UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ INSTITUTO DE TECNOLOGIA PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ INSTITUTO DE TECNOLOGIA PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA CONTROLADORES ROBUSTOS DO TIPO LQG/LTR DE ORDEM REDUZIDA PARA SISTEMAS MIMO COM SAÍDAS INDEPENDENTES DE SEUS MODOS NÃO DOMINANTES PEDRO BAPTISTA FERNANDES DM 1/214 UFPA / ITEC / PPGEE Campus Universitário do Guamá Belém-Pará-Brasil 214

2 UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ INSTITUTO DE TECNOLOGIA PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA PEDRO BAPTISTA FERNANDES CONTROLADORES ROBUSTOS DO TIPO LQG/LTR DE ORDEM REDUZIDA PARA SISTEMAS MIMO COM SAÍDAS INDEPENDENTES DE SEUS MODOS NÃO DOMINANTES DM 1/214 UFPA / ITEC / PPGEE Campus Universitário do Guamá Belém-Pará-Brasil 214

3 UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ INSTITUTO DE TECNOLOGIA PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA PEDRO BAPTISTA FERNANDES CONTROLADORES ROBUSTOS DO TIPO LQG/LTR DE ORDEM REDUZIDA PARA SISTEMAS MIMO COM SAÍDAS INDEPENDENTES DE SEUS MODOS NÃO DOMINANTES Dissertação submetida à Bana Examinadora do Programa de Pós- Graduação em Engenharia Elétria da UFPA para a obtenção do Grau de Mestre em Engenharia Elétria na área de Sistemas de Energia. UFPA / ITEC / PPGEE Campus Universitário do Guamá Belém-Pará-Brasil 214

4 Fernandes, Pedro Baptista, Projeto de ontroladores robusto de ordem reduzida para sistemas MIMO om saídas independentes de seus modos não dominantes / Pedro Baptista Fernandes Orientador: Jorge Roberto Brito de Souza. Dissertação (Mestrado) Universidade Federal do Pará, Instituto de Tenologia, Programa de Pós-graduação em Engenharia Elétria, Belém, Controle robusto. 2. Controladores programáveis. 3. Filtro de Kalman. I. Título. CDD ed. 22

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6 AGRADECIMENTOS Primeiramente à minha família que sempre me deu suporte em todos os momentos. Ao meu orientador, Prof. Dr. Jorge Roberto Brito de Souza, pela orientação segura durante a realização deste trabalho. Ao Prof. Dr. Walter Barra Jr., pelo apoio e inentivo onstantes. Aos alunos e professores que frequentavam a sala de estudos, em espeial Maros, Erik, Cleyton, Laurindo e Coneição, que sempre se disponibilizaram a ajudar quando preiso. Aos meus grandes amigos e olegas de mestrado Danilo Figueiredo e Gilson Fernandes que se dispuseram a ajudar. A todos os professores que me deram aula durante o urso, pelos ensinamentos valiosos. Ao PPGEE e todos os funionários que o ompõem e ao CAPES que areditaram e deram ondições para que o projeto se desenvolvesse.

7 I Sumário 1. Introdução...1 O Método LQG/LTR Desvantagens do Método LQG/LTR... 3 Algumas Ténias de Redução de Ordem... 4 Esopo e Contribuição desta Dissertação... 5 Organização do Conteúdo Síntese do Método LQG/LTR... 8 Considerações Preliminares Representação das Inertezas do Modelo Valores Singulares e Estabilidade de Sistemas Multivariáveis Proedimentos Duais para a Realização do Método LQG/LTR O Regulador Linear Ótimo Quadrátio (LQR) O Filtro de Kalman O Projeto de um Controlador Robusto LQG/LTR Projeto do Regulador Linear Quadrátio (LQR) Projeto do Filtro de Kalman Adição de Integradores Equalização de Ganhos em Todas as Frequênias Conlusões Compensadores Dinâmios Determinação da Ordem do Compensador Dinâmio Aloação de Pólos Desrição Matemátia dos Compensadores Dinâmios Conlusões Apliação do Projeto de Controlador Robusto LQG/LTR para um Sistema Multivariável om Redução de Ordem de Modelo om Variáveis Desaopladas... 3 Desrição do Sistema a Ser Controlado Obtenção do Modelo Reduzido Pré-Estabilização do Sistema Reduzido... 37

8 II Projeto do Controlador LQG/LTR de Ordem Reduzida Adição de Integradores na Saída da Planta Projeto de um Regulador LQR om Equalização de Ganhos em Todas as Frequênias Projeto de um Filtro de Kalma Implementação do Controlador Projetado om a Planta Original Análise de Estabilidade do Sistema Controlado Análise do Desempenho do Sistema Controlado Comentário Sobre a Esolha de Parâmetros no Projeto Conlusões Conlusão... 7 Referênias Bibliográfias Apêndie A: Rotina Computaional para o Projeto... 77

9 III Lista de Ilustrações 2.1. Diagrama de Bloos de um Sistema Real MIMO Controlado om Realimentação Unitária Representação do Sistema Controlador em Malha Fehada om Inertezas do Modelo na Forma Multipliativa Diagrama de Bloos do Sistema para a Análise da Abertura da Malha Fehada do Sistema Controlado Diagrama de Bloos do Filtro de Kalman Diagrama de Bloos do Controlador Modelo do Sistema om Inertezas na Sua Entrada e Integradores na Saída Diagrama de Bloos de um Sistema om um Pré-Compensador Dinâmio Ganhos Prinipais do Sistema Diagrama de Bloos de om o Destaque das Variáveis do Restante do Sistema Comparação dos Ganhos do Sistema Original aos do Sistema Reduzido Pólos de Aloação de Modos Instáveis e a Criação de um Novo Comparação dos Ganhos Após a Alimentação do Compensador Dinâmio de 1ª Ordem ao Sistema Original e ao Sistema Reduzido Ganhos das Inertezas do Modelo Diagrama de Bloos Após Adição de Integradores na Saída do Sistema e as Inertezas Multipliativas na Entrada Ganhos Prinipais de Equalização dos Ganhos do Sistema Relação Inversamente Proporional entre e Ganhos Prinipais da Malha de Referênia Ganhos Prinipais de Comparados om os de Comparação entre os Ganhos de e Ganhos Prinipais de Comparados om os de Teste de Estabilidade do Sistema Controlado Ganho Inferior de... 55

