Cálculo K: Uma abordagem alternativa para a relatividade especial

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1 Revista Brasileira de Ensino de Físia v. 35 n Cálulo K: Uma abordagem alternativa para a relatividade espeial K alulus: An alternative approah to speial relativity G. De Conto A. Lima P.H. Ortega E.R. Shmitz Instituto de Físia Teória Universidade Estadual Paulista Júlio Mesquita Filho São Paulo SP Brasil Reebido em 8/3/03; Aeito em 4/8/03; Publiado em 30/0/03 Neste artigo apresentamos a abordagem alternativa feita por Bondi para a teoria da relatividade espeial. Durante o desenvolvimento analisamos os diagramas de Bondi reursos visuais dos quais podemos retirar algumas informações sobre os sistemas analisados e disutimos o fator K da teoria de Bondi que está no erne deste trabalho. Posteriormente disutimos alguns dos prinipais resultados obtidos pela relatividade espeial de Einstein tais omo a dilatação temporal a ontração espaial e a simultaneidade de eventos separados espaialmente além das transformações de Lorentz. Mostramos também dois outros resultados importantes na físia a partir do álulo K: o momento linear relativístio e a energia total relativístia. Palavras-have: álulo K relatividade espeial Hermann Bondi efeito Doppler. In this paper we present an alternative approah due to Bondi for the speial theory of relativity. During the development we analyse the Bondi diagrams visual resoures from whih we an tae some information about the analysed systems and we disuss the K fator of Bondi s theory whih is in the ore of this wor. We then disuss some of the main results obtained from Einstein s speial theory of relativity suh as the time dilation spatial ontration and simultaneity of spatially separated events besides the Lorentz transformations. We also show other two important results in physis oming from K alulus: the relativisti linear momentum and the total relativisti energy. Keywords: K alulus speial relativity Hermann Bondi Doppler effet.. Introdução No final do séulo XIX e iníio do séulo XX surgiram inonsistênias entre a meânia lássia e o eletromagnetismo. As onheidas transformações de Galileu orroboradas pela meânia da époa não se apliavam às equações do eletromagnetismo de Maxwell. A solução deste problema que fez prevaleer as equações do eletromagnetismo foi proposta por Einstein em seu artigo seminal Zur Eletrodynami bewegter Körper ou Sobre a eletrodinâmia dos orpos em movimento publiado em 905 []. Com ontribuições de Lorentz Poinaré Minowsi e outros foi onsolidada a relatividade espeial []. Esta permitia um aordo entre eletromagnetismo e meânia ontudo impliando importantes mudanças nesta última. Tais mudanças trouxeram novos resultados muito distintos dos enontrados na meânia lássia. Efeitos omo a ontração espaial e a dilatação temporal vão ontra a experiênia otidiana pois só se tornam evidentes quando os fenômenos analisados estão a veloidades omparáveis à veloidade da luz. Por isso podemos utilizar a meânia lássia para situações do ortega@ift.unesp.br. dia-a-dia. Desta forma a teoria da relatividade espeial é omumente assoiada a tópios de físia moderna tendo seu ensino presente em ursos de graduação da área de iênias exatas. Tradiionalmente o ensino da relatividade espeial é dado por meio das transformações de Lorentz foando na parte matemátia da teoria. Tal metodologia nem sempre ressalta os oneitos físios por trás destas transformações. Uma alternativa às transformações de Lorentz foi desenvolvida por Hermann Bondi em seu livro Relatividade e Bom Senso: Um Novo Enfoque das Ideias de Einstein originalmente Relativity and Common Sense: A New Approah to Einstein de 964 [3]. Partindo dos mesmos postulados utilizados por Einstein que são [ ]: i Postulado Prinípio da relatividade: As leis físias são as mesmas em todos os sistemas de referênia ineriais; ii Postulado Invariânia da veloidade da luz: A veloidade da luz no váuo é a mesma para todos os sistemas de referênia ineriais independentemente do movimento relativo de um dado sistema Copyright by the Soiedade Brasileira de Físia. Printed in Brazil.

