Módulo de Leis dos Senos e dos Cossenos. Razões Trigonométricas no Triângulo Retângulo. 1 a série E.M.

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1 Módulo de Leis dos Senos e dos ossenos Razões Trigonométricas no Triângulo Retângulo. a série E.M.

2 Leis dos Senos e dos ossenos Razões trigonométricas no triângulo retângulo. Eercícios Introdutórios Eercício. Recíproca do Teorema de Pitágoras, enuncia que: a etermine valor de. β se as medidas dos três lados de um triângulo qualquer satisfazem a fórmula a b + c, então esse triângulo é retângulo. entre os ternos (a, b, c de números inteiros listados, com a < b < c, qual(is dele(s poderiam ser lados de triângulo(s retângulo(s? a (5,,. b etermine valor de. b (8, 5, 7. c (7,, 5. d (, 5, 7. β e (, 60, 6. f (0,, 9. g (9, 0,. Eercício. entre os ângulos agudos dos triângulos retângulos do eercício, qual possui o maior seno? c etermine valor de + y. Eercício. Quais os senos, cossenos e tangentes dos ângulos agudos do triângulo de lados 6 cm, 8 cm e 0 cm? Eercício. Um triângulo tem lados medindo cm, cm e 5 cm. Outro triângulo tem lados medindo 9 cm, cm e 5 cm. Os ângulos desses triângulos são iguais? 00 β 0 0 Eercício 5. Utilizando os dados aproimados da tabela, calcule o que se pede. y Tabela : Senos, cossenos e tangentes. rco sen cos tg 5 0, 6 0, 97 0, 7 0 0, 0, 9 0, 7 0 0, 5 0, 87 0, , 6 0, 77 0, , 8 0, 5, , 98 0, 7 5, 67 d Seja o, retângulo em, com  5 e tal que ˆ 50. Sendo 00 cm, qual o valor de? e Um triângulo retângulo possui catetos medindo e 9, qual a medida aproimada do ângulo oposto ao cateto de menor medida? f Um triângulo retângulo possui catetos medindo 6 e 97. Qual a medida aproimada do ângulo oposto ao cateto de maior medida? g Num triângulo retângulo com um ângulo medindo 0, prove que o seu cateto oposto é metade da hipotenusa. matematica@obmep.org.br

3 Eercício 6. No triângulo da figura, calcule os valores dos senos, cossenos e tangentes de e β. β Figura Eercício 7. Sendo 0 < < 90 e sen 0, 6. Quais os valores do cosseno e da tangente de? Eercício 8. efinindo a sec, demonstre, a partir cos da relação fundamental da trigonometria, que tg + sec. Eercício 9. figura representa um, equilátero, com lado medido cm e uma altura H. Eercícios de Fiação Eercício. Sobre uma rampa de 6 m de comprimento e inclinação de 0 com a horizontal, devem-se construir degraus de altura 5 cm. Quantos degraus desse tipo serão construídos? Eercício. Um observador está em um ponto do aterro do Flamengo e vê o Pão de çúcar segundo um ângulo de 0 com o plano horizontal (medido com o teodolito. Ele anda em direção ao seu objetivo até um ponto distante 650 m de e agora vê o Pão de çúcar segundo um ângulo de. Qual é a altura do Pão de çúcar em relação ao plano de observação? ados: tg 0 0, 76 e tg 0, 9. Eercício. o atender o chamado de um incêndio em um edifício, o corpo de bombeiros de uma cidade utilizou um veículo de combate a incêndio, dotado de escada magirus. Esse veículo possibilita atender a resgates a uma altura máima de 5 metros, utilizando um ângulo máimo de levantamento de 60. h Quais os valores do(a: a sen 60, cos 60 e tg 60? b sen 0, cos 0 e tg 0? H Figura 60 Eercício 0. partir de um quadrado de lado medindo cm, determine as medidas dos seno, cosseno e da tangente de 5. Eercício. Sendo um ângulo agudo num triângulo retângulo qualquer, prove que sen cos tg sen. Figura 8 a Qual o comprimento dessa escada quando totalmente esticada? b Houve um problema e o ângulo de levantamento foi reduzido em 5%. Qual a nova altura máima alcançada? Eercício 5. Seja um número real positivo tal que alcule sec + tg. sec tg. Eercício 6. No triangulo, sen + cos 6 e sen + cos Encontre a medida do ângulo. matematica@obmep.org.br

