ENTECA 2003 IV ENCONTRO TECNOLÓGICO DA ENGENHARIA CIVIL E ARQUITETURA. DEFINIÇÃO DE EXPRESSÕES VISANDO RELACIONAR f c e f ck

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1 282 DEFINIÇÃO DE EXPRESSÕES VISANDO RELACIONAR e k Raael Alves de Souza Universidade Estadual de Maringá Túlio Nogueira Bittenourt Universidade de São Paulo RESUMO A distribuição estatístia da resistênia araterístia à ompressão do onreto adotada pela NBR6118 (2003) é dierente da distribuição estatístia adotada pela norma ameriana ACI-318 (1997). Dessa maneira, podem surgir algumas dúvidas e diiuldades em projetos estruturais ou em omparações de resultados experimentais que onsiderem estas duas normas. O presente trabalho tem por objetivo estabeleer relações simples que propiiem a imediata orrespondênia entre a resistênia araterístia à ompressão, k, da NBR6118 (2003) e a resistênia araterístia à ompressão,,da norma ameriana ACI-318 (1997). 1. INTRODUÇÃO A resistênia à ompressão de um onreto que oi utilizado na onstrução de uma estrutura ou de partes desta estrutura pode não possuir um valor únio. Geralmente admite-se que essa resistênia seja ormada por um universo amostral onstituído de um número ininito de valores. Através da experiênia tem-se observado que a produção de onreto sob ondições uniormes apresenta uma distribuição normal (distribuição de Gauss), onorme ilustra a Figura 1. A resistênia à ompressão pode ser então representada por dois parâmetros prinipais que são a média e o desvio padrão. Figura 1: Distribuição normal de resistênias à ompressão do onreto (Fonte: CERQUEIRA (2000)) De aordo om CERQUEIRA (2000), uma resistênia qualquer orresponde a uma probabilidade de existir P% de valores abaixo de m. Dessa maneira, a dierença entre m e é igual ao produto s.t, em que s é o desvio padrão e t um oeiiente que depende da probabilidade de P%, onorme a Tabela 1.

2 283 Tabela 1: Coeiiente t para dierentes probabilidades P% P% ,1 t 0,674 0,842 1,036 1,282 1,645 2,326 3,1 O desvio padrão s é obtido através da equação (1): Onde: s= n i=1 ( - ) i n-1 m (1) m = Resistênia média à ompressão dos orpos-de-prova na idade onsiderada; i = Valor unitário da resistênia à ompressão de ada orpo-de-prova; i = Índie do valor unitário orrespondente; n = Número de orpos-de-prova; s = Desvio padrão da amostra. Pode-se, portanto, obter o valor de através da apliação da equação (2), sendo os valores de t dados de aordo om a Tabela 1: = m st (2) Visando ailitar o emprego do onreto e sistematizar o álulo de estruturas moldadas om este material, os ódigos orrentes reduziram os dois parâmetros de distribuição omentados anteriormente (média e desvio padrão) por um únio valor, denominado de resistênia araterístia à ompressão. A resistênia araterístia à ompressão do onreto, normalmente espeiiada em projetos, é representada na NBR6118 (2003) pela notação de k e na norma ameriana ACI-318(1997) pela notação de. 2. CONTROLE ESTATÍSTICO EFETUADO PELA NBR6118 (2003) A NBR6118 (2003) onsidera o parâmetro k omo sendo o valor da resistênia à ompressão, abaixo da qual só exista a probabilidade de existênia de 5% de valores ineriores a este valor. A determinação de uma equação para a resistênia araterístia adotada pela NBR6118 (2003) pode ser eita tomando-se o valor de t = 1,645 1,65 na Tabela 1, orrespondente a probabilidade P = 5%: k= m -1,65.s (3) A NBR12655 (1995) determina que o ontrole de aeitação do onreto deve ser eito dividindose a estrutura em pequenos trehos, denominados lotes. De ada lote deve-se retirar uma amostra de no mínimo seis exemplares para os onretos até a lasse C50 e de 12 exemplares para as lasses superiores a C50.

