Distâncias inacessíveis

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1 U UL L esse: Distânias inaessíveis Introdução Na ula 20 aprendemos a alular distânias que não podiam ser medidas diretamente. Nessa aula, os oneitos utilizados foram a semelhança de triângulos e o Teorema de Pitágoras. gora, mostraremos métodos para o álulo de distânias inaessíveis, que vão utilizar os oneitos de trigonometria aprendidos entre as ulas 29 e 43. apliação desses métodos neessita de um instrumento apaz de medir ângulos, usado por agrimensores, topógrafos e engenheiros: o teodolito. Ilustração de um teodolito. O teodolito mede ângulos horizontais e vertiais om suas duas esalas irulares graduadas em graus. Plano Horizontal 2 Plano Vertial 2 T 1 T Se o teodolito T e os objetos 1 e 2 estão em um mesmo plano horizontal, podemos medir o ângulo 1^T2. 1 Visando o objeto 2, podemos medir o ângulo que a reta T2 faz om a reta horizontal T1. om essas duas utilizações do teodolito, que nos permitem alular ângulos horizontais e vertiais, poderemos agora utilizar a lei dos o-senos, a lei dos senos e a tabela trigonométria para alular distânias inaessíveis. Os prinipais métodos estão nos eemplos da nossa aula. P/ as outras apostilas de Matemátia, esse:

2 esse: Para que voê possa entender bem os métodos que utilizaremos nos eemplos a seguir, é onveniente que reorde as ulas 39 e 40, nas quais introduzimos os oneitos de seno, o-seno e tangente, e, também, as ulas 42 e 43, nas quais apareem as fórmulas da lei dos o-senos e da lei dos senos. Para os álulos, utilizaremos os valores da tabela trigonométria que se enontra na ula 40. Ela também será neessária para os eeríios. Nossa U Laula EXEMPLO 1 Para determinar a altura de um prédio, o topógrafo oloou seu teodolito na praça em frente. om uma trena, ele mediu a distânia do teodolito ao prédio e enontrou 27 m. Mirando o alto do prédio, ele verifiou, na esala do teodolito, que o ângulo formado por essa linha visual om a horizontal é de 58º. Se a luneta do teodolito está a 1,7 m do hão, qual é a altura do prédio? linha visual prédio m Solução: Na figura abaio, é a altura do teodolito e D é a altura do prédio. D linha visual m 1,7 Vamos alular o ateto do triângulo retângulo que aparee na figura. Temos: = tg 58º 27 Da tabela trigonométria obtemos que a tangente de 58º é aproimadamente 1,6. ssim, = 1,6 = 1,6 27 = 43,2 27 altura total do prédio será igual a esse valor mais 1,7, que é a altura da luneta do teodolito. Portanto, D = 43,2 + 1,7 =,9 m. altura desse prédio é, então, de metros e 90 entímetros, ou seja, aproimadamente 50 metros. P/ as outras apostilas de Matemátia, esse:

3 U L EXEMPLO 2 esse: Neste eemplo determinaremos a altura de um morro em relação a uma região plana que eiste em volta. Para isso, foi preiso fazer duas medições om o teodolito. Iniialmente, o teodolito foi oloado em um ponto. Mirando o ponto V, o mais alto do morro, verifiamos que o ângulo dessa linha visual om a horizontal era de 10º. Em seguida, o topógrafo aproimou-se do morro e fiou o teodolito no ponto. Nessa posição, mirando o ponto V, o mais alto do morro, ele verifiou que o ângulo da linha visual om a horizontal passou a ser de 26º. Sabendo que a distânia (medida om a trena) era de 100 m, qual é a altura do morro? V Solução: om os dados obtidos pelo topógrafo, vamos alular a altura do morro. Na figura a seguir, mostramos esses dados sem onsiderar a altura do teodolito. Determinando = y, temos as relações: V = tg10º Þ y = 0,17633 (1)? V = tg26º Þ y = 0, (2) V y Da relação (1) tiramos = y. 0, ,633. Da relação (2) tiramos = y. 0, Igualando, temos: y 0,48773 = y 0, ,633 y 0, y 0,17633 = 17,633 y (0, ,17633) = 17,633 y 0,3114 = 17,633 y = 17,633 = 56,62 (aproimando) 0,3114 e = y 0,48773 = 27,61 m. Somando a esse valor a altura do teodolito (1,7 m), onluímos que a altura do morro em relação à região plana em volta é de 27,61 + 1,7 = 29,31 m. Vamos ver, a seguir, um outro eemplo muito omum no ampo ou nas fazendas, onde diversas medidas não podem ser feitas diretamente. P/ as outras apostilas de Matemátia, esse:

4 esse: EXEMPLO 3 Em uma região há um rio om urso irregular. Sua largura não é onstante e ele faz muitas urvas. Entre os ponto e, situados em margens opostas, deseja-se onstruir uma ponte. Para isso, é neessário determinar a distânia. O topógrafo, que está na margem inferior do desenho que vemos abaio, assinala om uma estaa um ponto qualquer. om a trena, ele mede a distânia e enontra 56 m. om o teodolito ele mede os ângulos  e enontrando 118º e 35º, respetivamente. Qual será o valor da distânia? U L rio 56 m Solução: Vamos analisar o triângulo. Se  = 118º e = 35º, então podemos alular o ângulo. omo sabemos, a soma dos três ângulos é 180º. 27 a 118º º = 180º = 27º 118 b = 56 m 35 Determinando = e = b, a lei dos senos nos informa que: sen = b sen ou seja, sen 35º = 56 sen 27º Utilizando os valores da tabela trigonométria, temos: 0,57358 = 56 0,45399 ssim, = 56 0, , = 70,75 Portanto, naquela parte do rio, a distânia é de 70,75 m. P/ as outras apostilas de Matemátia, esse:

5 U L EXEMPLO 4 esse: Um dos álulos que, no passado, mais fasinaram os matemátios era o da medida do raio da Terra. O engenhoso proesso que vamos desrever já tinha sido imaginado pelos gregos da ntigüidade, mas, na époa, não dava bons resultados porque os instrumentos de medida eram bastante preários. Imagine que, do alto de um morro situado próimo ao mar, uma pessoa observa o oeano, vendo om nitidez a linha do horizonte. Vamos, agora, imaginar um imenso triângulo que tem um vértie no entro da Terra, outro vértie na pessoa que está em ima do morro e o tereiro vértie na linha do horizonte que essa pessoa vê. O desenho será o seguinte: P h α H R R Terra Na figura aima, o ponto é o entro da Terra e o ponto P é a pessoa que está situada a uma altura h em relação ao nível do mar. Para essa pessoa, o ponto H está na linha do horizonte e, omo a reta PH é tangente à Terra, o ângulo PH é reto. altura h do morro é onheida e o ângulo a = P H pode ser medido. Portanto, no triângulo PH, o seno do ângulo a é igual a H, ou seja, P sen a = R h + R em que R, o raio da Terra, é a nossa inógnita. P/ as outras apostilas de Matemátia, esse:

6 Então, (h + R) sen a = R h sen a + R sen a = R h sen a = R - R sen a esse: h sen a = R (1 - sen a) ou R = hsena 1 - sena U L Observe que onheendo a altura h e o ângulo a podemos alular o raio da Terra usando essa fórmula, mas, na prátia, eistem difiuldades. altura h será sempre muito pequena em relação ao raio da Terra. Para se obter R om preisão, é preiso medir o ângulo a também om muita preisão, pois um pequeno erro na medida de a aarretará um erro muito grande na medida de R. Hoje, eistem instrumentos eletrônios que medem ângulos om preisão de 1 milésimo de grau, e as aluladoras ientífias forneem os senos dos ângulos om a neessária eatidão. Por eemplo, se a pessoa P está a uma altura de 2 km em relação ao nível do mar, o ângulo a será de 88,657 graus. om uma aluladora ientífia, enontramos o seno desse ângulo igual a 0, e o raio da Terra aproimadamente igual a 6390 km. Eeríio 1 Na figura abaio, o ponto F é um farol que está numa ilha próima ao ontinente. Na praia, foram assinalados dois pontos, e, tais que = 132m, FÂ = 90º e ^F = 85º. alule a distânia F. Eeríios F (farol) Mar Praia Eeríio 2 O topógrafo utilizou o mesmo método desrito no Eemplo 2 desta aula para alular a altura de uma torre que se enontra do outro lado de um rio. alule sua altura, utilizando os dados que estão na figura abaio. 1,7 m ,2 m rio P/ as outras apostilas de Matemátia, esse:

7 U L Eeríio 3 Entre os pontos e, situados em uma fazenda, eiste um morro. O teodolito oloado no ponto onsegue mirar tanto quanto. Sabendo que = 76 m, = 90 m e = 126º, alule a distânia. esse: Sugestão: Volte à ula 42 para reordar omo se alula o o-seno de um ângulo maior que 90º e aplique a lei dos o-senos no triângulo. Use a aluladora. Eeríio 4 Na figura abaio, os pontos e estão em lados opostos da entrada de uma baía. Para alular a distânia, o topógrafo fiou um ponto de onde pudesse mirar os pontos e. om a trena, mediu, enontrando 320 m, e, om o teodolito, mediu os ângulos  e, enontrando 98º e 47º, respetivamente. Quanto mede? Sugestão: use a lei dos senos no triângulo da forma que foi utilizada no Eemplo 3 desta aula. P/ as outras apostilas de Matemátia, esse: