Dilatação do tempo, referenciais acelerados e o paradoxo dos gêmeos

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1 Revista Brasileira de Ensino de Físia, vol. 41, nº 3, e ( Artigos Gerais b Liença Creative Commons Dilatação do tempo, refereniais aelerados e o paradoxo dos gêmeos Time dilation, aelerated frames, and the twin paradox Gabriel B.R.L. de Freitas 1, André H. Gomes *1 1 Universidade Federal do Espírito Santo, Departamento de Ciênias Naturais, Campus São Mateus, Vitória, ES, Brasil Reebido em 12 de Outubro, Revisado em 12 de Novembro, Aeito em 13 de Novembro, Ainda que o problema do paradoxo dos gêmeos seja tão antigo quanto à própria teoria da relatividade espeial, a ompreensão da sua resolução é, muitas vezes, obsureida por falhas na intuição do estudante. Geralmente, estas se originam em um entendimento inompleto das previsões da teoria ou do seu limite de validade. Neste artigo, apresentamos uma resolução didátia do problema dos gêmeos om intuito de eluidar algumas dessas falhas. Dando ênfase ao real onteúdo da previsão relativístia de dilatação do tempo, eliminamos uma primeira intuição que possa sugerir a existênia de um paradoxo. A partir disso, mostramos omo a relatividade espeial é sufiiente para abordar o problema, não havendo neessidade de reorrer à relatividade geral. Finalizamos apresentando uma resolução do problema onsiderando tanto do ponto de vista do gêmeo estaionário quanto o do gêmeo viajante. Palavras-have: Paradoxo dos gêmeos, dilatação do tempo, relatividade espeial. Although the twin paradox is as old as the speial theory of relativity itself, understanding of its resolution is often obsured by student s misarried intuition. That is usually a result of an inomplete understanding of some preditions of the theory or of its range of validity. In this artile, we present a didati solution to the problem aiming at eluidating some understanding gaps. Disussing the preise ontent of the time dilation predited by speial relativity, we eliminate a first intuition that might suggest the existene of a paradox. Then we show why speial relativity alone is enough to solve the problem without any need to invoke the general theory of relativity. We onlude this work presenting a solution to the twin paradox from the point of view of the stationary twin as well as from the traveling twin. Keywords: Twin paradox, time dilation, speial relativity. 1. Introdução O problema do paradoxo do gêmeos é bastante popular no ontexto da teoria da relatividade espeial (TRE, sendo formulado das mais diversas maneiras. De modo simples, o problema envolve dois gêmeos, Ana e Bob, que estão iniialmente juntos em repouso relativo. Enquanto Ana permanee estaionária, Bob sai em viagem pelo espaço e retorna anos depois. De aordo om a dilatação do tempo prevista pela TRE, no reenontro, os gêmeos devem onstatar que Bob envelheeu menos que Ana. Apesar de dramátia, essa onlusão já não é mais surpresa. O problema fia interessante quando imaginamos a mesma situação do ponto de vista de Bob. Para ele, Ana é o gêmeo viajante, que vai embora e depois volta, enquanto ele que é o gêmeo estaionário. Como fia a onlusão anterior? Ela inverte-se, sugerindo que Ana envelhee menos que Bob? Qualquer suspeita de resposta positiva araterizaria o paradoxo que dá nome a este problema. Logo, o problema em questão é entender porque a resposta a estas perguntas tem que ser não. * Endereço de orrespondênia: andre.h.gomes@ufes.br. Geralmente, a intuição físia que sugere uma resposta positiva surge de um entendimento inompleto da previsão que a TRE faz para a dilatação do tempo. Quando tal intuição é seguida, a ontrovérsia em torno do problema dos gêmeos é, por vezes, realçada pela noção errônea de que a TRE é inapaz de lidar om situações que envolvem aelerações, sendo, por isso, neessário abordar o problema utilizando a relatividade geral. Essas são onfusões que surgiram e foram resolvidas ao longo das primeiras déadas após a publiação do artigo onde Einstein apresenta a TRE [1], 1 mas que, em diferentes graus, persistem até hoje entre estudantes. 2 Desde então, inúmeros artigos dediaram-se a eslareer onde a intuição erra e a omo expliar a razão de Bob também onluir que Ana, de fato, envelhee mais que ele ao fim da jornada [5]. Não é nosso objetivo fazer uma revisão das várias abordagens ao problema para isso, o artigo [5] faz um ótimo trabalho mas, sim, utilizar o problema dos gêmeos 1 Traduzido para o português em [2] (p. 143 sob o título Sobre a eletrodinâmia dos orpos em movimento. 2 Os motivos dessa persistênia são diversos e fogem ao esopo deste trabalho. Ainda assim, vale menionar que alguns destes arregam a história da origem e popularização do problema do paradoxo dos gêmeos [3, 4]. Copyright by Soiedade Brasileira de Físia. Printed in Brazil.

