PROPOSTA DIDÁTICA. 3. Desenvolvimento da proposta didática (10min) Acomodação dos alunos e realização da chamada.

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1 PROPOSTA DIDÁTICA 1. Dados de Identificação 1.1 Nome do bolsista: André da Silva Alves 1.2 Série/Ano/Turma: 8º e 9º ano 1.3 Turno: manhã 1.4 Data: 09/10 Lauro Dornelles e 14/10 Oswaldo Aranha 1.5 Tempo da aula: duas horas 1.6 Conteúdo desenvolvido: trigonometria e medidas 2. Objetivos da proposta didática - Calcular distâncias inacessíveis de pontos (objetos) através das razões trigonométricas no triangulo retângulo; - Resolver situações problema de distância e alturas entre pontos; - Estabelecer relações entre medida de ângulos; - Resolver situações-problema utilizando conceitos e procedimentos Matemáticos; - Média aritmética. 3. Desenvolvimento da proposta didática (10min) Acomodação dos alunos e realização da chamada. (40min) Teoria e dúvidas sobre a trigonometria e logo após exercícios de compreensão. A aula será iniciada com a explicação da origem da palavra trigonometria aos alunos, como motivação ao tema. Depois relembrarei os nomes atribuídos aos lados de um triângulo retângulo, para reformulá-los relativamente a um ângulo. Vou mostrar a importância da identificação do cateto oposto e adjacente a um dado ângulo. Após isto, serão dadas a conhecer as relações trigonométricas seno, co-seno e tangente de um ângulo, bem como a linguagem e simbologia utilizadas. Na continuação, irei mostrar que as relações trigonométricas só dependem do ângulo e não do comprimento dos lados, para tal, vou recorrer à semelhança de

2 triângulos, referindo também que os valores das funções trigonométricas estarão em uma tabela, onde mostrarei como encontrar os valores de 30, 45 e 60 usando uma calculadora científica (com funções trigonométricas). RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS Seno Cosseno Tangente O que é Triângulo Retângulo: É um triângulo que possui um ângulo reto e outros dois ângulos agudos, para tanto basta que tenha um ângulo reto (90 ), pois a soma dos três ângulos internos é igual a um ângulo raso (180 ). É uma figura geométrica muito usada na matemática, no cálculo de áreas, volumes e no cálculo algébrico. A partir da construção do triângulo retângulo surgiu um dos mais importantes teoremas chamado de TEOREMA DE PITÁGORAS. O quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos. a² = b² + c². Posteriormente, aplicar-se-ão estes conhecimentos à resolução de problemas, abarcando três situações: Determinar a hipotenusa, conhecido um cateto; Determinar um cateto, conhecida a hipotenusa; Determinar um cateto, conhecido o outro cateto. Serão ainda esclarecidas, todas as dúvidas que eventualmente surjam. A palavra Trigonometria vem do grego, tri - três, gono ângulo metrien medida significando Medida de Triângulos. Num triângulo retângulo, os lados são Hipotenusa, Cateto oposto e Cateto adjacente.

3 Nota: Ao lado oposto ao ângulo reto chama-se hipotenusa. Assim sendo, num triângulo retângulo, o seno de um ângulo agudo é a razão entre as medidas do cateto oposto a esse ângulo e da hipotenusa, denotando-se: Outra das razões é que, num triângulo retângulo, o cosseno de um ângulo agudo é a razão entre as medidas do cateto adjacente a esse ângulo e da hipotenusa, denotando-se: A última das razões é que, num triângulo retângulo, a tangente de um ângulo agudo é a razão entre as medidas do cateto oposto a esse ângulo e do cateto adjacente a esse ângulo, denotando-se: Exercício de compreensão 1) O ângulo de elevação do pé de uma árvore, a 50 m da base de uma encosta, ao topo da encosta é de 60º. Que medida deve ter um cabo para ligar o pé da árvore ao topo da encosta?

4 Pela figura podemos perceber um triângulo retângulo assinalado onde: afastamento da árvore(cateto menor) = 50m ângulo de visão do solo = 60º distância do cabo(hipotenusa) = x Sabemos que cos 60º = cateto adjacente 50 / hipotenusa x e que cos 60º = 1/2, Então : 1/2 = 50 / x Logo, o cabo deverá medir 100 metros. 2) Um topógrafo foi chamado para obter a altura de um edifício. Para fazer isto, ele colocou um teodolito (instrumento ótico para medir ângulos) a 200 metros do edifício e mediu um ângulo de 30, como indicado na figura a seguir. Sabendo que a luneta do teodolito está a 1,5 metros do solo, pode-se concluir que, dentre os valores adiante, o que MELHOR aproxima a altura do edifício, em metros, é: Use os valores: sen30 = 0,5 cos30 = 0,866 tg30 = 0,577 a) 112. b) 115. c) 117. d) 120. e) 124.

5 ( 20 min) CONSTRUÇÃO MANUAL DE UM TEODOLITO COM OS ALUNOS Quem Criou: O teodolito é um instrumento óptico utilizado por engenheiros, agrimensores, topógrafos e antigos navegadores, para realizar medidas de ângulos verticais e horizontais em redes de triangulação, a fim de determinar distâncias inacessíveis. O primeiro teodolito foi criado pelo italiano Ignácio Porro por volta de 1835, sendo um instrumento muito pesado e a leitura de seus limbos era muito complicada. Anos depois, por volta de 1920, Henrique Wild aprofundou os estudos e melhorou aquele teodolito, construindo círculos graduados sobre vidro, para conseguir menor peso, tamanho, e maior precisão, tornando assim a leitura mais fácil. O Teodolito é um instrumento destinado a medir ângulos horizontais e verticais, bem como determinar distâncias e alturas. Instrumento usado pela engenharia, arquitetura e outros profissionais e técnicos em grandes construções de estradas, demarcação de fazendas, sítios, etc... Modelo Teodolito Profissional De que se trata: A construção de um teodolito com material reciclável pode nos ajudar a medir distâncias, como a altura de casas, prédios e até mesmo da própria escola, lidando, na prática, com as razões trigonométricas.

6 MODELO I MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO Materiais necessários para a construção do Teodolito caseiro: Um transferidor; uma base de tabua ou de papelão medindo 25cm por 12cm; um canudo ou tubo de antena; um barbante; um peso; cola e uma tachinha. Fixe a tachinha na base central do transferidor de forma que ela fique com mobilidade. Cole o canudo na tachinha, de modo que a sua movimentação seja completa. Observe o Teodolito caseiro pronto para o uso MODELO II

7 Atividade em que os alunos possam aplicar seus conhecimentos: (30 min) Para aplicar elaborar um problema prático de medição. Após o domínio do instrumento, os alunos terão que elaborar um problema prático de medição, aplicado a sua área de formação, utilizando o aparelho construído em sala de aula, resolvendo o problema por meio dos conceitos abordados na trigonometria. Com os alunos convidarei para irmos ao pátio da escola e determinar a altura(h) de uma parede X. O primeiro passo consiste em fixar o teodolito em um local fixo, para poder verificar o ângulo que forma entre a base e o ponto extremo do que está sendo medida a parede. Este ângulo é chamado de tangente alfa. O ângulo indicado no transferidor deve ser analisado com cuidado devido à espessura do canudo usado como mira. Segundo passo é medir a distância do observador até o pé da parede e logo após medir a altura em que foi fixado o teodolito que é a altura do observador. Com os dados em mãos Lembrando sempre que esta prática pode ser feita em qualquer lugar e qualquer objeto em que desejamos descobrir a distância ou altura, por exemplo, uma árvore, um prédio, um poste, uma casa, etc. 4. Referências bibliográficas BATISTA, Jakeline. Encontro Nacional de Educação Matemática. Laboratório de Matemática e a Utilização de Materiais Manipuláveis no Processo de Ensino e Aprendizagem. Disponível em: < Acesso em: 05 set BORGES, Valcir. Calculando Alturas Inacessíveis. Disponível em: < Acesso em: 05 set