Simplified method for calculation of solid slabs supported on flexible beams: validation through the non-linear analysis

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1 Teoria e Prática na Engenharia Civil, n.14, p.71-81, Outubro, 2009 Método implificado para cálculo de laje maciça apoiada em viga fleívei: validação por meio da análie não linear Simplified method for calculation of olid lab upported on fleible beam: validation through the non-linear anali Joé Milton de Araújo Ecola de Engenharia da FURG Rio Grande, RS RESUMO: O objetivo dete trabalho é demontrar a validade do método implificado propoto pelo Autor para cálculo de laje maciça de concreto armado apoiada em viga fleívei. Ee método implificado foi validado anteriormente, por comparação com reultado numérico obtido atravé de uma análie linear elaborada com o emprego do método do elemento finito. Nete trabalho, emprega-e um modelo não linear para a análie integrada de pio de concreto armado, contituído por laje maciça apoiada em viga. Ee modelo não linear é utilizado como referência para confirmar a validade do método implificado propoto. ABSTRACT: The ubject of thi work i to demontrate the validit of the implified method propoed b the Author for deign of reinforced concrete olid lab upported on fleible beam. Thi implified method wa validated previoul, b it comparion with numerical reult obtained through a linear anali baed on the finite element method. In thi work, a non-linear model i emploed for anali of reinforced concrete floor, contituted b olid lab upported on beam. Thi non-linear model i ued a reference to confirm the validit of the implified method propoed. 1. INTRODUÇÃO Em artigo anterior [1], foi feita uma análie elática linear de pavimento de concreto armado, contituído por laje maciça apoiada em viga deformávei. Para a realização dea análie acoplada do itema laje-viga, foi empregado um programa de computador deenvolvido com bae no método do elemento finito (MEF). Na formulação do MEF, a laje ão dicretizada em elemento finito ioparamétrico quadrático de 8 nó, conforme decrito na referência [2,3]. A formulação do elemento é baeada na teoria de placa de Mindlin. A viga ão dicretizada com elemento finito de trê nó, formulado com bae na teoria de viga de Timohenko, conforme decrito na referência [4]. Nea análie numérica, coniderou-e que a laje etiveem no etádio I. Para a viga, foram coniderada dua ituaçõe: viga no etádio I, com rigidez à fleão I, e viga no etádio II E c com uma rigidez reduzida 0,4E c I, conforme ugerido na NBR-6118[5], onde I é o momento de inércia da eção de concreto imple e E c é o módulo de deformação longitudinal ecante do concreto. Além dio, foram feita dua conideraçõe quanto à rigidez à torção da viga: viga em rigidez à torção e viga com rigidez à torção GJ, onde G = 0, 5Ec é o módulo de elaticidade tranveral do concreto e J é a contante de torção da eção tranveral da viga. Ee modelo numérico, baeado no MEF, foi empregado para verificar a precião de algun proceo implificado largamente utilizado no projeto da laje de concreto armado. Do etudo realizado em [1] conclui-e que o tradicional método de cálculo, que conite em coniderar a laje iolada perfeitamente engatada na laje vizinha, não é adequado para a análie de laje apoiada em viga deformávei. Ee método ó é atifatório quando a laje ão apoiada em parede ou em viga muito rígida. Quando a laje ão apoiada em viga

