NOTAS DE AULA DO CURSO DE EE300

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1 NOTAS DE AULA DO CURSO DE EE300 Romis Attux, Cristiano Cruz e Diogo Soriano FEEC/UNICAMP, primeiro semestre de 01

2 Capítulo 1 Teoria da Relatividade Espeial 1.1 Cinemátia Clássia: a Transformação de Galileu Paulo estava no km 35 da rodovia às 1:45 de ontem. Carlos naseu em São Paulo no dia 30 de dezembro. Enontre-me no afé da esquina às 0 horas. Fazemos uso diariamente de expressões omo essas para araterizar determinados aonteimentos (o nasimento de Carlos, um enontro, et.). Usualmente, podemos situar perfeitamente um evento no espaço e no tempo indiando sua loalização e o instante de sua oorrênia. Em nosso universo, areditamos ser possível araterizar qualquer evento através de três oordenadas espaiais (e.g. latitude, longitude e altitude) e uma temporal (o momento em que ele tem lugar). Dotado de tais grandezas, um observador O pode registrar eventos em seu sistema de referênia, que denominaremos O(x,y,z,t). Em onsonânia om a nomenlatura tradiional, as oordenadas x, y e z dizem respeito ao espaço, enquanto a oordenada t expressa a dependênia temporal. Destarte, do ponto de vista de O, eventos são ompletamente araterizados por um onjunto de quatro números. Podemos então indagar: será o sistema que aabamos de onstruir o únio imaginável? A resposta deve ser negativa, omo, aliás, a nossa vivênia bem atesta: seria possível ver Carlos naser ao lado de sua mãe, na sala de parto, por uma janela, ao passar por um orredor ou deitado numa maa. Movidos pela uriosidade ientífia, indagamos: é viável estabeleer alguma relação entre todos esses sistemas de oordenadas? Tomemos dois sistemas, O(x,y,z,t) e O (x,y,z,t ). Para que expliitemos algum tipo de onexão entre eles, faz-se neessário onheer omo é o movimento relativo entre O e O. Caso o movimento seja uniforme, ou seja, O se mova om veloidade onstante em relação a O (o inverso também é válido), a Físia Clássia tem uma resposta muito intuitiva para nossos anseios. Tal resposta tem a forma da transformação de Galileu. Suponhamos que O se mova om veloidade u em relação a O, e que essa veloidade tenha a direção do eixo x. Consideremos ainda que os eixos x, y e z sejam paralelos a x, y e z, respetivamente, e que, no instante t = t = 0, as duas origens oinidam. Sob a égide de tais onsiderações, a transformação de Galileu pode ser expressa omo: x = x ut (1.1) y = y z = z t = t Note o leitor que a primeira expressão é estudada nos ursos de inemátia quando se lida om o movimento uniforme. As demais oordenadas espaiais não se alteram om a transformação, uma vez que a veloidade u tem a direção do eixo x. A oordenada temporal também não se altera, o que meree onsideração. Nesse fato, perebemos que a Físia Clássia suporta a idéia de tempo absoluto, ou seja, de que o movimento relativo não altera a relação entre intervalos temporais medidos em ada um dos refereniais.

3 Podemos utilizar (1.1) para obter uma relação entre as veloidades em ada referenial. Como t = t, podemos esrever: dt = dt (1.) Se difereniarmos as três primeiras equações de (1.1) om respeito ao tempo (não nos esqueçamos de (1.) ), hegaremos a: v x = v x u (1.3) v y = v y v z = v z A primeira equação de (1.3) é uma expressão da lássia lei da adição das veloidades. EXEMPLO 1.1 Um observador O está parado numa estação. Um trem proedente de uma idade distante passa por ele, e então O reonhee seu irmão, que está sentado numa poltrona do trem. No momento em que vê seu irmão, este último omeça a orrer no mesmo sentido do trem, rumo a uma porta, om uma veloidade de 6 m/s em relação ao vagão. O trem tem uma veloidade de 15 m/s em relação a O. Qual será a veloidade do irmão de O em relação à estação (e ao próprio O)? Suporemos que o trem se move na direção e no sentido do eixo x. Podemos tomar omo nossos refereniais O e o trem, que passa a ser, portanto, O. Sabemos que a veloidade relativa entre eles é de 15 m/s. Este é, então, o valor de u. Temos a veloidade do irmão om relação ao vagão, que é: v x = 6 m/s Conseqüentemente, podemos utilizar a primeira equação de (1.3) para obter o que desejamos, a veloidade do irmão em relação à estação, ou seja, v x : v x = v x + u = = 1 m/s Esse exemplo, que ondiz om a nossa experiênia otidiana (e om o hamado bom senso ) é típio da apliação da lei da adição das veloidades.