3 284 Cada exemplar é onstituído por dois orpos-de-prova da mesma betonada, para ada idade de rompimento e moldados no mesmo ato. A resistênia do exemplar de ada idade é onsiderada aquela de maior valor obtido no ensaio. Adiionalmente, a NBR12655 (1995) espeiia dois tipos de ontrole da resistênia do onreto: o ontrole estatístio por amostragem parial e o ontrole por amostragem total. Para ada um destes tipos de ontrole, apliam-se ormas de álulos dierentes para se determinar o valor estimado da resistênia araterístia de ada lote, designada por k,est. Para lotes om n 20 o valor de k,est é dado por: = -1,65.s (4) k,est m 3. CONTROLE ESTATÍSTICO EFETUADO PELO ACI-318 (1997) De aordo om o ACI-318 (1997), item 5.3.1, para se determinar o desvio padrão de uma betonada de onreto, devem ser eitos pelo menos 30 ensaios onseutivos ou dois grupos de ensaios totabilizando 30 testes. A resistênia à ompressão de um teste é igual a média da resistênia de dois orpos-de-prova ilíndrios eitos om a mesma amostra de onreto e testado aos 28 dias. Quando a produção de onreto não permite o enquadramento nas ondições anteriormente espeiiadas, mas possui uma série de dados baseados num intervalo de 15 a 29 testes onseutivos, o desvio padrão é estabeleido omo sendo o produto do desvio padrão onvenional dado na equação (1) pelo ator de modiiação apresentado na Tabela 2. Tabela 2: Fator de Modiiação para n < 30 Número de Testes Fator de Modiiação < 15 Tabela , , , ,00 Para os asos om n > 30 e 15 < n < 29 a resistênia média, r, é o maior valor obtido entre as seguintes expressões: r = +1,34.s (5) r = +2,33.s-3,45 (6) De aordo om o item , a equação (6) garante uma probabilidade de 1% de que a média de três testes onseutivos será inerior a resistênia espeiiada. A equação (7) garante uma probabilidade similar em testes individuais om mais 3,45 MPa abaixo da resistênia espeiiada

4 285. Estas equações assumem que o desvio padrão utilizado é igual ao valor de uma população tendendo ao ininito ou de um número muito grande de ensaios. De aordo om o ACI-318 (1997), item , o nível de resistênia de uma lasse individual de onreto será onsiderado satisatório se ambos ritérios desritos a seguir orem satiseitos: a) Qualquer média aritmétia de três ensaios onseutivos or igual ou maior do que ; b) Nenhum ensaio de resistênia individual (média de dois ilindros) romper om valor inerior a 3,45 (MPa). Quando a produção de onreto não se enquadra nos itens anteriores, ou seja, quando só é possível hegar ao máximo de 15 testes para o álulo do desvio padrão, a resistênia média, r será determinada através da Tabela 3. Tabela 3: Resistênia média à ompressão a ser adotada quando não existem dados suiientes para se estabeleer o desvio padrão (n < 15) Resistênia Caraterístia (MPa) Resistênia Média r (MPa) Menor que 20,7 MPa + 6,89 20,7 a 34,5 MPa + 8,27 Maior que 34,5 MPa + 9,65 4. EXEMPLO DE CÁLCULO DAS RESISTÊNCIAS CARACTERÍSTICAS Suponha que tenha sido ensaiado um lote (n = 57) de orpos-de-prova ilíndrios de onreto à ompressão e que tenham sido obtidos os valores de 24,5 MPa para a resistênia média à ompressão e de 3,12 MPa para o desvio padrão da amostragem. Pelo ritério da NBR6118 (2003) tería-se: = -1,65.s k k m = 24,5-1,65.3,12 k = 19,35MPa Pelo ritério do ACI-318 (1997) são neessárias duas veriiações: Critério 1: = +1,34.s r = -1,34.s r = 24,5-1,34.3,12 = 20,31MPa

5 286 Critério 2: = +2,33.s-3,45 r = -2,33.s+3,45 r = 24,5-2,33.3,12+3,45 = 20,67MPa Como a resistênia araterístia deinida pelo ACI-318 (1997) orresponde ao maior valor obtido da apliação dos ritérios estabeleidos pelas equações (5) e (6), tem-se que = 20,67 MPa. No entanto, o ACI-318 (1997) estabelee que nenhum ensaio de resistênia individual deve romper om valor inerior a 3,45. Assim, tem-se que: 3,45 = 20,67 3,45 = 17,22 MPa Calulando a probabilidade de ruína para ada uma das normas tem-se os seguintes resultados, onorme ilustra a Tabela 4. Observa-se que os resultados onirmam o que já era esperado. Tabela 4: Comparação das probabilidades de ruína entre a NBR6118 (2003) e o ACI-318 (1997) NBR6118 (2003) ACI-318 (1997) - - m t= s 24,5-19,35 t= 3,12 t=1,65 P=5% m t= s 24,5-17,22 t= 3,12 t=2,33 P=1% Observa-se, portanto, que o ACI-318 (1997) possui um ritério de distribuição estatístia e um ritério de ontrole de qualidade do onreto um pouo mais rígido do que aquele estabeleido pela NBR6118 (2003). Portanto, veriia-se que é inonebível admitir que o valor de k seja igual ao valor de, hipótese esta muitas vezes admitida. Pode-se onluir através da Tabela 4 que para um onreto eito no Brasil ter a mesma resistênia média de um onreto eito nos Estados Unidos om a mesma dosagem e om a mesma relação a/ o valor de k deverá ser ligeiramente superior ao valor de. A seguir, proura-se estabeleer relações que possibilitem relaionar de maneira imediata os parâmetros e k. Para tanto, será onsiderado um universo amostral superior a 30 lotes, ou seja, n > RELAÇÃO ENTRE e k PARA n > 30