10 IV Saídas do Sistema om Controlador Reduzido om Estímulo de um Sinal Degrau Unitário na Primeira Referênia Saídas do Sistema om Controlador Reduzido om Estímulo de um Sinal Degrau Unitário na Segunda Referênia Sinais de Controle do Sistema om Controlador Reduzido om Estímulo de um Sinal Degrau Unitário na Primeira Referênia Sinais de Controle do Sistema om Controlador Reduzido om Estímulo de um Sinal Degrau Unitário na Segunda Referênia Saídas do Sistema Fazendo om Estímulo de um Sinal Degrau Unitário na Primeira Referênia Saídas do Sistema Fazendo om Estímulo de um Sinal Degrau Unitário na Segunda Referênia Sinais de Controle do Sistema Fazendo om Estímulo de um Sinal Degrau Unitário na Primeira Referênia Sinais de Controle do Sistema Fazendo om Estímulo de um Sinal Degrau Unitário na Segunda Referênia Desloamento de Pólos Após Alteração do Valor de... 68

11 V Lista de Tabelas 2.1. Parâmetros Duais do Regulador LQR e do Filtro de Kalman Zeros de Transmissão do Sistema Controlado Pólos em Malha Aberta e em Malha Fehada Correspondentes ao Sistema Controlado Pólos em Malha Fehada e Zeros de Transmissão Mais Próximos da Região de Instabilidade do Sistema Controlado Comparação das Ordens dos Controladores om e sem a Redução de Ordem de Modelo... 62

12 VI RESUMO O objetivo prinipal desta dissertação é apresentar uma solução efiiente, prátia e de simples implementação para um problema reorrente em projetos de ontroladores robustos multivariáveis do tipo LQG/LTR: a elevada ordem que estes ontroladores podem obter dependendo das ompliações apresentadas pelo sistema difiultando para que este possa ser ontrolado de maneira satisfatória. Para que esta meta seja alançada, é apresentada uma ténia de redução do modelo de sistemas om metodologia bastante desompliada, dispensando qualquer neessidade de omplexas programações para a sua utilização. Esta metodologia porém, é somente apliável a uma lasse bastante espeífia de sistema. Em suma, o sistema deve possuir variáveis de estado desaopladas do restante do sistema, ou seja, variáveis que não sofram influênias de outras e que também não provoquem grande efeito nas saídas do sistema. Foi esolhido um sistema multivariável de sexta ordem, om duas entradas e duas saídas para que a ténia de redução de ordem de modelo seja testada. Este sistema possui as araterístias espeiais menionadas anteriormente bem omo exige o projeto de ompensador dinâmio e a adição de integradores às suas saídas para que seja ontrolado adequadamente. Este trabalho pretende apresentar o proedimento de todo o projeto menionado, desde a obtenção de um modelo de ordem reduzida até a implementação do ontrolador LQG/LTR. Em seguida, o ontrolador obtido é testado através de diversas simulações e os resultados enontrados são disutidos para a avaliação da efiáia e da pratiidade do método proposto para obtenção de ontroladores de ordem reduzida. PALAVRAS-CHAVES: Controladores LQG/LTR, redução de modelos de sistemas, ompensadores dinâmios, sistemas multivariáveis.

13 VII ABSTRACT This thesis main goal is to introdue an effiient, pratial and easy to implement solution to a reurring problem in projets of LQG/LTR multivariable robust ontrollers: the high order these ontrollers may obtain depending on the ompliations presented by the system hampering its ontrol in a satisfatory way. For this goal to be ahieved, a system model redution tehnique with very simple methodology is introdued, dispensing any needs of omplex programming for its use. This methodology however, is only appliable to a very speifi lass of system. Summarizing, the system must have state variables deoupled from the rest of the system, that is, variables that don t not influened by others and that also don t ause major effets on the system s outputs. It was hosen a sixth order multivariable system having two inputs and two outputs for the model order redution be tested. This system has the speial harateristis mentioned before and also demands a dynami ompensator projet as well as the integrators addition to its outputs so it an be ontrolled adequately. This text intends to show the proedure for the whole projet, sine the redued order model ahievement to the LQG/LTR ontroller implementation. Then, the obtained ontroller is tested through several simulations and the attained results are disussed for effetiveness and pratiality evaluation of the proposed method for redued order ontroller projet. KEYWORDS: LQG/LTR ontrollers, Systems models redution, dynami ompensators, multivariable systems.

14 Capítulo 1: Introdução O papel da Engenharia de Controle é de fundamental importânia para o desenvolvimento de modernos sistemas de ontrole para apliações tanto em proessos industriais e de produção, omo também nos ampos da robótia e de sistemas aeroespaiais, dentre outras. Seu prinipal foo é a elaboração de projetos de ontroladores para determinados sistemas om base em modelos matemátios que desrevem seus omportamentos dinâmios de aordo om os sinais físios que os influeniam. O projeto de um ontrolador robusto visa fazer om que o sistema obtenha erto grau de imunidade a uma lasse espeífia de perturbações, ou seja, ele deve ser apaz de manter a estabilidade e assegurar erto grau de insensibilidade do sistema ontrolado quando este é submetido a distúrbios e ruídos. Além de assegurar a robustez da estabilidade, o ontrolador deve proporionar um bom desempenho dinâmio ao sistema ontrolado, isto é, ele deve proporionar um desempenho rápido e preiso do proesso sobre o qual ele atua. Tendo em vista a sua importânia, foram desenvolvidas reentemente diversas ténias para o projeto de ontroladores robustos, baseadas nas lasses de inertezas estruturais previamente onheidas. Estas inertezas são as estimativas realizadas om o intuito de limitar quaisquer erros provenientes da modelagem do sistema. Os ontroladores robustos devem ser apazes de proporionar o bom desempenho dinâmio do sistema, dentro dos limites estabeleidos previamente para tais inertezas. Esses são hamados ontroladores om estrutura fixa [1]. Existem duas abordagens básias que podem ser estudadas para o projeto de ontroladores robustos. A primeira utiliza o oneito de variações paramétrias, e ela é adequada para sistemas dinâmios ujos parâmetros inertos assumem valores dentro de um intervalo determinado por limites superior e inferior. Neste aso, o ontrolador robusto deve garantir a estabilidade do sistema para quaisquer valores que as variáveis do vetor de parâmetros de inerteza assumam dentro de seus intervalos. Pode-se destaar o método PRLQG ( Parameter Robust Linear-Quadrati Gaussian ) proposto por Tahk e Speyer [2], o 1