4 Figura 1.1: Ilustração do exemplo 1.1 A meânia newtoniana está em harmonia om a transformação de Galileu. De fato, as leis de Newton são invariantes om respeito a essa transformação, o que pode ser perebido se notarmos, por exemplo, que a aeleração em O e O é a mesma (o leitor pode verifiar tal fato se repetir o proedimento que nos permitiu obter a transformação de veloidades). O que isso quer dizer? Quer dizer que a forma dessas leis físias é idêntia em dois sistemas de referênia que estejam em movimento relativo uniforme. De fato, tal é justamente o prinípio da relatividade newtoniano: as leis da meânia são as mesmas para todos refereniais ineriais. Trata-se de uma lei muito interessante, pois, se as leis físias fossem diferentes para dois refereniais em movimento uniforme, poderíamos, eventualmente, elevar um deles à ategoria de referenial privilegiado, o que nos onduziria à idéia de movimento absoluto. No entanto, de aordo om o prinípio aima exposto, não há experiênia baseada na meânia tradiional que nos permita determinar se nos enontramos em movimento ou em repouso. Uma onseqüênia dessa assertiva é a onheida onstatação de que, idealmente, estar de olhos vendados num trem om veloidade uniforme em relação ao solo proporiona as mesmas sensações que estar de pé sobre o solo. Seria, no entanto, muito natural perguntar: todas as leis físias são invariantes om relação à transformação de Galileu? A resposta é não, e tal negativa nos onduzirá a um novo prinípio da relatividade, proposto por Einstein em Interlúdio: o Eletromagnetismo e a Transformação de Galileu James Clerk Maxwell tem seu nome assoiado a uma teoria físia de elegânia ativante: a teoria eletromagnétia. Seria indubitavelmente apropriado tomá-la omo obaia de nossa investigação sobre o problema de invariânia, que aabamos de disutir. Na verdade, omo já sabiam os físios no fim do séulo XIX, as leis do eletromagnetismo não são invariantes à transformação de Galileu. Essa transformação engendra formas distintas das equações de Maxwell para refereniais distintos, mesmo que eles estejam em movimento relativo uniforme. De aordo om o que disutimos na seção anterior, disso deorreria a onstatação da existênia de um referenial privilegiado, no qual as leis do eletromagnetismo teriam sua forma, digamos, mais simples [Ohanian, 1995]. Eis que fomos onduzidos a uma absolutização do movimento, a qual está intimamente ligada a uma

5 entidade que permeou o imaginário da maioria dos físios até o omeço do séulo XX: o éter. 1. O Éter e a Experiênia de Mihelson-Morley Ondas sonoras não se propagam no váuo!. Esta frase já foi proferida por muitos jovens (e rítios) após (ou durante) a exibição de filmes de fição ientífia. Não questionaremos esse fato...a Físia india, impassível, que o som preisa de um meio material para que possa se propagar. Quando Maxwell predisse a existênia de ondas eletromagnétias, existênia, aliás, suportada pelo trabalho experimental de Heinrih Hertz, era parte do senso omum que tais ondas também deveriam neessitar de um meio de propagação. A esse meio foi dado o nome de éter. Durante o séulo XIX, o éter povoou a mente dos físios om diversas onjeturas. Como seria o éter? Qual seria a sua omposição? Seria intangível? Essas foram algumas das questões levantadas sem demora. No entanto, obter respostas onlusivas pareia uma tarefa nada trivial. Alguns atribuíam a tal meio, por exemplo, a idéia de repouso absoluto, o que nos faz pereber a assoiação direta entre o éter e o referenial privilegiado que disutimos na seção 1.1.1, no qual as leis do eletromagnetismo têm sua forma mais simples e a luz se propaga om veloidade. Em outros refereniais ineriais, a veloidade da luz seria obtida pela lei da adição das veloidades, o que não seria problema, pois, no mundo lássio, as equações de Maxwell não preisavam ser invariantes O Vento de Éter Num dia em que o ar se enontra em perfeita almaria, imagine que voê está na praia. Pense agora que voê omeça a orrer e sinta o vento toar sua fae omo se soprasse uma agradável brisa. Não se esqueça, no entanto, que o dia é de almaria; porém, o movimento através do ar ausou uma sensação equivalente a de um vento, o que não se afigura nada espantoso. Novamente, é uma questão de movimento relativo! Da mesma forma que o seu movimento na praia provoou o surgimento de um vento, o movimento da Terra pelo éter deveria ausar a existênia de um vento de éter, possivelmente detetável. Em tese, esse vento deveria alterar a veloidade da luz se o movimento de translação de nosso planeta se desse através de um éter estátio (omo muitos imaginavam). Pensemos um pouo sobre isso. Assumamos que o vetor v represente a veloidade do vento em relação a um laboratório loalizado em algum lugar da fae da Terra. Imaginemos agora que um raio de luz fosse disparado na mesma direção e sentido de v. Sob a ótia da Físia Clássia, a veloidade do raio, do ponto de vista de um ientista parado no laboratório, seria vlab:

6 Perebe-se que vlab = vlab = + v. Assim, o ientista mediria, para o raio, uma veloidade + v. Se o raio se movesse em sentido ontrário ao do vento, teríamos: sendo vlab = v. Neste aso, a veloidade medida seria menor. Se o raio se movesse em uma direção ortogonal à do vento, teríamos o seguinte enário: em que vlab = v. Esperava-se que a veloidade desse vento fosse igual à veloidade de translação da Terra em torno do Sol, que vale era de 30 km/s. Como v <<, exigia-se um aparato muito preiso para detetar qualquer efeito. Um aparato desse tipo foi onstruído no final do séulo XIX, omo veremos a seguir. 1.. As experiênias Albert Abraham Mihelson teve uma arreira marada por importantes ontribuições ao estudo da luz, as quais lhe renderam o Prêmio Nobel de Físia de 1907 (o primeiro onedido a um ientista estadunidense). Uma de suas espeialidades era medir a veloidade da luz, o que é de grande interesse prátio. No final do séulo XIX, ele se dediou à busa de evidênias experimentais da existênia do vento de éter. Para tanto, onebeu e onstruiu o hamado interferômetro de Mihelson ujo esquema simplifiado apresentamos na Fig. 1. [Ohanian, 1995, Krane, 1983].

