Capítulo IX Equações de Maxwell. Propagação de ondas electromagnéticas

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1 LCTROMAGNTISMO Curso de letrotenia e de Computadores º Ano º Semestre - Capítulo IX quações de Maxwell. Propagação de ondas eletromagnétias 9. quações de Maxwell e as desobertas de Hertz 9.. As equações de Maxwell As equações mais gerais de Maxwell, no sentido em que são álidas quer no áuo (azio), quer nos meios materiais, são esritas na seguinte forma: r r ρ ε [ª] (9.a) r r r B t [ª] (9.b) r B r [3ª] (9.) r r r r B µ J + [4ª] (9.d) t ε permeabilidade elétria, µ permitiidade magnétia, eloidade da radiação eletromagnétia om as equações de ligação: D ε (9.a) J σ (9.b) B µh (9.) letromagnetismo ngenharia letroténia e de Computadores - 38

2 9.. Campos létrio e Magnétio em onjunto O fato fundamental de termos um ampo elétrio ariáel e este produzir efeitos magnétios, e de esses efeitos magnétios ariáeis se manifestarem omo efeitos elétrios mesmo no espaço azio (interior do ondensador, por exemplo) onde não existem nem distribuições de arga (fonte de ) nem de orrente (fonte de B ) leou Maxwell a preer a existênia de uma onda elétria e magnétia a propagar-se no espaço. Por exemplo, se num ondensador oloado no azio, tiermos um ampo elétrio que aria sinusoidalmente (normal às suas armaduras), om uma intensidade; sen( ω ) t e teremos a ele assoiado o ampo de indução magnétia B, também sinusoidal om a mesma frequênia, dado por; B ω r os( ω t) A forma relatia do ampo elétrio e magnétio mantêm-se, mas no deorrer do tempo estes propagam-se no espaço, om uma determinada eloidade de propagação, relaionada om as onstantes ε e µ, da seguinte forma; ε µ (9.3) Verifiamos que o produto das onstantes ε e µ representam também uma onstante da natureza o inerso do quadrado da eloidade de propagação da onda eletromagnétia no azio. ste alor é igual à eloidade de propagação da luz Onda letromagnétia no azio Pensemos que temos fontes dos ampos e B, argas elétrias e orrentes lires, respetiamente. Na ausênia de meios materiais (azio), quais as soluções das equações de Maxwell para esses ampos, deido a essas fontes (figura 9.)? Fora das regiões onde se loalizam as fontes, teremos então: ρ e J Figura 9. Propagação de onda eletromagnétia no azio. letromagnetismo ngenharia letroténia e de Computadores - 39

3 Se apliarmos o operador rotaional ( ) à ª (9.b) e 4ª (9.d) equação de Maxwell, e usarmos as restantes equações (9.a e 9.), obtemos as seguintes relações; e B ( ) ( B) (9.4a) t t t t t B ( B) ( ) B (9.4b) t t t t t é igual a. A A [(rot(rot A) grad (di(a)) lap(a)] o que signifia imediatamente o seguinte: Mas sabemos que ( A) pois ρ e pois r B r ( ) (. ) (9.5a) ( B) (. B) B B (9.5b) Igualando agora as expressões (9.4a) a (9.5a) e (9.4b) a (9.5b) respetiamente, obtemos as seguintes equações: e (9.6a) t B B (9.6a) t stas equações são formalmente iguais para ambos os ampos e B, e são equações de propagação de onda (equações de onda), ujas soluções são ondas que se propagam om uma eloidade. São equações do tipo; Φ Φ t (9.7) em que Φ r representa tanto o ampo omo o ampo B. A equação (9.7) é uma equação diferenial enolendo a dependênia temporal e espaial da grandeza Φ r (x,y,z,t), ( ou B ) e uma propagação om eloidade. A solução desta equação geral (9.7) irá depender das ondições onsideradas. letromagnetismo ngenharia letroténia e de Computadores - 4

