Ondas Planas em Meios Materiais

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1 Ondas Planas em Meios Materiais Thiago S. Mosqueiro (Dated: 05/04/09) Vamos abrir as ontas do prof. Egues, notas de aula pág 1, om a ajuda do Jakson e Marion. Vamos na verdade prourar por soluções para os ampos que se pareçam om ondas planas e veriar quais as onsequênias da existênia de um material (linear e sem argas livres) para as ondas e omo veriar essas mudanças. I. EQUAÇÕES DE MAXWELL EM MEIOS MATERIAIS Estamos interessados em estudar ertas soluções espeías para as equações de Maxwell em meios dielétrios e ondutores. Segundo o Wikipédia, Um dielétrio (português europeu) ou dielétrio (português brasileiro), ou isolante elétrio, é uma substânia que possui alta resistênia ao uxo da orrente elétria. Este, para desempenhar orretamente a sua função, é esolhido através de ertos requisitos, tais omo: elevada resistênia elétria, para garantir o isolamento entre a peça e o elétrodo; elevado poder refrigerante, pois este deve arrefeer a peça e o elétrodo, visto que o aqueimento exessivo pode originar ssuração; visosidade estável, pois deve evauar as partíulas da zona de orte om eáia; et. Estamos interessados em um meio sem argas livres e linear, o que signia que as equações de Maxwell mantêm uma forma bem pareida om as equações para o váuo, E (r, t) = 0, (1) B (r, t) = 0, () E (r, t) = 1 B (r, t) = ɛµ E B (r, t) e (3) 4πµ (r, t) + J (r, t). (4) A diferença entre estas equações e as apresentadas para o aso do váuo está na última das quatro equações, em que agora inluímos uma orrente J (r, t) na equação 4 (lei de Ampère). As equações onstitutivas nos forneem J (r, t) = σe (r, t), (5)

2 o que fornee a quarta equação: B (r, t) = ɛµ E 4πµσ (r, t) + E (r, t). (6) Estas quatro equações denem por ompleto os ampos. II. COMPONENTE TANGENCIAL DOS CAMPOS Vamos agora espeiar um pouo mais o que queremos enontrar: vamos supor que esperamos ondas planas omo soluções, o que signiaria desobrir omo a luz deve omportar-se nos meios que espeiamos mais aima. Ondas planas sempre denem um vetor k, hamado de vetor de propagação, determinado pela direção e sentido para que as ondas propagam. Vamos propor k = kê z tal que k r = kz, E (r, t) = ê 3 E z (r, t) = 0 e (7) Analogamente, B (r, t) = ê 3 B z (r, t) = 0. (8) E (r, t) = ê 3 E z (r, t) = 1 B (r, t) e (9) ê 3 B z (r, t) = ɛµ E Multipliando ambos os lados de 10 esalarmente por ê 3, ( ê 3 ê 3 B ) (r, t) = ɛµ z ê3 E 4πµ (r, t) + J (r, t). (10) 4πµσ (r, t) + ê 3 E (r, t) A derivada total de E (r, t) é ê 3 E de (r, t) = E z Usando a igualdade 7 e a derivada total, vale ê 3 de dt (r, t) = 4πσ ɛ ê3 E (r, t). (11) (r, t) dz + E (r, t) = 4πσ ɛ ê3 E (r, t) (r, t) dt. (1)

3 ( de ê 3 dt ) 4πσ (r, t) + E (r, t) ɛ = 0 (13) O produto E ê 3 = E l pode ser ompreendida omo a omponente longitudinal do ampo, ou seja, uma omponente que na verdade está na mesma direção (e sentido, em metade do período) do vetor de propagação k. Para esta omponente, vale a equação de l dt (r, t) + 4πσ ɛ E l (r, t) = 0, (14) uja solução, se onheido o valor do ampo em t = 0 (ond. iniial), é E l (r, t) = E l (r, 0) e t τ om τ = ɛ 4πσ. (15) Isto signia a existênia de um meio om ondutividade não nula (e nita, esperamos) gera uma possível omponente na direção de propagação da onda, embora ela seja atenuada om um tempo τ de relaxação. Ou seja, para t >> τ, E l (r, t) 0. Vamos agora veriar algo muito interessante. Isto só oorreu pela existênia de uma orrente J (r, t) não nula, que, pela equação onstitutiva 5, forneeu uma E.D.O. para o ampo elétrio a partir da 6. Analogamente, podemos fazer aminho pareido om o ampo magnétio, usando a equação 9. No entanto, note que há uma diferença gritante entre 6 e 9: não há um termo análogo à orrente, o que signia que provavelmente obteremos algo razoavelmente diferente para o ampo magnétio. A 9 fornee ( ê 3 ê 3 E ) (r, t) = 1 z ê3 B (r, t) 1 ê3 B (r, t) = 0. (16) Denindo a omponente longitudinal do ampo magnétio omo B (r, t) ê 3 = B l (r, t), B l (r, t) = 0. (17) Ou seja, B l (r, t) não deve depender expliitamente de t, o que ainda é prematuro para armar sobre a dependênia temporal de B l (r, t). Usando a derivada total de B (r, t), obtemos da equação 16 a relação e usando 8, ( ) B B ê 3 (r, t) dz + (r, t) dt = 0, z ê 3 db dt (r, t) = db l (r, t) = 0, (18) dt ou seja, a omponente longitudinal do ampo magnétio é onstante! Temos assim, diferentemente do aso de ondas no váuo, ampos longitudinais (ampos tranversos). 3