7 Figura 1. Esquema Simplifiado do Aparato Um feixe de luz monoromátia 0 atinge um espelho semi-transparente (EST). Como o próprio nome desse dispositivo india, uma parte do feixe atravessa o espelho e forma o feixe 1, enquanto a outra parte é refletida e forma o feixe. Os feixes 1 e são refletidos, respetivamente, pelos espelhos 1 e (E1 e E), e voltam ao EST. De lá, a luz deles proveniente é direionada para um detetor de franjas de interferênia D. Para melhor entendermos a razão de ser dessa refinada montagem, realizemos uma breve análise matemátia. Entre a ida e a volta de 1, transorre um tempo t 1, expresso por: t 1 L L L = + = (1.4) v v v Para obter t 1, usamos o raioínio desenvolvido na seção anterior. Para, temos, para ida e volta: t L L L( v) + L( + v) L = + = = (1.5) + v v v v A diferença os estes dois intervalos de tempo é: L 1 1 t = t t1 =. (1.6) v v Se o omprimento de onda da luz emitida é λ, t se reflete numa diferença de fase φ entre os feixes (quando eles atingem D) de: π φ = t (1.7) λ

8 Tal diferença de fase produz um padrão de interferênia passível de deteção, que é, por sua vez, a have para a determinação da veloidade v. Eis, em linhas gerais, o plano de Mihelson. Para sua grande surpresa, ele não detetou nenhum efeito onlusivo do vento de éter sobre a veloidade da luz. Isso o levou a uma nova empreitada, dessa vez em onjunto om o químio Edward Morley, e om um aparato ainda mais preiso. Porém, uma vez mais não foi detetada nenhuma orrente de éter, para espanto dos dois ientistas e de Rayleigh, Kelvin, Lorentz e outros [Pais, 1995]. Realmente, o resultado negativo punha em xeque a onepção orrente aera do eletromagnetismo, o que fez surgir um grande desonforto e algumas hipóteses interessantes. Mihelson e outros ontinuaram repetindo a experiênia por algumas déadas, sem obter, jamais, resultados onlusivos a favor da existênia do vento de éter. Aliás, um fato muito interessante oorreu em 191, quando Dayton Miller afirmou ter obtido um valor não-nulo para a veloidade da orrente de éter. O fato, desneessário dizer, ausou omoção, pois a relatividade já havia sido formulada (veremos a relevânia disto a seguir) e Einstein era uma figura muito popular. Quando soube dos resultados de Miller, o alemão proferiu uma frase élebre: O Senhor é sutil, mas não maliioso, pois tinha uma profunda onvição da inexistênia do éter e da orreção dos resultados de Mihelson e Morley [Pais, 1995]. 1.3 Os Postulados da Relatividade Um dos artigos publiados por Einstein em 1905 pode ser onsiderado a pedra angular da teoria da relatividade. Nesse trabalho, intitulado Da Eletrodinâmia dos Corpos em Movimento, enontramos os dois postulados fundamentais, que são os pilares de tal edifíio teório. Ambos são muito simples, e esperamos que sirvam para desmistifiar a tão falada omplexidade oneitual da relatividade: 1 Todas as leis da Físia são idêntias em todos refereniais ineriais. A veloidade da luz no váuo é a mesma em todos os refereniais ineriais. O primeiro postulado é o prinípio da relatividade levado às últimas onseqüênias: todas (os grifos são nossos) as leis da Físia são idêntias em todos refereniais ineriais. Não podemos ontar om os fenômenos eletromagnétios ou de qualquer outra natureza para nos dizer quem está, em termos absolutos, em movimento uniforme ou repouso. Tratase da prolamação de igualdade entre refereniais ineriais: não há privilégios de nenhuma espéie! Essa era uma rença profunda de Einstein, uma onvição que permeia toda a sua formulação teória. Ela deverá também estar em nossas mentes quando analisarmos a relatividade. O segundo postulado afirma que a veloidade da luz no váuo é a mesma em todos refereniais ineriais. Trata-se de uma ondição relevante, pois, se ela não fosse obedeida, o eletromagnetismo não se enaixaria no ontexto do primeiro postulado. Os dois postulados, portanto, estão interligados. A hipótese levantada aera da veloidade da luz, de aparênia inoente, ontém uma drástia negação da inemátia lássia. Um exemplo pode indiar a razão.

9 EXEMPLO 1. Suponha que um astronauta A está em repouso relativamente a uma estação espaial. Ele vê duas naves se aproximarem om veloidade 0.5, uma de ada lado, em rota de olisão. De repente, a nave que vem da esquerda (NE) dispara um faho de luz na direção da outra nave (ND) para avisar o piloto do riso iminente. Qual será a veloidade desse faho relativamente a ada nave e ao astronauta A? A lei da adição das veloidades fornee as seguintes respostas: V raione = pois o emissor está aoplado à nave, estando em repouso em relação a esta. Do ponto de vista do astronauta, a veloidade do faho será: V raioa = = 1.5 Do ponto de vista da outra nave, a veloidade será: V raiond = V NdrelativaNE + = + = Os resultados obtidos pareem bastante razoáveis. Porém, o segundo postulado afirma que, do ponto de vista de todos, a veloidade do raio será! Assim, teríamos: V raioa = V raione = V raiond = Isso já mostra que a transformação de Galileu foi irremediavelmente abandonada. Trata-se, ertamente, de um postulado espantoso a priori, pois a nossa intuição paree estar de aordo om a inemátia lássia. No entanto, nossa intuição foi formada a partir da observação de fenômenos que envolvem veloidades muito inferiores à da luz, o que impede a onfrontação entre as duas inemátias apenas pela vivênia otidiana. A relatividade, por si mesma, já foi exposta nesta seção. Passaremos agora à análise de algumas onlusões deorrentes dos dois postulados que aabamos de disutir.

10 1.4 A Dilatação do Tempo Uma onseqüênia muito importante dos dois postulados é a abolição da idéia de tempo absoluto. Como vimos na equação (1.1), a Cinemátia Clássia prega que a passagem do tempo se dá no mesmo ritmo em dois refereniais em movimento relativo uniforme. Veremos que, do ponto de vista relativístio, isso não é verdade. Um exemplo [Krane, 1983] pode nos ajudar a entender melhor o que oorre. EXEMPLO 1.3 Dois observadores, O e O, preseniam um mesmo fenômeno: o disparo, por O, de um faho de luz. Esse faho é refletido por um espelho, e volta ao anhão emissor. Estudaremos a oorrênia a partir dos pontos de vista de ambos os refereniais, os quais estão interligados pelo fato de que O se move om veloidade u em relação a O. A direção dessa veloidade é ortogonal àquela de propagação do raio. Vejamos, primeiramente, omo a oisa se dá na ótia de O. A Fig. 1.3 mostra um esquema. Figura 1.3 Ponto de Vista de O O intervalo de tempo deorrido entre a emissão e a volta é: L t = (1.8) Passemos agora ao ponto de vista de O. O esquema está na Fig. 1.4.