2 72 Teoria e Prática na Engenharia Civil, n.14, p.71-81, Outubro, 2009 deformávei, como é uual no pavimento de edifício de concreto armado, o método tradicional uperetima o momento negativo e ubetima o momento poitivo e a flecha da laje. Da análie numérica realizada com o MEF também foram obtido o eguinte reultado, como endo repreentativo da ituaçõe frequentemente encontrada no edifício: a rigidez à torção da viga pode er deprezada na análie do pavimento; o momento negativo no apoio de etremidade da laje ão muito pequeno e podem er deprezado; o momento torçore no canto implemente apoiado ão pequeno, podendo-e omitir a armadura de canto na face uperior da laje. Ea concluõe ão retrita à ituaçõe uuai, onde a viga ão deformávei e pouem uma rigidez à torção pequena. Uma vez contatado que o método tradicional de cálculo não é atifatório, foi propoto um método implificado para cálculo da laje maciça apoiada em viga deformávei. No método propoto, adota-e o eguinte procedimento: conideram-e toda a laje implemente apoiada, para efeito de cálculo do momento poitivo, flecha e reaçõe de apoio; ee cálculo é feito conforme detalhado na referência [6] para a laje armada em cruz e armada em uma direção; em um bordo comum (apoio interno), adota-e um momento negativo de valor aboluto igual ao do maior momento poitivo da dua laje adjacente, na direção coniderada; a armadura de canto e a armadura negativa no bordo de etremidade podem, em geral, er omitida. A análie do reultado obtido com ee método implificado propoto motrou total coerência com o reultado obtido atravé do MEF. Além dio, também foi motrado que o itema laje-viga, projetado de acordo com ee procedimento, atifaz o equilíbrio do momento totai, memo coniderando que a reaçõe de apoio da laje ão uniformemente ditribuída obre a viga, o que não ocorre no cálculo tradicional. Por último, em função do reultado numérico obtido com o MEF, foi ugerido que a armadura de ditribuição da laje armada em uma direção também repeitem a armadura mínima. No preente trabalho, é feita uma ampliação do etudo anteriormente mencionado, para incluir a não linearidade fíica da laje de concreto armado. A viga do pavimento continuam endo modelada com uma rigidez à fleão β E c I contante, onde β 1. A rigidez à torção da viga é deprezada, em virtude do reultado obtido no trabalho anterior [1]. Para a laje, emprega-e um modelo não linear, o qual é aociado ao método do elemento finito. O detalhe dee modelo podem er obtido na referência [7,8]. Na eçõe eguinte, apreentae uma breve decrição do modelo não linear empregado na modelagem da laje maciça de concreto armado. 2. MODELO LAMINAR PARA ANÁLISE DE LAJES DE CONCRETO ARMADO Na fig. 1, apreenta-e uma laje maciça de concreto armado ituada no plano -, onde a epeura h foi dividida em n camada de concreto de epeura contante Δ h = h n. A laje pode ter divera camada de armadura, orientada arbitrariamente em relação ao itema de eio -. z h 1 n A 1 A 2 Δh Fig. 1 Laje maciça de concreto armado Uma armadura genérica, de área A i por unidade de comprimento, fazendo um ângulo φ i com o eio, é ubtituída por uma lâmina contínua de epeura t i = Ai. Na teoria de placa de Mindlin[9], a rotaçõe θ ão independente da flecha θ (, ) e (, ) ( ) w, da uperfície média da placa. Com io, ão coniderada a deformaçõe por corte da placa. No cao da laje de concreto armado,

