Teoria de Filas. Agner Krarup Erlang (*1878, Lonborg, Dinamarca; 1929, Copenhagen, Dinamarca). Fernando Nogueira Teoria de Filas 1

Transcrição

1 Teoria de Fila Ager Kraru Erlag (*878, Loborg, Diamarca; 99, Coehage, Diamarca). Ferado Nogueira Teoria de Fila

2 Itrodução O etudo de Teoria de Fila trata com o feômeo de aguardar em fila uado medida rereetativa da erformace do itema, tai como comrimeto médio da fila, temo médio de eera a fila, utilização média do itema, etre outro. USA () etimativa de hora gata em fila ela oulação/ao. Pequia realizada o E.U.A. em 988, com 6 eoa. Fote: Fitzimmo e Fitzimmo (). Ferado Nogueira Teoria de Fila

3 Exemlo de como calcular com icerteza Doi tre vão ocuar um memo termial de carga. O horário de chegada, de aída e de ermaêcia do tre o termial ão tratado como variávei aleatória. Termial A oma de variávei aleatória, f e g, é realizada ela covolução de f e g: Gatt Cotíuo ( f g)( t) f ( τ) g( t τ) dτ termial hora Dicreto ( f g)( m) f g( m ) Ferado Nogueira Teoria de Fila 3

4 ditribuição de robabilidade do horario do trem chegar o termial: Tc ditribuição de robabilidade do eriodo de termial: Pt ditribuição de robabilidade do horario do trem air do termial: T Tc Pt > T cov(tc,pt) Ferado Nogueira Teoria de Fila 4

5 ditribuição de robabilidade do horario do trem chegar o termial: Tc ditribuição de robabilidade do eriodo de termial: Pt ditribuição de robabilidade do horario do trem air do termial: T Tc Pt > T cov(tc,pt) Ferado Nogueira Teoria de Fila 5

6 ditribuição de robabilidade do horario do trem air do termial: E(T) ditribuição de robabilidade do horario do trem chegar do termial: E(Tc) ditribuição de robabilidade do horario de haver tre (FILA) o termial: P(fila) E(h.fila) Ferado Nogueira Teoria de Fila 6

7 ditribuição de robabilidade do horario do trem air do termial: E(T) ditribuição de robabilidade do horario do trem chegar do termial: E(Tc).4 ditribuição de robabilidade do eriodo de fila o termial: E(Temo.fila) Ferado Nogueira Teoria de Fila 7

8 ditribuição de robabilidade do horario do trem air do termial (SEM FILA): T Tc Pt > T cov(tc,pt) ditribuição de robabilidade do eriodo de fila o termial: E(Temo.fila) ditribuição de robabilidade do horario do trem air do termial FILA: TF T f > TF cov(t,f) Ferado Nogueira Teoria de Fila 8

9 Etrutura Báica de um Modelo de Fila Sitema de Fila Fote de Etrada Cliete Fila Dicilia da Fila Mecaimo de Atedimeto Cliete Atedido Fote de Etrada ode gera-e o cliete. )Tamaho da Poulação: fiita ou ifiita. )Ditribuição de Probabilidade que o cliete ão gerado obre o temo (Poio). 3)Ditribuição de Probabilidade do temo etre chegada (Exoecial). ob: ) 3) e ) Poio e 3) Exoecial Ferado Nogueira Teoria de Fila 9

10 Fila ode o cliete aguardam ate de erem atedido. )Número máximo de cliete que a fila ode coter (buffer): fiito ou ifiito. Dicilia da Fila ordem que o cliete em fila ão elecioado ara atedimeto. Firt I Firt Out (FIFO) Firt Come Firt Served (FCFS), Lat I Firt Out (LIFO), Radômica, Prioridade, etre outra. Mecaimo de Atedimeto (Serviço) ode o cliete é atedido. )Número de italaçõe de atedimeto em érie (ão eceariamete). )Numero de caai de atedimeto (ervidore) em aralelo ara cada it. de ated. 3)Ditribuição de Probabilidade ara cada ervidor (Exoecial). Sitema de Fila Cliete Atedido Cliete 6444Fila C C C C C C C C C C S S S S 3 4 italação de atedimeto Fila 48 4 C C C C C C C 3 italação de atedimeto Cliete Ferado Nogueira Teoria de Fila Atedido