11 Figura 1.4 Ponto de Vista de O A distânia total perorrida pelo raio é, neste aso: u t x = L + (1.9) sendo t o tempo gasto entre a ida e a volta do raio. Como propõe o segundo postulado, a veloidade da luz, do ponto de vista de O, também deve ser. Assim, podemos esrever, a partir de (1.9): u t L + x = = (1.10) t t Reesrevendo (1.8), obtemos: t L = (1.11) Substituindo (1.11) em (1.10), hegamos a: t u t + = (1.1) t Após algumas manipulações, (1.1) nos leva a: t = t (1.13) u

12 Essa é a expressão matemátia da dilatação do tempo um dos mais élebres efeitos relativístios. É possível mostrar que t t para u <, o que justifia o emprego do termo dilatação. A equação (1.13) é um símbolo de ruptura om o oneito lássio de tempo. Dois observadores em movimento relativo irão disordar quanto à medida do tempo de duração de um fenômeno qualquer. Do ponto de vista de O, os relógios de O serão mais lentos que os seus, e, do ponto de vista de O, os relógios de O é que serão mais lentos. E ambos terão razão, pois lidamos om o prinípio da relatividade. 1.5 A Contração do Comprimento Uma segunda onsequênia dos dois postulados é que as medidas de omprimento também são relativas. Isso signifia que, segundo a teoria da relatividade, dois observadores em movimento relativo uniforme poderão obter medidas disrepantes para um omprimento qualquer. O que isso quer dizer? Imagine que voê esteja num trem em movimento a segurar uma régua de 30m numa direção paralela à dos trilhos. Seu irmão, que o vê passar a partir de um bano da estação, obterá uma medida de omprimento para a régua menor que 30m. Da mesma forma, se o seu irmão estivesse segurando a régua, seria voê quem iria medir um omprimento menor para a régua. Vale frisar que a ontração se dá apenas na direção do movimento, ou seja, não há disrepânia no que se refere a medidas nas outras direções ortogonais. Um exemplo [Krane, 1983] similar ao da seção anterior pode nos ajudar a ver as oisas de forma mais lara. EXEMPLO 1.4 Novamente, dois observadores, O e O, estudam a emissão de um raio por O e sua posterior reflexão. O move-se om veloidade u em relação a O, agora numa direção paralela à do raio de luz. Analisemos, em primeiro lugar, o ponto de vista de O. A Fig. 1.5 traz um esquema da situação.

13 Podemos esrever: Figura 1.5 Ponto de Vista de O L = t (1.14) sendo t o intervalo de tempo deorrido entre a ida e a volta do raio. Passemos agora ao outro observador. Na Fig. 1.6, está representado o ponto de vista de O no instante do disparo. Figura 1.6 Ponto de Vista de O no Instante do Disparo Vejamos, primeiramente, o que oorre até a reflexão. A Fig. 1.7 ilustra a situação.

14 Figura 1.7 Esquema até a Reflexão A distânia perorrida pelo raio, x 1, é: x 1 = L u. t 1 (1.15) sendo t 1 o intervalo de tempo deorrido entre a emissão e a reflexão. De (1.15) obtemos: L t1 = (1.16) + u Passemos agora à investigação da volta do raio. A Fig. 1.8 traz um esquema. Figura 1.8 Esquema da Reflexão até a Volta Neste aso, a distânia perorrida pelo raio de luz, da reflexão até a volta, é: x = L + u. t (1.17) Manipulando (1.17), obtemos:

15 L t = (1.18) u Sendo t o tempo total do ponto de vista de O, podemos esrever: L L L t = t1 + t = + = (1.19) + u u Substituindo a fórmula da dilatação do tempo, (1.13), que relaiona t e t em (1.19), obtemos: u u L = L (1.0) Da expressão (1.0) deorre que L L, para u <. Daí a denominação dada ao fenômeno: ontração do omprimento. Observando as equações (1.13) e (1.0), perebemos a existênia de um fator omum às duas. Tal fator, 1 γ = (1.1) u reebe o nome de fator de Lorentz, em homenagem a Hendrik Lorentz, físio holandês que foi um dos preursores da relatividade. Aliás, a ontração do omprimento é também denominada ontração de Lorentz-FitzGerald em homenagem ao já menionado físio e ao físio irlandês George FitzGerald. O motivo da homenagem é que ambos hegaram a (1.0) antes de Einstein, embora numa perspetiva oneitual distinta. 1.6 O Efeito Doppler Quando passa por nós uma ambulânia om a sirene ligada, experimentamos sensações auditivas distintas durante sua aproximação e seu afastamento. Isso oorre graças a um efeito físio, o efeito Doppler, ujo nome é uma homenagem a Christian Doppler, ientista austríao que primeiro o desreveu. Analisemos o tratamento dado ao efeito Doppler no ontexto de ondas sonoras. Seja S uma fonte que emite uma onda sonora de frequênia f e O um observador que mede, para a mesma onda, uma frequênia f. A teoria lássia fornee as seguintes relações: f v + v o = f (1.) v v s