2 4307- De Conto et al. om relação à fonte de luz; Bondi desenvolveu o álulo K. Através do uso de diagramas do espaço-tempo e de experimentos mentais o álulo K é onstruído num formalismo matemátio que se relaiona diretamente om os resultados das transformações de Lorentz. Neste trabalho estudamos a abordagem feita por Bondi para a teoria da relatividade espeial. Primeiramente disutimos os diagramas de Bondi reursos visuais dos quais se podem retirar informações sobre os sistemas analisados. Em seguida obtemos o fator K da teoria de Bondi. Posteriormente disutimos sobre alguns resultados obtidos pela relatividade espeial de Einstein que são a dilatação temporal a ontração espaial o oneito de simultaneidade de eventos e também as transformações de Lorentz. Por fim obtemos dois outros resultados importantes na físia a partir do álulo K que são o momento linear relativístio e a energia total relativístia.. Diagramas de Bondi e o fator K Consideremos dois sistemas de referênia ineriais A e B om veloidade relativa onstante. Um observador na origem do referenial A emite sinais luminosos em direção a um observador na origem de B em intervalos regulares de minuto. Porém omo B está se afastando de A estes sinais hegam em um intervalo de tempo maior digamos minutos. Podemos ilustrar esta situação om a Fig.. Na Fig. temos o tempo no eixo vertial e a distânia no eixo horizontal apenas uma dimensão espaial é relevante neste exemplo 3 ambos relativos ao referenial A. Pode-se ver que onforme o tempo passa o referenial A representado pela linha ontínua vertial sobreposta ao eixo temporal permanee na origem do sistema de oordenadas enquanto que o referenial B representado pela linha ontínua inlinada se afasta. As linhas traejadas representam os sinais luminosos se propagando no espaço. Como a inlinação das linhas está relaionada om a veloidade temos que qualquer referenial terá uma inlinação no mínimo igual a inlinação das linhas traejadas 4 já que a veloidade da luz não pode ser superada. 5 Na Fig. torna-se possível ver a diferença de tempo entre os sinais luminosos medida pelos observadores. Fisiamente falando isto oorre porque à medida que o referenial B se afasta o segundo sinal o que determina o intervalo de tempo deve perorrer uma distânia maior para atingir B fazendo o intevalo de tempo ser diferente. Na Fig. omo as linhas traejadas representam os sinais luminosos a interseção destas linhas om as linhas de ada referenial representa a emissão no aso do referenial A ou a reepção no aso do referenial B do sinal luminoso. Comparando o espaço entre ada interseção para ada um dos refereniais vemos que eles estão menos espaçadas na linha do referenial A do que na linha do referenial B indiando que os intervalos de tempo entre ada sinal em A são menores do que os intervalos em B. Consideremos agora o aso em que haja um tereiro observador C em repouso om relação ao referenial A. Isto pode ser representado pela Fig.. Figura - Referenial A emitindo sinais luminosos para B onforme este se afasta. Figura - Referenial A emitindo sinais luminosos para B e C. Denotaremos a partir de agora sistema de referênia inerial apenas por referenial. 3 Subentende-se aqui a hipótese de isotropia do espaço que afirma que não há uma direção privilegiada no espaço-tempo. Isto garante que para refereniais se movendo om veloidade relativa onstante a análise pode ser feita onsiderando qualquer direção e neste aso onsideramos apenas o eixo que une as origens dos refereniais. 4 Definimos as esalas dos diagramas de modo que x/t onde é a veloidade da luz no váuo orresponda a uma reta om inlinação de 45 om relação ao eixo vertial ou temporal. 5 Isto é uma onsequênia dos postulados de Einstein.