11 Ditribuição Exoecial A variávei aleatória Temo Etre Chegada e Temo de Atedimeto ão modelada geralmete ela Ditribuição Exoecial. Seja t um v.a. com Ditribuição Exoecial com arâmetro, etão: df - Exoecial PDF - Exoecial f(t):deidade de robabilidade f () t e t ara ara t t < f(t):robabilidade acumulada P P { t T} { t > T} ( t ) T T e e t t dt dt e e T T E(t)/ t E () t var() t Ferado Nogueira Teoria de Fila t

12 Perda de Memória P P B cotém A { t > T t t > t} P{ t > T} { t > T t t > t} P B A A { A B} P{ A} P { t > T t t > t} P{ t > t} P t > tt t > t t > tt t > t t Τ t { t > T t} P{ t > t} e e ( T t ) T e P{ t > T} t Se agora ão 8:h e a última chegada ocorreu 8:h, a robabilidade que a róxima chegada irá ocorrer aó 8:3h é fução aea do itervalo etre 8:h e 8:3h (T), ou eja, é ideedete do itervalo etre 8:h (quado ocorreu a última chegada) e 8:h ( t). Exemlo: Uma máquia quebra a cada 4 miuto em média com ditribuição exoecial. Aim, a taxa média de quebra é: A fução deidade é: f () t.5e t.5, t > quebra / hora Se agora ão 8:h, a robabilidade que a róxima quebra eja até 8:3h é: P t e Porém, e agora ão 7:h, a robabilidade que a róxima quebra eja até 8:3h é: P t e.89 6 Ferado Nogueira Teoria de Fila

13 Proceo de Nacimeto e Morte: relação etre Poio e Exoecial Proceo de Nacimeto Puro omete chegada ão ermitida. Ex: emião de certidão de acimeto. Proceo de Morte Puro omete aída ão ermitida. Ex: retirada aleatória de ite de um etoque. Temo etre Chegada e Temo etre Saída ouem ditribuição exoecial com arâmetro e, reectivamete Cadeia de Markov em Temo Cotíuo. Proceo de Nacimeto Puro Seja (T) a robabilidade de ehuma chegada durate um eríodo T. Dado que o Temo etre Chegada t é exoecial e que a taxa de chegada é cliete or uidade T de temo, etão: T P t T P t T e { } { } T e Exadido (T) em Taylor, ara um itervalo de temo h >, orém equeo, fica: h ( h) h e h... h O( h )! Coiderado que em um itervalo equeo, o máximo um eveto ode ocorrer, etão ara h : h h ( h) h Ferado Nogueira Teoria de Fila 3

14 Ete reultado motra que a robabilidade de uma chegada durate h é diretamete roorcioal à h com taxa de chegada (cotate de roorcioalidade). A ditribuição do úmero de chegada (T) durate um eríodo T, ode er deduzida or: T h T. h T. h T. h T. h, > ( ) ( T h) ( T ). ( h) ( T )(. h), Na rimeira equação, chegada erão ercebida durate T h e há chegada durate T e ehuma chegada durate h, ou - chegada durate T e uma chegada durate h. Toda a outra combiaçõe ão imoívei ara a ditribuição exoecial (o máximo um eveto ode ocorrer ara um itervalo de temo equeo). Uma vez que chegada ão eveto ideedete, o roduto da robabilidade ode er alicado o lado direito da equaçõe acima. Na eguda equação, zero chegada durate T h odem ocorrer omete e ehuma chegada ocorrer durate T e h. A derivada da equaçõe dada acima ão: ( T) ( T) lim lim h h ( T h) ( T) h ( T h) ( T) h ( T) ( T) ( T) Ferado Nogueira Teoria de Fila 4,, >

15 A olução do itema de equaçõe difereciai reulta em: T ( T) e T,,,,...! que é a ditribuição de Poio com média E{ T} Tchegada durate T. A variâcia é var{ T} T. O reultado motra que e o Temo etre Chegada é Exoecial com média / etão o úmero de chegada durate T é Poio com média T..5 Fuçao de Probabilidade:Poio - Lambda 3 Fuçao Ditribuiçao de Probabilidade:Poio - Lambda Probabilidade.5. Probabilidade Acumulada umero de chegada o eriodo T umero de chegada o eriodo T Ferado Nogueira Teoria de Fila 5

16 Exemlo: Um termial de carga recebe camihõe a uma taxa de camihão a cada miuto. O Temo etre Chegada é exoecialmete ditribuído. 6 a)o úmero médio de camihõe or dia é: *4 ca mi hoe / dia b)o úmero médio de camihõe or ao é: T * ca mi hoe / ao * c)a robabilidade de ehum camihão chegar em um dia é: () ( *) e d)a robabilidade de chegar 5 camihõe em 3 hora dado que 4 camihõe chegaram durate a rimeira hora do eríodo de 3 hora é: ( 54 ) 3 6 * * e 5* e ( 3 ) 54 ().8 4! ( 5 ) Proceo de Morte Puro 6 ( ()) ( 5* ) ( )! O itema oui N cliete e ehuma chegada é ermitida. Atedimeto ocorrem em uma taxa cliete or uidade de temo. A robabilidade (T) de cliete ermaecerem aó T uidade de temo é:! Ferado Nogueira Teoria de Fila 6