2 e Dilatação do tempo, refereniais aelerados e o paradoxo dos gêmeos para eslareer porque a previsão de dilatação do tempo não onduz à onlusões paradoxais e, em partiular, ilustrar omo a TRE lida om movimentos aelerados. Sendo a teoria formulada em termos de refereniais ineriais e das transformações que os relaionam, durante o aprendizado nem sempre é laro omo ela pode ser utilizada, por exemplo, para desrever o movimento de partíulas aeleradas. O que ostuma ser ainda menos laro é omo fazer previsões em refereniais não-ineriais utilizando a TRE ou, até mesmo, se ela é apaz disso. Para eslareer estes pontos, resolveremos o problema dos gêmeos utilizando a TRE para determinar as previsões, tanto do gêmeo inerial (Ana quanto do não-inerial (Bob, para os tempos que ada um registra até o reenontro. Apesar do laro intuito didátio, nosso trabalho também é motivado pela resolução do problema por si só. Em partiular, formularemos o problema om Ana em repouso e Bob em movimento hiperbólio. 3 O fato deste tipo de movimento ser estudado na maioria dos ursos introdutórios de TRE torna nossa abordagem atraente pela simpliidade matemátia e por, ao mesmo tempo, preservar a riqueza oneitual envolvida om o movimento aelerado de Bob. Dentre outros, isso failitará o entendimento das previsões feitas no referenial não-inerial de Bob, que é onde reside o maior desafio à ompreensão ompleta da resolução do problema. Na próxima seção, faremos uma revisão da TRE om foo na interpretação da dilatação do tempo prevista pela teoria e disutiremos o que é neessário para estender tal previsão para situações envolvendo movimentos aelerados. A resolução do problema dos gêmeos será feita, na Seção 3, segundo o ponto de vista de Ana e, na Se. 4, segundo o de Bob. Na Se. 5, apresentaremos os omentários finais a respeito deste trabalho. 2. Relatividade Espeial 2.1. Definições auxiliares Podemos dizer que as previsões inemátias da TRE para o omportamento de réguas e relógios onstituem a base sobre a qual todas as outras previsões são onstruídas, pois é om réguas e relógios que onstruímos refereniais para medidas de posição e tempo. A interpretação orreta destas previsões dependem, portanto, de uma definição adequada do que é um referenial e de omo tais medidas são realizadas. Seguiremos as definições apresentadas em [8], as quais resumimos a seguir. Por simpliidade, toda disussão a seguir será feita no ontexto de um espaçotempo om somente uma dimensão espaial. Primeiramente, definimos os hamados relógios-padrão. Estes são relógios idealizados, infinitesimais, todos onstruídos da mesma maneira, que satisfazem a hipótese do 3 Ressaltamos que o estudo do problema dos gêmeos nesta formulação não é algo inédito por exemplo, também foi feito em [6, 7] mas, dentro do que onstatamos, a maneira omo abordamos sua resolução é nova na literatura. relógio. 4 Segundo esta, quaisquer dois relógios que, em um erto instante t, possuem a mesma veloidade v(t, registram o mesmo intervalo infinitesimal de tempo dt entre t e t + dt, independente da aeleração que ada um tenha. De modo similar, as réguas-padrão são réguas infinitesimais idêntias tais que qualquer par que possua a mesma veloidade v(t em um instante t possuirá o mesmo omprimento L(t naquele instante, independente de suas aelerações. Daqui em diante, por régua e relógio, estaremos sempre nos referindo às réguas e relógios padrões. Para o proesso de medida de posição e tempo de um evento qualquer, assumimos ter disponível um número infinito de réguas e relógios. Em partiular, tais medidas são realizadas por entidades idealizadas hamadas observadores: partíulas pontuais inteligentes, equipadas om um relógio e uma régua, uja interação om o meio pode ser desprezada. Para definirmos omo são feitas medidas de posição e tempo, definimos um referenial rígido omo sendo um onjunto ontínuo de infinitos observadores, posiionados lado a lado, um em repouso relativo ao outro, preenhendo todo o espaço, todos om seus relógios perfeitamente sinronizados e réguas perfeitamente alinhadas. Em um referenial rígido, as linhas de mundo de todos os observadores que o ompõem são sempre paralelas. Portanto, a loalização de um evento no espaçotempo pode ser estabeleida sabendo-se a posição do observador junto ao qual o evento oorreu e a posição na linha de mundo deste observador (registrada por seu relógio orrespondente a quando este evento oorreu. Em partiular, a medida do intervalo de tempo entre dois eventos que oorrem em pontos diferentes do espaço exige o uso de dois relógios, pois o instante em que ada evento oorre é registrado por um observador diferente 5 (Fig. 1a. Por outro lado, eventos que oorrem no mesmo loal, mas em instantes diferentes, são registrados por somente um observador e seu relógio (Fig. 1b Os dois postulados fundamentais A teoria da relatividade espeial baseia-se nos seguintes dois postulados [1]: (i As leis da físia são as mesmas em todos refereniais ineriais (prinípio da relatividade. (ii A luz se propaga de modo retilíneo no váuo om veloidade onstante em todos os refereniais ineriais (onstânia da veloidade da luz. 4 Mais detalhes a respeito desta hipótese na Se Medir, segundo a definição que apresentamos, é o que, ao longo deste trabalho, também hamaremos de observar. Este deve ser difereniado do ato de ver, que é exeutado sempre por um únio observador [9]. O registro das oordenadas de um evento visto depende do tempo que a luz gasta para ir do ponto de oorrênia do evento até o ponto onde está o observador que o vê. Para um evento observado, o registro orresponde exatamente às oordenadas de posição e tempo da oorrênia do evento. Revista Brasileira de Ensino de Físia, vol. 41, nº 3, e , 2019

3 Freitas e Gomes e de S para as de S, são t = γ(t + vx /, x = γ(x + vt, (3 y = y, z = z. (4 (a Figura 1 (b Mesmo no ontexto da TRE, os refereniais ineriais ainda podem ser definidos omo aqueles onde a primeira lei de Newton é válida, mas agora englobando algo mais: também são aqueles onde a luz se propaga de modo retilíneo e om veloidade onstante [10]. Embutida nestes dois postulados, está a hipótese de homogeneidade e isotropia do espaçotempo. Levando-se em onta tal hipótese de modo explíito, a partir dos postulados verifia-se que o onjunto de transformações de oordenadas que relaiona dois refereniais ineriais são as hamadas transformações de Lorentz [11]. 6 Isso permite reesrever o primeiro postulado omo as leis da físia devem ser invariantes sob transformações de Lorentz. Para estabeleer nossa notação, onsideremos o aso partiular de dois refereniais ineriais om orientações espaiais idêntias: o referenial S de oordenadas (x, y, z, t e o S de oordenadas (x, y, z, t, ujas origens oinidem no que ajustamos ser o instante zero tanto para os relógios de S quanto para os de S. O referenial S está em movimento retilíneo uniforme (MRU om veloidade v relativa a S no sentido positivo do eixo x. Nesta situação, as oordenadas destes refereniais para um erto evento no espaçotempo se relaionam pelas seguintes transformações de Lorentz: t = γ(t vx/, x = γ(x vt, (1 y = y, z = z, (2 onde γ 1/ 1 v 2 / 2 é o hamado fator de Lorentz. 7 As transformações inversas, que levam das oordenadas 6 Para sermos exatos, o onjunto ompleto de transformações de oordenadas que respeita os dois postulados da TRE e suas hipóteses internas são as hamadas transformações de Poinaré, que adiionam às transformações de Lorentz também rotações espaiais e translações no espaço e tempo [12]. Para o que busamos om este trabalho, onsiderar as transformações de Lorentz, somente, é o bastante. 7 Transformações para refereniais em movimento relativo em direções quaisquer podem ser obtidas por generalização direta deste aso partiular veja, por exemplo, a Se. 6.4 de [13]. A relação entre as transformações de Lorentz e suas inversas ilustra bem a equivalênia entre refereniais ineriais, pois as inversas podem ser obtidas de modo imediato a partir das transformações de S para S troando-se (x, y, z, t por (x, y, z, t, e vie-versa, e v por v. Neste trabalho, por simpliidade, onsideraremos apenas movimentos unidimensionais ao longo do eixo x, logo omitiremos as oordenadas y e z. Aqui, o referenial denotado por S será sempre o referenial inerial em relação ao qual outros refereniais se movem, sendo estes outros denotados por S aso também sejam ineriais ou por S aso sejam não-ineriais. O par de oordenadas que loaliza um evento em ada um destes refereniais será (x, t, (x, t e ( x, t, respetivamente Dilatação do tempo entre refereniais ineriais Nesta seção, faremos uma disussão uidadosa da dilatação do tempo prevista a partir dos dois postulados fundamentais da TRE. 8 É um mal entendimento desta que sugere a existênia de um paradoxo no problema do gêmeos exatamente o que queremos evitar. No que se segue, estaremos sempre falando de um observador do referenial S e outro do S, estando S em MRU om veloidade v relativa a S. Primeiramente, devemos enuniar outra previsão da TRE: a relatividade da simultaneidade. Esta diz que eventos que são simultâneos em um referenial inerial S não o serão em um outro referenial inerial S em movimento relativo. Visto de outra maneira, esta previsão diz que relógios sinronizados no referenial S não exibem sinronismo do ponto de vista dos observadores do referenial S, e vie-versa. Finalmente, para disutir a dilatação do tempo de modo preiso, vamos onsiderar a seguinte situação: uma partíula instável é oloada em repouso no referenial S. Sejam dois eventos: um no instante t 1, araterizado pela partíula ser posiionada em repouso na posição x, e o outro no instante posterior t 2, quando a partíula deai. Por ambos eventos oorrerem em uma mesma posição x em S, falamos que o relógio neste ponto registra o tempo próprio τ assoiado à oorrênia destes eventos, forneendo o intervalo de tempo próprio τ = t 2 t 1. Mais importante, somente um relógio (este em x é neessário para fazer tal medição. No referenial S, que observa S em MRU, a situação é outra, pois os dois eventos oorrem em pontos distintos, x 1 e x 2, em 8 Deduções das prinipais previsões inemátias da TRE relatividade da simultaneidade, dilatação do tempo e ontração do omprimento podem ser vistas, por exemplo, no Cap. 12 de [14]. Julgamos espeialmente enriqueedoras as disussões feitas em [15] por meio de diagramas de espaçotempo. Revista Brasileira de Ensino de Físia, vol. 41, nº 3, e , 2019

4 e Dilatação do tempo, refereniais aelerados e o paradoxo dos gêmeos instantes distintos, t 1 e t 2, respetivamente, exigindo dois relógios (um em x 1 e outro em x 2 para fazer a medição do intervalo t = t 2 t 1. A hamada dilatação do tempo, prevista pela TRE, diz que a razão entre o intervalo de tempo t e o intervalo de tempo próprio τ é igual a γ, isto é, t τ = γ = 1 > 1. (5 1 v2 /2 Baseando-se na situação desrita, um observador do referenial S afirmaria que o tempo experimentado por observadores do referenial S passa de modo mais lento do que o seu. Veja que a situação que desrevemos não é simétria: enquanto em S somente um relógio (em x é sufiiente para medir τ, em S são neessários dois (um em x 1 e outro em x 2 para medir t. Portanto, a onlusão anterior não pode ser simplesmente invertida para o ponto de vista do observador em S, isto é, τ / t γ. Por outro lado, em uma situação análoga, mas diferente, podemos imaginar uma partíula instável em repouso no referenial S (ao invés de S e onsiderar dois eventos semelhantes ao do aso anterior. Neste aso, a medição de tempo em S requer somente um relógio para registrar o intervalo de tempo próprio τ entre os eventos (que, neste aso, oorrem no mesmo ponto x. Diferente do aso anterior, agora S observa o deaimento oorrer em dois pontos diferentes, x 1 e x 2, logo preisa de dois relógios para registrar os eventos que oorrem nos instantes t 1 e t 2, respetivamente. De aordo om a dilatação do tempo, a razão entre o intervalo de tempo t = t 2 t 1 e o intervalo de tempo próprio τ é t τ = 1 > 1. (6 1 v2 /2 Portanto, ontrário à onlusão da situação anterior, o observador em repouso junto a S afirmaria que é o tempo experimentado pelos observadores em movimento junto a S que passa de modo mais lento. Como isso é possível? Como oniliar essas onlusões aparentemente ontraditórias? De imediato, devemos enfatizar que não há qualquer ontradição entre as expressões (5 e (6, pois t τ e t τ uma vez que essas desigualdades envolvem medidas realizadas de modo diferente (uso de um relógio vs. uso de dois relógios de eventos diferentes (deaimento de uma partíula em repouso em S vs. deaimento de uma partíula em repouso em S. Finalmente, ainda que as expressões (5 e (6 sugiram onlusões ontraditórias, ambas estão orretas dos seus respetivos pontos de vista. A have para ompreender isso é lembrar que refereniais são onstruídos om base no sinronismo de relógios e que a relatividade da simultaneidade impõe que relógios sinronizados em um referenial não mantêm sinronia quando observados de outro referenial em movimento relativo. Com isso em mente, temos que um observador em S tem omo onlusão a expressão (5 e julga que a expressão (6 é inválida, pois, para ele, a medição de t em S utilizou dois relógios fora de sinronia. Por outro lado, um observador de S diz que somente (6 está orreta e que (5 é invalidada pelo observador de S não ter usado relógios sinronizados para medir t. Portanto, neste tipo de situação, não existe uma resposta adequada para perguntas do tipo para quem o tempo passa mais devagar? pois não é possível omparar as onlusões de observadores dos dois refereniais. Caso um observador de S se hamasse Ana e um de S se hamasse Bob, e ambos fossem gêmeos, ada um registraria intervalos de tempo indiando que o outro envelhee mais lentamente e ambos estariam orretos dos seus respetivos pontos de vista. Não haveria qualquer paradoxo, pois um julgaria que os registros do outro estariam omprometidos pelo uso de relógios fora de sinronia, e vie-versa. Esta situação jamais se modifiaria aso eles se mantivessem, sempre, em MRU relativo. Somente se um deles, ou ambos, alterar o seu movimento para permitir um reenontro é que seria possível omparar qual envelheeu mais. Com esta disussão, vemos omo a relatividade da simultaneidade pode impedir onlusões absolutas a respeito de medições de intervalo de tempo em diferentes refereniais. Por outro lado, omparações de intervalos de tempo próprio não sofrem desta difiuldade, pois demandam o uso de somente um relógio em ada referenial. Como vimos, esta omparação não pode ser feita entre refereniais em MRU relativo, já que, neste aso, os tempos próprios medidos estão assoiados a pares de eventos diferentes. Tal omparação é possível somente se o intervalo de tempo registrado for entre dois eventos que oorrem no mesmo ponto espaial em ambos refereniais, pois isso garante que somente um relógio de ada referenial será neessário para tal medição. Para isso aonteer, pelo menos um deles deve estar em um movimento aelerado que, em algum instante, inverte de sentido: o primeiro evento será o primeiro enontro entre os dois refereniais e o segundo evento será o segundo enontro. Esta é, basiamente, a situação presente no problema dos gêmeos desrito na introdução deste artigo. Como apresentados na Se. 2.2, os dois postulados da TRE não são sufiientes para disutir situações em que um dos refereniais está aelerado, pois dizem respeito somente a refereniais ineriais. Como veremos na próxima seção, a utilização da hamada hipótese do relógio introduzida de modo implíito por Einstein no artigo em que apresenta a TRE é sufiiente para estender o arabouço da teoria para lidar om movimentos aelerados Postulado extra: a hipótese do relógio Originalmente, Einstein utilizou os dois postulados apresentados na Se. 2.2 para deduzir a dilatação do tempo, dada pela nossa Eq. (5. Ele faz isso na Seção I.4 do artigo em que introduz a TRE [1], a qual enerra dizendo que Revista Brasileira de Ensino de Físia, vol. 41, nº 3, e , 2019