4 Eercício 7. inclinação de um telhado é determinada pela porcentagem da medida do cateto oposto ao ângulo de inclinação (cateto na vertical em relação à medida do cateto adjacente a esse ângulo (cateto na horizontal, em um triângulo retângulo associado a esse telhado. Eercício. No triângulo da figura, qual a razão entre as áreas S e S? 9 0 S E S 6 Figura Eercício. Um enigma interessante ocorre quando movimentamos as peças da figura e criamos a figura. om as mesmas peças reordenadas, surge um quadradinho vazio na base. Eplique esse fato. Figura 9 É correto concluir que, em um telhado com 9, 5% de inclinação, o ângulo está entre quais valores da tabela? Eercício 8. emonstre que a área S do (figura 0 pode ser calculada pela fórmula S b c sen. Figura c Figura b Eercício. Torre Eiffel tem m da altura (contando com a antena, e deseja-se fotografá-la completamente usando uma câmera com lente de abertura de 0. Qual a mínima distância da torre (no plano da sua base para que uma foto com essa câmera capture a torre inteira, como ilustra a figura 5? (ados na tabela. Figura 0 Eercício 9. No temos que cm, 6 cm e  5. Qual o valor da sua área? Eercício 0. Percorrendo, ao longo de uma reta horizontal, a distância d, em direção à base inacessível de um poste, nota-se (com o auílio de um teodolito que os ângulos  e ˆ medem, respectivamente, e β graus. Qual é a altura do poste? Figura 5 matematica@obmep.org.br

5 Eercício. Na figura 7, temos o com a altura H cm. β Sendo assim, calcule: Figura 7 a em função do ângulo, o valor de. b em função do ângulo, o valor de H. c em função do ângulo β, o valor de. d em função do ângulo β, o valor de H. e a área de, em função de e da altura H. f a área de, utilizando a fórmula do eercício 8. g uma fórmula para o sen( + β a partir dos resultados dos itens e e f. Eercício 5. partir da análise da figura 8, demonstre que cos( + β cos cos β sen sen β. H Eercícios de profundamento e de Eames Eercício 6. Num triângulo retângulo a hipotenusa mede cm e um dos catetos mede 5 cm. soma das tangentes dos ângulos agudos é aproimadamente: a. b,. c. d,5. e,8. Eercício 7. Para calcular a altura de um morro, um topógrafo posicionou-se com seu teodolito a 00 m do morro e o aparelho forneceu a medida do ângulo de visada do morro: 0. O topógrafo, olhando numa tabela, considerou tg 0 0, 57. Se a altura do teodolito é, 60 m, qual é a altura, em metros, do morro obtida pelo topógrafo? a 5, 8. b 5, 60. c 8, 0. d 5, 60. e. Eercício 8. Na figura 0, estão assinalados três ângulos retos, e três ângulos de medida. Sendo e 5, determine o valor de cos. a. b 5. c 5 Figura 0 5. d 5. e 5. Eercício 9. Um avião voava a uma altitude e velocidade constantes. Num certo instante, quando estava a 8 km de distância de um ponto P, no solo, ele podia ser visto sob um ângulo de elevação de 60 e, dois minutos mais tarde, esse ângulo passou a valer 0, conforme a figura. velocidade, em km/h, desse avião era de: E F G β Figura 8 Figura a 80. b 0. c 0. d 50. e matematica@obmep.org.br

6 Eercício 0. Prove que: a sen( sen cos. ( ( b sen sen cos. c sen cos. d cos sen. e cos( cos sen. f cos( cos. g sen( sen. ( cos + h cos. Eercício. Seja 0 < < 90 tal que Qual o valor de cos(? ( + tg cos. Eercício. Utilizando as fórmulas de somas de arcos, prove que: a tg( + β tg + tg β tg tg β. b ( + tg ( + tg. Eercício 5. Leia as proposições abaio e depois desenvolva o que se pede. Proposição. Para o, com ceviana, vale que: ( (, onde ( e ( representam as áreas de e. Para ver isso, basta usar que a área de um triângulo é o semiproduto da área da base pela sua altura correspondente. Proposição. Para o, bissetriz,, é válido que. esenvolva uma demonstração da proposição utilizando a proposição e a fórmula demonstrada no eercício 8. Eercício 6. partir do triângulo da figura calcule: a sen 8 e cos 8. b sen 7 e cos 7. c sen 6 e cos 6. d sen 5 e cos 5. c se + β 5, então ( + tg ( + tg β. d (+tg (+tg... (+tg é quadrado perfeito. Eercício. Faça o que se pede. a alcule uma epressão equivalente a b Prove que sen cos k cos(k +. sen cos 0 cos + sen sen cos + + cos cos 0 cos 05 é igual a tg 05. Eercício. Resolva os itens abaio: a Prove que (sen (sen 89 (sen. b Prove que (sen (sen 88 (sen. c Sabendo que (sen (sen (sen 5... (sen 87 (sen 89 n, qual o valor de n? 6 Figura Eercício 7. partir das fórmulas do cosseno da soma e do cosseno da diferença, prove que: a cos(a + b cos(a b sen a sen b. b cos cos 5 sen sen. c cotg cotg. Eercício 8. No retângulo, com um ponto E em, um ponto F em, F u.c., sendo ÊF reto, ˆE e E ˆF β, calcule. a Qual ângulo representa + β? eviana é qualquer segmento de reta num triângulo com uma etremidade no vértice do triângulo e a outra etremidade no lado oposto, no caso. 5 matematica@obmep.org.br

7 b esenvolva outra demonstração para o cos( + β? Eercício 9. O retângulo foi dividido em três quadrados de lado cm. Prove que Ĥ ˆ + Ĝ. E F a 60 b 5 c 0 d 5 Eercício. Sendo sen + cos, qual o valor de sen(? Eercício. partir da figura, deduza as fórmulas a sen( β sen cos β sen β cos ; e b cos( β cos cos β + sen sen β. G Figura 8 H Eercício 0.. a Prove que sen( tg + tg. b Prove que cos tg + tg. ( c Se tg é um número racional ( kπ, k Z, prove que cos e sen são números racionais. d Prove que tg cossec( cotg(. e Reciprocamente, ( se cos e sen são números racionais, prove que tg é número racional. Eercício. Um holofote está situado no ponto, a 0 metros de altura, no alto de uma torre perpendicular ao plano do chão. Ele ilumina, em movimento de vaivém, uma parte desse chão, do ponto ao ponto, alinhados à base, conforme demonstra a figura 0 abaio: β Figura Eercício. Sendo e y números reais tais que ( (y. Qual o valor mínimo de + y? a. b. c. d. Eercício 5. Usando as fórmulas das questões e 5, resolva os itens a seguir. a Verifique que ( + tg k( + tg(5 k. b ado que Figura 0 calcule n. ( + tg ( + tg... ( + tg 5 n, Se o ponto dista 0 metros de e 50 metros de, a medida do ângulo  corresponde a: 6 matematica@obmep.org.br