17 N Com ( T h) N ( T )(. h) ( T h) ( T )(. h) ( T )(. h) ( T h) ( T )(. ) ( T )(. h) ( T) N ( T) ( T) ( T) ( T) ( T) ( T) N, < < N Ditribuição de Poio Trucada ( T) h Exemlo: ( N T ) e ( N ) T!,,,..., N, < ( T) ( T) Ferado Nogueira Teoria de Fila 7 < N A olução dete itema de equaçõe diferecia reulta a Ditribuição de Poio Trucada. Uma loja de flore recebe 8 buquê de roa o começo de cada emaa. Em média, a loja vede 3 buquê de roa or dia edo que tal demada oui ditribuição de Poio. Semre que o ível do etoque alcaça 5 buquê de roa, um ovo edido de 8 buquê de roa é feito ara er etregue o começo da róxima emaa. Todo o etoque o fim da emaa (obra) é erdido. N ( h) ( h) rob. de realizar atedimeto em h rob. de realizar atedimeto em h

18 a) Uma vez que o atedimeto é realizado uma taxa 3, a robabilidade de fazer um ovo edido (quado o etoque chega em 5 buquê) em qualquer dia da emaa é: 5 ( T) ( T) ( T)... 5( T) 5 ( 8 ) 3T 3T e T ( 8 )!,T,,...,7 Gráfico ara T 3 Ferado Nogueira Teoria de Fila 8

19 b) O úmero médio de buquê de roa que erão erdido o fim de cada emaa t 7 T 7 é: E 8 { t 7} ( 7).664 buquê Gráfico ara T 7 Ferado Nogueira Teoria de Fila 9

20 Modelo de Fila de Poio Geeralizado Proceo de Nacimeto e Morte combiado (Temo etre Chegada e Temo etre Saída ouem ditribuição exoecial) Modelo é baeado em ituação do roceo oerado obre codiçõe de Etado Etavéi (Etado em Fae de Regime, Etado Etacioário). O etado do itema é o úmero de cliete o Sitema de Fila. Para > e h, o etado ode omete mudar ara o etado quado um atedimeto ocorre a taxa ou ara o etado quado uma chegada ocorreu a taxa. Ob: etado ó ode mudar ara o etado quado uma chegada ocorre a taxa. ão é defiido orque ehum atedimeto ode ocorrer ara. Probabilidade ão obtida atravé do Diagrama de Traição de Taxa: Ferado Nogueira Teoria de Fila

21 Em codiçõe de Etado Etávei, ara >, a taxa eerada de fluxo etrado e aido do etado recia er igual. Uma vez que o etado ode mudar omete ara o etado ou, tem-e: taxa eerada de fluxo taxa eerada de etrado o etado aido do etado Igualado a taxa, tem-e a eguite equação de balaço: fluxo ( ),,,... e, ( ) Para, teme: Para, teme: ( ) Por idução:...,,, é determiado atravé de: Ferado Nogueira Teoria de Fila

22 Exemlo : Uma mercearia oui a eguite regra ara defiir o úmero de caixa oerado a loja deededo do úmero de cliete: N o de caixa A Taxa de Chegada, com ditribuição Poio, é oerado cliete/h e o Temo de Atedimeto, com a 3 ditribuição Exoecial, é miuto/cliete. 4 a 6 Determie a ditribuição de robabilidade de de 6 3 cliete o Sitema de Fila em codiçõe de Etado Etávei. 3 cliete/ h,,, cliete/ h,,, *5 cliete/ h, 4,5, *5 5 cliete/ h, 7,8, , 7,8, N o de cliete a loja Ferado Nogueira Teoria de Fila

23 Ferado Nogueira Teoria de Fila 3 é determiado or: Uado a oma da érie geométrica, tem-e: x, x x i i < De oe de, ode-e calcular etão qualquer robabilidade. Por exemlo, a robabilidade que omete um caixa eteja oerado é dada or: e o úmero eerado de caixa ocioo é: caixa