5 Freitas e Gomes e esta equação para a dilatação do tempo deve valer aso o observador em movimento desloque-se om veloidade de módulo onstante ao longo de um aminho poligonal, imaginando o movimento total omo uma omposição de MRUs. Se essa hipótese é válida, ele onlui, a equação da dilatação do tempo deve ser válida, também, para o movimento ao longo de um aminho urvo qualquer, imaginando o movimento total omo uma omposição de infinitos MRUs de desloamento infinitesimal, todos om o mesmo valor de veloidade. A suposição que Einstein fez onstitui o que passou a ser hamado de hipótese do relógio [10]. Esta generaliza a equação da dilatação do tempo para dt d τ = 1 1 v2 (t/, (7 2 a qual relaiona o intervalo infinitesimal de tempo dt, registrado utilizando-se dois relógios sinronizados de um referenial inerial S, om o intervalo infinitesimal de tempo próprio d τ, registrado por um únio relógio do referenial S em movimento qualquer. A hipótese do relógio, então, diz que, em ada instante, a dilatação do tempo é afetada somente pelo módulo da veloidade instantânea relativa entre estes refereniais, independendo de qualquer detalhe da aeleração do referenial S [16]. 9 De modo mais abrangente, pode-se enarar a hipótese do relógio omo um tereiro postulado fundamental da TRE, o qual estende sua apliação à desrição de movimentos aelerados. Na Se. 2.1, a definição do relógio-padrão inlui sua onordânia om a hipótese do relógio. Naturalmente, isso só faz sentido se tal hipótese for realista. Este, de fato, é o aso e o seu aordo om o experimento foi verifiado para aelerações transversas ao movimento da ordem de m/s 2 ao omparar-se o tempo de vida entre múons em repouso e múons em movimento irular [18], e para aelerações longitudinais da ordem de m/s 2 para bárions sigma freados em âmaras de bolhas de hidrogênio [19]. Uma onsequênia da hipótese do relógio é a geometrização do espaçotempo. Para entender isso, vamos omeçar onsiderando uma partíula em MRU, uja trajetória no espaçotempo está ilustrada pela reta em azul na Fig. 2a. Os dois postulados da TRE impliam que medições de desloamento ( x e intervalo de tempo ( t para o movimento da partíula se relaionam da mesma forma em todos refereniais ineriais por meio da grandeza s, hamada intervalo espaçotemporal invariante [20]. Esta é definida por s 2 2 t 2 + x 2 = 2 t 2 + x 2, (8 9 Apesar da aeleração ter seu papel alterando a veloidade instantânea de S, o que a hipótese do relógio diz é que, independente de omo esta veloidade muda, em ada instante a razão dt/d τ só depende de v(t. Uma analogia iluminadora é feita om a sensação térmia em um dia om vento frio [17]: em ada momento, a sensação térmia de frio maior ou menor depende da veloidade do vento que te atinge naquele momento, mas não depende de omo essa veloidade muda om o tempo. (a Figura 2 (b onde a segunda igualdade nos diz que outros refereniais ineriais medem outros valores para o desloamento e o intervalo de tempo, mas que todos onordam sobre a relação entre tais medidas. Interpretando s omo uma medida da distânia espaçotemporal entre dois pontos no espaçotempo, vemos que esta sugere que a partíula se desloa em um espaçotempo uja geometria é hiperbólia. Para irmos além desta sugestão, é neessário analisar movimentos mais gerais em trehos infinitesimais de espaçotempo. Para isso, a hipótese do relógio é fundamental. Primeiramente, vamos relaionar s om o intervalo de tempo próprio τ medido em um referenial S que move-se junto a uma partíula em MRU. Neste, temse t = τ e x = 0. Logo, da relação (8, segue que s 2 = 2 t 2 + x 2 = 2 τ 2. Sendo a veloidade da partíula v = x/ t, temos também que 2 t 2 + x 2 = 2 t 2 /γ 2. Finalmente, hegamos na relação s 2 = 2 t 2 /γ 2 = 2 τ 2 para uma partíula em MRU. Note que a última igualdade oinide om a dilatação do tempo (5. O que a hipótese do relógio (7 nos diz é que podemos analisar a dilatação do tempo entre um referenial inerial S e um referenial não-inerial S onsiderando o movimento do último omo uma série de MRUs de desloamentos infinitesimais [21]. Isso permite fazer a generalização ds 2 = 2 dt 2 /γ 2 = 2 d τ 2. Esta fornee o intervalo invariante infinitesimal ds para uma partíula em um movimento qualquer (linha em azul na Fig. 2b, onde d τ é o tempo próprio medido no referenial S que se move junto à partíula. 10 Como 2 dt 2 /γ 2 = 2 dt 2 + dx 2, onluímos que, segundo um observador do referenial inerial S, a trajetória da partíula é araterizada por ds 2 = 2 dt 2 + dx 2. (9 Como todos refereniais ineriais são equivalentes, em todos esta quantidade é alulada de modo análogo 10 Inidentalmente, note que todos refereniais, ineriais ou não, medem o mesmo valor de ds. Isso vem de ds 2 = 2 d τ 2, pois todos refereniais onordam quanto ao valor de d τ, já que este é medido usando-se somente um relógio. Revista Brasileira de Ensino de Físia, vol. 41, nº 3, e , 2019