15 método PRCBI ( Parameter Robust Control by Bayesian Identifiation ) introduzido por Gomes [3], e o método de Siljak [4], dentre outros. Na segunda abordagem as inertezas do sistema são representadas no domínio da frequênia por uma função que as limita. Durante o projeto, busa-se garantir boas margens de estabilidade que aomodem tais inertezas, impedindo assim o mal funionamento do sistema ontrolado. Existem várias ténias de projeto de ontroladores robustos que são baseadas nesta abordagem, tais omo os métodos e [5] ou o método LQG/LTR [6]. Este último método será onsiderado nesta dissertação, dando-se ênfase ao ontrole de sistemas que neessitam de pré-estabilização e equalização dos seus ganhos prinipais, operações que aumentam a ordem do sistema a ser ontrolado. 1.1 O Método LQG/LTR O método LQG/LTR é uma das metodologias mais utilizadas para o projeto de ontroladores robustos para sistemas lineares ontínuos. O proedimento se baseia numa abordagem no domínio da frequênia, apliando-se então a sistemas lineares e invariantes no tempo. Este método é basiamente uma ombinação de um regulador LQR e um filtro de Kalman. O regulador LQR, também hamado regulador linear ótimo quadrátio, possui omo araterístia a garantia de estabilidade em malha fehada [7], bem omo um alto grau de robustez do sistema ontrolado, proporionando margem de ganho infinita e margem de fase de [8], quando apliado a sistemas ontínuos SISO e MIMO [9]. A grande desvantagem destes reguladores é a neessidade da utilização de observadores de estados om o objetivo de estimar os estados do sistema e tornar possível a realimentação de todos eles, visto que, sem os observadores, vários estados não são aessíveis [1]. Porém, Doyle provou [11] que a adição de observadores de estados reduz drastiamente as araterístias de robustez do regulador LQR. Foi então que Doyle e Stein [12] propuseram um proedimento semelhante ao filtro de Kalman, om mudanças nas matrizes de ovariânia das perturbações e dos ruídos atuantes no sistema. Esta metodologia permite então o álulo dos observadores neessários ao regulador LQR, mantendo as suas boas propriedades de robustez. 2

16 O método LQG/LTR garante então elevada robustez do ontrolador projetado diante de perturbações do ambiente e ruídos, além de suportar ampla lasse de erros de modelagem, dando ao projetista segurança ao realizar simplifiações no modelo. Esta araterístia é o que possibilita a realização do objetivo deste trabalho Desvantagens do Método LQG/LTR Apesar de todas as exelentes propriedades itadas anteriormente, o método LQG/LTR para o projeto de ontroladores robustos também possui algumas propriedades desfavoráveis que difiultam o desempenho do ontrolador. Iniialmente, as únias restrições ao proedimento são as de que o sistema a ser ontrolado seja linear e de fase mínima, sendo assim, o sistema deve possuir somente zeros de transmissão estáveis. O fato do ontrolador LQG/LTR inorporar a inversa da matriz de transferênia da planta implia em um ontrolador instável, quando projetado para um sistema de fase não-mínima. Mas não basta que a planta estudada seja de fase mínima para que o projeto do ontrolador seja realizado sem obstáulos. Se o modelo analisado ontiver modos instáveis muito próximos do eixo imaginário, o sistema om ontrolador LQG/LTR pode apresentar um omportamento transitório om osilações mal amorteidas. Isso oorre porque os zeros de transmissão do ontrolador não onseguem anular por ompleto os efeitos destes modos instáveis que, por estarem próximos do eixo imaginário, são dominantes. Pode-se aumentar o ganho da malha do sistema ontrolado para atenuar este efeito, mas muitas vezes essa ação não é efiaz e normalmente é neessário inluir um ompensador dinâmio ao projeto do ontrolador LQG/LTR para pré-estabilizar o sistema. Outro requisito neessário para realizar o projeto deste tipo de ontrolador robusto é a equalização dos ganhos prinipais da planta, em sistemas MIMO, visando-se obter o desaoplamento dos seus diversos anais de entrada-saída. Em [13] é apresentado um método que utiliza integradores em ada anal do sistema, e equaliza seus ganhos prinipais nas baixas e nas altas frequênias. A referida equalização pode ser estendida a qualquer faixa de frequênia utilizando-se uma fórmula alternativa apresentada em [6]. Esta fórmula, porém, só pode ser apliada no aso de sistemas sem pólos na origem, já que ela requer a inversão da matriz do modelo da planta. 3

17 Por fim, o ontrolador LQG/LTR, por ser uma ombinação de um regulador LQR e um filtro de Kalman, tem a mesma ordem do sistema a ser ontrolado. Porém, omo se viu anteriormente, dependendo das suas araterístias, este sistema pode ser onstituído por um ompensador dinâmio estabilizador e por integradores, além da própria planta a ser ontrolada. Dessa forma, o sistema final pode atingir uma ordem extremamente elevada, difiultando não só o projeto do ontrolador, mas também a sua implementação prátia. Esta difiuldade é o prinipal foo desta dissertação, a qual apresenta omo solução a redução de ordem do modelo matemátio do sistema para a realização do projeto do ontrolador. 1.2 Algumas Ténias de Redução de Ordem A difiuldade enontrada para apliações de ténias de ontrole em sistemas muito omplexos e/ou de grandes dimensões vem sendo motivo de muitos de estudos há pelo menos meio séulo. De fato, existem muitas ténias para tratar deste assunto [14] que foalizam o problema om diferentes tipos de abordagens. Davison [15] propôs, em 1966, que o modelo de um sistema pode ser reduzido a um modelo mais simples ao serem onsiderados apenas os efeitos dos pólos dominantes do sistema, ou seja, aqueles mais próximos da instabilidade. Este prinípio simplesmente despreza os modos estáveis mais afastados do eixo imaginário. O proedimento é realizado através de manipulações matriiais que identifiam as menores onstantes de tempo do sistema, as quais devem ser desprezadas. Essa abordagem, bem simples, tem a desvantagem de muitas vezes resultar em modelos reduzidos que apresentam muitas impreisões no seu omportamento dinâmio quando omparado ao omportamento do sistema original. Outro método de grande importânia para a obtenção de modelos de ordem reduzida é o método da agregação, proposto por Aoki [16]. Ele sugere proedimentos de deomposição modal om o objetivo de identifiar os pólos dominantes do modelo original os quais são agregados ao modelo de ordem reduzida, enquanto os modos mais rápidos (não dominantes) são desprezados. Esta ténia lança mão de métodos de diagonalização de sistemas, para que a eliminação destes modos não resulte em grandes mudanças nas araterístias dinâmias do sistema original. 4