24 Termiologia Ferado Nogueira Teoria de Fila 4

25 Em codiçõe de Etado Etávei (ão traiete) Relaçõe etre L, W, L q e W q L W L q W q ob: e Fórmula de Little cte utiliza e W Wq W Wq úmero médio de ervidore ocuado W W L Lq Ferado Nogueira Teoria de Fila 5 q L ρ L q

26 Exemlo : A taxa de chegada de carro é 6 carro/h com ditribuição de Poio em um etacioameto que oui 5 vaga. O itervalo de temo que o carro ficam etacioado é ditribuído exoecialmete com média de 3 mi. O carro que ão ecotram uma vaga dioível, odem eerar em uma área roviória até que algum carro etacioado deixe o etacioameto. Eta área ode uortar até 3 carro. Demai carro que ão coeguem etacioar em aguardar a área roviória vão embora. a) a robabilidade,, de ter carro o itema: carro/ h,,,...,7,,,...,5! 6 carro/ h,,,...,5 5 carro/ h, 6,7, , 6,7, 5 5! !! 3! 4! 5! 5!5 5!5 5! Ferado Nogueira Teoria de Fila 6

27 b) A taxa efetiva de chegada ( eff ): Fote eff lot Sitema eff lot Se 8 carro já etão o etacioameto, etão um outro carro ão oderá etrar, aim a roorção de carro que ão etrarão é 8. lot 8 6x.5.63carro/ h e eff lot carro/ h c) O úmero médio de carro o etacioameto e a área roviória é: L carro d) O temo médio que um carro aguarda a área roviória (W q ) é: L 3.86 W.5365hora W q W hora eff e) O úmero médio de vaga ocuada (ervidore ocuado) é: eff LLq.9386vaga f) O fator de utilização do etacioameto:.9368 eff ρ ou ρ * Ferado Nogueira Teoria de Fila 7

28 Notação (a/b/c):(d/e/f) a: ditribuição do temo etre chegada (M, D, E k, G, GI); b: ditribuição do temo de atedimeto (M, D, E k, G, GI); c: úmero de ervidore (caai de atedimeto); d: dicilia da fila (FIFO, FCFS, LIFO, Radômica, Prioridade, Qualquer,...) e: úmero máximo de cliete o itema (fiito ou ifiito); f: tamaho da fote de etrada (fiito ou ifiito). ode: M: Markoviao (Exoecial (temo) Poio (taxa)); D: Determiítico (temo cotate); E k : Ditribuição de Erlag ou Gama oma de ditrib. exoeciai ideedete G: ditribuição geral (ão e abe ada obre o temo de chegada/erviço); GI: ditribuição geral em que o temo de chegada/erviço ão i.i.d.. Exemlo: (M/M/):(Fifo/ / ), (M/D/):(Rad// ) Ferado Nogueira Teoria de Fila 8

29 Modelo (M/M/):(qq/ / ) eff fila (buffer) ifiita, L q ( )( 3 )... ( ) i ( ) i ( ) k!! ( ) ( )!!,, <, <, Ferado Nogueira Teoria de Fila 9 k ( ) k ( ) d( ρ ) ρ ρ ( ) d k ( ) d ( ) ρ ρ ρ ρ! dρ k! dρ ρ! ρ k k k k!! k dρ L L q { ω> T} ( ) ( ρ) e! e e ( ) ( ) ( ) ( ) T ( ) e T { > T} { ω } T ( ) T!!! W q! L q ob: (M/M/) é um cao eecifico do Modelo de Fila de Poio Geeralizado. ( ), W L ( ρ )T ω q ( q ) e { } ω Modelo de Fila de Poio Geeralizado ideedete da dicilia de fila. e ão orque e um cliete chegar quado, ete ficará a fila < q e ão orque e uca houver fila {w q } e em a omatória ão reulta em.

30 Exemlo: Um hoital oui aea um médico de latão.um etudo foi realizado ara aaliar a viabilidade de cotratar mai um médico latoita, edo o itervalo etre chegada etimado de 3 mi. e o temo de atedimeto etimado de mi, ambo ditribuído exoecialmete., 3. De oe do reultado acima, o hoital etedeu que o temo aguardado eerado a fila ara um úico médico (W q /3 hora 4 mi.) é grade, fato que jutifica a cotratação de mai médico latoita. Ferado Nogueira Teoria de Fila 3

31 Ferado Nogueira Teoria de Fila 3 Modelo (M/M/):(qq/N/ ), N Difere do modelo (M/M/):(qq/ / ) o úmero máximo de cliete o itema que é fiito e igual a N. O comrimeto máximo da fila é L q N- e eff. < N N, < N,, < N,!,! N!! N! L N N q Para q! N N L N lot eff N lot e eff L q L eff q q L W eff L W ρ eff Para Memo quado (/) o itema ode alcaçar a codição de etado etávei orque ara N.