6 e Dilatação do tempo, refereniais aelerados e o paradoxo dos gêmeos por exemplo, é alulada segundo ds 2 = 2 dt 2 + dx 2 em um outro referenial inerial S. Portanto, mesmo que o movimento de uma partíula seja governado por uma força resultante, ada treho infinitesimal deste segue uma geodésia em um espaçotempo genuinamente hiperbólio: o hamado espaçotempo de Minkowski [22]. A hipótese do relógio, omo vemos, é fundamental para a geometrização do espaçotempo e é, também, uma hipótese básia na onstrução da teoria da relatividade geral [23] Dilatação do tempo para movimentos aelerados Considere a situação do problema dos gêmeos, onde Bob parte em viagem pelo espaço e depois retorna para reenontrar Ana. Tomemos dois eventos: o primeiro sendo o momento iniial om eles juntos e o segundo sendo o reenontro. Qual a relação entre o intervalo de tempo entre estes dois eventos omo registrado por Ana e por Bob? Seja Ana um observador do referenial inerial S e Bob um do referenial aelerado S. De imediato, a hipótese do relógio (7 fornee a expressão para a dilatação do tempo entre os dois eventos, 11 τ = t2 t 1 1 v2 (t 2 dt. (10 Como os dois eventos oorrem em um mesmo loal tanto para Ana quanto para Bob, só um relógio de ada referenial (o de Ana e o de Bob são usados para registrar o intervalo de tempo até o reenontro. Ana registra τ = t 2 t 1 e prevê que Bob registra τ omo dado por (10. Como 1 v 2 (t/ 2 1, segue que τ τ. Portanto, no momento do reenontro, Ana prevê que Bob terá envelheido menos do que ela. Apesar de ser uma previsão, a onlusão de Ana deve ser omum a todos refereniais, inlusive ao de Bob, pois ela e Bob medem o tempo até o reenontro om somente um relógio de seus refereniais. A pergunta, agora, não é qual é a previsão de Bob? pois sabemos qual ela deve ser, mas, sim, omo Bob faz sua previsão? Ao ontrário do que uma intuição pouo uidadosa poderia sugerir, temos que τ t 2 t 1 1 v2 ( t 2 d t. (11 Se esta equação envolvesse uma igualdade, Bob hegaria a uma onlusão ontrária à de Ana, araterizando um paradoxo. Naturalmente, não há paradoxos na natureza, o que fornee uma justifiativa lógia para o símbolo de desigualdade. A justifiativa formal vem de d t dτ 1 1 v2 /. ( O resultado da integral em (10 exige onheimento da veloidade instantânea v(t do referenial aelerado S e será obtida para o aso do movimento sob ação de uma força onstante na Se. 3. Como (11 laramente vem desta relação, o motivo do símbolo de desigualdade ontinua sem ser respondido. Será? Esta relação ressalta o que a hipótese do relógio não diz. A hipótese do relógio, dt/d τ = γ, é uma relação entre o intervalo dt medido em um referenial inerial e o intervalo próprio d τ medido em um referenial qualquer. Portanto, qualquer previsão sobre d t/dτ está fora do esopo da hipótese do relógio, pois envolve o intervalo d t medido em um referenial qualquer, mas não neessariamente inerial. Logo, a hipótese do relógio não pode ser usada omo ponto de partida para alular-se τ, o que justifia (11 e evita onlusões paradoxais. As impliações de (12 são profundas e dizem respeito às onlusões que observadores de diferentes refereniais fazem a respeito da geometria do espaçotempo. Como disutido no final da seção anterior, observadores de um referenial inerial S medem o intervalo invariante entre dois eventos próximos omo sendo ds 2 = 2 dt 2 + dx 2. Para essa onlusão, a hipótese do relógio foi fundamental, e a onsequênia é que tais observadores onstatam que o espaçotempo possui geometria hiperbólia. Por outro lado, por ausa de (12, medidas para esse mesmo par de eventos feitas por um observador do referenial não-inerial S forneem ds2 2 d t 2 + d x 2. Isso signifia que ele observa o espaçotempo omo se este possuísse uma geometria diferente da hiperbólia. Esse é um efeito do movimento aelerado do observador, análogo ao surgimento de forças fitíias em um referenial não-inerial, e assim que um estado inerial é atingido, o observador volta a experimentar o espaçotempo hiperbólio desrito por (9. No ontexto do problema dos gêmeos, as onsequênias do movimento não-inerial sobre o que é observado por Bob serão exploradas na Se As onlusões desta seção são gerais e resultados partiulares ao problema dos gêmeos dependem dos detalhes do movimento de Bob. Nas próximas seções deste artigo, analisaremos o problema do ponto de vista de ambos os gêmeos onsiderando Bob em movimento retilíneo uniformemente variado (MRUV. 3. O Problema dos Gêmeos do Ponto de Vista de Ana Tendo em vista uma resolução do problema dos gêmeos sufiientemente simples, mas sem perda de detalhes importantes, onsideraremos apenas movimentos onfinados ao eixo x, omo espeifiado ao fim da Se Ana será o gêmeo em repouso no referenial inerial S e Bob o gêmeo em repouso no referenial aelerado S. Em uma situação mais realista, Bob estaria iniialmente em repouso junto a Ana. Ele, então, se afastaria dela até parar, daria meia-volta e retornaria até terminar o movimento em repouso junto a ela novamente. Esta formulação do problema foi onsiderada em [24]. Aqui, vamos onsiderar um movimento mais simples para Bob, o que trará a vantagem de uma simpliidade matemátia e lareza oneitual maior. Revista Brasileira de Ensino de Físia, vol. 41, nº 3, e , 2019