4 4 III. VETOR DE ONDA COMPLEXO Repetindo os passos que tomamos para obter as equações de onda no váuo, obtemos E (r, t) 4πσµ E ɛµ E (r, t) (r, t) = 0. (19) Isto signia que a solução para os ampos elétrio e magnétio deve ser, dado o vetor de propagação k, agora não mais neessariamente na direção ê 3, E (r, t) = B E 0 B 0 ei(k r ωt). (0) Simplesmente substituindo a solução 0 na equação 19, k i 4πωσµ ] ɛµω E 0 e i(k r ωt) = 0. (1) Como E 0 é uma onstante (à priore, será determinada por ondições iniiais ou de ontorno) e esta última igualdade vale para quaisquer que sejam r e t, então Em analogia ao aso om o váuo, em que k i 4πωσµ k = µɛω denimos uma nova onstante dielétria efetiva ɛµω = i 4πσ ]. () E (r, t) = µɛ ω E (r, t), ɛ ef = ɛ + i 4πσ ω. Daí vem o termo a existênia de meios dielétrios renormaliza a onstante dielétria para as ondas eletromagnétias. Alguns pontos muito importantes neste momento: note que k é imaginário, o que signia que k também deverá ser. Denindo k = α + iβ, então k = α + β iαβ, ou seja, α β = µɛω e (3) αβ = 4πσµɛω. (4)

5 5 Isto signia que α e β devem satisfazer Obtemos por onseguinte a seguinte solução: α = ω α = πσµɛω β β 4 + β µɛω π σ µ ɛ ω 4 = ( 4πσ ) e (5) β = ω 1 + ( 4πσ ) 1 1. (6) Como as partes real e imaginária de k estão bem determinadas, podemos denir k = k e iφ em que k = α² + β = ω ( ) 4πσ ( ) 4πσ é o módulo no plano omplexo e = ω ɛµ 1 + ( ) β φ = tan 1 = tan 1 α ( ) ] 4πσ 1/4. (7) 1 + ( 4πσ 1 + ( 4πσ ) 1 ) + 1 = 1 ( ) 4πσ tan 1. (8) é a fase. Para alular as fases, é neessário usar relações trigonométrias. IV. ONDAS PLANAS ENFIM Para alular os ampos de forma mais simples para visualizarmos, vamos redenir k = k ê 3, tal que k r = kz. Os ampos devem portanto ar E (r, t) = E 0 e i(k r ωt) = E 0 e i(kz ωt) = E 0 e i(α+iβ)z e iωt