8 Respostas e Soluções. Observação: Neste módulo, serão estudadas as razões trigonométricas no triângulo retângulo. plicaremos os conceitos de cateto oposto, cateto adjacente e hipotenusa para definir os senos, cossenos e tangentes de cada ângulo. No geral, fazendo uso das marcações no triângulo da figura, teremos:. Em cada um dos triângulos retângulos da questão anterior há dois ângulos agudos. efinindo o ateto Oposto i sen i, i {, }, e calculando os respectivos valores, obtemos os resultados aproimados da Hipotenusa tabela. Tabela : Senos, cossenos e tangentes. ateto ateto Hipotenusa Seno Seno 5 0, 85 0, 9 c β a , 7 0, , 80 0, , 0, 96 b Figura , 80 0, , 690 0, 7 i os catetos são b e c e a hipotenusa é a; ii em relação ao ângulo, teremos c como cateto oposto e b como cateto adjacente (o inverso para β; iii definiremos o sen c a e o sen β b a ; iv definiremos o cos b a e o cos β c a ; e v definiremos a tg c b e tg β b c. O que permite concluir que quando e β forem complementares, isto é, + β 90, teremos sen cos β e sen β cos. Usando as substituições adequadas concluímos que tg sen cos e tg β sen β cos β. lém disso, aplicando o Teorema de Pitágoras, poderemos concluir para ângulos agudos que sen + cos. última equação é denominada Relação Fundamental e é válida para qualquer ângulo, não necessariamente o agudo. Outras funções trigonométricas importantes são cotg tg, sec cos e cossec sen.. Observe que todos os ternos satisfazem a Recíproca do Teorema de Pitágoras, portanto, todos poderiam ser lados em triângulos retângulos. Os dois números menores representariam as medidas dos catetos e o maior número, a medida da hipotenusa , 0 0, 976 Portanto, o maior seno é , 98.. Observe que os lados do triângulo verificam a recíproca do Teorema de Pitágoras, ou seja, Portanto, esse triângulo é retângulo com hipotenusa 0, com um dos seus ângulos agudos tendo seno igual a 6 0, cosseno igual a 8 0, tangente igual a 6. O outro possui 8 seno igual a 8 0, cosseno igual a 6 0 e tangente igual a Pela Recíproca do Teorema de Pitágoras, temos que ambos são triângulos retângulos, pois, + 5 e No primeiro triângulo, um dos ângulos agudos ( tem seno igual a 5, cosseno igual a 5 e tangente igual a e o outro (β possui seno igual 5, cosseno igual a 5 e tangente igual a. Já no segundo, teremos os mesmos valores de senos, cossenos e tangentes para e β, respectivamente. Portanto, nos dois triângulos teremos ângulos retos, e β β. 5. Retirando os dados da tabela, obtemos: a omo sen 57 0, 8, temos 8; matematica@obmep.org.br

9 b omo cos 80 0, 7, temos ; 00 c omo tg 0 0, 6 temos 08. lém disso, 00 como tg 0 0, 8 y temos y 5. Portanto, 00 60; d Observe que é isósceles de base, pois Ĉ 5, então 00 cm. Sendo e aplicando que sen 0 00 concluiremos que 00 cm; e Sejam e β os ângulos opostos ao maior e menor catetos, respectivamente. Fazendo tg β 9 0, 7, encontraremos, pela tabela, que β 0 ; 9. (daptado da Vídeo ula Na figura podemos destacar o triângulo H, retângulo em H, e aplicar o Teorema de Pitágoras. + h h h f Sejam e β os ângulos opostos ao maior e menor catetos, respectivamente. Se fizermos a tg 97 6, 7, encontramos um valor fora da tabela. ontudo, para tg β , 7. Temos, β 5 e, portanto, 75 ; e h g omo sen 0, concluímos que o cateto oposto é metade da hipotenusa (daptado da Vídeo ula Inicialmente devemos calcular o valor da hipotenusa utilizando o Teorema de Pitágoras. H Figura Então, sen cos β 5, cos sen β 5, tg e tg β. omentário para professores: Na resolução da equação 5 só foi destacada a sua raiz positiva, pois representa a medida da hipotenusa. 7. Pela relação fundamental da trigonometria, temos que (0, 6 + cos. aí, cos 0, 8 e tg sen cos 0, 6 0, 8 0, Podemos dividir a relação por cos 0, obtendo sen + cos sen cos + cos cos cos tg + sec No mesmo triângulo, o ângulo de 60 terá cateto oposto igual a, cateto adjacente e hipotenusa. Portanto sen 60, cos 60 e tg 60, o que responde o item a. omo 60 e 0 são complementares, teremos: i sen 60 cos 0 ; ii sen 0 cos 60 ; e iii tg 60 tg 0. ssim, tg Seja o quadrado de lado cm, pelo Teorema de Pitágoras, a sua diagonal medirá cm e Ĉ 5 (figura matematica@obmep.org.br