18 Há também vários métodos de redução de ordem de modelo baseados no domínio da frequênia [17]-[18], e na norma das matrizes araterístias [19]-[2], dentre outros. Este trabalho explora, onforme sugerido por Matos [21], propriedades espeiais apresentadas por ertos sistemas do tipo MIMO, ujas saídas não dependem diretamente de ertas variáveis dinâmias do sistema, as quais, por sua vez, são desaopladas entre si e também em relação às demais variáveis do sistema. Além disso, estas variáveis desaopladas das demais devem estar assoiadas a modos não dominantes do sistema. As araterístias deste tipo partiular de sistema permitem que a redução de seus modelos seja feita de maneira imediata, sem a neessidade de omplexas manipulações matemátias, uma vez que estes modos dominantes podem ser desprezados sem ausar grande mudança no desempenho dinâmio do sistema. Modelos om estas propriedades ostumam ser enontrados em apliações na área de sistemas de ontrole aeroespaiais, omo por exemplo, nos asos dos aviões dos tipos F14 e Canard, que são abordados em [13] e [22], respetivamente. 1.3 Esopo e Contribuição desta Dissertação O grande destaque negativo dos ontroladores do tipo LQG/LTR é o fato de sua ordem ser igual à do sistema a ser ontrolado. Este problema torna-se ainda mais grave dependendo das araterístias espeífias deste sistema. O foo prinipal desta dissertação é a realização de um ontrolador robusto desse tipo utilizando um modelo reduzido do sistema original a ser ontrolado, om o intuito de reduzir a omplexidade do ontrolador final projetado, minimizando assim o problema itado. O proedimento utilizado neste trabalho para a redução do modelo original do sistema é voltado para um tipo bem espeífio de planta, na qual há variáveis desaopladas das outras, ujas influênias não afetam diretamente as saídas do sistema e que estão ligadas aos modos rápidos e, portanto, não-dominantes. Outro problema também abordado é a presença de osilações de baixas frequênias em sistemas MIMO que possuem pólos instáveis próximos ao eixo imaginário, quando estão sendo ontrolados por ontroladores do tipo LQG/LTR. Nesse aso, é neessário o projeto de 5

19 um ompensador dinâmio, que resolve este obstáulo, porém deixa a ordem do sistema ainda mais elevada. A redução da ordem do modelo original pode impliar, dependendo do sistema, em um ompensador dinâmio de ordem menor em omparação om o que seria projetado para pré-estabilizar o sistema original. Esta redução pode resultar em um desempenho um pouo inferior em termos de transitório, mas é vantajosa em termos gerais. Os proedimentos apresentados neste trabalho para a realização da redução de ordem, do projeto do ompensador dinâmio, dos integradores neessários à equalização dos ganhos do sistema e, finalmente, ao ontrolador robusto LQG/LTR, serão mostrados usando o exemplo de um sistema instável multivariável de sexta ordem, om duas entradas e duas saídas. 1.4 Organização do Conteúdo Esta dissertação está organizada da seguinte forma. O Capítulo 2 apresenta um resumo a respeito dos ontroladores robustos LQG/LTR. Para o melhor entendimento da teoria por trás desta ténia, é feito um breve resumo de tópios muito importantes para o projeto tais omo o tratamento das inertezas de um modelo, os seus valores singulares e as ténias utilizadas para a determinação do seu grau de estabilidade. São desritas as prinipais equações relaionadas om o regulador linear ótimo quadrátio (LQR) e o filtro de Kalman, além do próprio ontrolador LQG/LTR. Considera-se o aso em que as inertezas do modelo nominal são representadas na entrada da planta. O Capítulo 3 apresenta oneitos básios relaionados om ompensadores dinâmios, estrutura apaz de estabilizar um sistema através da aloação de modos instáveis para regiões de estabilidade. A determinação da ordem do ompensador dinâmio, bem omo o modo de ação sobre a loalização dos pólos é desrita, bem omo sua representação matemátia. O Capítulo 4 apresenta um estudo de aso, onde o modelo utilizado é o de um sistema MIMO instável de fase mínima, om duas entradas e duas saídas. Além disso, este 6

20 sistema apresenta araterístias espeiais que são aproveitadas para a realização de uma forma bastante direta de redução de ordem de seu modelo, simplifiando o projeto em geral. Todo o projeto é apresentado neste apítulo, desde a já menionada redução de ordem, passando pela inlusão de ompensadores dinâmios, até o projeto do ontrolador LQG/LTR propriamente dito. Ao final os resultados obtidos através de simulações são disutidos, bem omo há observações sobre a importânia da esolha apropriada de ertos parâmetros de projeto, inlusive fazendo novas simulações om novos valores para que as diferenças nos resultados sejam analisadas e disutidas. O Capítulo 5, por fim, apresenta as onlusões desta dissertação, observando as vantagens e desvantagens do projeto apresentado bem omo a sua ontribuição, além de apresentar sugestões para trabalhos futuros. 7

21 Capítulo 2: Síntese do Método LQG/LTR O método LQG/LTR ( Linear Quadrati Gaussian with Loop Transfer Reovery ) é um proedimento de grande efiáia para a realização do projeto de ontroladores robustos para sistema lineares, monovariáveis ou multivariáveis. Esta ténia onsiste basiamente numa ombinação de um regulador LQR e um filtro de Kalman. Deste modo, trata-se de um ontrolador LQG, já que é onstituído por um observador de estados para que seja possível a realimentação dos mesmos. A síntese de um ontrolador LQG/LTR depende da loalização das inertezas do sistema, que podem ser onsideradas na saída ou na entrada da planta a ser ontrolada. Dependendo desta informação, o regulador LQR e o filtro de Kalman devem ser projetados em momentos diferentes do projeto. Sendo assim, existem duas versões duais para a apliação do método LQG/LTR. Normalmente o projetista tem a liberdade de esolher onde as inertezas do modelo devem estar loalizadas, podendo então determinar posições onvenientes para a simplifiação do projeto. Porém, ambas as formas devem ser igualmente funionais. Existem diversos trabalhos publiados usando as duas versões: om inertezas na saída [23] e na entrada da planta [24]. É notável, em várias publiações, a preferênia em onsiderar estas inertezas na saída da planta, uma vez que essa abordagem permite reduzir o número de operações neessárias para o álulo dos parâmetros do ontrolador. Nesta dissertação, as inertezas do modelo estudado são onsideradas na entrada da planta, por razões a serem disutidas no Capítulo 4. Neste aso, o método LQG/LTR tem omo primeiro passo o projeto de um regulador LQR, e em seguida o desenvolvimento de um filtro de Kalman. Este apítulo apresenta iniialmente algumas onsiderações a respeito da resposta desejada para o sistema a ser ontrolado, om ênfase na garantia de sua estabilidade em malha fehada, e na obtenção de altas margens de ganho e de fase. As etapas do desenvolvimento do ontrolador LQG/LTR são igualmente abordadas, expondo de maneira resumida a teoria por trás deste método. 8