3 Teoria e Prática na Engenharia Civil, n.14, p.71-81, Outubro, devem-e coniderar, ainda, o delocamento u o (, ) e v o (, ) no plano da laje, poi, de um modo geral, a uperfície média não coincide com a uperfície neutra. Aim, ao empregar o método do elemento finito, conideram-e cinco grau de liberdade para cada nó do elemento: um delocamento tranveral, dua rotaçõe e doi delocamento no plano do elemento. A matriz de rigidez do elemento finito de placa, K, é dada por e K = B DB da (1) e A e T onde a integração é feita ao longo da área A e do elemento. Na equação (1), B é a matriz que relaciona a deformaçõe generalizada com o delocamento nodai e D é a matriz de contante elática do material, integrada na epeura da laje. Na montagem de K e, pode-e deconiderar a contribuição da armadura, poi, como o equilíbrio é garantido atravé de um proceo iterativo, a matriz de rigidez ó é empregada para inicializar o proceo. A armadura ão incluída no cálculo da açõe nodai não lineare, durante o ciclo iterativo. Dee modo, a matriz D inclui apena a propriedade do concreto. A matriz D, obtida atravé de integração eata ao longo da epeura da laje, é dada por D D = 0 D22 0 (2) 0 0 D33 onde a ubmatriz D 11 inclui o termo de etado plano de tenõe, D 22 inclui o termo de fleão e D 33 inclui o termo correpondente à deformaçõe por corte. Ea ubmatrize dependem da epeura h da laje e da propriedade do concreto: módulo de deformação longitudinal tangente E c e coeficiente de Poion ν. Para levar em conta o efeito da fluência do concreto, conidera-e o módulo de E = 1+ ϕ no lugar de deformação efetivo ( ) ce E c E c, endo ϕ o coeficiente de fluência do concreto. Na ubmatriz D 33 aparece o módulo de Ece deformação tranveral G ce =. 2(1 + ν ) Na obtenção da matriz de rigidez do elemento finito, indicada na equação (1), adota-e um proceo de integração eletiva. Para o termo correpondente à ubmatriz D 33, adota-e integração numérica com 22 ponto de Gau. O demai termo ão integrado com integração completa, adotando-e 33 ponto de Gau ao longo da uperfície do elemento finito. Apó a montagem da matriz de rigidez global da etrutura e a introdução da condiçõe de contorno, reolve-e o itema de equaçõe linearizada para a obtenção da primeira aproimação para o delocamento nodai. O vetor de deformaçõe generalizada ε, em um ponto de integração ituado na uperfície de um elemento finito, é igual a ε = BUe, onde U e repreenta o vetor de delocamento nodai do elemento. Conhecido ε, podem-e obter a deformaçõe normai ε, ε e a ditorção γ no centro de uma camada de concreto genérica, ituada ao longo da epeura da laje. A ditorçõe γ z e γ z não variam na epeura da laje. A tenõe de cialhamento τ z e τ z ão dada por 5 5 τ z = Gceγ z ; τ z = Gceγ z (3) 6 6 onde G ce é o módulo de elaticidade tranveral efetivo do concreto. Na eção eguinte, apreentam-e o modelo contitutivo para o cálculo da tenõe no concreto e na armadura, no plano - da laje. 3 - MODELOS CONSTITUTIVOS PARA OS MATERIAIS DA LAJE Na fig. 2, repreenta-e o diagrama tenãodeformação do concreto, obtido em um enaio de compreão imple. Nea figura, f c correponde à reitência média à compreão do concreto.

4 74 Teoria e Prática na Engenharia Civil, n.14, p.71-81, Outubro, 2009 f c σ c σ ct f ct 1 E ce E ce 1 ε cr ε ct ε o ε u ε c Fig. 2 Diagrama tenão-deformação do concreto comprimido De acordo com o CEB/90 [10], a relação tenão-deformação para o concreto ob compreão uniaial pode er repreentada por 2 kη η σ c = f c (4) 1+ ( k 2) η onde k = E ce ε o fc e η = ε c ε o. Para a deformação ε o, correpondente à máima tenão, adota-e o valor ε o = 0,0022( 1+ ϕ), onde ϕ é o coeficiente de fluência do concreto. A deformação de ruptura é ε u = 0,0035( 1+ ϕ). O módulo de deformação longitudinal efetivo