UTILIZAÇÃO DA TEORIA DE LINHAS DE TRANSMISSÃO NO MODELAMENTO DE LASERS SEMICONDUTORES

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1 UTILIZAÇÃO DA TORIA D LINHA D TRANMIÃO NO MODLAMNTO D LAR MICONDUTOR A. C. Bordonalli, D. N. ilva e. Conforti Departamento de Miroonda e Óptia - Fauldade de ngenharia létria e de Computação Universidade stadual de Campinas UNICAMP Caixa Postal 611, , Campinas, P, Brasil RUMO ste artigo apresenta uma visão geral do modelamento de lasers semiondutores utilizando a teoria de linhas de transmissão. O objetivo é apliar os resultados obtidos om a simulação no projeto de estruturas de lasers do tipo DFB (distributed feedba) assoiados à avidade(s) estendida(s), para a geração de sinais na faixa de freqüênia de miroondas. ste modelo permite a previsão do omportamento de diferentes tipos de lasers e possui, entre outras vantagens, efiiênia na análise de estruturas periódias e failidade de aesso ao espetro de emissão. Resultados preliminares para o modelamento de lasers Fabry- Perot são apresentados e omparados om outros obtidos por diferentes ténias. 1. INTRODUÇÃO A geração de sinais na faixa de freqüênias de rádio freqüênia (RF) e miroondas através de métodos de onversão optoeletrônios tem ganhado atenção onsiderável nos últimos anos. Isto aontee devido, entre outros, à saturação das faixas de freqüênias para a transmissão de informação por portadoras aéreas. Na tentativa de ontornar o problema, as redes óptias têm sido utilizadas. A idéia é a de transmitir, por fibra óptia, os sinais de RF e/ou miroondas através da modulação das portadoras óptias dos lasers transmissores nas freqüênias de interesse (onversão eletrônia-óptia) e reuperá-las nos reeptores através do proesso de fotodeteção (onversão óptia-eletrônia). Para tanto, há a neessidade de se projetar transmissores uja as estruturas ontenham fontes óptias potentes, seletivas e onfiáveis [1]. Diante dos onstantes avanços da tenologia de omuniações óptias, hoje em dia, o projeto de tais fontes óptias se tornou uma realidade. Contudo, este avanço tenológio só foi onseguido às ustas de estruturas de alto usto e de onsiderável omplexidade. Deste modo, torna-se importante a elaboração de modelos matemátios que simulem, da melhor forma possível, o que aontee fisiamente nestas estruturas. Uma forma de se obter preisão no modelamento de lasers semiondutores é através da utilização da teoria de linhas de transmissão (MLLT) []. Neste trabalho, uma visão geral do modelamento de lasers semiondutores utilizando a teoria de linhas de transmissão é apresentada. Primeiramente, faz-se a apresentação do modelo, mostrando-se a sua efiiênia na representação de estruturas periódias. sta araterístia failita de forma onsiderável a análise teória e a simulação do omportamento de lasers do tipo DFB (distributed feedba realimentação distribuída). Finalmente, apresentam-se alguns resultados de simulação para um laser do tipo Fabry-Perot.. O MODLO A teoria de linhas de transmissão é bem onheida. Para adaptála ao estudo de lasers, primeiramente, aplia-se a representação matriial das linhas de transmissão [3]. ste método têm validade para o estudo de propagação de ondas eletromagnétias em estruturas de até três dimensões, omo é o aso, graças a similaridade de omportamento entre os ampos eletromagnétios e as tensões e orrentes de uma rede elétria. O modelo onsiste, basiamente, em dividir a avidade óptia em várias seções, omo mostrado na Fig. 1, e representar os fenômenos de interação entre os fótons e os elétrons do laser através de matrizes de espalhamento, as quais são onetadas entre si por linhas de transmissão. stes fenômenos são: emissão estimulada, emissão espontânea e atenuação. O ampo elétrio transversal, neste tratamento, passa a ser representado pela tensão elétria em uma linha de transmissão. Figura 1. Representação da avidade óptia do laser, om destaque para a divisão em diversas seções. Como menionado aima, a avidade óptia do laser semiondutor, de omprimento L, é dividida em s seções de omprimentos L (Fig.1). m uma primeira análise, a preisão do método seria dependente do número de seções esolhido, ou seja, quanto maior o número de seções, maior a preisão. Contudo, um aumento exessivo de s leva a um tempo de simulação muito longo, o que poderia inviabilizar a apliação do método. Para evitar este problema, em uma primeira aproximação, adota-se o limite empregado em [4], onde o valor de L deve ser menor que a metade do omprimento de onda de grupo λ gr. Na seção III, ver-se-á que é possível assumir um valor de L maior que o sugerido aima. sta possibilidade é uma onseqüênia direta das araterístias de emissão do laser