22 2.1 Considerações Preliminares O desenvolvimento de um ontrolador robusto tem omo objetivos prinipais garantir a estabilidade do sistema ontrolado em malha fehada e lhe proporionar um bom desempenho dinâmio. Sendo assim, o ontrolador projetado deve ser apaz de aomodar eventuais variações na dinâmia do sistema, o que é natural oorrer em qualquer proesso. Para que essas metas sejam satisfeitas é neessário impor ertas restrições sobre os ganhos prinipais da matriz de transferênia do sistema ontrolado em malha aberta, onforme o diagrama de bloos mostrado na Figura 2.1. Estas restrições são definidas sobre os ganhos prinipais, superior e inferior, de. Estes ganhos devem ser altos nas baixas frequênias e baixos nas altas frequênias Representação das Inertezas do Modelo A Figura 2.1 representa de maneira básia um sistema de ontrole real. Note-se que, em prinípio, o sistema real difere do sistema nominal, mas o ontrolador é o mesmo nos dois asos. Considera-se que modelagem. seja o modelo onsiderando as inertezas de Uma das maneiras mais imediatas de representar o erro de modelagem é através da hamada forma aditiva [25]. Neste aso a inerteza é representada por uma função que é definida por. (2.1) Figura 2.1: Diagrama de bloos de um sistema real MIMO ontrolado om realimentação unitária. 9

23 O inonveniente da representação das inertezas do sistema através de é que esta função é atrelada ao ontrolador. Verifia-se isso quando se onsidera o sistema om ontrolador. Neste aso obtém-se, a partir da Equação (2.1), que. (2.2) Esta situação é bastante inonveniente, visto que o objetivo é justamente projetar o ontrolador. Ou seja, é desejável que a função das inertezas do modelo seja dependente apenas da planta do sistema. Para ontornar esta inonveniênia, opta-se então pela representação das inertezas do sistema através da hamada forma multipliativa não estruturada, que é denotada por, e definida por L M ( s) G ( s) G( s) R G( s). (2.3) Caso esta representação seja utilizada no sistema om ontrolador, verifia-se que G R ( s) K( s) G( s) K( s) L G( s) K( s) M ( s) (2.4) Portanto, a função que representa a inerteza do sistema na forma multipliativa é a mesma om ou sem a inlusão do ontrolador, isto é, ela só dependo do modelo do sistema. Da Equação (2.3) obtém-se que I L ( s) G( ) GR ( s) M s. (2.5) A Figura 2.2 apresenta o diagrama de bloos deste sistema, om as inertezas do modelo representadas na entrada da planta. Figura 2.2: Representação do sistema ontrolado em malha fehada om inertezas do modelo na forma multipliativa. 1

24 Como a função é desonheida, estima-se então uma função limitante que define os valores máximos que as inertezas multipliativas podem alançar. Assim tem-se que L M ( j) l ( ) M. (2.6) Segundo Cruz [6], tipiamente as inertezas estimadas assumem valores menores em baixas frequênias, mas tornam-se maiores onforme o aumento da frequênia. Sendo assim, os modelos ostumam ser mais onfiáveis em baixas frequênias. Estes erros em altas frequênias podem estar assoiados a vários efeitos omo indutânias e apaitânias parasitas, dinâmia de atuadores, dentre outros Valores Singulares e Estabilidade de Sistemas Multivariáveis Em sistemas monovariáveis, o desempenho de um sistema é analisado através do oneito de ganho ou magnitude. Em sistemas multivariáveis, ontudo, é neessário estabeleer um método para medir estas magnitudes om a intenção de obter respostas em frequênia adequadas. Com esse fim usa-se o oneito de norma eulidiana, que é definida por x x * x, (2.7) onde denota o vetor ou a matriz onjugada de. Através do quoiente de Rayleigh [26], a norma eulidiana da matriz de transferênia da planta pode ser esrita omo G max * G G, (2.8) onde é o máximo autovalor da matriz G * G. A Equação (2.8) sugere a seguinte definição de valores singulares: * ( G) G G, i 1,2,...,n i i (2.9) onde india o i-ésimo autovalor de. 11

25 Observa-se que o número de valores singulares que a matriz de transferênia possui depende das dimensões desta matriz. Por esta razão, visando simplifiar a análise do sistema, trabalha-se somente om os ganhos prinipais, superior e inferior, de, visto que todos os outros valores singulares fiam inevitavelmente onfinados entre esses referidos ganhos, os quais são denotados e definidos pelas equações que seguem: ( G) max * G G G * G G 1 ( G) min 1 G (2.1) (2.11) Com base nestas definições de ganhos prinipais, superior e inferior, de um sistema, é dito que a matriz de transferênia possui ganhos altos quando seu ganho prinipal inferior é alto. Analogamente, onsidera-se que prinipal superior é baixo. tem baixos ganhos quando seu ganho Observando-se o diagrama de bloos da Figura 2.1, perebe-se que a saída do sistema depende dos sinais de referênia, de distúrbios e de ruídos. A relação entre estes sinais é dada pela seguinte equação matriial omplexa 1 1 I G( s) K( s) G( s) K( s) R( s) N( s) I G( s) K( s) D( s) Y( s) (2.12) Os sinais de referênia e os distúrbios externos ostumam operar om frequênias baixas, ao ontrário dos ruídos possuem frequênias bastante elevadas. presentes nos proessos, que normalmente Observa-se na Equação (2.12) que, quando os ganhos da matriz de transferênia é elevado em baixas frequênias, a saída do sistema segue o seu sinal de referênia e os distúrbios são rejeitados. Ou seja, para baixas freqüênias é desejável que G( s) K( s) 1. (2.13) De outro lado, os ganhos de devem ser baixos em altas frequênias para, dessa forma, atenuar os efeitos provenientes dos ruídos do sistema. Assim, para altas frequênias pode-se estabeleer a ondição G( s) K( s) 1. (2.14) 12