10 . rampa deve ser vista como a hipotenusa de um triângulo retângulo e a altura h será o cateto oposto ao ângulo de 0. Então usaremos o sen 0 h 6. ssim, h m ou 00 cm. Para a quantidade de degraus, basta dividirmos 00 por 5 obtendo degraus.. (Etraído do material do IMP/PPMEM. h Portanto, 5 i sen 5. ii cos 5. iii tg 5. Figura 5 omentário para professores: Nos problemas 9 e 0 utilizamos triângulo e quadrado com comprimentos particulares de lados. análise geral do problema (feita no vídeo, com lado medindo l, pode ser tratada de modo análogo. Por hora, chegamos à tabela dos senos, cossenos e tangentes dos arcos notáveis 0, 5 e 60. Tabela : 0, 5 e Figura 6 Sejam h a altura do Pão de çúcar e a distância de ao pé da altura (figura 6. Então, teremos que tg h 0, 9 e tg 0 h 0, pós resolver o sistema, chegaremos a h 9,. omentário para professores: Um dos instrumentos de medida usuais, baseado nas funções trigonométricas, é o teodolito (figura 7, que faz medidas de ângulos com imensa precisão na vertical e na horizontal. rco sen cos tg Observando que tg sen cos teremos que sen cos tg sen cos sen cos sen Figura 7: Teodolito. Imagem: apítulo, ensinomedio.impa.br, acesso em matematica@obmep.org.br

11 . a (daptado do vestibular do IFSP/0 Sejam c o comprimento da escada e a projeção de em. omo o alcance da escada é de 5 metros, teremos 5 m. Usando que sen 60 5 c, então c 0 0 m. b om a perda de 5% o novo ângulo será 0, nova altura máima será h +, com h, definindo como o ponto onde a escada toca o prédio. Fazendo sen 5 h, temos h m. 5. esenvolvendo a equação inicial, destacando que cos 0, chegamos a sec tan cos sen cos sen cos Substituindo na relação fundamental teremos sen + cos sen + ( sen sen sen 0 sen ( sen 0 onde, sen 0 (com cos ou sen, e apenas o primeiro serve, pois para o segundo teríamos cos 0, absurdo. Por fim, sec e tg 0. Portanto sec + tg. 6. Elevando as duas equações ao quadrado, chegaremos a: e sen + cos 6 ( sen + cos 6 9sen + sen cos + 6cos 6 ( sen + cos ( sen + cos 6sen + sen cos + 9cos. ( Somando ( com (, teremos 6 + sen cos + sen cos (sen cos + sen cos 6 + (sen cos + sen cos Logo, + 0 e então 50. sen( + 7. (Etraído do vestibular do entro Universitário São amilo SP/0 inclinação do telhado é determinada pela tangente de. Sendo assim, tg 9, 5% 0, 095, o que resulta em 5 < < 5, partir da altura H h relativa à, temos sen h c e h c sen (figura. c Figura Por fim, como a base b, S bh b c sen. 6 sen 5 9. S cm. 0. Temos tg tg β. omo + d, vem ( + d tg tg β. aí, e d tg β d H h tg tg tg β tg tg β tg tg β.. Seja S a área do, então S S S. Tomando como base o ângulo ˆ β, teremos que: S S S aí, obtemos que 5 sen β ; 0 9 sen β ; e 5 sen β 0 9 sen β. 0 9 sen β S S 5 sen β 0 9 sen β. Ou seja, podemos concluir que S S. 0 matematica@obmep.org.br

