4 Subtituindo-e o valore y) = e y ) = obtemo ) + Y ) = 4 + ) = ) + + 5) = Y ) = ) Como o denominador tem omente raíze complexa, para decompor Y ) em fraçõe parciai vamo encontrar A, B, C e D tai que ou eja Y ) = A + B C + D + + 5) = A + B) + + 5) + C + D) = A 3 + B + A) + B + 5A + C) + 5B + D)

9 Comparando-e o termo de memo grau obtemo o itema A = A + B = 4 5A + B + C = 3 5B + D = 4 que tem olução A =, B =, C = 4 e D = 4. Y ) = = De onde obtemo ) = ) [ + ) + 4] + + ) ) + + ) + 4 [ + ) + 4] yt) = e t co t + e t en t + te t en t

10 6 Tabela de Tranformada de Laplace Tranformada de Laplace Elementare ft) F ) = Lf)) ft) F ) = Lf)) co at, para > eat a, para > a + a, para > en at a + a, para > t n, para n Z + n! n+, para > eat ft) F a) f t) F ) f) f t) F ) f) f ) t co at a + a ), > t en at a + a ), > en at at co at a 3 + a ), > δt t ))) e t, > u a t) = {, t< a, t a e a, para > u at)ft a) e a F ) ft)δt t ))) e t ft ), > t ft τ)gτ)dτ F )G)

11 7 Exercício. Reolva o problema de valor inicial: a) y + y y = t, y) =, y ) = b) y + 4y = t + 3e t, y) =, y ) = c) y y + y = te t + 4, y) =, y ) = d) y y 3y = 3te t, y) =, y ) = e) y + 4y = 3 en t, y) =, y ) = {, para t < π/ f) y +y=ft), y) =,y ) =, em que ft) =, para t π/, para t < π g) y +y +y = ft), y) =,y ) =, em que ft) =, para π t < π, para t π { en t, para t < π h) y + 4y = ft), y) =,y ) =, em que ft) =, para t π { en t, para t < π i) y + 4y = ft), y) =,y ) =, em que ft) =, para t π {, para t < j) y + 3y + y = ft), y) =,y ) =, em que ft) =, para t {, para t < k) y + 3y + y = ft), y) =,y ) =, em que ft) =, para t {, para t < 3π l) y + y = ft), y) =,y ) =, em que ft) =, para t 3π { en t, para t < π m) y +y + 5y = ft), y) = 4,y ) =, em que ft) =, para t π n) y + 4y = ft), y) =,y ) =, em que ft) = o) y + y = δt π) co t, y) =, y ) = p) y + 4y + 4y = ft), y) =, y ) = 3. Reolva o problema: y 6y + 8y = en t, y) = y ) =, para t < π, para π t < 3π, para t 3π

12 a) em uar tranformada de Laplace b) uando tranformada de Laplace

13 8 Repota do Exercício. a) Y ) y) y ) ) + Y ) y)) Y ) = Subtituindo-e o valore y) = e y ) = obtemo + ) Y ) = + Y ) = = + ) ) + + ) ) + + ) ) Y ) = A + B + C + + D + = A + ) + B + ) + C ) + D + ) = A + C + D) 3 + A + B C + D) + A + B) + B) Comparando-e o termo de memo grau obtemo o itema A + C + D = A + B C + D = A + B = B = que tem olução A = /, B =, C = / e D =. Y ) = / / + + yt) = t e t + e t

14 5 y 4 3 x.5.5 b) Y ) y) y ) ) + 4Y ) = Subtituindo-e o valore y) = e y ) = obtemo + 4 ) Y ) = Y ) = 3 + 4) + 3 ) + 4) ) = A + B + C + D + E = A + 4) + B + 4) + C + 4) + D + E) 3 = A + D) 4 + B + E) 3 + 4A + C) + 4B + 4C Comparando-e o termo de memo grau obtemo o itema A + D = B + E = 4A + C = 4B = 4C =

15 que tem olução A = /8, B =, C = /, D = /8 e E = ) = / ) + 4) = A + B + C = A + 4) + B + C) ) = A + B) + B + C) + 4A C) A + B = B + C = 4A C = 3 que tem olução A = 3/5, B = 3/5 e C = 3/5. 3 ) + 4) = 3/ = 3/ Y ) = / / yt) = t 9 4 co t et + 7 en t 6 y x c) Y ) y) y ) ) Y ) y)) + Y ) = ) + 4

16 Subtituindo-e o valore y) = e y ) = obtemo + ) Y ) = ) Y ) = = ) ) + ) ) ) + 4 ) = A + Multiplicando-e por ) obtemo B + C ) 4 = A + ) + B ) + C Comparando-e o termo de memo grau obtemo o itema A + B = A B + C = A = 4 que tem olução A = 4, B = 4 e C = 4. Y ) = ) ) + = 6 6 ) ) yt) = 6 t3 e t + 4 3e t + 4te t

