CAPÍTULO 6 - Testes de significância

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1 INF 16 CAPÍTULO 6 - Tete de ignificância Introdução Tete de ignificância (também conhecido como Tete de Hipótee) correpondem a uma regra deciória que no permite rejeitar ou não rejeitar uma hipótee etatítica com bae no reultado de uma amotra. Ob.: ea hipótee ão, em geral, obre parâmetro populacionai e a realização do tete e baeia na ditribuição amotral do repectivo etimadore. Exemplo: Foi dicutido em aula: Parâmetro v etimador. Hipótee Etatítica É uma upoição quanto ao valor de um parâmetro populacional, ou uma afirmação quanto à natureza da população. Exemplo: dicutido em aula Hipótee de Nulidade e Hipótee Alternativa - Hipótee de Nulidade ( H o ) É a hipótee a er tetada. - Hipótee Alternativa ( H a ) É uma hipótee que contraria problema, informaçõe de pequia, etc. H o. É formulada com bae no conhecimento prévio do Ex: H o : µ hora (durabilidade de lâmpada) H : µ > 6000 ; ou H : µ < 6000 ; ou H : µ 6000 a a a hipótee unilaterai hipótee bilateral Apó a realização do tete concluimo por uma da hipótee dada acima. Qualquer decião tomada implica na poibilidade de cometer baicamente doi tipo de erro: Erro tipo I e Erro tipo II. Ob: P (erro tipo I) α ou nível de ignificância do tete. P (erro tipo II) β O quadro abaixo facilita o entendimento. 77

2 INF 16 Realidade Decião H o é verdadeira H o é fala Rejeitar H o α 1 β Aceitar H 1 α β então: α P(rej. H o / H o é verd.) β P aceitar H o / H é fala) o ( o Procedimento para a realização de um Tete de Hipótee 1. Enunciar a hipótee H o e H a ;. Fixar o nível de ignificância α e identificar a etatítica do tete; 3. Determinar a região crítica (faixa de valore que no levam à rejeição da hipótee H o ) e a região de aceitação em função do nível α pela tabela etatítica apropriada; 4. Baeado na amotra, ular o valor da etatítica do tete; 5. Concluir: Se etatítica do tete região crítica rej. H o cao contrário não rej. H o. Na INF 16 veremo apena: - Tete z - Tete t - Tete de Qui-quadrado (tete - Tete F χ ) Tete z Tete z (veremo apena o tete para uma média populacional) Ob: aume-e que a variável em etudo tenha ditribuição normal com variância populacional conhecida. a) Tete z para 1 média 78

3 INF 16 A etatítica do tete é baeada na média amotral. Pode er demontrado que a média amotral tem ditribuição aproximadamente normal com média µ e variância σ /n, onde n é o tamanho da amotra. Tetamo a hipótee: H : µ µ 0 veru H a : uma alternativa conveniente. o A etatítica do tete z para 1 média é: z µ σ n De acordo com o nível de ignificância e a hipótee alternativa definida obtemo o valor tabelado de z na tabela apropriada. A regra de decião erá: Se z z tab rejeitamo H 0 ; cao contrário não rejeitamo H 0. Exercício: Uma máquina automática de encher pacote de café enche-o egundo uma ditribuição normal, com média µ e variância 400 g. O valor de µ pode er fixado num motrador ituado numa poição um pouco inaceível dea máquina. A máquina foi regulada para µ 500 g. Deejamo, de meia em meia hora, colher uma amotra de 16 pacote e verificar e a produção etá ob controle, ito é, e µ 500 g ou não. Se uma dea amotra apreentae uma média x 49 g, você pararia ou não a produção para verificar e o motrador etá na poição correta? Uar α 1%. Problema propoto: Uma companhia de cigarro anuncia que o índice médio de nicotina do cigarro que fabrica apreenta-e abaixo de 3 mg por cigarro. Um laboratório realiza 6 análie dee índice, obtendo: 7, 4, 1, 5, 6,. Sabe-e que o índice de nicotina e ditribui normalmente, com variância igual a 4,86 mg. Pode-e coniderar a afirmativa do fabricante verdadeira, ao nível de 10% de probabilidade? Tete t Tete t (p/ 1 média populacional ou p/ entre média populacionai) Ob: aume-e que a variável em etudo tenha ditribuição normal com variância deconhecida. a) Tete t para 1 média Exemplo: Determinada firma deejava comprar cabo tendo recebido do fabricante a informação de que a tenão média de ruptura é 8000 kgf. Para analiar e a afirmação do fabricante é verdadeira, efetuou-e um tete de hipótee unilateral. Se um enaio com 6 79