2 semiondutor. Assumindo, portanto, a aproximação de [4], o número mínimo de seções neessárias é de: Ln s e (1) λ onde n e é o índie de refração de grupo efetivo e λ é o omprimento de onda do laser no espaço livre. Como pôde ser observado aima, realizou-se uma disretização espaial do laser. Do mesmo modo, este modelo neessita também de uma disretização no tempo para a análise dos sinais propagante e ontra-propagante. Isto é onseguido onsiderandose que pulsos de tensão elétria viajam pelas seções, separados em intervalos de tempo de T. ste intervalo é esolhido de forma a garantir que um pulso que sai de uma seção irá hegar à próxima exatamente na interação omputaional seguinte. Assim: Lne T () onde é a veloidade da luz no váuo. De posse destes dois importantes parâmetros, s e T, neessitase, agora, relaionar os proessos e meanismos das propriedades físias da região ativa do laser aos omponentes da linha de transmissão. Isto pode ser obtido, partindo-se das equações de taxa para o número de fótons e para o número de portadores em uma avidade óptia [5]: d dt e Nβ ( gγ α s ) (3) n τ dn I N Γg dt wd Lq τ s s n e onde, é a densidade de fótons, g é o oefiiente de ganho, Γ é o fator de onfinamento, α s é o oefiiente de perdas internas, β é o oefiiente de aoplamento espontâneo, w é a largura da região ativa, τ s é o tempo de vida médio dos portadores, N é a densidade de portadores, I é a orrente em ada seção, q é a arga do elétron e d é a altura da região ativa..1 missão stimulada A emissão estimulada é o proesso no qual um fóton estimula um elétron a deair para um nível de energia menor. A diferença de energia entre níveis é onvertida em luz om a mesma fase e freqüênia do fóton estimulador. Pode-se observar que, quando muitos destes proessos oorrem, o ganho do laser é quase linear [5]. Contudo, é importante lembrar que ele é dependente da freqüênia do fóton. Desprezando-se em (3) o termo de emissão espontânea, uja ontribuição será onsiderada na eção II-B, e o fator de atenuação α s, uja ontribuição será onsiderada na eção II-C, resolvendo-se a equação diferenial de primeira ordem resultante, e também, assumindo-se que o sinal de luz em questão está se propagando de uma seção para outra, ou seja, perorrendo L, obtêm-se: exp ( LΓg) (4) (5) Relaionando-se o número de fótons om a amplitude do ampo elétrio no interior da região ativa do laser [5], e expandindo o resultado em série de Taylor, temos: LΓg 1 (6) onde, por simplifiação, os termos de ordem superior da série foram desprezados. Fazendo-se a análise espetral do ganho do laser, observa-se que a urva que representa a dependênia de g om a frequênia assemelha-se a uma urva do tipo Lorentziana. Desta forma, em termos de eletrônia, pode-se modelar o omportamento em freqüênia do ganho do laser por um filtro RLC passa-faixa de segunda ordem. Os elementos utilizados neste filtro seriam modelados por stubs numa linha de transmissão [4]. Já os valores para os omponentes do iruito podem ser esolhidos de aordo om a neessidade de modelamento.. missão spontânea A emissão espontânea é o proesso em que o elétron deai de um nível de energia para outro sem preisar de qualquer tipo de estímulo. A diferença de energia entre os níveis é transformada em luz, porém os fótons gerados possuem fase, omprimento de onda, e polarização aleatórios. ste tipo de meanismo representa uma fonte de ruído para o laser. Assim, no modelo, onsidera-se a ontribuição das emissões espontâneas omo sendo uma fonte de orrente aleatória de distribuição gaussiana [5], om valor quadrátio médio dado por: Iˆ βlhfr( N) Z p m (7) onde, hf é a energia do fóton, Z p é a impedânia transversal do guia de onda e m é uma onstante unitária om unidade de omprimento. ste tipo de aproximação é oerente om o fato do laser ser onsiderado omo sendo um dispositivo regenerador de ruído..3 Atenuação Os meanismos dominantes neste proesso são o espalhamento de fótons de um modo guiado para outro e a absorção. A perda gerada pelo proesso de atenuação é quantifiada por um hamado fator de atenuação, α s [4]. oltando-se a (3), e resolvendo-a novamente, após desprezar-se o termo de emissão espontânea, tem-se: tot exp ( LΓg α ) que se relaiona ao ampo elétrio através de: tot LΓg α s L exp exp Como o primeiro termo exponenial do segundo membro é onheido, então, substitui-se (6) em (9), obtendo-se: s (8) (9)