17 8 y x d) Y ) y) y ) ) Y ) y)) 3Y ) = 3 ) Subtituindo-e o valore y) = e y ) = obtemo 3 ) Y ) = 3 ) + Y ) = 3 3) ) + 3 = 3 3) + ) ) + 3) + ) = 3 + ) 3 3) + ) ) = Y ) = ) + ) ) A 3 + B + + C + D ) Multiplicando-e Y ) por 3) + ) ) obtemo = A + ) 4 + 4) + B 3) 4 + 4) + C 3) ) + D 3)

18 Comparando-e o termo de memo grau obtemo o itema A + B + C = 3A 7B 4C + D = 6 6B + C D = 4A B + 6C 3D = 5 Reolvendo-e o itema por ecalonamento obtemo a olução A =, B = /3, C = /3 e D =. Y ) = 3 + /3 + /3 ) yt) = e 3t + 3 e t 3 et te t 9 y x e) Y ) y) y ) ) + 4Y ) = Subtituindo-e o valore y) = e y ) = obtemo Y ) = + 4 ) Y ) = ) + + 4

19 = ) = ) yt) = 3 8 en t t co t) + co t en t = co t 8 en t 3 t co t 4 y x f) Y ) y) y ) ) + Y ) = e π/ Subtituindo-e o valore y) = e y ) = obtemo + ) Y ) = e π/ + em que Y ) = = + ) + e π/ + ) H) e π/ H), H) = + )

20 yt) = en t + ht) ht π/)u π/ t). H) = A + B + C +. Multiplicando-e H) por + + ) obtemo = A + ) + B + C) = A + B) + C + A A + B = C = A = que tem olução A =, B = e C =. H) = + De onde obtemo que a função cuja tranformada de Laplace é H) é ht) = co t e a olução do problema de valor inicial é dado por yt) = en t + ht) ht π/)u π/ t) = co t + en t u π/ t) en t)..5 y x g) Y ) y) y ) ) + Y ) y)) + Y ) = e π e π

21 Subtituindo-e o valore y) = e y ) = obtemo + + ) Y ) = e π e π + em que Y ) = e π e π + + ) + = e π e π )H) + H) = + + ) ) +, yt) = ht π)u π t) ht π)u π t) + e t en t. H) = A + B + C + +. Multiplicando-e H) por + + ) obtemo = A + + ) + B + C) = A + B) + A + C) + A A + B = A + C = A = que tem olução A =, B = e C =. H) = = + + ) + = + + ) + + ) + De onde obtemo que a função cuja tranformada de Laplace é H) é ht) = e t co t e t en t e a olução do problema de valor inicial é dado por yt) = ht π)u π t) ht π)u π t) + e t en t.

22 . y x h) Y ) y) y ) ) + 4Y ) = + e π + Subtituindo-e o valore y) = e y ) = obtemo + 4 ) Y ) = + e π + Y ) = + ) + 4) e π + ) + 4) = H) e π H) em que H) = + ) + 4) Multiplicando-e por + ) + 4): yt) = ht) u π t)ht π) H) = A + B + + C + D + 4 = A + B) + 4) + C + D) + ) = A + C) 3 + B + D) + 4A + C) + 4B + D)

23 Comparando-e o termo de memo grau obtemo o itema A + C = B + D = 4A + C = 4B + D = Reolvendo-e o itema obtemo a olução A =, B = /3, C = e D = /3. H) = /3 + + /3 + 4 ht) = 3 en t en t 6 yt) = ht) u π t)ht π) = 3 en t 6 en t u πt) 3 en t en t) 6.5 y x i) Y ) y) y ) ) + 4Y ) = + + e π + Subtituindo-e o valore y) = e y ) = obtemo + 4 ) Y ) = + + e π + Y ) = + ) + 4) + e π + ) + 4) = H) + e π H)

24 em que H) = + ) + 4) yt) = ht) + u π t)ht π) Do exercício anterior temo que H) = /3 + + /3 + 4 ht) = 3 en t en t 6 e portanto yt) = ht) + u π t)ht π) = 3 en t 6 en t u πt) 3 en t + en t) 6.5 y x j) Y ) y) y ) ) + 3 Y ) y)) + Y ) = e Subtituindo-e o valore y) = e y ) = obtemo ) Y ) = e Y ) = ) e ) = H) e H)

25 em que H) = H) = ) yt) = ht) u t)ht ) ) = + ) + ) = A + Multiplicando H) por ) obtemo B + + C + = A ) +B+)+C+) = A+B+C) +3A+B+C)+A A + B + C = 3A + B + C = A = que tem olução A = /, B = e C = /. H) = ht) = e t + e t yt) = ht) u t)ht ) y x. 5 5 k) Y ) y) y ) ) + 3 Y ) y)) + Y ) = e

26 Subtituindo-e o valore y) = e y ) = obtemo ) Y ) = e + Y ) = e ) = Y ) + e H) em que H) = ) e Y ) = Y ) = yt) = y t) u t)ht ) = Y ) = Multiplicando Y ) por : + ) + ) = A + + = A + ) + B + ) = A + B) + A + B) { A + B = A + B = que tem olução A = e B =. Do exercício anterior Y ) = + + y t) = e t e t. H) = B + ht) = e t + e t yt) = y t) + u t)ht ) = e t e t + u t)ht )