4 INF 16 cabo forneceu uma tenão média de ruptura de 7750 kgf, com devio padrão de 145 kgf, a qual concluão chegar, uando um nível de ignificância de 5%? Repota: H o : µ 8000 kgf : µ < 8000 kgf H a A etatítica do tete t para 1 média é: t µ n No exemplo teríamo: t 4, A concluão erá: b) Tete t para dua média ( amotra independente) Ob: Preupõe-e normalidade do dado. Sejam e normalmente ditribuído com variância deconhecida. Deejamo tetar: H o : µ µ contra µ > µ ou H a : µ < µ ou µ µ Exemplo: doi método de execução de determinada tarefa. e eriam o tempo gato com cada método. Outra preupoição (apena para efeito de noo curo de INF 16) eria a homogeneidade da variância populacionai σ e σ (deconhecida). Portanto aumimo: σ σ σ, io quer dizer que e ão etimativa de um memo valor σ. Portanto podemo combinar e a fim de obter um melhor etimador para σ. SQD + SQD ( n 1) + ( n 1) Então: ( n 1) + ( n 1) n + n Utilizamo para o tete, a variável aleatória: 80

5 INF 16 (ou t ) t n n que tem ditribuição t de Student com n n grau de liberdade. + Decião: Exercício: Se t t rej. tab H o Suponhamo que dua técnica de memorização e deverão er comparada medindo-e a eficiência pelo tempo exigido para decorar certo tipo de material. O memo material foi apreentado a n 18 e n 13 peoa que o decoraram uando a técnica e repectivamente. Verificar e há diferença ignificativa entre a dua técnica de memorização, adotando α 5%. O reultado foram: 0 min 17min n 1min 18 n 15min 13 Repota: H o : µ µ H : µ µ a Tete t para média; α 5% (18 1).1 + (13 1) ,4 t , t 5,045 % (9) H o,7 t > ttab rej. ao nível de ignificância de 5%. 81

6 INF 16 Tete de Qui-quadrado ( χ ) O doi último tete a erem apreentado a eguir (Tete F e tete t) ão uado para tetar hipótee referente a um parâmetro populacional ou memo à comparação de doi parâmetro. O tete de Qui-quadrado faz parte do chamado tete nãoparamétrico, ou eja, que não dependem do parâmetro populacionai, nem de ua repectiva etimativa. O tete de Qui-quadrado pode er uado principalmente como: i) Tete de aderência ii) Tete de independência iii) Tete de homogeneidade Veremo, a princípio, apena o tete de aderência, endo o demai tete filooficamente (e até memo mecanicamente ) imilare, ma aplicávei quando queremo etudar a relação entre dua ou mai variávei de claificação. Se o tempo permitir erá apreentado também pelo meno mai um do outro tete de qui-quadrado. Tete de Aderência Exite apena uma variável e o que e teta é o padrão hipotético de frequência ou a ditribuição da variável. A etatítica do tete é dada por: χ (Oi E i ), onde E i O i frequência obervada da categoria (evento) i ; E frequência eperada da categoria (evento) i. i Ob: A expreão acima no dá um valor empre poitivo e tanto menor quanto maior for o acordo entre a frequência obervada e a frequência eperada, ulada com bae em H. o Ob: A hipótee H o afirmará não haver dicrepância entre a frequência obervada e a frequência eperada, ou H o erá colocada em termo de ditribuição de probabilidade que vamo por à prova. O valor de χ é comparado com o χ tabelado. Se χ χtab rejeita-e H o. Ob: Para obter o χ tab preciamo conhecer o nível de ignificância (α ) do tete e o número de grau de liberdade v, onde v k 1 r, onde k é o número de categoria em 8

7 INF 16 que foi dividida a amotra; e r é o número de parâmetro etimado para o cálculo da E. i Exemplo: Em 100 lance de uma moeda, obervaram-e 65 coroa e 35 cara. Tetar a hipótee de a moeda er honeta, adotando-e α 5%. Solução: (pao a pao) 1) H o : A moeda é honeta (ou, H : não H a o H o : proporção cara:coroa 1:1) ) α 5%. Verifica-e que exitem categoria (cara e coroa). Então k. Nenhum parâmetro foi ulado, então r 0. Logo v ) 4) Categoria Cara Coroa freq. obervada freq. eperada (35 50) (65 50) logo χ ) Como honeta. χ > χ tab, rejeita-e o H, concluindo-e, com rico de 5%, que a moeda não é Tete F Tete F (tete para comparação de variância) Exemplo: Na aplicação de doi método A e B, obteve-e o reultado abaixo. Tetar a hipótee de igualdade da variância ao nível de 5% de probabilidade. Método n A B