inicial, E ce, é etimado a partir da reitência média à compreão, f c, atravé da epreão com f c e E ce = f c (5) E ce em MPa. ( ) ( 10 ) ϕ De acordo com o CEB/90, a reitência média é dada por f c = f ck + 8 MPa, onde f ck é a reitência caracterítica à compreão do concreto em MPa. Para o concreto tracionado, adota-e o diagrama tenão-deformação indicado na fig. 3. Fig. 3 Diagrama tenão-deformação para o concreto tracionado A tenão de tração no concreto, σ ct σ ct = Eceε ct, e ct ε cr = fct Ece, é dada por ε (6) α ε σ ε cr ct = f ct, e ε ct > ε cr (7) ct onde α = 0,15 fct, com f ct em MPa. A reitência média à tração do concreto, f ct, pode er etimada [10] a partir da reitência caracterítica à compreão, f ck, atravé da epreão 2 3 fck f ct = 1,40 (8) 10 com f ck e f ct em MPa. A equação (7), deenvolvida pelo Autor [7,8], leva em conta a colaboração do concreto tracionado entre fiura. Ea equação repreenta um comportamento pó-fiuração tanto mai frágil, quanto maior for a reitência à tração do concreto. Apó a obtenção da deformaçõe normai ε, ε e da ditorção γ em uma camada genérica, localizada em um ponto de integração na uperfície da laje, calculam-e a deformaçõe principai no concreto ε 1 e ε 2, com ε1 ε 2. Para levar em conta o efeito de Poion, empregam-e a deformaçõe uniaiai equivalente, dada por ε 1e e 2e ε,

5 Teoria e Prática na Engenharia Civil, n.14, p.71-81, Outubro, ε ε + νε 1 2 1e = ; 2 1 ν νε1 + ε 2 ε 2e = (9) 2 1 ν onde ν = 0, 2 é o coeficiente de Poion do concreto. Entrando com a deformaçõe uniaiai equivalente no diagrama tenão-deformação do concreto, obtêm-e a tenõe principai σ 1 e σ 2. Retornando ao itema de eio -, reultam a tenõe σ, σ e τ no concreto. Para o aço, adota-e um comportamento elato-plático perfeito em tração e em compreão. Aim, e ε é a deformação normal na direção da armadura, a tenão σ correpondente é dada por onde E σ = E ε, e ε < f k E (10) ( ε ) σ = f k ε, e f k E ε (11) f k é a tenão de ecoamento caracterítica e = 200 GPa é o módulo de elaticidade do aço. Definindo o vetor de deformaçõe ε = { ε, ε, γ } T, obtém-e a deformação normal na armadura atravé da relação ε = R ε, onde a matriz de rotação R é dada por 2 2 [ co φ, en φ, enφ coφ ] R = (12) endo φ o ângulo entre a direção da armadura e o eio. Apó o cálculo da tenão σ na armadura, retorna-e ao itema -, obtendo-e a tenõe { σ σ, τ } = σ R,. Apó o cálculo da tenõe no concreto e na armadura, efetuam-e a integraçõe na epeura da laje para a obtenção do eforço olicitante. Finalmente, ee eforço ão integrado na área do elemento finito, para a obtenção do vetor de açõe nodai não lineare. Nee proceo, emprega-e a integração eletiva, adotando-e 22 ponto de Gau, para o termo relativo ao eforço cortante, e 33 ponto de Gau, para o termo de fleão e etado plano. A viga do pavimento ão modelada com uma rigidez à fleão β E c I contante, onde Ec = 0, 85E c é o módulo ecante do concreto e β 1. O efeito da fluência obre a rigidez da viga ão coniderado, indiretamente, atravé do parâmetro β. A rigidez à torção da viga é deprezada, em virtude do reultado obtido no trabalho anterior [1]. O efeito da ecentricidade do eio da viga em relação ao plano médio da laje ão coniderado como em [1]. Em virtude da não linearidade fíica da laje, reulta um deequilíbrio entre o vetor de carga nodai e o vetor de açõe nodai não lineare, o que eige o emprego de um proceo iterativo. Divero algoritmo iterativo têm ido deenvolvido para a olução dee itema de equaçõe não lineare. Nete trabalho, emprega-e o denominado