3 tot LΓg α s L 1 exp (1) A Fig. mostra o iruito equivalente a (1), que representa os fenômenos de ganho e atenuação para ada seção do laser. A ontribuição da emissão espontânea aparee na forma de uma fonte de orrente, ujo o valor é dado por (7) e é somado ao sinal de saída do iruito. No aso da teoria de linhas de transmissão, assumindo-se que o ampo elétrio é dado por, pode-se assoiar este ampo a um pulso de tensão tal que m, onde m é uma onstante de valor unitário om unidades de omprimento. e um pulso de tensão in, que representa o ampo elétrio na região ativa do laser semiondutor, é aoplado à entrada do iruito (uma dada seção), ele seria, primeiramente, atenuado. Uma parte do sinal resultante da atenuação é amplifiado om ganho dado por A ( LΓg)/ e passa pelo filtro RLC. A outra parte é somada ao sinal de saída do filtro e ao sinal da fonte de ruído, produzindo out. Desta forma, o out de uma seção se torna o in da seção seguinte durante a próxima interação. α L t exp s (14) Y e Y l representam, respetivamente, as admitânias relaionadas a C e L do filtro RLC, e out, outl, in, inl, são, respetivamente, as tensões de saída e de entrada dos stubs que representam o apaitor e o indutor. Neste aso, para simplifiar o modelo, R foi assumido omo sendo 1 Ω. A matriz aima é utilizada para um sentido de propagação da onda no interior da estrutura. Uma matriz igual deve ser utilizada na outra direção. Chamando de in e out as tensões de entrada e saída de uma dada seção n, de o número da interação, e utilizando o índie para a onda propagante, e o para a ontra-propagante, as oneções entre as seções adjaentes podem ser representadas por: 1 in ( n) out ( 1) (15) n 1 in ( n) out ( n 1) (16) e nas faes do laser, que representa o limite entre a estrutura semiondutora e o ar, por: 1 in ( s) Rout ( s) (17) 1 (1) in Rout (1) (18) onde R é a refletividade nas faes. 1.5 Densidade de Portadores Figura. Modelo elétrio do omportamento do laser semiondutor em ada seção. 1.4 Matrizes de spalhamento Para ada seção do laser devem ser utilizados dois iruitos iguais ao apresentado aima, um para a onda propagante, e outro para a onda ontra-propagante. O valor de saída de um iruito deve alimentar o seguinte, no mesmo sentido, na próxima interação. Tanto os iruitos quanto as oneções entre eles podem ser representados por matrizes. Para o iruito tem-se que [1]: onde, t( G y) 1 G y G ty Y y tyl Y l Y y l out in out outl Y in inl I Z pt (11) y 1 Y Y l (1) LΓg G exp 1 (13) A equação para o ganho g de um laser pode ser representada pela seguinte expressão [5]: ( N ) g a (19) onde a é a onstante de ganho do laser e N é a densidade de portadores na transparênia. Devido a dependênia do ganho, e portanto, do número de fótons, om a densidade de portadores, torna-se neessário resolver também a equação para a densidade de portadores. Neste aso, utiliza-se um algoritmo de Runge- Kutta de 4 a ordem, om passo dado por T. Dado um valor iniial devidamente esolhido para permitir a solução da equação diferenial por Runge-Kutta, os valores obtido para N e são utilizados nas diferentes seções e atualizados a ada interação. 1.6 Potênia Óptia A potênia óptia em uma das faes pode ser obtida através da seguinte relação [5]: N ( t) P( t) (1 R) wd () Z p 3. IMULAÇÕ A Fig. 3 mostra urva da potênia óptia em função da orrente de injeção total para um laser semiondutor do tipo Fabry-Perot, (FP) obtida através de simulações utilizando o modelo apresentado. Os resultados estão em onformidade se