8 INF 16 Repota: H o H a : σ A σ B : σ A > σ B F 5%(10; 18),41 F maior menor A B 40 16,50 Concluão: F > Ftab rej: H o ao nível de 5% de ignificância. para α 5% a variância não eriam coniderada iguai. 84

9 INF 16 LISTA DE EERCÍCIOS INF 161 Iniciação à Etatítica e INF 16 Etatítica I Tete de Hipótee OBS.: Como o tete z para dua média e o tete de Qui-quadrado para independência não foram apreentado formalmente nee período, o exercício de número 9, 11 e 1 não preciam er reolvido. No entanto a exitência dee exercício é importante poi o memo poderão er dicutido em ala de aula pelo profeor cao neceário. 1) Sabe-e que o conumo menal per capita de um determinado produto tem ditribuição normal, com devio padrão kg. A diretoria de uma firma que fabrica ee produto reolveu que retiraria o produto da linha de produção e a média de conumo per capita foe menor que 8 kg. Cao contrário, continuaria a fabricá-lo. Foi realizada uma pequia de mercado, tomando-e uma amotra de 5 indivíduo, e verificou-e que a oma do valore coletado foi de 180 kg. a) Utilizando um nível de ignificância de 5%, e com bae na amotra colhida determine a decião a er tomada pela diretoria. b) Utilizando um nível de ignificância de 1 %, a decião eria a mema? ( Jutifique a ua repota.) ) Etamo deconfiado de que a média da receita municipai per capita da cidade pequena ( habitante) é maior do que a da receita do etado, que é de 19 unidade monetária. Para comprovar ou não eta hipótee, orteamo dez cidade pequena, e obtivemo o eguinte reultado: 130; 58; 576; 093; 61; 1045; 1439; 717; 1838; A que concluão chegar a um nível de 5% de probabilidade? 3) Uma grande cadeia de magazine etá intereada em aber e o valor médio da compra é maior em ua loja do centro da cidade do que no "Shopping center" de certa localidade. O devio padrão populacional para ambo o cao é de $10,00. Tete a afirmação de que amba ão iguai, contra a alternativa de que amba não ão iguai, ao nível de 0,01. Uma amotra aleatória da tranaçõe no doi locai deu o eguinte dado: Centro "Shopping center" média $45,00 $43,50 Tamanho da amotra ) Uma fábrica de embalagen para produto químico etá etudando doi proceo para combater a corroão de ua lata epeciai. Para verificar o efeito do tratamento, foram uada amotra cujo reultado etão no quadro abaixo. Qual eria a concluão obre o doi tratamento, ao nível de 5% de ignificância? Método Amotra Média Devio padrão A B

10 INF 16 5) Suponhamo que um pequiador, deejando colocar à prova a hipótee de que a idade da mãe tem certa influência obre o nacimento de criança prematura, verificou que, dentre 90 cao de prematuridade, 40 envolviam mãe com idade inferior a 18 ano; 15 envolviam mãe de 18 a 35 ano e 35 mãe com idade acima de 35 ano. Ito leva o pequiador a manter ua hipótee? Ue nível de ignificância de 0,01. 6) No decuro de um ano, determinada firma teve 50 acidente. Um do apecto de uma invetigação levada a efeito pelo engenheiro de egurança diz repeito ao dia de ocorrência do acidente. Pelo dado que eguem abaixo, pode-e dizer que o dia da emana tenha alguma influência? Tete a hipótee nula, de que o dia ão igualmente provávei, ao nível de 10% de probabilidade. DIA Segunda Terça Quarta Quinta Sexta Nº de acidente ) A aociação do proprietário de indútria metalúrgica etá muito preocupada com o tempo perdido com acidente de trabalho, cuja média, no último tempo, tem ido da ordem de 60 hora/homem por ano e devio padrão de 0 hora/homem. Tentou-e um programa de prevenção de acidente, apó o memo, tomou-e uma amotra de 9 indútria e mediu-e o número médio de hora/homem perdida por acidente, que foi 50 hora. Você diria, ao nível de 5%, que há evidência de melhoria? 8) Uma firma de produto farmacêutico afirma que o tempo médio para certo remédio fazer efeito é de 4 minuto. Numa amotra de 19 cao, o tempo médio foi de 5 minuto, com devio padrão de minuto. Tete a alegação, contra a alternativa de que o tempo médio é uperior a 4 minuto, a um nível de ignificância de 1%. 9) Uma máquina automática enche lata com bae no peo líquido, com variabilidade praticamente contante e independente do ajute, dada por um devio padrão de 5 g. Dua amotra retirada em doi período de trabalho conecutivo, de 10 e de 0 lata, forneceram peo líquido médio de, repectivamente, 184,6 e 188,9 grama. Deconfiae que a regulagem da máquina quanto ao peo médio fornecido poa ter ido modificada no período entre a coleta da dua amotra. Qual a concluão? a) ao nível de 5% de ignificância? b) ao nível de 1% de ignificância? 10) Num etudo comparativo do tempo médio de adaptação, uma amotra aleatória, de 50 homen e 50 mulhere de um grande complexo indutrial, produziu o eguinte reultado: Etatítica Homen Mulhere Média 3, ano 3,7 ano Devio padrõe 0,8 ano 0,9 ano Que concluõe você poderia tirar para a população de homen e mulhere deta indútria, ao nível de 5% de ignificância? 86