método ecante-newton, como decrito em [11]. Incrementando a carga, pode-e obter uma repota completa do itema laje-viga até a ruína da laje. Nete cao, conidera-e a ocorrência da ruína quando a deformação de compreão no concreto da laje, ε c, for menor que a deformação ε = 0, ϕ limite ( ) u. 4. EXEMPLO: PAVIMENTO COM QUATRO LAJES DESIGUAIS O eemplo apreentado a eguir foi analiado no artigo anterior [1], coniderando a análie linear. Naquela oportunidade foi motrado que a epeura h = 10 cm, adotada para a laje, era inuficiente para atender ao etado limite de deformaçõe da laje. Para ito, ea laje deveria pouir uma epeura de 14 cm. Dee modo, para implificar a análie numérica, conidera-e que toda a laje do pavimento indicado na fig. 4 pouam epeura contante h = 14 cm. O eguinte dado ão coniderado para o cálculo do pavimento: Laje: - epeura da laje: h = 14 cm - peo próprio = 3,5 kn/m 2 - revetimento = 1,0 kn/m 2 - carga permanente: g = 4, 5kN/m 2 - carga acidental: q = 1, 5 kn/m 2

6 76 Teoria e Prática na Engenharia Civil, n.14, p.71-81, Outubro, carga de erviço total: p = g + q = 6, 0 kn/m 2 - carga quae permanente: p o = g + 0,3q = 4,95kN/m 2 nó 341 Viga: - eção tranveral de toda a viga: largura b = 20 cm; altura h = 50 cm (eção retangular) - carga adicional obre a viga, decorrente do peo próprio e de uma parede: Δp = 7, 0 kn/m Concreto: - reitência caracterítica: fck = 30 MPa - coeficiente de Poion: ν = 0, 2 - coeficiente de fluência: ϕ = 2, 5 - reitência média à compreão: fcm = 38 MPa - reitência média à tração: fct = 2, 9 MPa - módulo tangente: Ec = MPa - módulo tangente efetivo: Ece = 9585 MPa - módulo ecante: E = MPa Aço: - categoria: CA-50 - tenão de ecoamento: f k = 500 MPa - módulo de elaticidade: E = 200 GPa c elemento de viga elemento de placa Fig. 5 Malha de elemento finito 5. CÁLCULO DAS LAJES COM O MÉTODO SIMPLIFICADO PROPOSTO No método implificado propoto, a quatro laje ão calculada como implemente apoiada. O valor aboluto do momento negativo em uma ligação é admitido igual ao do maior momento poitivo da dua laje adjacente, na direção coniderada. 5.1 Flecha no centro da laje P1 P2 V1 P3 A flecha é calculada para a carga quae permanente po = 4, 95 kn/m 2, empregando-e a tabela A2.1 do Volume 2 da ref.[6]. A rigidez à fleão da laje é dada por V4 P4 P7 V3 3m V5 P5 P8 V2 7m V6 7m P6 P9 3m 3 E h D = D = 6792 knm 12 1 c 2 ( ν ) Entrando na tabela A2.1 com a relação entre o vão l = 7 7 = 1, obtém-e o coeficiente l w c = 4,06. A flecha inicial é Fig. 4 Pavimento com quatro laje (eemplo analiado na ref. [1]) Na fig. 5, apreenta-e a dicretização da laje em elemento finito. A malha é formada por 100 elemento de placa e 60 elemento de viga. 4,957 W o = 4,06 = 7,1 mm 6792 A flecha final, incluindo o efeito da fluência do concreto, é W ( 1 + ) W W = 24, 9 = o 4 ϕ mm

7 Teoria e Prática na Engenharia Civil, n.14, p.71-81, Outubro, A flecha admiível é dada por 7000 W adm = = 28 mm 250 Como W < Wadm, conclui-e que a epeura h = 14 cm é atifatória. 