26 Através da utilização do Critério de Nyquist para sistemas multivariáveis, foi deduzida [27] a seguinte ondição de robustez da estabilidade de sistemas reais em malha fehada: I G( j) K( j) 1 G( j) K( j) l M 1 ( ) (2.15) Nota-se que, quando a matriz de transferênia exposta na Equação (2.14). atinge altos valores, normalmente em altas frequênias, deve ter ganhos baixos, orroborando a ondição Apesar da desigualdade mostrada em (2.15) garantir a estabilidade do sistema diante de inertezas não-estruturadas, não fia estabeleida ainda uma margem sobre a qual é possível um grau de variação de determinados elementos do sistema sem resultar na sua desestabilização. Os ritérios de margem de ganho e margem de fase são uma definição mais adequada neste sentido, indiando a apaidade de robustez de sistemas MIMO. É demonstrado em [28] que as margens de ganho e de fase para sistemas multivariáveis são dadas respetivamente por 1 1 MG 1 1 (2.16) 2sen MF 2 2 sen 1 1 2, (2.17) onde o parâmetro é alulado por min I G( j) K( j ). (2.18) A estabilidade do sistema é garantida até estes limites definidos de margem, porém, se este limite for ultrapassado, o sistema não neessariamente se torna instável [21]. 2.2 Proedimentos Duais para a Realização do Método LQG/LTR Existem duas formas de se proeder em relação ao projeto de um ontrolador robusto LQG/LTR dependendo da loalização das inertezas do modelo em relação à planta, omo já foi menionado anteriormente nesta dissertação. Esses proedimentos são duais e devem, a prinípio, resultar em desempenhos pareidos do sistema final em malha fehada. 13

27 - Figura 2.3: Diagrama de bloos do sistema para a análise da abertura da malha fehada do sistema ontrolado. A primeira forma de se proeder está assoiada à matriz de transferênia ujas inertezas loalizam-se na saída da planta. Sua malha é aberta no ponto do diagrama de bloos da Figura 2.3, ou seja, no mesmo loal em que estão loalizadas as inertezas em relação a. No segundo aso, om as inertezas do modelo situadas na entrada da planta, a malha é aberta no ponto indiado em. Desta forma, este proedimento está ligado à matriz de transferênia. Nesta dissertação somente o segundo aso será disutido, pois, devido ao método esolhido para a redução da ordem do modelo do sistema estudado, será mais onveniente a representação das inertezas na entrada da planta. Dessa forma, primeiramente será projetado um Regulador LQR para em seguida ser feito o projeto de um filtro de Kalman. 2.3 O Regulador Linear Ótimo Quadrátio (LQR) Considere um erto sistema de ordem equações x ( t) Ax( t) Bu( t) y( t) Cx( t) representada em espaço de estados pelas (2.19) onde é o vetor de estados do sistema, e são respetivamente os seus vetores de ontrole e de saída. As matrizes, e tem dimensões ompatíveis e os pares e são ontrolável e observável, nesta ordem. 14

28 Considere também o problema de ontrole ótimo que onsiste na minimização do índie de desempenho J que é definido por T T x Q x u R u dt, (2.2) onde as matrizes e são dadas por Q T C C, T Q Q, (2.21) R,. (2.22) I mxm A solução que minimiza o índie de desempenho da Equação (2.2) é dada por * u ( t) K x( t), (2.23) onde é a matriz de ganhos do regulador LQR. Esta matriz é alulada por K onde a matriz simétria Algébria de Riati (EAR) 1 T B P, (2.24) é a únia solução positiva definida da seguinte Equação T 1 T A P PA P B R B P Q. (2.25) Então, através das Equações (2.19) a (2.24), observa-se que é possível a obtenção do sinal ótimo de ontrole a partir das matrizes, e que representam o sistema a ser ontrolado. 2.4 O Filtro de Kalman Admita-se um sistema omo o da Equação (2.19) om o arésimo de alguns termos omo mostrado abaixo x ( t) Ax( t) Bu( t) ( t) y( t) Cx( t) ( t) (2.26) sendo que é a matriz de entrada dos ruídos existentes no proesso, é o vetor que ontém estes ruídos e é o vetor dos ruídos de medição do sinal de 15

29 saída. Ambos os vetores menionados supostamente são ruídos branos, gaussianos e independentes entre si, tal que ( t) E (2.27) E T ( t) ( ) Q ( t ) O (2.28) ( t) E (2.29) E T ( t) ( ) R ( t ) f (2.3) onde é o valor esperado dos proessos estoástios, é a matriz de intensidade do ruído no estado e é a matriz de intensidade do ruído na medida. Estas matrizes são respetivamente positiva semi-definida e positiva definida, e dadas por Q I O mxm, (2.31) R,. (2.32) f I pxp A Figura 2.4 apresenta a estrutura do Filtro de Kalman. A partir dela, pode-se verifiar que se pode representá-lo através das equações xˆ( t) Axˆ( t) yˆ( t) Cxˆ( t) Bu( t) K F y( t) Cxˆ( t) (2.33) onde é a matriz de ganhos do filtro de Kalman, que é dada por T K C R. (2.34) F 1 f Figura 2.4: Diagrama de bloos do Filtro de Kalman. 16

30 A matriz simétria Algébria de Riati é a únia solução positiva definida da seguinte Equação T T 1 A A C R C Q (2.35) f f onde Q T Q f O. (2.36) Comparando-se as Equações (2.34) e (2.35) om as Equações (2.24) e (2.25), perebese que o Filtro de Kalman e o Regulador LQR são duais entre si, sendo possível se obter relações análogas mediante uma simples orrespondênia de parâmetros, onforme mostrada na Tabela 2.1. LQR Filtro Tabela 2.1: Parâmetros duais do Regulador LQR e do Filtro de Kalman. Diante da analogia estabeleida na Tabela aima, então se pode assegurar que o Filtro de Kalman possui as mesmas propriedades de estabilidade e robustez que o Regulador LQR possui. A estimativa gerada pelo Filtro é ótima no sentido de que ela minimiza a variânia do erro de estimação, ou seja, n i1 2 min E x ( t) xˆ ( t). (2.37) i i 17

31 2.5 O Método LQG/LTR Pode-se definir o ontrolador linear quadrátio Gaussiano (LQG), de maneira básia, omo uma ombinação de um regulador linear ótimo quadrátio (LQR) e um Filtro de Kalman, sendo que este último atua omo um estimador dos estados neessários para o pleno funionamento do primeiro, ou seja, a solução da Equação (2.23) é possível om a utilização dos dados estimados na Equação (2.33). A partir das Equações itadas aima, pode-se obter a expressão que relaiona a saída U(s) e a entrada Y(s) do ontrolador LQG no domínio da freqüênia, que é dada por 1 si A BK K C K Y( s) U( s) K. (2.38) C Como já observado nesta dissertação, a existênia de dualidade entre os projetos de um regulador LQR e um Filtro de Kalman proporiona ao projetista duas maneiras distintas de projeto. Uma vez que este trabalho trata de um sistema o qual, por suas araterístias intrínseas, é melhor analisado posiionando-se as suas inertezas multipliativas na entrada da planta, então primeiro será feito o projeto do regulador LQR. Somente depois de onluído este primeiro passo, será projetado o Filtro de Kalman om algumas espeifiidades para que a função de transferênia de malha aberta do sistema ontrolado reupere aproximadamente as araterístias de resposta em frequênia desejadas, onheido omo Target Feedbak Loop [13]. C f f Projeto do Regulador Linear Quadrátio (LQR) A matriz de transferênia do regulador LQR é dada por G LQR ( s) K B (2.39) C sendo que ( si A) 1. Os ganhos deste regulador, definidos de aordo om a Equação (2.1), satisfazem a seguinte relação que é derivada a partir da hamada Identidade de Kalman [29] e da apliação de propriedades de dualidade: 1 2 I G ( s) 1 H B i LQR i. (2.4) 18