6 287 Analisando as equações (5) e (6) do ACI-318 (1997) observa-se que elas serão iguais para um determinado valor do desvio padrão. Igualando estas equações pode-se obter qual é o valor deste desvio padrão: r-1,34.s = r -2,33.s+3,45 s = 3,48 3,5MPa Dessa maneira, onorme já haviam veriiado GIAMUSSO & VASCONCELOS (1993), para s > 3,5 MPa vale a expressão (5) enquanto que para s < 3,5 vale a expressão (6). Isolando m e r nas equações (5), (6) e (4) pode-se obter expressões simples que relaionam om k para n > 30 em unção do desvio padrão. Para s > 3,5 MPa: = +1,65.s NBR6118 (2003) m k r= +1,34.s ACI-318 (1997) Igualando as expressões: +1,65.s = +1,34.s k = + 0,31.s (7) k No entanto, pelo ritério limitante do ACI-318 (1997) tem-se que a resistênia araterístia inerior deve ser 3,45. Logo, pode-se estabeleer a equação que relaiona om k para o aso de n > 30 e s > 3,5 MPa: = +0,31.s-3,45(8) k Para s < 3,5 MPa: = + 1,65.s NBR6118 (2003) m k r= +2,33.s - 3,45 ACI-318 (1997) Igualando as expressões: +1,65.s = + 2,33.s - 3,45 k k = - 0,68.s + 3,45 (9) Novamente, pelo ritério limitante do ACI-318 (1997) tem-se que a resistênia araterístia inerior deve ser 3,45. Logo, pode-se estabeleer a equação que relaiona om k para o aso de n > 30 e s < 3,5 MPa: = - 0,68.s (10) k Como normalmente o desvio padrão situa-se entre 2,0 MPa e 3,0 MPa, independentemente do aumento da resistênia à ompressão do material, pode-se enontrar uma expressão genéria

7 288 relaionando a resistênia araterístia da norma ameriana,, om a resistênia araterístia da norma brasileira, k. = - 0,68.s (10) k = - 0,68.3 k k = - 2,04 (11) A equação (11), dada em MPa, pode ser apliada para relaionar om k sempre que não existir um valor de desvio padrão obtido de ensaios experimentais e sempre que a produção do onreto or em massa, om ontrole rigoroso da umidade dos agregados e om equipe bem treinada, onorme reomendam HELENE & TERZIAN (1993). Para onretos om desvio padrão superior a 3,5 MPa observa-se que a dierença entre k e tende a ser ainda mais aentuada. Para a estimativa de novas equações pode-se utilizar o valor de s = 4,0 MPa sempre que a produção or em volume e om ontrole rigoroso da umidade dos agregados e om equipe bem treinada e s = 5,5 MPa sempre que a produção or a volume e om equipe em ase de adaptação. Observa-se que os valores indiados anteriormente são dierentes dos onstantes na NBR6118 (2003) e oram sugeridos a partir da proposta de HELENE & TERZIAN (1993), pesquisadores om grande experiênia no assunto. 6. EXEMPLOS DE APLICAÇÃO DAS EQUAÇÕES OBTIDAS Visando exempliiar o uso das equações genérias que relaionam a resistênia araterístia da norma ameriana om a resistênia araterístia da norma brasileira, são apresentados os exemplos a seguir. Exemplo 1: n = 57 Resistênia Média = 24,5 MPa s = 3,12 MPa < 3,5 MPa Vale a equação (6) a) Cálulo de k : b) Cálulo de : k = -1,65.s k m = 24,5-1,65.3,12 k =19,35MPa = - 0,68.s k =19,35-0,68.3,12 = 17,23MPa