12 . justaposição das figuras não geram os triângulos retângulos maiores que aparentam estar no desenho. No triângulo menor, temos que o ângulo agudo da base tem tg 5 e no maior, tg. Logo, a figura não é 8 um triângulo (nem a figura, por isso, na reorganização, surge um quadradinho branco. pós a movimentação, a suposta hipotenusa da figura grande muda levemente a curvatura, avançando a diferença de quadradinho que surge.. (Etraído do Geogebra.org g Pelos itens e e f teremos que sen( + β sen cos cos β cos + sen β cos β sen( + β sen cos β + sen β cos. 5. Sendo E a interseção de F com, temos que: i cos( + β; ii G sen β; iii G cos β; iv EG sen β tg ; v E cos β tg sen β; vi E cos( + β tg ; e vii E sen β cos. Perceba que e G podem ser inscritos na mesma semicircunferência (figura 9. Figura 6 Usando que tg 0, obteremos que 85, 7 metros. (a aproimação foi para cima, se a fizéssemos para baio poderíamos perder parte da antena da torre.. a cos cos. b sen H H sen cos. c cos β cos β. d sen β H e S f S H sen cos. H sen cos + sen β cos β. sen( + β sen( + β cos cos β. Tal ilusão é conhecida como o Paradoo do quadrado perdido β Figura 9 Podemos aplicar a potência do ponto E fazendo E EG E E (cos β tg sen β sen β tg cos( + β tg sen β cos cos( + β cos cos β sen sen β Observação: sen( sen( e cos( cos(, por definição. aí, sen( β sen cos β sen β cos e cos( β cos cos β +sen sen β. Essas fórmulas serão demonstradas, para ângulos agudos, na questão. G é quadrilátero inscritível E G F matematica@obmep.org.br

13 6. (Etraído do eame do PROFMT/0 omo a hipotenusa mede e um dos catetos mede 5, pelo Teorema de Pitágoras, o outro cateto mede. Os ângulos agudos terão tangentes iguas a 5 e 5. Portanto, 5 + 5, 8 e a resposta é letra E. 7. (Etraído do eame do PROFMT/0 Seja o cateto oposto a 0. Então tg 0 0, Logo, m e a altura do morro é de +, 6 5, 6 m. Portanto, resposta é letra. 8. (Etraído do eame do PROFMT/0 Sejam y e E. Portanto, no, temos que cos y. nalisando agora o E, 5 temos cos e, finalmente, no E, temos y cos. Resolvendo esse sistema, teremos que cos 5 e, portanto, a resposta é a letra. 9. (Etraído do vestibular da ESPM/0 Sejam r e s as retas representadas da figura, onde s é a tracejada. enomine a projeção de na reta r como o. Então, cos 60 P e sen Portanto, km e P km. hame de a projeção de na reta r. Perceba que km. onsequentemente, tg 0 P, isto é, P km. Por fim, 8 km. omo o avião percorreu essa distância em dois minutos, em uma hora iria percorrer km. ssim, a resposta é a letra. 0. Usaremos que sen( + β sen cos β + sen β cos. a Sendo β teremos sen( + sen cos + sen cos sen( sen cos b Sendo β teremos ( sen + ( sen sen( sen ( cos ( ( cos ( + sen ( cos c partir da relação fundamental da trigonometria, temos sen + cos sen cos d nálogo ao anterior. e Sendo cos( + β cos cos β sen sen β e tomando β teremos cos( + cos cos sen sen que é o mesmo que cos( cos sen. f plicando c em e, temos o que foi pedido. g nálogo ao anterior. h Essa é uma rearrumação da fórmula do do item f.. (daptado da Olimpíada de Matemática do RJ ( + tg cos sec cos cos Sendo 0 < < 90, temos 60. cos( cos, obteremos cos(0 cos 60. Por fim, como. Para resolver essa questão, utilizaremos as fórmulas: i sen( + β sen cos β sen β cos ; e ii cos( + β cos cos β sen sen β a Podemos fazer b Observe que tg( + β sen( + β cos( + β sen cos β + sen β cos cos cos β sen sen β sen cos β + sen β cos cos cos β cos cos β sen sen β cos cos β tg + tg β tg tg β tg( + tg 5 tg + tg tg tg tg tg tg + tg tg + tg + tg tg + tg + tg + tg tg ( + tg + tg ( + tg ( + tg ( + tg matematica@obmep.org.br