7 Freitas e Gomes e Consideraremos que Bob está, a todo instante, sob ação de uma força onstante e paralela ao seu movimento. Nesta situação, assumiremos que Bob enontra Ana pela primeira vez ao passar por ela em um movimento desaelerado. A partir de então, ele afasta-se até parar e retorna de modo aelerado para o segundo enontro om ela. O problema, portanto, é determinar o tempo transorrido entre os dois enontros, tanto do ponto de vista de Ana quanto do de Bob. O que mostraremos é que ambos onordam sobre o registro que ada um faz para este tempo e que, no reenontro, a onlusão é que Bob envelheeu menos que Ana. O que se segue nesta seção é dediado à análise do problema do ponto de vista de Ana Preliminares No âmbito da TRE, qualquer que seja o movimento de Bob, em qualquer instante t sempre é possível utilizar as transformações de Lorentz para enontrar um referenial inerial S momentaneamente em repouso relativo a ele, isto é, que o observa om veloidade relativa u nula, u(t = 0. O mesmo não é verdade para a aeleração a de Bob. Se, em um dado instante t, um referenial inerial observa que a(t 0, todos outros refereniais ineriais onordam om isso neste instante. Isso deorre da invariânia da grandeza esalar α, hamada aeleração própria, definida por α 2 a 2 /(1 u 2 / 2 3 no aso do movimento unidimensional [20]. 12 Como 1 u 2 / 2 0, se a(t 0 para um referenial inerial, também o será para qualquer outro. Na TRE, enquanto, em ada instante, o estado de repouso ou movimento é relativo, o estado de aeleração é absoluto. Como a aeleração própria α é invariante, mas o mesmo não pode ser dito da aeleração ordinária a, devemos ser autelosos ao usar o termo MRUV no ontexto da TRE. Intuitivamente, vamos definir que tal movimento é aquele fruto da ação de uma força F onstante. A versão relativístia da segunda lei de Newton, F = dp/dt, sendo o momento relativístio p mu/ 1 u 2 / 2, não se reduz ao formato simples F = ma devido ao fator extra no denominador de p, mas, no aso partiular do movimento retilíneo om F paralelo à u, ela se reduz a F = ma/(1 u 2 / 2 3/2 = mα. Portanto, o que definimos omo MRUV na TRE orresponde ao movimento retilíneo om aeleração própria onstante Cinemátia de Bob segundo Ana A desrição do movimento de Bob será feita segundo o referenial inerial S, no qual Ana está em repouso na posição X A. Segundo a definição de referenial feita na 12 A invariânia de α 2, isto é, a 2 /(1 u 2 / 2 3 = a 2 /(1 u 2 / 2 3, pode ser verifiada relaionando-se u e u por meio da regra de Einstein para a adição de veloidades, u = (u + v/(1 + u v/ 2, sendo v a veloidade entre S e S, e usando-se esta para alular a = du/dt por meio da relação dt = γ(1 + u v/ 2 dt obtida das transformações de Lorentz (3. Se. 2.1, podemos onsiderar Ana omo sendo um dos observadores que onstituem este referenial. Em partiular, o tempo registrado pela oordenada t do referenial S sempre oinide om o tempo registrado pelo relógio de Ana. Bob está em um referenial ujo movimento é ausado uniamente pela ação de uma força F onstante ao longo da direção do seu movimento retilíneo. Modelaremos a situação da seguinte maneira: a força F promove uma aeleração própria positiva em Bob (α > 0 e seu movimento é tal que ele enontra-se em repouso em x = 2 /α no instante t = A posição de Bob, x(t, e sua veloidade, u(t, são obtidas por integrações no tempo de F = ma/(1 u 2 / 2 3/2 = mα. Com as onsiderações que fizemos, estas são dadas por ( x 2 2 t αt =, u(t =. (13 α 1 + (αt/ 2 A primeira expressão nos diz que o movimento de Bob desreve uma hipérbole no espaçotempo, e não uma parábola omo no aso não-relativístio. Em onsonânia a isso, da expressão de u(t, vemos que sua veloidade não rese indefinidamente, pois tem omo limite superior. É interessante notar que, ainda que Bob jamais movase tão rápido quanto a luz, seu movimento aelerado torna possível que, em ertas situações, ele esape de um raio luminoso projetado em sua direção. Em partiular, nenhum raio luminoso disparado em t 0 a partir de x < 0 jamais hegará a Bob. Esta onlusão está ilustrada no diagrama de espaçotempo da Fig. 3, o qual ontém as trajetórias de Ana, Bob e um raio luminoso sob as ondições menionadas. Ainda que essa peuliaridade diga respeito ao que Bob é apaz de ver, elas sugerem que Bob não é apaz de observar 14 eventos em ertos pontos do espaçotempo. Exploraremos o que Bob observa em maiores detalhes na Se Da Fig. 3, fia laro que Ana e Bob se enontram duas vezes somente se a posição de Ana, X A, for maior que a posição de Bob em t = 0, x(0 = 2 /α. Por isso, definiremos a posição de Ana omo X A k( 2 /α, onde k é um número real maior do que 1. Consideremos, agora, os registros de tempo de Ana e Bob. Quando Ana observa Bob ir de uma posição (x 1 a outra (x 2, dois relógios do referenial S (um em ada um destes loais são utilizados para registrar os instantes t 1 e t 2, respetivamente, no qual Bob hega a estas posições. Por outro lado, Bob julga estar sempre em repouso na mesma posição em seu referenial S, logo usa somente um relógio (o seu para registrar o intervalo de tempo próprio τ. Como esses registros se relaionam? A resposta vem da hipótese do relógio disutida na Se Esta onduz à expressão (10, onde v(t é a veloidade do referenial 13 Não há nada de espeial na esolha de Bob em x(0 = 2 /α, mas esta deixará as expressões que obteremos om uma aparênia mais simples. 14 Ver nota de rodapé 5. Revista Brasileira de Ensino de Físia, vol. 41, nº 3, e , 2019