32 Dado que a região de frequênias onde se exige bom desempenho do sistema é aquela em que ( s) 1 i G LQR i, pode-se então aproximar esta equação da seguinte forma 1 G s) H B LQR ( i (2.41) Os parâmetros de projeto e devem ser ajustados de modo que as urvas de resposta em frequênia dos ganhos prinipais de tenham as araterístias desejadas para um sistema ontrolado em malha aberta, isto é, altos ganhos nas baixas freqüênias e baixos ganhos nas altas freqüênias, além de equalização de ganhos e uma freqüênia de rossover apropriada. A determinação desses parâmetros é feita om auxílio das Equações (2.21)-(2.22), e (2.24)- (2.25). Apliando-as orretamente, enontram-se valores adequados para e. O parâmetro é basiamente utilizado para o ajuste da frequênia de rossover Projeto do Filtro de Kalman Para ompletar o projeto do ontrolador LQG/LTR é neessário o projeto de um Filtro de Kalman om o intuito de atuar omo um estimador de estados para o regulador LQR projetado anteriormente. O projeto do Filtro de Kalman deve ter o uidado de fazer om que as urvas de resposta em frequênia do sistema ontrolado tenham araterístias semelhantes às respetivas urvas de. Essa ação é hamada de Loop Transfer Reovery (LTR). Esses objetivos de ação do Filtro de Kalman são alançados através do uso das Equações (2.31), (2.33) e (2.34), além da seguinte expressão: Q f T 2 T BB q BB (2.42) onde é denominado parâmetro de reuperação do sistema. A Equação (2.42) onstitui a prinipal diferença entre o projeto do Filtro de Kalman para um ontrolador LQG/LTR e um projeto onvenional, no qual é utilizada a Equação (2.36). A inlusão da parela om permite que as araterístias desejadas para 19

33 -1 Figura 2.5: Diagrama de bloos do ontrolador K(s). sejam reuperadas após a adição do Filtro de Kalman, sendo que quanto maior o valor do parâmetro de reuperação ( ), melhor será o rastreamento obtido no projeto. O ontrolador LQG/LTR possui então a matriz de transferênia dada abaixo e o seu diagrama de bloos é mostrado na Figura K( s) K ( si A BK K C) K. (2.43) C C f f Adição de Integradores Uma difiuldade omumente enontrada durante o projeto de um ontrolador LQG/LTR é a grande diferença existente entre os ganhos prinipais G ( j) e ( j) G. Esta araterístia india a presença de aoplamento entre os diversos anais do sistema, logo é desejável que os ganhos prinipais, superior e inferior, do sistema a ser ontrolado sejam os mais próximos possíveis entre si. Deve-se, portanto, adiionar integradores ao sistema, de modo a soluionar o problema menionado. Convém menionar que a adição de integradores faz om que os ganhos do sistema sejam grandes em frequênias muito baixas. Desse modo, este proesso de adição de integradores torna-se inerente ao projeto de ontroladores LQG/LTR. Os integradores devem ser posiionados de maneira oposta às inertezas do sistema, em relação à planta. Como já foi expliado, este trabalho representa as inertezas do sistema na sua entrada, logo os integradores devem ser posiionados na saída do modelo, onforme indiado na Figura

34 Figura 2.6: Modelo do sistema om inertezas na sua entrada e integradores na saída. Após a adição dos integradores, a representação em espaço de estados do sistema aumentado assume a seguinte forma x A x i C y x xi x xi I pxn nxm mxm m B mxm u. (2.44) e sua matriz de transferênia orrespondente é dada por I m 1 s G ( s ) G ( s ) C ( si A ) B. (2.45) Equalização de Ganhos em Todas as Frequênias Em termos gerais, é exigido que um ontrolador tenha ganho inferior alto em baixa frequênia e ganho superior baixo em alta frequênia, bem omo uma frequênia de rossover ompatível om o sistema. Tais exigênias se apliam em sistemas SISO e MIMO, porém os ganhos superiores e inferiores de um sistema SISO são os mesmos. Contudo, em sistemas MIMO, os ganhos superiores e inferiores devem ser próximos para evitar o aoplamento. Durante o projeto do Regulador LQR, pode-se adaptar as araterístias da urva de resposta em frequênia de de aordo om o desejado através da esolha de valores adequados de e, de aordo om o que já foi desrito anteriormente neste texto. 21

35 No aso de sistemas MIMO, porém, a equalização de ganhos em todas as frequênias é neessária para desaoplar o sistema. Assim, a matriz de transferênia de malha aberta prourada para o sistema ontrolado elementos iguais. é uma matriz diagonal om todos os Este novo objetivo é inorporado ao projeto de, através de uma esolha adequada de valores para o parâmetro de projeto. Na literatura existem várias deduções para a determinação deste parâmetro om o intuito de equalizar os ganhos prinipais do sistema nas baixas freqüênias e/ou nas altas freqüênias, porém sem equalizar referidos ganhos na faixa de freqüênias intermediárias. Nesta dissertação será abordado somente o método que é usado para equalizar os ganhos do sistema em todas as frequênias [6]. A partir deste momento passará a ser hamado de, ou seja, 1 ( s) H si A B. (2.46) T ROL 1 A partir da Equação (2.44), que inlui os integradores adiionados ao sistema estudado, pode-se reesrever a Equação (2.46) omo T ROL ( s) 1 si A C 1 B n nxm H H 1 2 si m pxm, (2.47) que ao ser desenvolvida resulta em. T ROL 1 1 ( s) H1 H 2 C n s 1 si n A nxm B si A I m s pxm (2.48) e finalmente em T ROL ( s) 1 H 1 si n A 1 B H 2 C si n A s 1 B. (2.49) O objetivo é determinar o parâmetro de modo que os ganhos de em todas as frequênias estejam equalizadas. O modo mais fáil é fazer om que seja uma matriz diagonal om elementos iguais. Uma matriz que umpre tal função é dada por 1 1 H H CA CA B H. (2.5)