16 aso fonte e observador estejam se aproximando, e f v v o = f (1.3) v + v s aso fonte e observador estejam se afastando. v o e v s são as veloidades de fonte e observador em relação ao meio de propagação (e.g. o ar). v é a veloidade de propagação da onda no meio. Classiamente, quando se estudava o efeito em ondas luminosas, eram usadas as mesmas fórmulas, sendo modifiados apenas os valores das grandezas envolvidas. No entanto, do ponto de vista da relatividade, tal interâmbio não é satisfatório. Como vimos anteriormente, o éter não tinha nenhum papel no programa de Einstein. Assim, v o e v s seriam veloidades medidas em relação a que meio? Sem um meio, poderíamos nos sentir tentados a dizer em relação a um referenial privilegiado qualquer (e.g. o éter), talvez um em repouso om relação às estrelas fixas. Isso traria de volta a noção de movimento absoluto, que não ondiz om o espírito da teoria. É neessário obter uma fórmula que leve em onta apenas o movimento relativo entre fonte e observador. Que resposta têm os dois postulados? Através da transformação de Lorentz, que estudaremos no próximo apítulo, é possível mostrar que uma onda eletromagnétia de freqüênia f tem uma freqüênia u 1+ f = f (1.4) u do ponto de vista de um observador que se aproxima da fonte de luz om veloidade u. Caso observador e fonte estejam se afastando, basta troar u por u na equação aima. A expressão (1.4) é perfeitamente ondizente om os dois postulados, om o espírito da relatividade. Vale menionar que Einstein obteve uma fórmula mais geral que (1.4), a qual previa um desvio Doppler mesmo se a direção de propagação da onda não fosse a mesma da veloidade u. Assim, a relatividade levou à desoberta do efeito Doppler transverso [Pais, 1995]. 1.7 A Transformação de Lorentz Conforme disutimos, a teoria da relatividade ontraria o espírito da transformação de Galileu. É, portanto, de apital importânia obter uma transformação que seja oerente om os dois postulados. Na realidade, quando Einstein esreveu o seu élebre primeiro artigo sobre a relatividade, essa transformação já havia sido obtida por mais de um ientista, embora em ontextos distintos [Pais, 1995]. Porém, no trabalho de 1905, Einstein hega à transformação a partir dos dois postulados, o que deu uma dimensão profundamente nova ao onjunto de equações que expomos agora:

17 x ut x = u y = y (1.5) z = z ux t t = u A obtenção de (1.5) parte de hipóteses similares às disutidas quando expusemos a transformação de Galileu (1.1), ou seja: que u é paralelo ao eixo x, que os eixos são paralelos entre si, e que as origens oinidem no instante iniial. Imediatamente, perebemos a presença do fator de Lorentz na primeira expressão e na última. É possível notar ainda que a oordenada temporal não mais é preservada, o que, tendo em vista os efeitos disutidos nas últimas seções, não hega a surpreender. No entanto, nota-se que t depende de t e de x, o que revela uma íntima onexão entre tempo e espaço. Hermann Minkowski explorou a fundo tal onexão e estabeleeu um formalismo matemátio baseado no oneito de espaço-tempo, que depois foi de grande valia para o próprio Einstein durante as suas pesquisas sobre relatividade geral. Por fim, frisamos que, onforme é esperado, as leis do eletromagnetismo são invariantes om relação à transformação de Lorentz, ao ontrário do que oorria om a transformação de Galileu. A partir de (1.5), e tendo em vista que dt dt, obtemos a transformação de veloidades: v x vx u = vx.u v y u = v y (1.6) vxu v z = v z u v xu Conforme também era esperado, a lei lássia de adição de veloidades não é mais válida. Também hama a atenção o fato de as veloidades v y e v z dependerem de v x, o que não oorria no aso lássio. Matematiamente, isto deorre da expressão de dt. Intuitivamente, podemos pensar em todos estes fatores omo meanismos para

18 transformar veloidades no enário delineado pelos postulados, no qual a veloidade da luz é a mesma em todos os refereniais. 1.8 A Relatividade da Simultaneidade Temos, de fato, intuição da simultaneidade de dois eventos? Dois eventos simultâneos para um observador são simultâneos do ponto de vista de todos observadores? São perguntas de grande relevânia, que põem em xeque nosso senso omum. Podemos pensar: ora, se duas oisas aonteem ao mesmo tempo, não há o que disutir, elas serão simultâneas também para os demais observadores. Porém, a relatividade tem uma resposta diferente: a simultaneidade de dois eventos não é absoluta. Mais uma vez, lançaremos mão de um exemplo para eslareer essa disussão. EXEMPLO 1.6 Imagine que voê deseja sinronizar dois relógios, ou seja, fazer om que eles omeem a operar no mesmo instante. Para realizar tal tarefa, voê os oloa a uma mesma distânia de uma fonte luminosa. Assim, quando a fonte for ativada, a luz atingirá os relógios no mesmo momento e dará iníio ao trabalho de ambos. Suponha que um ientista O, que se move om veloidade u x em relação ao aparato, observe o mesmo fenômeno. A Fig traz um esquema da situação [Krane, 1983]. Do ponto de vista de O, temos: Figura 1.10 x x t 1 1 = 0 = L = t = L (1.7)

19 sendo x 1 a posição do primeiro relógio, x a posição do segundo, t 1 o instante de tempo em que o raio atinge o primeiro relógio e t o instante em que o raio atinge o segundo. O instante t = 0 é o momento em que a luz deixa a fonte. Para que onheçamos o ponto de vista de O, apliaremos a transformação de Lorentz: t 1 u.x1 L u.0 t1 L 1 = = = (1.8) u u u t Tais equações nos onduzem a: u.x L ul t = = (1.9) u u ul t = t 1 t = 0 u (1.30) Isso nos mostra que os dois eventos não serão simultâneos do ponto de vista de O. De fato, t < t 1, o que india que o relógio omeçará a funionar mais edo desse ponto de vista, não havendo, portanto, sinronismo. A negação da simultaneidade absoluta provoa também uma importante mudança de paradigma em relação à Físia Clássia. Podemos atribuir a validade de (1.30) ao termo espaial presente na transformação t (1.5), o que india que a relatividade da simultaneidade se liga intimamente à onepção de espaço-tempo. Convém frisar que dois eventos om a mesma posição são sempre simultâneos do ponto de vista de todos refereniais. Para onluir a seção, apresentamos um treho do livro O Valor da Ciênia, de Henri Poinaré [Poinaré, 1995], que belamente anteipou onepções relativístias sobre o tempo: Não temos intuição direta da simultaneidade, nem a da igualdade entre duas durações. Se remos ter esta intuição, é uma ilusão.