4 omparados a outros obtidos por diferentes ténias de modelamento. Alguns dos parâmetros utilizados estão listados na Tabela I. Outros podem ser enontrados em [4-6]. Potênia Óptia (mw) Corrente (A) Figura 3. Potênia óptia em função da orrente de polarização para um laser semiondutor FP. TABLA I PARÂMTRO UTILIZADO NA IMULAÇÃO Parâmetro alor L 3 µm D.1 µm W 5 µm 1 λ 85 nm T 4 fs Z Ω Z l Ω Z p 13.1Ω R 1Ω É interessante notar que o número de seções utilizado para a simulação é menor que o valor previamente esolhido em (1). Isto aontee devido ao fato de que a freqüênia de operação do laser é muito maior que a sua banda. m termos numérios, a freqüênia de emissão da portadora óptia do laser é da ordem de 1 14 Hz, enquanto que, para lasers semiondutores, o seu espalhamento espetral é da ordem de 1 1 Hz. Assim sendo, pode-se apelar para a teoria de omuniações e utilizar um ritério que permita a redução do número de interações om a manutenção da preisão de simulação. Como o proesso de divisão da avidade do laser sugere um proesso de amostragem, e devido as araterístias espetrais do laser itadas aima, pode-se utilizar o teorema de amostragem de Nyquist para determinar o valor máximo que L pode assumir e permitir que toda a informação sobre o omportamento do laser possa ser mantida sem o riso de impreisão [4]. Para onfirmar a validade desta ténia, a simulação foi realizada para diferentes valores do número de seções s. Observou-se que os resultados de simulação utilizando-se o ritério de Nyquist [4] foram iguais àqueles obtidos om s esolhido segundo (1). Contudo, desvios onsideráveis foram observados se s fosse menor que o determinado pelo ritério de Nyquist. A Fig. 4 apresenta o omportamento da densidade de portadores em relação ao tempo, para um degrau de orrente de 45 ma. Neste aso, o laser operava iniialmente om uma orrente de 1 ma, abaixo do limiar (Fig. 3). Pode-se observar que, omo previsto teoriamente [5], existem osilações de relaxação que tendem a desapareer à medida que o dispositivo aproxima-se do equilíbrio. Densidade de portadores, (1^18m-3) Tempo (ns) Figura 4. Comportamento da densidade de portadores após apliação de um pulso de orrente de 45 ma, para operação iniial abaixo do limiar (1 ma). 4. CONCLUÃO ste artigo demonstrou a apliação da teoria de linhas de transmissão no modelamento de lasers semiondutores. A grande vantagem da utilização deste método é que qualquer estrutura periódia, omo, por exemplo, um laser DFB ou lasers em avidade externa, podem ser modelados através da adaptação da matriz (1) para ada estrutura em partiular (homogênea ou não). Neste aso, demonstrou-se a apliação do método para lasers do tipo Fabry-Perot. Os resultados são semelhantes aos que seriam obtidos om, por exemplo, a solução direta das equações de taxa. Como proposta de trabalhos futuros fia implementação de modelos para simular outros tipos de estruturas de lasers semiondutores. Resultados preliminares para o omportamento de lasers do tipo DFB já estão sendo obtidos, mostrando onordânia om outros tipos de ténias de simulação. A intenção é dar ontinuidade ao projeto para o desenvolvimento de estruturas de lasers do tipo DFB assoiados a avidades estendidas, no intuito de gerar sinais na faixa de freqüênia de RF e miroondas. No momento, está-se trabalhando na implantação de um algoritmo de Runge-Kutta de passo ajustável, o que deve diminuir ainda mais o tempo de simulação. Os autores agradeem ao CPID-FAPP, CNPq, CAP and FAP/UNICAMP pelo apoio finaneiro.

5 5. RFRÊNCIA [1] A. C. Bordonalli, B. Cai, A. J. eeds, and P. J. Williams: Generation of mirowave signals by ative mode loing in a gain bandwidth restrited laser struture, I Photon. Tehnol. Lett., vol. 8, no. 1, pp , [] A. J. Lowery: Transmission-line modelling of semiondutor lasers: the transmission-line laser model, Int. Journ. of Num. Modelling, vol., pp , [3] W. J. R. Hoefer, The transmission-line matrix method theory and appliations, I Trans. on Mirowave Theory and Tehniques, vol. MTT-33, no.1, Otober [4] A. J. Lowery, New dynami semiondutor laser model based on the trandsmission-line modelling method, I Pro., vol. 134, J, no. 5, Otober [5] G. P. Agrawal and N. K. Dutta, "emiondutor Lasers", seond edition, an Nostrand Reinhold, New Yor, UA, [6] A. J. Lowery, A new time-domain model for spontaneous emission in semiondutor laser and its use in prediting their transient response, Int. J. of Num. Modelling, vol 1, pp , 1988.