5.2 Momento fletore na laje O momento fletore e a reaçõe de apoio da laje ão calculado para a carga total de erviço p = 6,0 kn/m 2. O momento poitivo no centro da laje e também ão obtido com o emprego da tabela A2.1. Nete cao, obtêm-e o momento fletore egundo a dua direçõe. A laje = ão armada em uma direção. Para ea laje, calcula-e apena o momento fletor egundo a direção do vão menor ( l = 3 m) como para uma viga biapoiada. Para a direção do vão maior, adota-e a armadura de ditribuição. Em todo o cao, e o momento fletor calculado for menor que o momento correpondente à armadura mínima, M, ee k, min valor é o que deve er coniderado. Ito é feito para toda a laje, poi, conforme recomendação dada no artigo anterior [1], deve-e repeitar a armadura mínima empre, incluive na armadura de ditribuição. Conforme foi motrado no capítulo 4 do Volume 2 da ref. [6], o momento mínimo de erviço por unidade de comprimento é dado por - γ f = 1, 4 (coeficiente parcial de egurança); - d = 11 cm (altura útil da laje, coniderada igual na dua direçõe); - b = 100 cm (largura da faia unitária); fck - σ cd = 0,85 = 1, 82 kn/cm 2 (tenão de 1,4 compreão máima no concreto). Subtituindo ee valore na equação (13), obtém-e M k, min = 792 kncm/m. Logo, o momento mínimo é M k, min = 7, 92 knm/m. Na fig. 6 apreentam-e o momento poitivo de erviço da laje. Oberva-e que apena a laje terá armadura uperior à armadura mínima. 7,92 7,92 Momento em knm/m 12,99 7,92 Fig. 6 Momento poitivo obtido com o método implificado Na fig. 7 apreentam-e o momento negativo determinado com o método implificado. M k A,min f d A,min f d, min = d (13) γ f 2bσ cd Momento em knm/m endo A = 100h a área da armadura, min ρmin mínima. Para um concreto com f = 30 MPa e aço CA- 50, tem-e ρ min = 0,17 %, conforme tabela do Volume 2 [6]. Logo, coniderando h = 14 cm, reulta A 2, 38 cm 2 /m. ck, min = Ao empregar a equação (13), conideram-e o eguinte dado: f - f = k d = 43, 48 kn/cm 2 (tenão de 1,15 ecoamento de cálculo do aço); -7,92-12,99-12,99-7,92 Fig. 7 Momento negativo obtido com o método implificado

8 78 Teoria e Prática na Engenharia Civil, n.14, p.71-81, Outubro, Armadura da laje A armadura ão dimenionada, coniderando-e a altura útil média d = 11 cm. O reultado do dimenionamento ão o eguinte: - para M k = 7, 92kNm/m: A = 2, 38cm 2 /m; - para M = 12, 99 knm/m: A = 3, 97 cm 2 /m. k A armadura poitiva ão paada corrida por toda a etenão da laje. A armadura negativa devem penetrar 0,25lm em cada laje, a partir da face da viga interna, onde l m é o maior do menore vão da laje adjacente. Aim, ea armadura erão ditribuída em faia de 4m de largura, como indicado na fig. 8. maior que o valor W o = 7, 1 mm, obtido anteriormente com o método implificado. Ito ocorre porque a laje encontra-e fiurada para ee nível do carregamento, o que não é coniderado no método implificado. Na fig. 9, repreentam-e o ponto de integração onde e contata a ocorrência de fiura ( ε 1 e > ε cr ) na face inferior do pavimento para a carga po = 4, 95 kn/m 2. Oberva-e que a fiura ocorrem em uma grande etenão da laje, em ua região central. A demai laje encontram-e no etádio I. Na fig. 10, indicam-e o ponto de integração onde e contatam fiura na face uperior do pavimento para a carga po = 4, 95 kn/m 2. Oberva-e que urgem fiura apena no entorno do pilar central. O retante do pavimento etá livre de fiura, incluive no canto implemente apoiado Fig. 8 Dipoição da armadura no pavimento 6. ANÁLISE INTEGRADA DO PAVIMENTO COM O MODELO NÃO LINEAR Fig. 9 Ponto fiurado na face inferior do pavimento para a carga quae permanente 6.1 Flecha e fiuração do pavimento para a carga quae permanente A flecha máima do pavimento ocorre na laje. Ea flecha é obtida com o modelo não linear (MEF), coniderando a carga quae permanente p = 4,95 kn/m 2 e a viga com rigidez à fleão o 0,4E c I. A flecha inicial máima obtida com o MEF é W = 11,4 mm. Oberva-e que ea flecha inicial é o