14 c nálogo ao anterior. d Usando os itens anteriores concluímos que a epressão é igual a, um quadrado perfeito cuja raiz quadrada é 08. Observação: Para a tg( β devemos usar os fórmulas de sen( β e cos( β e assim chegaremos a tg( β tg tg β + tg tg β.. Observe que k + k, portanto a sen cos k cos(k + sen(k + k cos k cos(k + sen(k + cos k sen k cos(k + cos k cos(k + sen(k + cos k cos k cos(k + sen k cos(k + cos k cos(k + tg(k + tg k. b (daptado da Olimpíada de Matemática do RJ Utilizando o item a, podemos reescrever a epressão original como tg tg 0 + tg tg + + tg 05 tg 0 tg 05.. Para resolver este item, utilizaremos as fórmulas: sen cos(90 ; e sen sen cos. a (sen (sen 89 (sen (cos (sen. b (sen (sen 88 (sen (cos (sen. c (Etraído da Olimpíada de Matemática do RJ (sen (sen (sen 5... (sen 87 (sen 89 (sen (sen... (sen 89 (sen (sen... (sen 88 (sen (sen (sen 6... (sen 86 (sen 88 (sen (sen 89 (sen (sen (sen 6 (sen 5 (sen (sen (sen 6... (sen 86 (sen 88 (sen (cos (sen (cos... (cos (sen 5 (sen (sen (sen 6... (sen 86 (sen 88 (sen (sen... (sen 88 ( (sen (sen (sen 6... (sen 86 (sen 88 Portanto, n, Usando os valores da figura, teremos pela proposição que ( ( y. c Figura plicando o resultado do eercício 8 obtemos b β cb sen β ab sen β y c a y. O que demonstra a proposição. omentário para professores: proposição é conhecida também como Teorema da issetriz Interna ou, pela forma lúdica, Teorema da ailarina. Esse segundo nome deve-se ao truque de memorização usado para lembrar das razões ennvolvidas em seu enunciado que podem ser associados a um movimento de alé (figura. y β a matematica@obmep.org.br

15 6 6 Figura Em resumo, num com bissetriz,, como na figura, temos que Figura 6 Pelo Teorema da issetriz Interna, teremos + 0 ± 5 5 om, pois > 0. bissetriz de  (que contém as altura e mediana relativas a tem interseção com em H. (figura ˆ Ĉ 7, pois é isósceles de base (figura 5. 5 y 7 H Figura No H, retângulo em H, teremos que calcular o valor do cateto H y, portanto Figura 5 bissetriz do ângulo Ĉ encontra no ponto e separa os triângulos isósceles, de base, e, de base. onde segue que e (figura 6. ( 5 + y y 6 6y y Obtemos assim matematica@obmep.org.br