11 INF 16 11) 15 proprietário de certa marca de automóvel foram entrevitado acerca do deempenho e do conumo de combutível de eu carro. O reultado da pequia de opiniõe é reumido na eguinte tabela: DESEMPENHO CONSUMO PÉSSIMO REGULAR BOM ALTO BAIO Verificar, ao nível de 5% de ignificância, e devemo coniderar que, no coneno geral, deempenho e conumo não guardam relação entre i. 1) Uma pequia obre a qualidade de certo produto foi realizada enviando-e quetionário a dona-de-caa atravé do correio. Supeitando-e que o repondente voluntário tenham um particular vício de repota, fizeram-e mai dua tentativa com o não repondente. O reultado etão indicado abaixo. Você acha que exite relação entre a opinião e o número de tentativa? (Utilize o nível de ignificância de 5 %) NÚMERO DE RESPONDENTES (Dona-de-caa) OPINIÃO TENTATIVAS 1ª ª 3ª ECELENTE SATISFATÓRIO INSATISFATÓRIO ) Uma da maneira de medir o grau de atifação do empregado de uma mema categoria quanto à política alarial é atravé do devio padrão de eu alário. A fábrica A diz er mai coerente na política alarial do que a fábrica B. Para verificar ea afirmação, orteou-e uma amotra de 10 funcionário não epecializado de A, e 15 de B, obtendo-e o devio padrõe A 1,0 SM e B 1,6 SM. Qual eria a ua concluão, ao nível de 1%? RESPOSTAS 1. z c -,00 H o : µ 8 v H a : µ < 8 a) z 5% -1,64, Rejeita-e H o b) z 1% -,33, Não e rejeita H o. H o :µ 19 v H a : µ > 19 t c 0,566 ; t 5% (9)1,833 ; Não e rejeita H o 3. H o : µ1 µ v H a : µ 1 > µ z c 1,06 ; z 1%,33 ; Não e rejeita H o 87

12 INF H o : µa µ B v H a : µ A µ B t c 0,89 ; t,5% (5),060 ; Não e rejeita H o 5. H o : Proporção 1:1:1 v H a : Proporção 1:1:1 χ c 11,667 ; χ 1% () 9,10 ; Rejeita-e H o 6. H o : Proporção 1:1:1:1:1 v H a : Proporção 1:1:1:1:1 χ c 11,400 ; χ 10% (4) 7,779 ; Rejeita-e H o 7. H o : µ 60 v H a : µ < 60 z c -1,5 z 5% -1,64, Não e rejeita H o 8. H o : µ 4 v H a : µ > 4 t c,179 ; t 1% (18),55; Não e rejeita H o 9. H o : µ1 µ v H a : µ 1 µ z c -, a) z,5% 1,96 ; Rejeita-e H o b) z 0,5%,57 ; Não e rejeita H o 10. H o : µm µ H v H a : µ M µ H t c,96 ; 1,98 < t,5% (98) <,00 ; Rejeita- e H o 11. H o : Deempenho e conumo ão independente v H a : "não H o " χ c 3,791 ; χ 5% () 5,991 ; Não e rejeita H o 1. H o :Opinião e número de tentativa ão independente v H a :"não H o " χ c 6, ; χ 5% (4) 9,488 ; Rejeita-e H o 13. a) H o : σ B σ A v H a : σ B > σ A F c,56 ; F 1% (14,9) 5,00 ; Não e rejeita H o 88