9 Teoria e Prática na Engenharia Civil, n.14, p.71-81, Outubro, Fig. 10 Ponto fiurado na face uperior do pavimento para a carga quae permanente A flecha final máima da laje obtida com o MEF, coniderando o coeficiente de fluência ϕ = 2,5, é W = 24, 0 mm. Oberva-e que ee valor é quae igual à flecha final W = 24, 9 mm, obtida anteriormente com o método implificado. Conclui-e que o método implificado para cálculo da flecha final da laje maciça é adequado. O erro que e comete na avaliação da flecha inicial, por não e coniderar eventuai fiura da laje, é compenado pela conideração da fluência no etádio I. Ee fato já havia ido obervado pelo Autor ao analiar o comportamento da laje nervurada [7]. Na fig. 11, indicam-e o ponto de integração onde e contatam fiura na face uperior do pavimento para a carga de cálculo p d = 1,46 = 8,4 kn/m 2 atuando obre a laje. Por ea figura contata-e que a única armadura uperiore que ão realmente neceária ão a armadura para o momento negativo, na ligaçõe entre dua laje adjacente. A armadura uperiore no apoio de etremidade, bem como a armadura uperiore de canto ão deneceária, como já havia ido concluído no artigo anterior [1]. Fig. 11 Ponto fiurado na face uperior do pavimento para a carga de cálculo p d =8,4 kn/m Momento fletore na laje do pavimento O momento fletore na laje do pavimento ão determinado empregando-e o MEF para a carga total de erviço p = 6, 0 kn/m 2. Para a viga, conidera-e a rigidez à fleão 0,4E c I. Na fig. 12, indicam-e o momento fletore poitivo máimo obtido para a quatro laje. 1,90 0,68 Momento em knm/m 12,04 4,26 Fig. 12 Momento poitivo máimo obtido com o MEF Comparando a fig. 12 com a fig. 6, verifica-e que o método implificado fornece ecelente reultado. A relação entre o momento fletore poitivo na laje, obtido com o método implificado e com o MEF, é 12,99 12,04 = 1, 08. Para a demai laje, reultam momento menore

10 80 Teoria e Prática na Engenharia Civil, n.14, p.71-81, Outubro, 2009 que o momento mínimo M k, min = 7, 92 knm/m. Logo, ea laje erão armada com armadura mínima em ambo o método de análie. Da fig. 12, oberva-e que o maior momento poitivo na laje armada em uma direção (laje e ) ocorre egundo a direção do vão maior. Ito contraria o cálculo tradicional de laje obre apoio rígido, já que nee cálculo o maior momento ocorre empre egundo a direção do vão menor. Por io, é importante que a armadura de ditribuição da laje armada em uma direção também repeitem a armadura mínima, como já foi alientado no artigo anterior [1]. Na fig. 13 indicam-e o momento negativo mínimo obtido com o MEF. Tabela 1 Momento máimo e mínimo na laje em função de β β Poitivo (knm/m) Negativo (knm/m) 0,2 13,27-11,00 0,4 12,04-9,47 0,7 11,36-10,44 1,0 11,05-10,94 10,0 10,15-12,43 Comparando a tabela 1 com o reultado obtido atravé do método implificado (momento poitivo e negativo iguai a ± 12, 99 knm/m), conclui-e que o método implificado é atifatório para o divero valore de rigidez à fleão da viga. Em geral, o método implificado fornece uma olução a favor da egurança. Na tabela 2, indicam-e o momento fletore poitivo máimo na laje. De acordo com o procedimento tradicional, ea laje é armada egundo a direção. -7,82-9,47 Fig. 11 Momento negativo mínimo obtido com o MEF Tabela 2 Momento máimo na laje em função de β β M (knm/m) M (knm/m) 0,2 1,60 7,70 0,4 1,90 4,26 0,7 2,02 2,67 1,0 2,06 2,11 10,0 2,17 1,08 Comparando a fig. 11 com a fig. 7, contata-e que o método implificado fica a favor da egurança. 