32 Exemlo: Uma comahia de etrega oui 4 camihõe. São obervado em média 6 edido de etrega or hora com ditribuição Poio e o itervalo de temo gato or etrega é em média miuto com ditribuição Exoecial. Do oto de vita de Teoria de Fila, o camihõe ão o ervidore e o edido de etrega ão o cliete. A comahia etá etudado a oibilidade de imlemetar (ou ão) a eguite olítica: advertir a eoa que olicita um edido de etrega de um otecial atrao exceivo toda vez que houver 6 edido de etrega a fila. Comarar o reultado do modelo em e com a imlatação da olítica citada. 6, 5 Ceário : (M/M/4):(qq/ / ) Sem olítica: Fila (Buffer) ifiíta Ceário : (M/M/4):(qq// ) Com olítica: Fila (Buffer) fiíta, N 4 6 Ferado Nogueira Teoria de Fila 3

33 Ferado Nogueira Teoria de Fila 33 Modelo (M/M/R):(qq/K/K), R K Alicação tíica: exitem R eoa ara dar mauteção em K máquia. éa taxa em que a máquia quebram e é a taxa em que a máquia ão rearada. Se toda a máquia etão quebrada ão há mai máquia ara quebrarem Tamaho da Poulação Fiita: (K ), K. < K K, K < K R, R R, K R,!R!R K K! R,!! K K! R R K R R.!R!R K K!.!! K K! K L { } L K K E eff eff q q L W eff L W ρ eff eff L q L

34 Exemlo: Uma comahia oui máquia. Cada máquia quebra, em média, a cada hora, edo gato miuto, em média, ara realizar o rearo. O temo etre quebra e o temo de rearo ão ditribuído Exoecialmete. Aaliar a rodutividade da comahia em fução do úmero de eoa ecarregada de dar mauteção..5, 5 rodutividade máquia máquia dioivei máquia máquia dioivei quebrada L Ferado Nogueira Teoria de Fila 34

35 Modelo (M/G/):(qq/ / ) Ditribuição do temo de atedimeto é qualquer com média / e variâcia σ. ρ < Para σ ρ L ρ L L L W W q W q é itratável q ρ q q ρ aaliticamete Exemlo: Um lava-jato recebe, em média, 4 carro or hora com ditribuição Poio e o temo de atedimeto é miuto or carro com ditribuição exoecial e a lavagem é realizada or um fucioário. Se a lavagem for realizada or uma máquia o temo de atedimeto é também miuto, orém cotate (determiítico σ ). Comarar a medida de erformace do itema oerado com o fucioário e com a máquia. 4, 6. Ferado Nogueira Teoria de Fila 35

36 Modelo de Cuto Modelo de Cuto ara Fila ETC x ode: x EOC( x) EWCx ( ou ) ETC cuto EOC cuto EWC cuto total de de ível de eerado oeração aguardar Geralmete utiliza-e: EOC x C x EWCx ode: C L C cuto C cuto or or uidade aguardar erviço de cuto EOC do itema eerado or uidade de temo or x or uidade uidade de temo ETC ível de erviço eerado temo cliete Nível de erviço ótimo EWC Ferado Nogueira Teoria de Fila 36 de or

37 Exemlo: Uma gráfica eceita comrar uma coiadora. Exitem 4 modelo de coiadora o mercado com ua caracterítica dada a tabela abaixo. O Job chegam com ditribuição Poio com média de 4 job/dia. O tamaho de cada job é em média de folha. Cotrato com o cliete da gráfica etiula uma ealidade de $8, or job/dia de atrao. Qual coiadora a gráfica deve comrar? Modelo 3 4 cuto de oeração ($/h) velocidade (cóia/mi) i,,3,4 modelo ETC ETC ETC O valore de C i ão o cuto de oeração dado a tabela acima. Para fi rático, cada coiadora ode er tratada como um modelo (M/M/):(qq/ / ). A taxa de chegada é 4 job/dia e a taxa de atedimeto i (job/dia) é: Modelo i 3 4 i i 3*6*4/ *6*4/ *6*4/ 7. 66*6*4/ 9.54 Ferado Nogueira Teoria de Fila 37 L i i i i EOC C i 4C EOC i ($) 36, 48, 576, 648, i i 4 i EWC C 8L i i EWC i ($), 7,, 58,4 i L i ETC i ($) 36, 75, 676, 76,4