4 9..4 Onda plana eletromagnétia Um aso muito importante e partiular é o de onsiderarmos ondas planas que se propagam (por exemplo) na direção do eixo z, Φ(x,y,z,t) Φ(z,t). É o aso das ondas que reebemos das longínquas fontes luminosas das estrelas. Φ z Φ t a solução será da forma: Φ + ( z, t) f ( z t) + f ( z + t) onde f - e f + são funções arbitrárias dos respetios argumentos. A função f - representa uma onda progressia que se propaga no sentido positio do eixo z e a função f + uma onda que se propaga no sentido negatio do eixo z, onda regressia. Qualquer ombinação linear destas soluções ainda é uma solução Onda eletromagnétia plana e linearmente polarizada Se fixarmos a direção (z) de propagação, e erifiarmos que a direção do ampo elétrio é sempre onstante (digamos no eixo x); r ( z, t) x u x stamos perante um ampo (elétrio) que só tem ariação ao longo dessa direção (sendo nulo nas outras direções). Quando isto oorre, dizemos que temos uma onda plana linearmente polarizada (na direção de eixo x). Figura 9. Onda eletromagnétia plana linearmente polarizada. z t B e z t B e erifiamos que r B B ( z, t) u é também linearmente polarizado. y y O ampo elétrio e o ampo de indução magnétia B são perpendiulares entre si e perpendiulares à direção de propagação (z), figura 9.. A onda eletromagnétia é transersal letromagnetismo ngenharia letroténia e de Computadores - 4

5 Se onsiderarmos que a onda linearmente polarizada, tem uma dependênia espaço-temporal bem definida, do tipo sinusoidal; e B x os( kz ω ) x t x y os( kz ω t) x x µ H y By (9.8) ω πf λf k π / λ Figura 9.3 Representação dos ampos e B de uma onda eletromagnétia plana, linearmente polarizada e sinusoidal. xiste uma relação onstante entre as omponentes e B. Além de serem ortogonais, essas omponentes estão também em fase entre si Propriedades da onda eletromagnétia Podemos em seguida sumarizar as suas propriedades:. as equações de Maxwell têm solução ondulatória, obedeendo ambos os ampos, e B a essa mesma equação de onda,. as ondas eletromagnétias propagam-se no azio om a eloidade da luz, ±, ms - 3. os ampos e B são perpendiulares entre si e perpendiulares à direção de propagação onda transersal, 4. os módulo de e B no azio, estão relaionados por; /B, 5. as ondas eletromagnétias obedeem ao prinípio da sobreposição. xeríio 9. Considere uma onda eletromagnétia plana e sinusoidal no azio, om as seguintes araterístias: f 4 MHz, 75 NC -. Calule o omprimento de onda (λ), período (T) e B? letromagnetismo ngenharia letroténia e de Computadores - 4

6 9..6 Desoberta experimental das ondas eletromagnétias - Hertz A formulação e sintetização das equações de Maxwell (em ) possibilitaram a este, a dedução teória da existênia de uma propagação dos ampos elétrios e magnétios a onda eletromagnétia. O simples fato dos alores das onstantes enolidas na eloidade de propagação dessa onda eletromagnétia, resultarem num alor de eloidade, próximo da onheida eloidade da luz, pesaram para que Maxwell se onenesse que efetiamente os ampos elétrios e magnétios osilantes produziam ondas eletromagnétias. A partir de dados experimentais, a eloidade por Maxwell obtida foi de ms -, efetiamente não muito diferente da atual eloidade da luz no azio. m 865, Maxwell esreeu: sta eloidade é tão próxima da eloidade da luz que paree que temos fortes motios para onluir que a luz em si (inluindo alor radiante, e outras radiações do tipo) é uma perturbação eletromagnétia na forma de ondas propagadas atraés do ampo eletromagnétio de aordo om as leis eletromagnétias. m 878, Daid Hughes mostrou que sua balança de indução prooaa ruídos num telefone onstruído em asa por ele. Há époa, esta desoberta foi onsiderada omo um efeito de indução de orrentes. Será Hertz que a partir de 883, nas suas experiênias om equipamentos e instrumentos por si idealizados e onstruídos, irá desobrir a produção e propagação das ondas eletromagnétias (ondas de rádio). Obtém igualmente formas de ontrolar a frequênia das ondas produzidas. Todas estas experiênias, entre esse ano de 883 e o ano de 888, permitem-lhe demonstrar a existênia de radiação eletromagnétia, tal omo preisto teoriamente por Maxwell (figura 9.4a e 9.4b). Hertz desobre que a eloidade de propagação é igual à eloidade da luz no áuo e que têm omportamento semelhante ao da luz. Demonstrou também a refração, reflexão e a polarização dessas ondas. Quando em 888, apresenta os seus resultados experimentais à omunidade ientífia, estes são alorosamente reebidos e são efetiamente um maro na expliação quantitatia da luz omo onda eletromagnétia e uma proa inequíoa da sua existênia. É justamente onsiderado um dos grandes triunfos da Físia. a) b) Figura 9.4 missor e reeptor de ondas eletromagnétias (Hertz, 888). A nossa habitual formulação matemátia (moderna) das equações de Maxwell, foi introduzida por Olier Heaiside e Willard Gibbs, em 884. Heinrih Rudolf Hertz ( ) Físio alemão que demonstrou experimentalmente a existênia das ondas eletromagnétias. letromagnetismo ngenharia letroténia e de Computadores - 43