3 Cálulo K: Uma abordagem alternativa para a relatividade espeial Do ponto de vista do referenial B os sinais passam a ada minutos enquanto ele vê o referenial C se aproximar. Desta forma é omo se B emitisse sinais a ada dois minutos na direção de C. 6 Sabemos que C por estar em repouso em relação a A reebe estes sinais num intervalo de minuto. Logo podemos ver que para um referenial que se aproxima C se aproximando de B os intervalos de tempo diminuem em uma proporção inversa ao aso do afastamento onsiderando a magnitude das veloidades de aproximação e afastamento iguais. Podemos então generalizar dizendo que no aso em que B se afasta se A mede um intervalo t A o intervalo medido por B será 7 e no aso em que B se aproxima t B Kt A t B K t A. O fator de proporionalidade entre os tempos medidos em ada referenial é hamado de fator K um parâmetro adimensional relaionado om a veloidade relativa dos refereniais. Podemos enontrar a relação entre K e a veloidade onsiderando um aso semelhante aos disutidos anteriormente. Suponha novamente que B esteja se afastando de A e assim que B reebe um sinal ele envia outro de volta para A. Podemos ilustrar esta situação pela Fig. 3. de vista de B é igual ao tempo em B multipliando o mesmo fator K. Contudo no instante que B emite sua resposta nós já sabemos o seu tempo que é igual a Kt. Multipliando este tempo mais uma vez por K hegamos no resultado mostrado no diagrama: A reebendo a resposta no tempo K t. O tempo medido por A entre a emissão do sinal e o reebimento da resposta de B é t K t t tk. 3 Da Fig. 3 vemos que o tempo entre a emissão do sinal por A e o reebimento por B é igual a t/. Neste intervalo de tempo a luz uja veloidade denotaremos por perorreu uma distânia d t/. Esta mesma distânia foi perorrida por B num intervalo de tempo K + t/ onforme vemos na Fig. 3. Ou seja também temos que d vk +t/ onde v é a veloidade de B em relação a A. A partir das duas equações para d hegamos em t v vk + t t K + t K K +. 4 Podemos isolar o fator K a partir da Eq. 4. Denotando v/ β enontramos + β K β. 5 Figura 3 - Troa de sinais entre A e B. Como já vimos antes o tempo que B reebe um sinal é igual ao tempo medido em A multipliado pelo fator K. Quando B emite o sinal em resposta para A partimos para o ponto de vista de B onde A está se afastando de B om a mesma veloidade que A via B se afastar. Assim o tempo que A irá medir do ponto Da Eq. 5 podemos ver que utilizar K no aso em que os refereniais se afastam e /K no aso em que se aproximam faz sentido. No aso que se afastam onsideramos a veloidade positiva e obtemos K onforme a Eq. 5. Se tomarmos esta equação e invertermos o sinal da veloidade passamos para o aso em que os refereniais se aproximam e temos que ela se torna igual a /K. Expliitamente + β Kβ β K β Kβ. 6 Consideremos agora o aso de três refereniais A B e C. Sabendo que o fator K entre A e B é dado por K AB e que o fator K entre B e C é dado por K BC qual será o fator K entre A e C? Se A enviar um sinal para B no instante t sabemos que B reeberá este sinal num tempo igual a t B K AB t. Se B retransmitir este sinal para C no instante em que o reebeu de A sabemos que C reeberá o sinal de B no instante t C t B K BC tk AB K BC. Mesmo não sabendo o valor de K AC sabemos que um sinal enviado por A no instante t atingiria C no instante t C tk AC. Já que B retransmitiu o sinal no instante que o reebeu de A 6 É neste ponto que apliamos o Postulado pois estamos supondo que a veloidade de B não interfere na veloidade da luz. 7 A transformação de um referenial para outro deve ser linear para que os intervalos de tempo sejam independentes da origem do sistema de oordenada temporal para quaisquer refereniais.