20 1.9 O Paradoxo dos Gêmeos Um dos mais élebres experimentos imaginários da Físia Moderna é o paradoxo dos gêmeos. Convém que analisemos brevemente tal onstrução mental. Dois gêmeos, João e Joana, estão sobre a Terra. João resolve partir, num foguete, para uma viagem. Ao hegar, viajando om uma veloidade próxima à da luz, a um ponto distante do espaço, ele resolve voltar. Retorna, então, a nosso planeta. Ao hegar, perebe om grande surpresa que sua irmã já é avó, enquanto ele ainda é um adolesente. De fato, à primeira vista isso não nos ausa surpresa, pois vimos que a passagem do tempo é relativa. Porém, onforme a relatividade india, não há refereniais ineriais privilegiados, o que leva à ontradição: omo um dos irmãos é mais velho? Ora, se João está em movimento om relação a Joana, Joana também está em movimento om respeito a João. Conseqüentemente, ambos deveriam ter o direito de se onsiderarem mais jovens e mais velhos: surge um paradoxo. A have para eliminar tal impasse é atentar para o fato de que apenas um dos gêmeos (João) sofre aeleração (para retornar), o que torna seu referenial difereniado. Isso gera uma assimetria que, de erta maneira, soluiona o paradoxo. Um experimento baseado no transporte de relógios de altíssima preisão (que fazem o papel dos gêmeos) em aviões levou a resultados favoráveis a essa interpretação (e, portanto, à relatividade) [Halliday e Resnik, 1994] Dinâmia Relativístia: Massa e Momento Linear Até agora, vínhamos estudando as onseqüênias dos dois postulados que se relaionam mais diretamente à inemátia. Entretanto, omo veremos, a proposta relativístia onduz também a mudanças profundas na onepção da dinâmia. Dentre os vários prinípios físios existentes, as leis de onservação oupam um lugar de destaque. É difíil imaginar um mundo no qual energia ou massa seja riada arbitrariamente, ou em que o momento linear de um onjunto de partíulas seja modifiado num sistema fehado. Considera-se, portanto, de grande interesse analisar tais prinípios à luz da relatividade. Uma primeira obaia pode ser a lei da onservação do momento linear. Essa lei, em termos simples, afirma que o momento linear total de um sistema no qual não há influênia de forças externas se onserva. Do ponto de vista do prinípio da relatividade, dado que essa lei se aplia a um sistema qualquer, é fundamental que ela ontinue sendo válida para todos observadores em movimento uniforme relativamente ao sistema em questão. A meânia lássia relaiona observadores em movimento uniforme através da transformação de Galileu, e propõe a seguinte expressão para o momento linear p de uma partíula: p = mv (1.31) sendo v a veloidade da partíula em um referenial O. Pode-se verifiar que a expressão (1.31) onduz à esperada onlusão de que, aso a onservação do momento valha para um observador O qualquer, ela valerá para todos demais observadores em movimento uniforme em relação a O, desde que a relação entre observadores seja a expressa pela transformação de Galileu. Em outras palavras, isso

21 signifia que o prinípio lássio da relatividade é válido para o paote equação (1.31)/transformação de Galileu. No entanto, sabemos que, do ponto de vista da relatividade, a transformação de Galileu não é adequada: é a transformação de Lorentz que define a relação entre observadores distintos de uma maneira oerente om os postulados fundamentais. Porém, será que essa transformação forma, em onjunto om a equação (1.31), um paote oerente om o prinípio da relatividade de Einstein? A equação (1.31), tão intimamente ligada ao enário lássio, mantém sua solidez no ontexto relativístio? Passemos à investigação. Seja a seguinte olisão, que é vista por um observador O da maneira exibida na Fig Duas partíulas, maradas antes da olisão om os rótulos 1 e, hoam-se e permaneem juntas em repouso. Suas massas são todas iguais a m [Krane, 1983]. Figura 1.11 Passemos a uma análise lássia desta olisão. Vejamos, em primeiro lugar, o ponto de vista de O. Calulemos o momento linear total antes da olisão: Agora, o momento linear total depois da olisão: p antes = (mv mv).a x = 0.a x (1.3) p depois = (m)0a x = 0.a x (1.33) Com isso, onluímos que o momento foi onservado, o que, aliás, não hega a surpreender. Tentemos agora analisar omo um observador O, om veloidade u (na

22 direção x) em relação a O, vê o fenômeno. Para que possamos obter as veloidades no novo referenial, utilizaremos a transformação de Galileu, expressa na equação (1.3). Calulemos o momento após a olisão: p antes = [m(v-u) + m(-v-u)]a x = (-mu)a x (1.34) p depois = (m)(0-u)a x = (-mu)a x (1.35) Vemos que o momento, mais uma vez, onservou-se. Não nos esqueçamos, entretanto, que nosso objetivo é busar um ponto de vista relativístio, o que nos proíbe o uso da lei lássia de adição de veloidades. Isso signifia que é preiso transformar as veloidades através das equações de Lorentz. Vejamos qual será o ponto de vista de O : v u v u p antes = m + m a x (1.36) vu vu 1+ p depois 0 v = m a x = mva x (1.37) 0v Perebemos que o momento linear não se onserva. A onlusão é que a expressão lássia do momento é inapaz de engendrar um enário em que a lei de onservação seja válida para todos os refereniais ineriais. Para que nos mantenhamos fiéis às idéias mais esseniais do programa relativístio, faz-se neessário busar uma nova definição para o momento linear. O que seria razoável esperar, num primeiro momento, da expressão que busamos? Para veloidades muito menores que a da luz, é razoável alimentar a expetativa de que a fórmula relativístia forneça valores próximos aos obtidos através de sua ontraparte lássia. Em partiular, é líito imaginar que, para uma veloidade nula, o momento linear seja também nulo. A expressão apaz de atender a esses requisitos básios e, além disso, onservar o momento linear sob a égide da transformação de Lorentz, é: m v 0 p = (1.38) v sendo m 0 a massa da partíula medida por um observador em repouso relativamente a ela e v a veloidade da partíula do ponto de vista deste mesmo observador. Tal expressão é omumente reesrita omo:

23 m0 p = mv, om m = (1.39) v sendo m entendida omo uma massa relativístia que aumenta om a veloidade v. Reomendamos, desde já, muito uidado om essa nova interpretação do oneito de massa. No aso, ela nos oferee uma ponte entre o novo mundo e a expressão lássia do momento. Não obstante, se fôssemos apliá-la sem maiores onsiderações, por exemplo, à lei de Newton F = ma, hegaríamos a um resultado inoerente. O mesmo oorreria se a usássemos na fórmula lássia da energia inétia. Entretanto, uma vez que esteja o leitor iente dessas armadilhas, torna-se altamente desejável que reflita sobre a relatividade de uma grandeza tão fundamental. Havendo, pois, definido o momento linear no ontexto da nova dinâmia, estamos prontos para a onquista de novas fronteiras. Podemos, por exemplo, indagar: qual é a expressão relativístia da força? Embora estejamos aostumados a pensar na fórmula F = ma, a expressão mais geral é F = dp/dt, (1.40) ou seja, a força é a variação temporal do momento linear. Tal expressão ontinua válida no ontexto relativístio, desde que usemos a expressão (1.38), que não levará a F = ma Dinâmia Relativístia: Energia Cinétia Definidos momento e força, tratemos de onsiderar a noção de energia inétia. Suponhamos que uma partíula seja aelerada, na direção x, a partir do repouso, até uma veloidade v. Podemos, omo na físia lássia, fazer uso do fato de que o trabalho realizado pela força é igual à variação da energia inétia da partíula, ou seja: τ = E = E final - E iniial (1.41) sendo τ o trabalho e E a energia inétia. No ontexto por nós delimitado, a definição lássia do trabalho fornee: xfinal τ = F.dx (1.4) xiniial Podemos esrever, partir de (1.40), que: dp F = (1.43) dt sendo p definido omo em (1.38). Dispensamos as notações vetoriais por estarmos lidando apenas om a direção x. Substituindo (1.43) em (1.4), obtemos:

24 xfinal xfinal dp vfinal τ = F.dx =.dx = v.dp xiniial xiniial dt viniial (1.44) Utilizemos a fórmula da integração por partes em onjunto om (1.45), e tenhamos em mente que v iniial = 0: v.dp = vp p.dv (1.45) τ = m v 0.v m 0.v.dv (1.46) 0 v v Para que resolvamos a integral, é vantajoso fazer a substituição: Ela então se torna: u = v / du = (v/ ) dv (1.47) v v / m 0..du v = m 0 0. u = m u (1.48) Voltando a (1.46), obtemos, após algumas manipulações: 1 τ = = v Efinal Einiial m (1.49) Como supusemos que a partíula foi aelerada a partir do repouso, temos E iniial = 0, o que, por fim, leva-nos a: 1 E = m 0. 1 = m 0. γ 1 v ( ) (1.50) que é a fórmula da energia inétia relativístia.

25 1.1 - Relação entre Massa e Energia Poderíamos reesrever (1.50) omo: Manipulando (1.51), hegamos a: E = γm 0. m 0. = E E 0 (1.51) E = E + E 0 (1.5) Podemos interpretar (1.5) omo uma manifestação de que a energia total de uma partíula, E=γm 0, é a soma da energia inétia, assoiada ao movimento, e de uma energia de repouso E 0. Esta energia é dada por: E 0 = m 0. (1.53) sendo, omo já dissemos, m 0 a massa de repouso da partíula. É pertinente que façamos uma breve reflexão. O raioínio que aabamos de expor, ujo ponto de partida foi a obtenção de uma fórmula para o momento linear oerente om a idéia de onservação e om a transformação de Lorentz, onduziu-nos a resultados intrigantes. A equação (1.53), por exemplo, mostra, om sua simpliidade desonertante, que a massa de repouso de uma partíula é também uma forma de energia. Sustenta, inversamente, que qualquer quantidade de energia tem a si assoiada uma quantidade equivalente de massa. Massa e energia, para a relatividade, são, por assim dizer, faes da mesma moeda. A expressão para a energia total, E = m = γm 0., simplesmente reafirma o que foi dito, om a ressalva de que nela a massa envolvida é a relativístia, maior que a de repouso graças à energia inétia. Com isso, perebemos que essa modalidade de energia se liga intimamente à dilatação da massa, que disutimos quando abordamos o momento linear. A omprovação do interâmbio massa-energia foi, desde a primeira hora, um assunto de grande interesse. Einstein, em seu artigo de 1906, A inéria de um orpo depende de seu onteúdo energétio?, sugeriu que as energias liberadas por reações envolvendo sais de rádio talvez pudessem permitir uma verifiação adequada de (1.53). Na verdade, omprovações mais sólidas (e trágias) vieram om o avanço do estudo das reações nuleares, as quais liberam energias sufiientemente grandes para levar a uma variação sensível da massa dos reagentes. Experimentos dessa natureza são amplamente favoráveis à relatividade. Um outro aspeto dinâmio muito relevante diz respeito à energia inétia. Vejamos, para uma massa de repouso de 1kg., omo a mesma varia de aordo om o fator v/ (veloidade da partíula em relação à da luz).