6.3 Influência da rigidez da viga de apoio obre o momento fletore da laje Para motrar a influência da rigidez da viga de apoio obre o momento fletore da laje do pavimento, conideram-e o reultado obtido com o MEF, admitindo-e que a viga pouam rigidez β E c I. A laje etão ubmetida à carga totai de erviço p = 6, 0 kn/m 2. Na tabela 1, indicam-e o momento fletore poitivo máimo e o negativo mínimo na laje para divero valore do coeficiente β. Conforme e oberva na tabela 2, o momento fletor M, egundo a direção do vão menor, ó upera o momento M quando a laje ão apoiada em viga muito rígida. No cao uuai, o momento maior ocorre egundo a direção do vão maior, ao contrário do que e depreende do cálculo convencional. Entretanto, repeitando-e o momento mínimo M k, min = 7,92 knm/m em amba a direçõe, obtém-e um projeto eguro. 7. CONCLUSÕES Nete trabalho foi empregado um modelo não linear para análie de laje maciça de concreto armado apoiada em viga deformávei. Ee modelo não linear erviu de bae para revalidar o

11 Teoria e Prática na Engenharia Civil, n.14, p.71-81, Outubro, método implificado de cálculo propoto pelo Autor, anteriormente [1]. O emprego do modelo não linear confirmou a validade do método implificado, o que já havia ido motrado atravé da análie linear. O método implificado de projeto propoto é adequado para o cálculo de laje maciça de concreto armado apoiada em viga com a dimenõe uuai da viga do edifício. Com bae no reultado obtido nete trabalho e no artigo precedente [1], recomenda-e que o método tradicional, que conite em coniderar a laje iolada perfeitamente engatada na laje vizinha, não eja adotado para o cálculo de laje apoiada em viga. Ee método ó tem validade quando a laje ão apoiada em parede ou em viga de rigidez muito elevada. No cao corrente, recomenda-e o emprego do método implificado propoto. É importante alientar, mai uma vez, que a armadura de ditribuição da laje armada em uma direção devem repeitar a armadura mínima. Ito ajuda a corrigir a impreciõe no cálculo do momento deta laje. Civil, n.3, p.31-42, Rio Grande, junho, Diponível em: < 8. ARAÚJO, J. M. Análie não-linear de laje maciça e laje nervurada de concreto armado. Revita Portuguea de Engenharia de Etrutura, n.52, p , Liboa, Setembro, Diponível em: < 9. MINDLIN, R. D. Influence of rotator inertia and hear on fleural motion of iotropic, elatic plate. Journal of the Applied Mechanic. Tranaction of the American Societ of Mechanical Engineer, v.18, n.1, p.31-38, COMITÉ EURO-INTERNATIONAL DU BÉTON. CEB-FIP Model Code Publihed b Thoma Telford, London, ARAÚJO, J. M.; BIGNON, P. G. Método de minimização para análie não-linear de etrutura. Relatório de Pequia RP-110/93, PPGEC, UFRGS, Porto Alegre, REFERÊNCIAS 1. ARAÚJO, J. M. Avaliação do método implificado para cálculo de laje maciça apoiada em viga fleívei. Revita Teoria e Prática na Engenharia Civil, n.12, p.1-11, Rio Grande, outubro, Diponível em: < 2. ZIENKIEWICZ, O. C. The Finite Element Method. McGraw-Hill, 3. ed., REAL, M. V. Análie etática de laje de concreto armado incluindo não-linearidade fíica e geométrica. Diertação de metrado, PPGEC, UFRGS, Porto Alegre, ARAÚJO, J. M. Modelo para análie de viga de concreto armado. Revita Portuguea de Engenharia de Etrutura, n. 32, p.9-14, Liboa, julho, ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR-6118: Projeto de Etrutura de Concreto. Rio de Janeiro, ARAÚJO, J. M. Curo de Concreto Armado. 4v., 2.ed., Rio Grande: editora Duna, ARAÚJO, J. M. Avaliação do procedimento de projeto da laje nervurada de concreto armado. Revita Teoria e Prática na Engenharia

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