36 Substituindo-se a Equação (2.5) na Equação (2.49) obtém-se o seguinte resultado para a matriz de transferênia T ROL 1 I ( s). (2.51) s Ou seja, torna-se uma matriz diagonal om todos os termos iguais, o que signifia que todos os seus ganhos são iguais a 1 1. (2.52) As Equações (2.51)-(2.52) demonstram que todos os valores singulares são idêntios em todas as frequênias, om os ganhos do sistema apresentando delividade de. Dessa forma são garantidos ganhos altos em baixa frequênia e ganhos baixos para frequênias elevadas. Estas fórmulas também indiam que o valor de pode ser variado de forma a transladar a urva de resposta em frequênia para ima ou para baixo, fazendo o ajuste de maneira bastante simples da frequênia de rossover onforme a onveniênia e pratiidade. Com a equalização dos ganhos do sistema garantida em todas as frequênias, o projeto deve prosseguir de aordo om o mostrado nas Seções 2.3 e 2.4 deste apítulo, tomando a atenção de usar o sistema após a inlusão dos integradores, mostrado nas Equações (2.44)-(2.45). Ao final do projeto, o ontrolador LQG/LTR é representado em espaço de estado pelas equações xˆ u K A BK C xˆ C K f C xˆ K f y (2.53) e sua matriz de transferênia é dada por C 1 si A BK K C K C f f K( s) K. (2.54) 23

37 A representação em espaço de estados do sistema ontrolado é dada pela seguinte expressão: xˆ x y A BK C K C xˆ x C f K C xˆ f A x u B Rf I m. (2.55) 2.6 Conlusões Neste apítulo prourou-se apresentar de maneira resumida os prinipais proedimentos neessários para a realização de um projeto de ontrolador LQG/LTR para sistemas do tipo MIMO. Os prinipais pontos abordados foram os projetos do Regulador LQR e do Filtro de Kalman, porém também foram abordados aspetos importantes omo, por exemplo, a neessidade de desenvolver uma malha uja resposta em frequênia deve ter assegurados vários requisitos desejados no projeto, bem omo a neessidade de fazer om que o sistema ontrolado use essa resposta omo referênia. Foram também disutidas as ténias utilizadas para inluir os integradores ao sistema analisado e para a equalização dos ganhos da planta. Tais proedimentos tem suma importânia no que diz respeito ao bom funionamento do ontrolador nas mais variadas faixas de frequênia, assim omo no desaoplamento dos diversos anais do sistema. Quanto ao projeto do Regulador LQR, foi observado que os parâmetros e podem ser alterados livremente, de aordo om as neessidades. Contudo, ao passo que pode ser variado do modo que onvir, o parâmetro deve obedeer ertas equações para a obtenção da equalização dos ganhos do sistema em todas as frequênias. Durante o projeto do Filtro de Kalman, o parâmetro de reuperação pode ser esolhido, sendo que quanto maior for o seu valor, melhor será a reuperação da urva de referênia pelo sistema ontrolado, porém há limites para esse aumento que serão omentados nos próximos Capítulos. 24

38 Capítulo 3: Compensadores Dinâmios Os ompensadores dinâmios formam uma lasse de ontroladores lineares que são projetados no espaço de estados e que utilizam omo sinais de entrada as saídas do sistema a ser ontrolado, ou seja, funionam na base da realimentação de saídas, e dessa forma a sua implementação não requer a inlusão de estimadores e/ou observadores de estados, omo oorre no aso das tradiionais ténias de posiionamento de pólos por realimentação de estados. A desvantagem do uso desses ompensadores é que eles aumentam a ordem do sistema. Quando o sistema a ser ontrolado é ontrolável e observável, os ompensadores dinâmios são apazes de posiionar arbitrariamente os pólos do referido sistema. Assim sendo, eles podem ser usados para estabilizar sistemas instáveis e/ou melhorar o desempenho dinâmio de sistemas que possuam pólos de malha aberta estáveis, porém om baixo fator de amorteimento. No ontexto do projeto de ontroladores robustos do tipo LQG/LTR, é sabido que esses ontroladores garantem a estabilidade do sistema ontrolado em malha fehada, mesmo que em malha aberta referido sistema seja instável. Oorre que quando esses ontroladores são apliados em sistemas que possuem pólos instáveis próximos do eixo imaginário do plano-s, o omportamento transitório do sistema ontrolado apresenta osilações mal amorteidas. Isso aontee porque os zeros de transmissão dos ontroladores do tipo LQG/LTR só anelam perfeitamente os pólos estáveis do sistema ontrolado. Quando o sistema possui pólos instáveis, os zeros de transmissão do ontrolador LQG/LTR orrespondentes a esses pólos são posiionados simetriamente em relação ao eixo imaginário. Ao fehar-se a malha do sistema os pólos instáveis são atraídos pelos seus zeros de transmissão respetivos, no semi-plano esquerdo (estável). Oorre que ao serem atraídos, os pólos instáveis apenas se aproximam dos referidos zeros de transmissão, mas o anelamento perfeito dos polos não aontee. Por isso tudo, os pólos instáveis do sistema são estabilizados, mas fiam situados em posições pouo amorteidas. 25

39 Para superar a difiuldade apresentada, uma saída é estabilizar previamente o sistema instável a ser ontrolado, antes de se projetar o ontrolador LQG definitivo. Para a realização dessa estabilização prévia uma boa opção é o uso de um ompensador dinâmio, já que este tipo de ontrolador é apaz de reposiionar arbitrariamente os pólos do sistema. Os ompensadores dinâmios podem ser usados para estabilizar e/ou ontrolar sem maiores difiuldades sistemas SISO e MIMO, indistintamente. 3.1 Determinação da Ordem do Compensador Dinâmio Considere o sistema linear MIMO representado por x ( t) Ax( t) Bu( t) y( t) Cx( t) (3.1) onde é o vetor de estados do sistema, é o vetor de saída e é o vetor de entrada, e uja matriz de transferênia é dada por 1 G( s) CsI A B. (3.2) A ordem mínima de um ompensador dinâmio apaz de reposiionar arbitrariamente os pólos desse sistema linear é dada pela seguinte relação [29] n, n 1 n min, d o (3.3) onde e são respetivamente os índies de ontrolabilidade e de observabilidade do sistema. O índie de ontrolabilidade é o menor número inteiro que satisfaz a relação rank B AB A B n 1 n (3.4) enquanto que o índie de observabilidade é o menor número inteiro que satisfaz rank C CA n CA o 1 n. (3.5) 26