7 9. Radiação eletromagnétia e matéria 9.. Vetor de Poynting Para araterizar matemátia e fisiamente a onda eletromagnétia, podemos definir a seguinte grandeza, hamada etor de Poynting, omo; S H B µ (9.9) ste etor tem a direção e o sentido da propagação da onda eletromagnétia e dimensões de energia por unidade de tempo e por unidade de área, ou seja, potênia por unidade de área, (no Sistema Internaional, Js - m - ou Wm - ), figura 9.5. Figura 9.5 Vetor de Poynting. 9.. nergia da onda eletromagnétia O seu módulo representa a intensidade instantânea da energia eletromagnétia. Valor instantâneo de S ; atendendo à expressão (9.8). B B S (9.) µ µ µ Consideremos agora um meio material de omportamento linear, homogéneo e isotrópio, onde se erifia então que; D ε e B µ H om ε e µ propriedades eletromagnétias araterizadoras do material. Figura 9.6 Onda inidente num olume material. letromagnetismo ngenharia letroténia e de Computadores - 44

8 Apliando o operador diergênia ( ) ao etor de Poynting, temos; S ( H ) H ( ) ( H ) (9.) H e sabemos que no meio material; µ e H ε + J da t t apliação das equações de Maxwell (9.b e 9.d). Substituindo estas ultimas em (9.), temos; H S µ H ε J (9.) t t Se integrando agora a expressão anterior (9.) num olume (figura 9.6), onde a onda poderá estar a entrar ou a sair, temos; d ( S ) d µ H d + ε d ( J ) d (9.3) dt Apliando o teorema de Gauss ao primeiro membro, e sabendo que as energias armazenadas nos ampos e H, são; temos na forma integral e diferenial; U U H ε d (9.4a) µ H d (9.4b) d dt ( U + U H ) + S ds Sup ( J ) d (9.5a) U t + S M J (9.5b) Signifiado físio: o fluxo do etor de Poynting representa a energia que entra, por unidade de tempo, no olume. ssa energia orresponde à ariação temporal de energia armazenada no ampo eletromagnétio no olume, mais a energia dissipada por efeito de Joule, por unidade de tempo, no mesmo olume. A densidade de energia elétria é igual à densidade de energia magnétia, u ε e u M µ H ε atendendo à expressão (9.8) u M ε (9.6) letromagnetismo ngenharia letroténia e de Computadores - 45