26 x 1018 ENERGIA CINÉTICA x ENERGIA CINÉTICA e s ) u l jo m (e a inéti C g i a E ner e s ) u l jo m (e a inéti C g i a E ner v/ Figura v/ Conforme nos mostram o primeiro gráfio e sua ampliação, representados na Fig. 1.1, a energia inétia da partíula tende a aumentar de forma ada vez mais pronuniada à medida que v tende a. Além disso, para aelerar a partíula até a veloidade da luz, seria preiso um trabalho infinito, ou seja, nada que possua massa de repouso não-nula pode atingir a veloidade da luz. Uma outra forma de internalizar esses oneitos é sugerida pela análise da expressão para a força relativístia, dp/dt: v m0 dp dp dv m 0 m 0 F = =. =.a.a 3/ 3/ dt dv dt + v = v v (1.54) Imaginemos que seja apliada a uma partíula em repouso, om m 0 = 1kg, uma força de 1N. Sua aeleração seria, do ponto de vista da físia lássia, onstante e igual a 1m/s. No entanto, uma aeleração onstante permitiria que, por exemplo, segundos depois do experimento, a partíula se movesse om o dobro da veloidade da luz, o que, omo aabamos de ver, é inadmissível na teoria da relatividade. Como (1.54) já adianta, a aeleração de uma partíula, para uma força onstante, depende de sua veloidade. Na Fig. 1.13, mostramos qual será a aeleração da partíula sob influênia de uma força de 1N, em função da relação v/, para a relatividade e para a físia lássia.

27 m /s m e o çã ra A ele ACELERAÇÃO DECORRENTE DA APLICAÇÃO DE F=1N, COM M0 = 1kg v/ Figura 1.13 Notamos que, quanto maior a veloidade da partíula, menos onsegue a força de 1N prosseguir om o aumento de veloidade, ao ontrário do que oorria no aso lássio. Quando a veloidade tende à da luz, a aeleração tende a zero, o que ondiz om as onlusões por nós obtidas a partir do estudo da energia inétia. Essa visível diminuição nos remete, mais uma vez, à idéia de aumento da massa, da inéria da partíula, om o aumento da veloidade. Vale a pena ainda exibir um onjunto de fórmulas que relaionam diretamente o momento e a energia do ponto de vista de um observador O om as mesmas grandezas do ponto de vista de um observador O, que, omo de ostume, move-se om veloidade u (na direção x) em relação a O: p x u.e px = u p p y z E = p = p y z E p x.u = u (1.55) sendo p = (p x, p y, p z ) e p = (p x, p y, p z ) respetivamente os momentos para O e O, e E e E a energia total para estes observadores. Foi Max Plank quem primeiro expliitou essas relações, num dos primeiros artigos relativístios influeniados, mas não esritos, por Einstein [Pais, 1995]. Seria justo itar que Plank e Max von Laue estiveram entre os primeiros ientistas a prourar o jovem Einstein para manifestar interesse em seu trabalho sobre a relatividade. Einstein, mais tarde, manifestaria a Plank sua gratidão nestes termos: O senhor foi o primeiro a defender a teoria da relatividade [Pais, 1995]. Voltemo-nos para um outro aspeto importante. Sabemos que, na meânia lássia, a lei da onservação do momento e a lei da onservação da energia são prinípios distintos.

28 Na relatividade, omo, aliás, pode-se deduzir de (1.55), as duas leis estão intimamente unidas. Em termos mais preisos, elas se tornam aspetos de um únio prinípio de onservação. Assim, por exemplo, para que o momento linear se onserve do ponto de vista de todos os possíveis observadores ineriais, é preiso que a energia total também se onserve, e vie-versa [Symon, 198] 1. Também é muito importante atentar para o fato de que as leis de onservação da massa e da energia se fundem numa únia lei. Não faz mais sentido busar isoladamente a onservação dessas grandezas. A dinâmia relativístia, omo era esperado, fornee resultados muito próximos aos lássios para veloidades muito menores que a da luz. Em outras palavras, a Físia Clássia ontinua válida para uma determinada gama de apliações. Por fim, vale a pena menionar que experimentos realizados om partíulas dotadas de altas veloidades têm dado origem a resultados notavelmente próximos aos previstos pelas expressões apresentadas. Partiularmente, já se onseguiu aelerar elétrons até veloidades muito próximas à da luz, sem que, no entanto, tenha sido possível ultrapassá-la. Para a relatividade, nas palavras do esritor Isaa Asimov, a veloidade da luz é o limite de veloidade definitivo, muito distante dos habituais 80 km/h [Halliday e Resnik, 1994]. BIBLIOGRAFIA DO CAPÍTULO 1 A. Einstein e outros, The Priniple of Relativity (oletânea de artigos originais sobre relatividade), Dover, 194. R. Eisberg, Fundamentals of Modern Physis, Wiley, D. Halliday, R. Resnik, Fundamentos da Físia, LTC, K. Krane, Modern Physis, Wiley, H. Ohanian, Modern Physis, Prentie Hall, Seond Edition, A. Pais, Sutil é o Senhor: a Ciênia e a Vida de Albert Einstein, Nova Fronteira, H. Poinaré, O Valor da Ciênia, Contraponto, R. Serway, Physis for Sientists and Engineers, Saunders College Publishing, Third Edition, M. Simonsen, Ensaios Analítios, Fundação Getúlio Vargas, K. Symon, Meânia, Editora Campus, Sexta Edição, No exemplo de olisão apresentado anteriormente, é fundamental que se aplique a lei da onservação da energia total relativístia para que se obtenha a massa de repouso do onjunto formado pelas duas partíulas após a olisão (note que a energia inétia do par não pode simplesmente desapareer ).