4 De Conto et al. podemos afirmar que t C tk AB K BC e t C tk AC são idêntios. Logo tk AC tk AB K BC K AC K AB K BC. 7 A relação dos fatores K entre diversos refereniais é dada pelo produto dos fatores. Já sabemos esrever K em função da veloidade dos refereniais e agora a partir da Eq. 7 podemos ver omo as veloidades em diferentes refereniais se relaionam. Esrevendo K em função das veloidades enontramos + β AC β AC Isolando β AC + β AB β AB + β BC β BC. 8 β AC K AB K BC K AB K BC + β AB + β BC + β AB β BC. 9 Temos então a lei de omposição de veloidades da relatividade restrita. 8 Para detalhes da abordagem tradiional veja as Refs. [5 6]. 3. Dilatação temporal O aso onde A emite um sinal e B emite outro em resposta apresenta um fato de interesse. Vimos que quando A emite um sinal em t A t B reebe este sinal em t B Kt. Mas na Fig. 3 notamos que no instante em que B reebe o sinal o referenial A registra o tempo t A K + t/. Esrevendo t em função de t B podemos relaionar o tempo dos refereniais num mesmo instante. Verifiamos então que t A K + K t B t B γt B 0 β onde γ / β é o fator de Lorentz. Da Eq. 0 onluímos que do ponto de vista de um observador parado na origem do referenial A o tempo passa de maneira mais rápida quando medido do referenial A do que em um referenial em movimento o referenial B neste aso. Uma desrição detalhada na abordagem tradiional é enontrada na Ref. [6]. Este efeito onduz a uma questão interessante. Se agora invertemos os papéis dos refereniais A e B 9 então o tempo em B passaria mais rápido do que em A. Isto nos leva a um paradoxo : omo pode o tempo passar mais rápido em ambos refereniais? Isto é expliado analisando o hamado paradoxo dos gêmeos. Este paradoxo propõe o seguinte: dados dois irmãos gêmeos ujo intervalo de tempo entre o nasimento deles é irrelevante um deles é oloado em uma nave que viaja a veloidade onstante para o espaço enquanto que o outro fia na Terra. Após um intervalo de tempo segundo a relatividade restrita do ponto de vista da Terra o irmão que fiou na Terra fiaria mais velho do que o irmão que foi oloado na nave. Entretanto do ponto de vista da nave quem fiou mais velho foi o irmão que está dentro da nave pois para ele quem viaja om veloidade onstante é o irmão que fiou na Terra. Este é o paradoxo. Isto é resolvido propondo que para se fazer a verifiação é neessário que o irmão que se afastou o que estava na nave retornasse indiando que em algum momento o referenial da nave sofreu alguma aeleração portanto deixando de ser inerial. Devido a isto pode-se mostrar que o irmão que estava na nave envelheeu menos do que o irmão que permaneeu na Terra. A demonstração deste resultado é longa e foge do esopo deste artigo. Uma disussão mais detalhada utilizando a ténia do radar que é relaionada om o fator K é enontrada na Ref. [7]. 4. Contração espaial Não só a medida dos tempos mas também a medida de distânias é afetada pelo movimento relativo entre os refereniais. Mais uma vez utilizando a emissão de sinais luminosos podemos verifiar este efeito. Consideremos dois eventos P e Q om oordenadas P t x e Qt x no referenial A onde x < x. Dois sinais luminosos são emitidos por A de maneira que ada um deles atinja os pontos x e x no mesmo instante t. Sabemos que para alançar x um sinal leva um tempo t x / e para alançar x o tempo é t x /. Portanto A deve emitir um sinal no instante t t e outro no instante t t. Cada um dos sinais ao atingir o alvo é refletido de volta para A que reeberá estas reflexões nos tempos t + t e t + t. A distânia entre os eventos pode ser alulada já que onheemos os intervalos de tempo e a veloidade da luz. L A [t + t t + t ] [ x [t t ] x ] x x onde obtemos o resultado esperado já que as oordenadas espaiais de ada evento estavam definidas no referenial A. O referenial B pode utilizar a mesma estratégia para medir a distânia entre os dois eventos ujas oordenadas denotaremos por x e x. Já vimos omo relaionar os tempos medidos em ada referenial e agora utilizaremos este resultado. De aordo om B a distânia seria L B x x [t t ]. 8 Um exemplo semelhante de adição de veloidades pode ser enontrado em [4]. Neste artigo a autora utiliza os fatores de veloidade f veloity fators que são bastante semelhantes ao fator K onde f K. Também é apresentada uma relação entre o fator de veloidade e a rapidez já tradiional na relatividade espeial. 9 Isto é adotando o ponto de vista do referenial B onde A passa a estar em movimento