9 9..3 Valor médio do etor de Poynting Consideremos ainda a onda eletromagnétia sinusoidal plana linearmente polarizada, e fixemo-nos num ponto do espaço (z z ) para determinar o alor médio no tempo do etor de Poynting. sse alor médio no tempo é então dado por: S T t + T t Sdt (9.7) onde T é o período da onda eletromagnétia. S H H u ε z uz µ u z u M u z (9.8) (segundo os eixos representados na figura 9.5) S t+ T t+ T ε dt uz os ( kz t) dt uz T ε t T ω (9.9) t Sabendo que o alor do integral (no interalo de tempo de um período T) é igual a T/, e usando o alor efiaz, ef, obtemos; S ε uz (9.) µ uz ε ef uz ef xistem duas razões para se usar e preferir o etor H em ez de B, quando se estudam ondas eletromagnétias. A primeira é deida ao fato de H ser uma densidade de fluxo de energia (energia eloidade). A segunda é que a razão /H tem as dimensões de uma impedânia. De fato, a expressão (9.8) pode ser reesrita na forma: alor este designado por impedânia araterístia do azio missão e reepção de radiação eletromagnétia µ Z µ 376,73 Ω (9.) H ε Podemos assim onstruir iruitos osiladores destinados exlusiamente à emissão/reepção de ampos eletromagnétios (ondas eletromagnétias). Se de alguma forma odifiarmos um sinal (informação, em FM ou AM, por exemplo) nesses ampos ( e H ), podemos então transmiti-lo sem um suporte material (fios de obre, por exemplo), atraés do azio, do ar ou de meios materiais. As primeiras emissões fiaram assim onheidas por telegrafia sem fios TSF. A essênia desta emissão reside nos ampos elétrios e magnétios osilantes, resultantes da apliação de um sinal em frequênia, na antena, figuras 9.7 e 9.8. letromagnetismo ngenharia letroténia e de Computadores - 46

10 Figura 9.7 missão e reepção de ondas eletromagnétias; TX: grande potênia emissora, RX: amplifiador da fraa potênia reebida Assoiado à frequênia de osilação (f) está obiamente ligado o omprimento de onda da emissão (λ), pela expressão (9.). Por questões prátias de rendimento, as antenas emissoras têm habitualmente um omprimento que é ½ ou ¼ do omprimento de onda da emissão. Os iruitos reeptores são onstruídos de forma a seleionar apenas determinadas frequênias eletromagnétios. λ f (9.) A eloidade de propagação das ondas eletromagnétias (eloidade da luz), é a maior eloidade de propagação de um sinal na natureza. Figura 9.8 missão de onda eletromagnétia, antena ertial (¼ λ) Radiação eletromagnétia Pratiamente toda a informação que nos reebemos da natureza oorre sobre a forma de ondas eletromagnétias. Detetamos a presença de um orpo ou fenómeno atraés da energia eletromagnétia que dele aptamos. A interação dos seres ios om o meio enolente também oorre na sua maioria om reursos a sensores de radiação eletromagnétia, omo sejam atraés dos órgãos da isão os olhos. A partir das desobertas de Maxwell, demonstrou-se que a radiação eletromagnétia tem exatamente o mesmo omportamento que a luz; sofre reflexão, refração, difração, interferênia, polarização. A luz é apenas um tipo de radiação eletromagnétia, a que os nossos olhos humanos (e de grande parte dos seres do reino animal) são sensíeis. letromagnetismo ngenharia letroténia e de Computadores - 47

11 Sabemos hoje que: Todo e qualquer orpo om temperatura aima do K (-73,5 C) emite radiação eletromagnétia Mas de que forma o faz? Depende da sua temperatura? As primeiras desobertas no sé. XVII, mostraram e proaram que a emissão é independente do tipo de orpo (material, forma, et), mas dependem efetiamente da temperatura. A or e a emissão de luz (radiação) dependem da temperatura. Consideremos um orpo em equilíbrio om a radiação. A energia que, por segundo, ele emite será desrita por K. Se seleionarmos agora a energia num interalo de frequênias ompreendidas entre f e f+df, a energia será reesrita por K f, por unidade de interalo de frequênia. A densidade espetral de energia u f eletromagnétia (energia por unidade de olume, om frequênias entre f e f+df, e por unidade de interalo de frequênia) é: u 8π (9.3) f K f Mas omo determinar a função K f ao longo de todo o domínio do espetro eletromagnétio? Para obter a resposta, foi teoriamente neessário introduzir o oneito de Corpo Negro Corpo Negro Um orpo negro é um orpo que transforma em alor (energia) toda a radiação eletromagnétia que nele inide. A melhor aproximação é uma aidade negra, figura 9.9. É na pratia um orpo om uma aidade interna, aessíel apenas por um minúsulo orifíio, por onde é emitida radiação para o seu interior. Figura 9.9 Caidade negra. As experiênias realizadas por John Tyndall, em 865, em fios de platina, a duas temperaturas distintas; C e 55 C, mostraram que a razão de emissão de radiação era,7 ezes superior na maior temperatura (omparatiamente om a temperatura menor). ( + 73) 4 ( ) 4,6 A relação que satisfaz esta obseração é onheida omo lei de Stefan-Boltzmann. letromagnetismo ngenharia letroténia e de Computadores - 48