27 y x l) Y ) y) y ) ) + Y ) = e 3π Subtituindo-e o valore y) = e y ) = obtemo em que + ) Y ) = e 3π + e 3π Y ) = + ) + + = e 3π H) + +, H) = + ) yt) = en t + ht 3π)u 3π t). H) = A + B + C +. Multiplicando-e H) por + + ) obtemo = A + ) + B + C) = A + B) + C + A A + B = C = A =

28 que tem olução A =, B = e C =. H) = + De onde obtemo que a função cuja tranformada de Laplace é H) é ht) = co t yt) = en t + ht 3π)u 3π t) = en t + u 3π t)[ cot 3π)].5 y.5.5 x m) Y ) y) y ) ) + Y ) y)) Y ) = + + e π + Subtituindo-e o valore y) = e y ) = obtemo ) Y ) = e π + Y ) = + ) ) + e π ) ) = H) + e π H) em que H) = + ) )

29 yt) = ht) + u π t)ht π) H) = + ) ) = A + B + + C + D Multiplicando-e H) por + ) ) : = A + B) ) + C + D) + ) = A + C) 3 + A + B + D) A + B + C) B + D) A + C = A + B + D = 5 4 A + B + C = 5 4 B + D = Reolvendo-e o itema por ecalonamento obtemo a olução A = 6/7, B = 4/7, C = 6/7 e D = /7. H) = ) = ) /) + = ) /4 + /) + = ) / + /) /) + ht) = co t + en t + 4e t/ co t + e t/ en t ) yt) = ht) + u π t)ht π)

30 y.5.5 x n) Y ) y) y ) ) + 4Y ) = e π e 3π Subtituindo-e o valore y) = e y ) = obtemo + 4 ) Y ) = e π e 3π Y ) = e π e π + 4) = e π e 3π )H), em que H) = + 4) yt) = u π t)ht π) u 3π t)ht 3π). H) = + 4) = A + B + C + 4. Multiplicando-e H) por + 4) obtemo = A + 4) + B + C) = A + B) + C + 4A A + B = C = 4A =

31 que tem olução A = /, B = / e C =. H) = + 4 De onde obtemo que a função cuja tranformada de Laplace é H) é ht) = 4 co t 4 yt) = u π t)ht π) u 3π ht 3π) y x o) Y ) y) y ) ) + Y ) = e π coπ) Subtituindo-e o valore y) = e y ) = obtemo + ) Y ) = e π + Y ) = e π e a olução do problema de valor inicial é dado por yt) = u π t) ent π) + en t = u π t) + )en t.

32 p) Y ) y) y ) ) + 4 Y ) y)) + 4Y ) = G) Subtituindo-e o valore y) = e y ) = 3 obtemo ) Y ) = G) Y ) = = G) G) + ) ) Multiplicando-e por + ) obtemo ) = A + + B + ) 5 + = A + ) + B = A + A + B) Comparando-e o termo de memo grau obtemo o itema { A = A + B = 5 que tem olução A = e B =. Y ) = G) + ) ) yt) = e t t g)t) + e t + e t t = t e t τ) t τ)gτ)dτ + e t + e t t. a) A equação caracterítica é r 6r + 8 =, que tem raíze r = e r = 4. A equação homogênea correpondente tem olução geral yt) = c e t + c e 4t.

33 Uma olução particular da equação não homogênea é da forma y p t) = A co t+ B in t. Subtituindo-e y p t), y pt) e y pt) na equação: 7A 6B) co t + 6A + 7B) in t = in t De onde obtemo A = 6/85 e B = 7/85. homogênea é yt) = 6 85 co t in t + c e t + c e 4t A olução geral da equação não y ) = = c + 4c c = / e c = /34. y) = = c + c yt) = 6 85 co t in t et + 34 e4t b) Y ) y) y ) ) 6 Y ) y)) + 8Y ) = + Subtituindo-e o valore y) = e y ) = obtemo ) Y ) = + Y ) = 6 + 8) + ) 6 + 8) + ) = A + B 4 + C + D + Multiplicando-e por 6 + 8) + ) obtemo = A 4) + ) + B ) + ) + C + D) 6 + 8) = A + B + C) 3 + 4A B 6C + D) + +A + B + 8C 6D) + 4A B + 8D)

34 Comparando-e o termo de memo grau obtemo o itema A + B + C = 4A B 6C + D = A + B + 8C 6D = 4A B + 8D = que tem olução A = /, B = /34, C = 6/85 e D = 7/85. Y ) = yt) = et + 34 e4t co t in t

35 Referência [] William E. Boyce and Richard C. DiPrima. Equaçõe Diferenciai Elementare e Problema de Valore de Contorno. Livro Técnico e Científico Editora S.A., Rio de Janeiro, 7a. edition,. [] Erwin Kreizig. Matemática Superior. Livro Técnico e Científico Editora S.A., Rio de Janeiro, a. edition, 985. [3] Denni G. Zill and Michael R. Cullen. Equaçõe Diferenciai. Makron Book, São Paulo, 3a. edition,.

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