5 Cálulo K: Uma abordagem alternativa para a relatividade espeial Apliando a relação temporal entre os refereniais [ L B [t t t ] γ t ] γ γ [x x ] γ L A. 3 O fator γ é sempre maior ou igual a já que β está sempre entre 0 e uma onsequênia do fato que nada pode ter uma veloidade maior do que a veloidade da luz. Então vemos que a distânia medida em B por A será sempre menor ou igual à distânia medida em A por A. Este resultado oinide om o obtido pela abordagem tradiional [6]. 5. Simultaneidade de eventos Consideremos agora a situação da Fig. 4 onde um observador no referenial A mede a distânia entre os eventos P e Q. alança o ponto t 4 /K ou seja t Q t4 K Kt + Kt t4 K + Kt. 5 Subtraindo a Eq. 5 da Eq. 4 obtemos t P t Q Kt + t 3 K K K t4 K + Kt t t 6 onde a última igualdade vem da simetria: t t t 4 t 3 de quando A emite os sinais e quando os reebe por reflexão dos mesmos nos eventos P e Q. Agora a distânia que A mede entre os eventos P e Q será exatamente x P x Q t t 7 pois t t é justamente a diferença de tempo entre a emissão do primeiro e do segundo sinal luminoso de maneira que ambos heguem ao mesmo tempo nos pontos Q e P respetivamente. Assim o primeiro feixe terá viajado uma distânia x Q x P a mais que o segundo. Substituimos a Eq. 7 na Eq. 6 obtendo t P t Q K xp x Q K γv x P x Q. 8 Desta forma vemos que a menos que os eventos P e Q sejam o mesmo evento estes não serão simultâneos no referenial B ao ontrário do que aontee no referenial A. Vemos assim que simultaneidade de eventos não é um oneito absoluto na teoria da relatividade espeial de Einstein As transformações de Lorentz Figura 4 - Medida dos eventos P e Q por refereniais distintos. Na figura estão indiados os tempos de aordo om o referenial A. Com relação ao referenial A estes eventos são simultâneos já um observador em B mede o seguinte tempo para o evento P t P Kt t 3 K Kt + t 3 K 4 Para o observador em B o tempo medido para o evento Q é o tempo iniial da ontagem Kt mais a metade do tempo que a luz leva para alançar e retornar do evento Q. O sinal parte de B no ponto Kt e 0 Para mais detalhes na abordagem tradiional veja a Ref. [6]. Consideraremos mais uma vez dois refereniais A e B desta vez medindo as oordenadas de um evento E om oordenadas t x no referenial A. Supondo que A envia um sinal para E no tempo t A t x/ e reebe sua reflexão no tempo t A t + x/ tal que o sinal alane E no tempo t A t. A situação envolvendo os dois refereniais pode ser desrita pela Fig. 5. Na Fig. 5 estão as oordenadas temporais para ada um dos refereniais onde as oordenadas de B estão denotadas por t e x. Supondo que B emite um sinal luminoso no mesmo instante que o sinal de A passa por ele a reflexão do sinal de B será reebida no mesmo instante que o sinal de A passa novamente por B.

6 De Conto et al. x Esrevendo K em função de β t x t + x K t x K K + x K K t. K β γ t βx t β x x βt β. 3 γ x βt. 4 Estas são as transformações de Lorentz. A dedução tradiional é enontrada na Ref. [6]. Figura 5 - O evento E dos pontos de vista dos refereniais A e B. A prinípio pode pareer estranho adotar as oordenadas t x / e t +x / para os tempos de emissão e reepção do sinal de B. Eles impliam que o tempo que o sinal leva para alançar o evento E partindo de B é o mesmo tempo que ele leva para ir de E até B. Como B está se aproximando do evento E poderíamos pensar que o tempo que o sinal leva para ir do evento E até B deveria ser menor. Contudo se analisarmos a situação do ponto de vista de B temos que a posição do evento E está se aproximando de B. Uma vez que o sinal atinge esta posição e é refletido tal posição em relação a B não é mais relevante já que a distânia que deve ser perorrida pelo sinal refletido é a distânia que separava B e E no instante da reflexão. A posterior aproximação da posição de E deixa de ser relevante para o sinal refletido. Da Fig. 5 podemos ver que t x t + x K t x 9 K t + x. 0 A Eq. 9 é análoga ao aso onde A emite um sinal para B onde relaionamos o tempo em que A emite o sinal om o tempo em que B o