12 9..7 Lei de Stefan-Boltzmann ( ) om σ 5,674-8 W m - K -4 (onstante de Stefan-Boltzmann) U σt 4 (Wm - ) (9.4) A lei de Stefan-Boltzmann não nos detalha a emissão de energia ao longo do espetro eletromagnétio (ontinuo de frequênias da radiação), mas dá-nos antes o total (integral) da energia Lei do desloamento de Wien (893) 3 λ T,897 (mk) (9.5) max Com esta lei, deduzida por Wilhelm Wien, ainda não temos a forma da distribuição da energia ao longo do espetro eletromagnétio, mas já sabemos o omprimento de onda da radiação (λ max ), a que orresponde o máximo de emissão do orpo e a sua relação om a temperatura. O que erifiamos é um desloamento do omprimento de onda máximo, que é inersamente proporional à temperatura. Corpos a temperaturas mais eleadas, emitem mais energia e o omprimento de onda do máximo de emissão é tanto menor quanto maior for a sua temperatura, figura 9.. Figura 9. Desloamento de λ max om a temperatura do orpo. A melhor aproximação que Wien onseguiu (9.6), proou-se não ser erdadeira quando a tenologia permitiu analisar radiação nos omprimentos de onda orrespondentes ao ultraioleta e infraermelhos. u 3 af 8 bf ( ) T f ( T ) e 3 π (9.6) xeríio 9. Qual o λ max de emissão de radiação eletromagnétia da Terra (3 K) e do Sol (58 K)? letromagnetismo ngenharia letroténia e de Computadores - 49

13 9..9 Lei de Plank (9) Max Plank, introduz uma hipótese meramente matemátia a da energia não ser troada em qualquer quantidade mas sim em paote múltiplos de uma quantidade elementar quantifiação da energia. ssa hipótese reelou-se ter uma realidade físia e responde perfeitamente às nossas obserações. u 8πhf f, T ) f ( 3 3 e hf kt (9.7) h 6,66-34 J s (onstante de Plank), k,387-3 J K - (onstante de Boltzmann) A lei de Plank quantifia a quantidade de energia, para qualquer temperatura, ao longo de todo o espetro eletromagnétio de radiação. Conseguimos assim saber, qual é a energia que um orpo emite numa dada frequênia (ou omprimento de onda), quando se enontra a uma determinada temperatura. A expressão gráfia da lei de Plank (9.7), está retratada na figura 9. (para três temperaturas distintas) e na figura 9. (temperatura da fotosfera solar). Figura 9. Curas de orpo negro (lei de Plank) para três temperaturas, om indiação do espetro isíel. Na figura 9. o gráfio india a potênia P relatia (ersus omprimento de onda), e no gráfio da figura 9. a energia relatia (ersus omprimento de onda). Figura 9. Curas de orpo negro (lei de Plank) para o Sol. letromagnetismo ngenharia letroténia e de Computadores - 5

14 9.. spetro de frequênia da radiação eletromagnétia O espetro eletromagnétio ompreende as ondas eletromagnétias (radiação eletromagnétia), desde baixas frequênias (grandes omprimentos de onda) até eleadas frequênias (pequenos omprimentos de onda), e relaionados pela expressão (9.), figura 9.3. Figura 9.3 spetro de frequênias eletromagnétias e suas denominações. Um quanto de energia (fotão) tem uma quantidade de energia dada por; h u hf (9.8) λ Quanto maior for a frequênia da radiação, maior é a energia transportada pelo quanto. xeríio 9.3 Calule a energia de um fotão azul e de um fotão ermelho? letromagnetismo ngenharia letroténia e de Computadores - 5