Física para Engenharia II - Prova P3-2013

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1 4096 Físia para Engenharia II - Prova P - 0 Observações: Preenha todas as folhas om o seu nome, número USP, número da turma e nome do professor. A prova tem duração de horas. Não somos responsáveis por provas om identifiação insufiiente. Não é permitido o uso de aluladora e elular manter desligado). Apresente sua identidade ou artão USP ao assinar a lista de presença. Resolva ada exeríio a partir da frente da folha de resposta om o mesmo número. Justifique todas as respostas om fórmulas, omentários suintos) e álulos intermediários, não esqueendo das unidades das grandezas físias. Caso apareça alguma raiz que não seja um quadrado perfeito ou uma fração irredutível, deixe indiado não é neessário alular o valor deimal). Resultados serão anuniados no site da disiplina. Formulário: = 0 8 m/s γ v = v x = γ v x vt) y = y z = z t ) = γ v t v.x u x = u y,z = u x v ) uxv u y,z ) γ v uxv p = γ u m 0 u E = γ u m 0 E = K + m 0 E = p) + m 0 ) γuu = γu ) mu) = m 0 = γ u m 0 u f = f 0 ± u u v ) + v + v Q - Uma sonda interestelar é lançada da Terra. Após um breve período de aeleração desprezível), ela se move om veloidade onstante v = 0,8. Suas baterias elétrias transmitem ontinuamente um sinal para a Terra. As baterias tem um tempo de duração medido no referenial próprio da nave) de anos. a) [0,] Qual o tempo de duração das baterias medido no referenial da Terra? b) [0,] A que distânia da Terra medida por um um observador da Terra) estará a sonda quando as baterias se extinguirem? ) [0,7] No momento em que as baterias se extinguirem, a que distânia a Terra está da sonda, no referenial da sonda? d) [0,7] Por quanto tempo após o lançamento da sonda o sinal emitido pela nave será reebido pelo ontrole da missão na Terra? Sugestão: expresse suas respostas em anos tempo) e anos-luz distânia). ano-luz=. ano).

2 Solução Q: a) O intervalo t medido pelo observador na Terra estará dilatado em relação ao tempo próprio T medido no referenial da sonda: t = γ.t. Como v = 0,8 = 4, temos γ = 6 = e t =. t = anos. b) x = v. t = 4.) x = 0 anos-luz. ) x = v.t = 4.) x = anos-luz. d) O tempo total em que o sinal será detetado será o tempo de duração das baterias medido na Terra) mais o tempo que o último sinal leva para hegar à terra: t tot = t + x/ = + 0 = 4 anos ou t tot = t + x/ = γ.t. + v ) =.. 9 = 4 anos Q - Um observador na plataforma de uma estação ferroviária referenial S) joga uma bola vertialmente para ima om veloidade inial u 0 u 0 ) partindo da origem de S no instante t = 0. Outro observador está em um trem que viaja om veloidade onstante v na direção do eixo x resente referenial S ). Estamos onsiderando refereniais S e S om eixos x e x horizontais) e y e y vertiais) paralelos entre si, sendo que as origens dos dois refereniais oinidem em t = t = 0. Considere que a aeleração da gravidade vertial) é g no referenial S. Expresse suas respostas em termos dos dados do problema u 0, g, v). a) [0,] Determine a posição da bola em função do tempo xt) e yt)) no referenial S. e alule o tempo que a bola fia no ar de aordo om um observador em S. b) [,0] Determine a posição da bola em função do tempo t x t ) e y t )) no referenial S. ) [0,] Calule o tempo que a bola fia no ar de aordo om um observador em S. d) [0,] Determine as omponentes da veloidade u xt ) e u yt ) no referenial S. Solução Q: a) Em S, temos um movimento retilíneo uniformemente aelerado na direção y partindo da origem om veloidade iniial v y 0) = u 0. Logo xt) = 0 e yt) = u 0 t g t. Tempo de voo t v : yt v ) = 0 tv 0 g t) = 0 logo, omo t v > 0, temos t v = u 0 g.