reebe de aordo om o que já vimos. Já a Eq. 0 é equivalente à emissão de um sinal de B para A no instante em que B reebe a reflexão do sinal que foi enviado a E. Isolando as oordenadas referentes a B 7. Apliações Duas grandezas relevantes na disussão de problemas em relatividade espeial são o momento e a energia. Já sabemos da meânia lássia que estas quantidades dependem da veloidade do sistema analisado. Isto sugere que podemos expressar estas quantidades em termos de fatores. Por exemplo se estamos analisando o movimento de uma partíula sempre podemos assoiar um fator a ela e onsequentemente sua energia e seu momento dependeriam deste fator. Sendo assim podemos agora onsiderá-las omo funções do fator do sistema. Analisaremos agora o aso de uma partíula em movimento. Isto pode ser representado utilizando a Fig. 3. O referenial A é o referenial de repouso de um observador situado na origem do sistema de oordenadas e o referenial B é o referenial de repouso da partíula. Como B tem fator K então T T K e p pk onde T e p são a energia inétia e o momento da partíula. Agora suponha que ao invés da partíula se afastar ela se aproxime do observador om fator K. Sendo assim temos que T T K e p pk. Como uma partíula se afastando om fator K é equivalente a uma partíula se aproximando om fator K pois trata-se apenas de uma inversão da direção da veloidade temos então p pk 5 K T T K. 6 K Sendo assim obteremos agora alguns resultados importantes da relatividade espeial. t t + x + K t x K K + K x t K K. 7.. O efeito Doppler Consideraremos novamente o aso em que A envia sinais luminosos para B em intervalos regulares onforme B se afasta de A. Desta vez os sinais possuirão um

7 Cálulo K: Uma abordagem alternativa para a relatividade espeial únio omprimento de onda λ nos asos anteriores isto não era relevante e o intervalo entre a emissão de ada sinal será o tempo neessário para a luz perorrer um omprimento de onda ou seja o período da onda. Como sempre o intervalo de tempo medido por B será t B Kt A. 7 Em termos da frequênia ν t B K ν A. 8 Esrevendo também o tempo em B em função da frequênia K ν B ν A ν B ν A K. 9 Esrevendo K em função da veloidade entre os refereniais β ν B + β ν A 30 que é a fórmula para o efeito Doppler relativístio. No aso em que os refereniais estejam se aproximando basta troar K por /K o que é equivalente a troar o sinal de β. A dedução ompleta deste efeito pode ser vista nas Refs. [6 8]. 7.. O momento relativístio Considere a olisão entre um fóton e um elétron no referenial de repouso do elétron que denotaremos por A. Figura 7 - Sistema após a olisão no referenial A. Neste aso o momento final total p F T do sistema é p F T p F f + p F e ν F h + p. 34 onde os índies subsritos F indiam os valores finais de ada termo. Para este aso o fator relaiona o referenial de repouso do elétron antes da olisão om seu referenial de repouso após a olisão. Pela onservação de momento temos ν I h ν F h + p p h ν I + ν F. 35 Consideremos agora um referenial B o referenial de repouso do elétron após a olisão. Esta situação é ilustrada na Fig. 8. Figura 6 - Sistema no referenial de repouso do elétron antes da olisão referenial A. As ondições iniiais do elétron para este referenial são p Ie 0 3 T Ie 0 3 onde esrevemos p Ie em ontraste om p que virá logo a seguir. O momento iniial total p IT do sistema é esrito omo p IT p If + p Ie ν Ih 33 onde p If é o momento iniial do fóton p Ie o momento iniial do elétron ν I é a frequênia iniial do fóton e h é a onstante de Plan. Após a olisão temos a situação desrita na Fig. 7. Figura 8 - Na parte superior temos o sistema antes da olisão e na parte inferior após a olisão. O retângulo interno representa o referenial A e o retângulo externo o referenial B. As figuras no retângulo interno representam o ponto de vista do referenial A. Como a veloidade do fóton é superior à veloidade de B em relação à A temos que antes da olisão o fóton está se aproximando de B e após a olisão ele está se