6 6 = E 0 e βz e iαz e iωt = E 0 e βz e i(αz ωt). (9) Portanto, a parte imaginária de k ontribui para a onda plana omo um fator de amorteimento, em que β 1 pode ser reonheido omo uma distânia araterístias (distânia em que a amplitude da onda ai para E 0 e 1 ). Para o ampo magnétio, obtemos B (r, t) = ω k ê 3 E 0 e βz e i(αz ωt) = (α + iβ) ω ê 3 E 0 e βz e i(αz ωt) = k eiφ ω ê 3 E 0 e βz e i(αz ωt) = k ω ê3 E 0 e βz e i(αz ωt+φ). (30) Portanto, os ampos elétrio e magnétio ontinuam a osilar em direções perpendiulares, mas neste aso ganham uma fase entre si, dada exatamente pela fase de k no plano omplexo: φ. A equação 7 pode ser reesrita omo = ω ɛµ em que denimos = 4πσ/. Da equação 8, obtemos a relação 1 + /4, (31) tan (φ) =. (3) Então tanto a fase entre os ampos, φ, omo o módulo do vetor de onda, k, dependem desta grandeza adimensional. Esta razão surge quando alulamos as omponentes real e omplexa de k, em que trabalhamos essenialmente om dois termos: um deles vem da orrente de desloamento, proporional a ɛµ; o outro trata-se da orrente gerada pela presença de argas (não livres) no meio, que origina o termo om J (r, t), e que é proporional a 4πσµ. A razão entre estes dois oeientes fornee, que pode ser ompreendido então omo a razão dos oeientes da orrente de ondução pela orrente de desloamento. Se for muito pequeno (analisaremos depois a que podemos omparar), então aorrente de desloamento domina a orrente de ondução, o que impliaria em um mau ondutor ou um bom ondutor a altas frequênias. Se oorre o inverso, então a orrente de ondução deve dominar. A. Caso om << 1 Neste aso, omo omentamos, então a orrente de desloamento, por algum motivo, deve dominar os efeitos observados. Neste aso, α = ω ω

7 ω ] +, (33) 4 que, a menos de termos de ordem de 4, oinide om a expressão anterior. De forma análoga, β = ω ω µɛ / Substituindo o valor de em β, ω 1 / ω µɛ. β = πσ µ ɛ. (34) Portanto, para este aso, quanto menor o valor de σ, menor será a atenuação da onda no meio. Podemos realular o módulo do vetor de onda usando estas aproximações, k = α² + β = ω µɛ ( )] 4πσ ( ) πσ µ + ɛ. (35) Vamos negligeniar, por um momento, os termos om σ, k ω, (36) que é exatamente o resultado que obtivemos para o váuo. A expansão em série de Taylor de tan 1 é tan 1 ( ) = se < 1. Assim, o primeiro termo fornee j=0 ( 1) j j + 1 j+1, tan 1 ( ), (37) o que signia que φ tem primeira ordem em σ. Quanto menor σ, menor também φ, o que signia que os ampos passam também a osilar em fase. No entanto, este segundo efeito (φ 0) deve ser relevante om σ bem menor do que o valor neessário para observarmos k ω. B. Caso om >> 1 Este é o aso inverso, aso em que a orrente de ondução deve dominar. Neste aso, a aproximação tomada foi de α = ω ω + 1 ω.

8 8 Substituindo o valor de, α ω µɛ 4πσ πµω ɛω = σ. Fazemos agora o mesmo om β, Portanto, β = ω Portanto, a fase entre os ampos deve ser α = β = πµω σ. πµω σ. (38) φ = 1 tan 1 (1) = π 4. Usando a relação entre as amplitudes dos ampos, B 0 = 4πσ µɛ E 0 ɛω. No entanto, estamos no aso em que << 1, o que signia, no mínimo, que < 1 também deva valer. V. PROFUNDIDADE DE PELÍCULA om Voltando à equação de ondas 19, vamos desprezar a orrente de desloamento. Assim, amos E (r, t) 4πσµ E (r, t) = 0. Usando a equação onstitutiva ρj (r, t) = E (r, t), obtemos o que fornee, da linearidade do meio, ρj (r, t) 4πσµ ρj (r, t) = 0, J (r, t) 4πσµ J (r, t) = 0. (39) Esta equação, agora para a orrente J (r, t), não é mais uma equação de ondas, mas uma equação de difusão, uja solução usualmente é da forma J (r, t) = J 0 e iωt, (40)

9 9 em que J 0 é determinado por ondições de ontorno (por exemplo, J 0 = J(r, 0). Com este anzats, a equação de difusão torna-se Usando i = 1 + i, ²J 0 + τ J 0 = 0, om τ = i 4πσµω. (41) τ = (1 + i) πσµω = 1 + i, (4) δ em que denimos Portanto, a solução para a orrente deve ser 1 πσµω δ =. (43) J (r, t) = J 0 e iτz e iωt = J 0 e z δ e i z δ e iωt, (44) ou seja, uma orrente que entra no material e é atunuada om um fator de 1/δ, que arateriza um omprimento araterístio: δ (omprimento em que a intensidade da orrente ai para J 0 e 1 ). Este omprimento é usualmente onheido omo omprimento de pelíula (skin depth). Eletroni address: thiago.shiavo@gmail.om