8 289 Exemplo 2: Uma estrutura oi projetada nos Estados Unidos om um de 30 MPa. Sabendo-se que a produção do onreto é em massa, om ontrole rigoroso da umidade dos agregados e om equipe bem treinada qual deve ser o k a ser utilizado no Brasil para que as estruturas apresentem a mesma resistênia média? Como o onreto tem bom ontrole pode-se apliar diretamente a equação (11) para se estabeleer a orrespondênia. Assim, tem-se que: = -2,04 k k = +2,04 k = ,04 = 32,04MPa k 7. CONCLUSÕES Conlui-se através do presente trabalho que a resistênia araterístia do onreto à ompressão estabeleida pelo ACI-318 (1997) é estatistiamente dierente da resistênia araterístia estabeleida pela NBR6118 (2003) e que essa dierença tende a ser ada vez mais aentuada onorme se aumenta o desvio padrão. Na norma ameriana se admite uma probabilidade de apenas 1% do universo amostral possuir resistênia inerior à resistênia araterístia. Na norma brasileira admite-se uma probabilidade de 5%, o que a torna evidentemente um pouo mais lexível do que a norma ameriana. O trabalho vem a omprovar que é errônea a alternativa, muitas vezes adotada, de se tomar o valor de omo sendo igual ao valor de k para a realização de omparações entre ensaios experimentais ou dimensionamentos utilizando a norma ameriana. Observa-se que o valor de k tende a ser maior que o valor, no mínimo em 2,04 MPa, para o aso em que exista um bom ontrole de qualidade do onreto. Deve-se observar que GIAMUSSO & VASCONCELOS (1993) também prouraram relatar as dierenças entre as resistênias araterístias do ACI-318 (1997) e da NBR 6118 (2003), mas não deiniram uma expressão simples que pudesse orrelaionar esses dois parâmetros. O desenvolvimento desse trabalho ontribuiu de maneira signiiativa para que SOUZA & BITTENCOURT (2003) pudessem propor parâmetros de resistênia eetiva para as esoras e regiões nodais do Modelo de Esoras e Tirantes. Tal modelo vêm ganhando nos últimos anos grande prestígio junto aos ódigos internaionais, se onstituindo em uma solução raional para a análise e dimensionamento de elementos espeiais de onreto armado e protendido.

9 290 No entanto, omo o material mais ompleto sobre o assunto, Apêndie A do ACI-318 (2002), tem toda a sua ormulação em unção de, ahou-se onveniente enontrar a equivalênia desta variável om o parâmetro k, de maneira a possibilitar uma análise ajustada om a NBR6118 (2003). O presente trabalho ontribui para a realização de omparações entre resultados experimentais naionais e amerianos, bem omo, possibilita uma rápida equivalênia do parâmetro a partir do habitual k, quando utilizando a norma ameriana para o dimensionamento de alguma estrutura de onreto armado. Deve-se observar que a norma ameriana é uma onte de onsulta muito relevante nos asos das lajes ogumelo e das lajes lisas protendidas e, nesses asos, a equivalênia proposta entre os parâmetros de resistênia araterístia do onreto das duas normas se onstitui em uma aproximação muito útil, que evita a hipótese preipitada e ontra a segurança de que é igual k. 8. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS AMERICAN CONCRETE INSTITUTE. ACI Manual o Conrete Pratie, Part , Farmington Hills, AMERICAN CONCRETE INSTITUTE. Building Code Requirements or Strutural Conrete (ACI ) and Commentary (ACI 318R-2002), APPENDIX A: Strut-And-Tie Models. Amerian Conrete Institute, Detroit, ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR6118 Projeto de Estruturas de Conreto - Proedimento, Rio de Janeiro, ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICA. NBR Preparo, Controle e Reebimento de Conreto", Rio de Janeiro, CERQUEIRA, F. C. C.. Controle Estatístio da Resistênia à Compressão do Conreto. Revista Tenologia Fortaleza, n 21, pp.49-56, dez., Fortaleza, GIAMUSSO, S. E.; VASCONCELOS, A. C.. Qual a dierença entre a k e a do ACI?. Revista Engenharia Makenzie, n 498, São Paulo, HELENE, P. R.; TERZIAN, P.. Manual de Dosagem e Controle do Conreto. Editora PINI, São Paulo, SOUZA, R. A.; BITTENCOURT, T. N.. Parâmetros de Resistênia Eetiva do Conreto Estrutural para a Análise e Dimensionamento Utilizando Modelos de Esoras e Tirantes. In: V Simpósio EPUSP Sobre as Estruturas de Conreto, Esola Politénia da Universidade de São Paulo, São Paulo, 2003.