8 De Conto et al. afastando. Podemos esrever os momentos em relação ao referenial B da seguinte maneira: p IT p If + p Ie ν Ih + p 36 p F T p F f + p F e ν F h 37 onde utilizamos as relações do efeito Doppler relativístio para reesrever os momentos do fóton. Como no referenial A a veloidade do elétron era nula antes da olisão no referenial B ele possui uma veloidade que depende do inverso de. Já após a olisão sua veloidade no referenial B é nula pois estamos no seu referenial de repouso. Utilizando mais uma vez a onservação do momento ν F h p ν Ih + p h νi + ν F. 38 Contudo usando a Eq. 5 já que se trata apenas de uma inversão na direção da veloidade enontramos então que p h νi + ν F. 39 Usando a Eq. 35 podemos esrever h ν I + ν F h νi + ν F ν F ν I. 40 Consideraremos agora um referenial C se afastando de A tal que o fator de Bondi entre eles seja K. Neste referenial os momentos serão p IT ν IhK p F T ν F h K + p K 4 + p K. 4 No momento final do elétron o fator K representa a dependênia do momento em relação a veloidade do elétron em relação a C o que implia que temos que utilizar a omposição de veloidades lembrando que depende da veloidade do elétron om relação a A e K depende da veloidade de C om relação a A. Pela onservação do momento ν I hk + p K ν F h K + p K. 43 Utilizando as Eqs e 43 podemos esrever pk pk p ν IK + ν I K ν I + ν I K + K Se tomarmos o limite de no primeiro termo da Eq. 44 enontramos 0/0. Sendo assim podemos utilizar a regra de L Hôpital para enontrar pk pk lim p lim p KK p p KK p 45 onde p K india a derivada de p om relação a K. Tomando o mesmo limite para o último termo que nos leva a lim p KK p K + K + K + K 46 K + K p K p K + K. 47 Temos que p é apenas uma onstante om dimensão de momento. Agora podemos integrar a equação aima para enontrar pk K p K p K + K p K dk p pk p K K + K dk K. 48 K Para o momento na meânia lássia temos p mv mβ m 49 + que não satisfaz as relações da relatividade espeial mas nos mostra que há uma parte dependente da veloidade multipliada por uma onstante neste aso m. Como estamos tratando do aso o que é equivalente a veloidade tendendo a zero podemos onsiderar válida a meânia não relativístia. Podemos então supondo a relação da meânia lássia alular p. Assim p dp d dp lim lim d Substituindo a Eq. 5 na Eq. 48 pk p K m K 4m m m. 5 + K K mv γmv 5 β que é a mesma equação relativístia para o momento enontrada pela abordagem tradiional sendo v a veloidade da partíula. Veja também as Refs. [6] e [5].

9 Cálulo K: Uma abordagem alternativa para a relatividade espeial A energia inétia relativístia Vimos que na olisão do fóton om o elétron a variação de energia do fóton foi E hν F hν I 53 Como o elétron estava em repouso antes da olisão onluímos que E é a energia inétia do elétron. Usando as Eqs e 5 podemos esrever a energia inétia T do elétron omo T + m + p m m γ. 54 Esta é a mesma expressão obtida pela maneira usual [9] A energia total relativístia Consideremos uma olisão entre duas partíulas de mesma massa no entro de momento destas ou seja veloidades v e v de modo que após a olisão as partíulas se mantenham unidas em uma únia partíula de massa M. Neste aso podemos esrever os momentos omo p IT p + p 0 55 onde é o fator que relaiona o referenial de repouso de ada partíula om o referenial do entro de momento do sistema. Neste referenial após a olisão temos uma únia partíula parada ou seja p F T p Considerando agora um novo referenial S om fator K em relação ao referenial do entro de momento podemos reesrever os momentos finais e iniiais da seguinte maneira p IT K p K + p 57 p F T pk 58 que é o momento de uma partíula de massa M M m. Utilizando a equação relativístia do momento podemos reesrever as Eqs. 57 e 58 omo p IT m p F T M + K K K K Como os momentos iniiais e finais são idêntios podemos enontrar a relação M m + 6 Vemos que a massa da partíula formada depois da olisão depende das veloidades das partíulas iniiais e que é maior ou igual à soma das massas destas mesmas partíulas algo não verifiável na meânia lássia. Notamos também que a energia total quando apenas onsiderada a soma das energias inétias das partíulas não é onservada apesar de não onsiderarmos dissipações de energia. Sendo assim para mantermos a onservação de energia total onsideraremos que a energia total seja a energia inétia relativístia aresida de um termo α dependente das veloidades isto é α α por enquanto desonheido. Para ompreendermos este parâmetro faremos algumas onsiderações sobre ele. Sabemos