3 b) Pelas Transformações de Lorentz, temos: Substituindo t, temos: x = γ v x vt) = γ v vt y = y ) = u 0 t gt t = γ v t v.x = γv t x t ) = vt y t ) = u 0 v ) t g ) Tempo de voo t v em S : y t v) = 0 t γ u u 0 g γ u t ) = 0. Como t v > 0, temos t v = u 0γ v g t v = u 0. g v ) ) ) v t ) d) u xt ) = v u yt ) = u 0 v ) g ) ) v t Q - Em uma experiênia, dois prótons massa de repouso de GeV/ ) são lançados diretamente um ontra o outro de modo a olidirem. A distânia iniial entre os prótons é de 6 km e a veloidade de ada próton é 0,, ambos medidos no referenial S do laboratório. Considere que o lançamento dos dois prótons oorre no instante t = 0 em S. a) [0,] Qual é o momento linear de ada próton em S antes da olisão? b) [0,] Se, após a olisão, for detetada uma tereira partíula além dos dois prótons), alule a massa de repouso máxima dessa partíula. Considere agora um referenial S que se move juntamente om um dos prótons. ) [0,] Qual a veloidade relativa entre os prótons antes da olisão no referenial S? d) [0,] O lançamento dos dois prótons é simultâneo em S? Justifique. e) [0,] Calule a energia inétia de ada um dos dois prótons no referenial S antes da olisão. Solução Q:

4 a) O momento linear de ada próton será p = γ u m 0 u =.m 0.±/) = ± GeV/. /4 b) A energia total antes da olisão em S é: E i = m 0 + m 0 4 ) = m 0 A maior massa de repouso possível oorre se toda a energia inétia antes da olisão K i = E i m 0 se onverter em massa, om a partíula produzida e os prótons permaneendo em repouso após a olisão. Nesse aso, é neessário que o momento final seja zero. Por onservação de momento, isto oorre no Ref. S do laboratório no qual o momento iniial é zero. Nesta situação limite, a energia após a olisão será E F = M 0max +m 0. Assim, por onservação de energia, após a olisão temos: Logo, temos M 0max = E F = E i M 0max = 4 ) m 0. 4 ) 4 m 0 = ) GeV/. ) A veloidade relativa é medida em um referenial em que um dos prótons está em repouso por ex, Ref. S movendo-se om v = +/): u = u v uv = / / + 4 = 4 d) O lançamento dos dois prótons é simultâneo em S oorre em t = 0) mas não será simultâneo em S. Chamemos o próton que está em repouso em S de A e o outro de B. Para o próton A, que permanee na origem de S, ele oorre em t A = 0. Para o próton B, oorre antes: t B = γ v 0 v.x B ) = e) Em S, o próton A está em repouso, logo K A = 0. O próton B tem veloidade u = 4 logo: K B = u/) ) m 0 = = 0 s. 8 ) m 0 = GeV 4

5 Q4 - Um elétron de massa de repouso m 0 enontra sua anti-partíula, um pósitron, estando ambos a veloidades muito baixas pratiamente em repouso) no referenial S do laboratório. O resultado é a aniquilação do par, om a emissão de dois fótons A e B), om direções opostas ao longo do eixo x em S. fóton A e - fóton B a) [0,] Calule a energia e o momento de ada fóton do par em S, em função da massa m 0 do elétron. S v e + b) [0,] A frequênia do fóton é proporional ao seu momento: f = p /h, onde h é a onstante de Plank. Considere o referenial de um observador S que se desloa om veloidade v, paralela ao eixo de propagação do par de fótons. Qual a frequênia do fóton A e do fóton B para esse observador em função da massa de repouso do elétron e da veloidade do referenial? ) [,0] Calule, a partir das frequênia obtidas no item anterior, o momento total dos fótons gerados, bem omo a energia resultante. d) [0,] Determine o momento e a energia do par elétron-pósitron medidos no referenial S. Como essas quantidades se omparam om o momento e energia dos fótons? Justifique. Deixe todas suas respostas em função da veloidade de luz ) se for o aso. Solução Q4: a) A energia total iniial é E = m 0 no referenial do entro de massa. Por onservação de energia, a soma de energia dos fótons deve igualar a energia iniial E A + E B = E O momento iniial é p x = 0 e p y = 0. O momento final é igual a p A + p B = 0, portanto p A = p B. Como no aso do fóton p = E/, temos que E A = E B e p A = m 0 e p B = m 0. b) As frequênias em S serão iguais a f = m 0 /h. O fóton se propaga na direção ontrária a observadores em S ontra-propagante) e o fóton B se propaga na mesma direção de observadores em S o-propagante). Assim, por efeito Doppler relativístio, o observador em S mede: f A = m 0 h f B = m 0 v. h +v +v v e

6 ) Temos a diferença entre os módulos dos momentos, e portanto resolvendo a equação temos: p = p A+p B = h ) v + v f B f A) = m 0 = m 0 + v v v v = m 0 γ v v. Para a energia, a soma dará ) v + v E = hf A + f B) = m 0 = γ v m 0. + v v d) Por onservação de energia e momento em S, devemos ter E p = m 0 γ v e P p = m 0 γ v v. Ou seja, o resultado é onsistente om o momento total do par iniial, e sua energia, no referenial em movimento. 6