16 a sen 8 e cos 8 ; b sen 7 e cos 7. c Para 6, utilizaremos as fórmulas de arco duplo. sen 6 sen (8 + 8 sen (8 cos ( cos 6 cos (8 + 8 d sen cos 8 sen 8 ( ( e cos a s fórmulas do cosseno da soma e da subtração são cos(a + b cos a cos b sen a sen b ( cos(a b cos a cos b + sen a sen b. ( Fazendo ( (, teremos cos(a b cos(a + b sen a sen b b Usando a fórmula do item a, cos(a b cos(a + b sen a sen b, fazendo a b e a + b teremos a e b, o que demonstra o pedido. c Provar o solicitado é equivalente a provar que ( cotg ( cotg cos cos ( ( sen sen (sen cos (sen cos sen sen sen sen 8. com cos cos + sen sen cos( cos e sen cos sen cos pelo item b, teremos sen( + cos 5 sen sen cos cos 5. Por fim, obtemos sen sen cos cos 5 cos cos 5 a omo Ê 90, ÊF e ˆF E 90. e modo análogo, ˆF E 90 β e ˆF + β. b Temos no: i EF, E cos β e EF sen β; ii E, E cos e E E sen ; iii EF, E EF cos sen β cos e E EF sen sen β sen ; e iv F, sen( + β e F cos( + β. oncluímos que, Ou seja, cos cos β F + F sen sen β + cos( + β cos( + β cos cos β sen sen β. 9. Pela figura 9, queremos provas que θ + β. E F β θ G H Figura matematica@obmep.org.br

17 Temos que tg, tg β e tg θ. Utilizando a tangente da soma, chegamos a 0. tg( + β tg + tg β tg tg β tg θ + β θ. a asta desenvolver os dois membros da equação. b asta desenvolver os dois membros da equação. c (Etraído da Olimpíada ( earense de Matemática Supondo que tg p, p inteiro e q inteiro não nulo q e usando as identidades dos itens a e b teremos sen p q + p q p pq p + q e cos q + p q q p q + p, o que conclui que cos e sen são também racionais. d asta desenvolver os dois membros da equação. e (Etraído da Olimpíada earense de Matemática Utilizando a identidade do item d teremos que ( tg cossec cotg sen cos sen aí, como ( kπ, k Z e portanto a divisão por sen eiste, a tg é racional.. (Etraído do vestibular da UERJ RJ Sendo  e β Â, teremos  +β. aí, tg , tg( + β 5. ssim, 0 5 tg( + β tg + tg β tg tg β + tg β. tg β onsequentemente, 5 0 tg β + tg β 5 0 tg β + tg β tg β. Por fim, β 5, que está na letra.. om sen + cos, teremos (sen + cos sen + sen cos + cos + sen(. Observe que  β e: i sec β; cos β ii sec ; cos iii tg β; a Pela lei dos senos, obteremos que cos β sen(90 sen( β cos cos β sen(. ( iv tg ; v tg tg β; vi ˆ 90 ; e vii sen(90 cos. tg tg β sen( β tg tg β sen( β sen cos β sen β cos. b Pela lei dos cossenos, teremos que (tg + tg β sec + sec β cos( β cos cos β. esenvolvendo as epressões anteriores e utilizando que encontraremos tg sec e tg β sec β tg tg β cos( β cos cos β cos( β cos cos β + tg tg β cos( β cos cos β + sen sen β. 6 matematica@obmep.org.br

18 . (Etraído da Olimpíada de Matemática da hina omo + 5, y [, ], podemos escrever + 5 cos θ e y sen θ, para θ [0, π[. Sendo assim, com tg + y ( cos θ 5 + ( sen θ cos θ + 6 sen θ ( sen θ 5 cos θ sen(θ sen(θ, 5. aí, o mínimo + y ocorrerá quando sen(θ for o menor possível. Ou seja, quando sen(θ. O que resulta em mín { + y }. Isso ocorre quando θ π + arctg 5 5, ou seja, e y. resposta está na letra. 5. (Etraído do anco de Questões da OMEP - 05 a Observe que tg(5 k + sen(5 k cos(5 k + sen 5 cos k cos 5 sen k cos 5 cos k + sen 5 sen k + / cos k / sen k / cos k + / + sen k cos k cos k sen k cos k cos k cos k + sen k + cos k tg k + tg k + + tg k. onsequentemente, (tg(5 k + (tg k +. b O item anterior nos permite agrupar os primeiros termos do produto dado, através de pares da forma (tg(5 k + (tg k +, em produtos iguais a. omo + tg 5, segue que n e n. Elaborado por leber ssis e Tiago Miranda Produzido por rquimedes urso de Ensino contato@cursoarquimedes.com 7 matematica@obmep.org.br