que a energia deve independer do sentido do movimento da partíula ou seja E T E T. 6 Como E T T + α e T T Eq. 6 então α α. 63 Agora podemos determinar a energia total. A energia iniial é dada por K K E IT T K + α K + T + α m K + + α K + α e a energia final fia K + K + K m 64 K E F T T K + ᾱ K E F T m K + K + K + K M + ᾱk 65 onde na energia final já utilizamos a relação entre m e M também note a diferença entre α e ᾱ. Como estas energias são iguais vemos que M m ᾱk α K K α. 66 Para entendermos melhor o omportamento destas funções α e ᾱ onsideraremos o aso onde as partíulas estão paradas uma em relação à outra. Para isto basta tomarmos o limite da Eq. 66 para. lim M m lim ᾱk α K K α α K ᾱ K 67

10 De Conto et al. pois usando a Eq. 6 temos lim M m. 68 Vemos que ᾱ a função orrespondente à partíula formada após a olisão é sempre o dobro da função α orrespondente a ada uma das partíulas iniiais. Agora ao invés de onsiderarmos as partíulas paradas retornaremos ao referenial do entro de momento. Neste aso o limite a ser tomado é K lim M m lim K K α ᾱk α K K α + m α + m + 69 onde usamos as Eqs e 67. Pode-se verifiar que a Eq. 69 é a equação de onservação de energia para o referenial do entro de momento afinal partimos da equação de onservação de energia do referenial S e levamos este referenial ao referenial do entro de momento. A partir da Eq. 69 podemos onsiderar as seguintes possibilidades: α m + e α m. α m + e α m. Contudo ao onsiderarmos a primeira opção enontramos que E T T + α m 70 isto é obtemos uma energia total negativa o que é fisiamente inaeitável para o nosso aso. Considerando a segunda opção temos que E T T + α m +. 7 Agora temos uma energia total positiva aeitável. Ainda podemos observar que o que é α m te. 7 Esta quantidade depende apenas da massa da partíula independendo do seu movimento om relação ao seu referenial de repouso. Conluímos então que se trata da energia de repouso da partíula isto porque mesmo quando a energia inétia é nula este termo ainda permanee. Finalmente podemos esrever a energia total de uma partíula de massa m omo E T T + α m γ + m γm. 73 reuperando o resultado já onheido da relatividade restrita. O mesmo pode ser visto na Ref. [9]. 8. Conlusão Neste artigo utilizamos apenas os postulados da relatividade espeial e as relações entre as medidas de intervalos de tempo entre diferentes refereniais ineriais por meio da troa de sinais luminosos. Estas onsiderações levaram-nos ao fator K e onsequentemente aos mesmos resultados obtidos por Bondi Hermann Bondi. Além dos resultados mais básios omo dilatação temporal e ontração espaial tanto o momento relativístio quanto a energia total relativístia puderam ser deduzidos a partir de experimentos mentais. Apesar de termos deduzido estes resultados por meio do formalismo do álulo K mostramos suas relações om os resultados advindos da abordagem tradiional da relatividade restrita. Algumas vantagens do álulo K são a sua simpliidade matemátia e a maneira om que os oneitos físios se tornam explíitos failitando a ompreensão dos efeitos relativístios. Por estas vantagens areditamos que o álulo K pode ser utilizado para um primeiro ontato om a teoria da relatividade. Além do mais este método não se restringe apenas ao entendimento da teoria possuindo também apliações [0]. Agradeimentos Os autores agradeem ao Prof. Dr. Bruto Max Pimentel Esobar por suas sugestões e à CAPES pelo apoio finaneiro. Referênias [] J. Stahel O Ano Mirauloso de Einstein: Cino Artigos que Mudaram a Fae da Físia Editora UFRJ Rio de Janeiro 005 a ed. [] A. Einstein H.A. Lorentz e H. Minowsi Textos Fundamentais da Físia Moderna Fundação Calouste Gulbenian Lisboa 97 v.. [3] H. Bondi Relatividade e Bom Senso: Um Novo Enfoque das Ideias de Einstein Herder São Paulo 97 a ed. [4] A.T. Wilson Ameria Journal of Physis [5] K.D. MAhado Teoria do Eletromagnetismo Editora UEPG Ponta Grossa 00 v.. [6] H.M. Nussenzveig Curso de Físia Básia Editora Bluher São Paulo 998 a ed. v. 4. [7] C.E. Dolby and S.F. Gull Ameria Journal of Physis [8] J.D. Jason Classial Eletrodynamis John Wiley & Sons In. Hoboen a ed. [9] S. Vieira A. Barros I. Araújo e J.C.T. Oliveira Revista Brasileira de Ensino de Físia [0] A. Dasgupta European Journal of Physis