8 e Dilatação do tempo, refereniais aelerados e o paradoxo dos gêmeos Imaginando a trajetória de Bob no espaçotempo omo parametrizada pelo seu tempo próprio τ, podemos enarar as expressões (15 e (16 omo as equações paramétrias da sua trajetória Conlusões de Ana Figura 3 S, que se move junto à Bob, dada pela segunda expressão de (13. Com isso, enontramos τ = = α t2 dt 1 + (αt/ 2 [ ( senh 1 αt2 t 1 senh 1 ( αt1 ]. (14 Esta é a equação para a dilatação do tempo, omo observada por Ana, para o movimento de Bob entre dois pontos quaisquer. Para deixá-la em um formato mais simples, por onveniênia, vamos onsiderar que tanto os relógios do referenial S quanto o de Bob foram ajustados para marar t = τ = 0 quando Bob passa em x = 2 /α, isto é, quando Ana e Bob estão em repouso relativo. Com essa esolha, os tempos medidos em relação ao instante zero se relaionam por t( τ = α senh ( α τ. (15 Como o omportamento da função seno hiperbólio implia em t τ, 15 Ana afirma que o tempo transorre mais lentamente para Bob do que para ela. Vimos na Se. 2.3 que essa é uma onlusão partiular ao referenial de Ana, pois observadores de outros refereniais, omo Bob, geralmente disordam alegando que Ana hega a tal onlusão omparando dois relógios fora de sinronia om o relógio de Bob. Para evitar tal ambiguidade, na próxima seção, ompararemos o registro feito por Ana e Bob para o intervalo entre seus dois enontros, pois, para tal registro, ada um usa somente um relógio. Futuramente, na Se. 4.1, também preisaremos da relação entre x e τ. Esta é obtida usando-se (15 para eliminar t na expressão para a posição de Bob, dada em (13. O resultado é x( τ = 2 α osh ( α τ. (16 15 Além do método gráfio, uma maneira prátia de onstatar isso é pela expansão em série de Taylor do seno hiperbólio: senh x = x + x 3 /3! + x 5 /5! + > x para todo x > 0. Para uma omparação entre os tempos registrados por Ana e Bob a respeito da qual todos refereniais onordem, onsideraremos o intervalo entre seus dois enontros no ponto x = X A. Pela simetria do movimento de Bob, digamos que o primeiro enontro oorre no instante T e o segundo no instante T no relógio de Ana. Assim, ela registra o intervalo de tempo próprio τ = 2T e, da relação (14, prevê que Bob registra τ = (2/α senh 1 (αt/. Da razão τ τ = (αt/ senh 1 1, (17 (αt/ e em omparação ao primeiro enontro om Bob, Ana onlui que, no momento do segundo enontro, terá envelheido mais do que ele pelo fator de τ/ τ. 16 Poderíamos ter a falsa impressão de que a dilatação do tempo (17 depende da aeleração de Bob. No entanto, onsiderando a hipótese do relógio, disutida na Se. 2.4, sabemos que este não deve ser o aso. O que faremos a seguir é mostrar que a razão τ/ τ só depende do módulo da veloidade relativa entre Ana e Bob em seus enontros. O instante T e o módulo da veloidade de Bob nos dois enontros, U u(t, podem ser obtidos de (13 tomando-se x = X A k 2 /α. O resultado é T = α k2 1 = senh φ, (18 α U = k2 1 tanh φ. (19 k A segunda igualdade de (19 nada mais é do que a definição da rapidez φ de Bob alulada no instante T. 17 Tal definição permite identifiar φ omo sendo o ângulo do triângulo hiperbólio da Fig. 4a, o que justifia a segunda igualdade de (18. Por onveniênia futura, também podemos identifiá-lo omo o ângulo na Fig. 4b. Como disutido no iníio desta seção, Ana registra o intervalo τ = 2T entre os dois enontros e prevê que Bob registra τ = (2/α senh 1 (αt/. Finalmente, utilizando (18 para eliminar T, o intervalo registrado por Ana é τ = 2T = 2 α senh φ = 2γ U U α, (20 16 Atentando-se às notações diferentes, o resultado (17 onorda, por exemplo, om o obtido na Eq. (9.6 de [6] e o resultado da Se. B de [7]. 17 Na TRE, a rapidez φ de uma partíula é definida por tanh φ(t u(t/ [22]. Esta pode ser interpretada omo uma definição mais natural de veloidade para o espaçotempo da TRE, pois a rapidez relativa é obtida por uma regra simples de adição φ AC = φ AB + φ BC. Revista Brasileira de Ensino de Físia, vol. 41, nº 3, e , 2019

9 Freitas e Gomes e entre seus dois enontros om Ana e também prever que ela registra (20 para tal intervalo. Para hegar a tal resultado, é neessário entender omo Bob faz medidas de distânia e registros de tempo. Portanto, primeiro omeçamos onstruindo o referenial S de Bob. (a Figura 4 (b sendo o valor de sinh φ obtido da Fig. 4b, onde γ U 1/ 1 U 2 / 2 é o fator de Lorentz entre Ana e Bob nos instantes ±T. Para o registro previsto para Bob, tem-se ( αt ( U, τ = 2 α senh 1 = 2φ α = 2 α tanh 1 (21 onde, novamente, usamos a Fig. 4b para eliminar φ. A razão entre os intervalos é τ τ = γ U U/ tanh 1 1. (22 (U/ O omportamento desta razão em função de U está representado no gráfio da Fig. 5, o qual ilustra a onlusão de que τ τ. Em partiular, vemos que τ/ τ independe da aeleração de Bob, omo esperado tendo-se em mente a hipótese do relógio, e é função somente da veloidade relativa U entre Ana e Bob no momento dos enontros. 4. O Problema dos Gêmeos do Ponto de Vista de Bob Por vir de uma omparação entre tempos próprios, todos refereniais ineriais, inlusive um instantaneamente em repouso junto a Bob, devem hegar às mesmas onlusões que Ana, disutidas na Se Portanto, Bob deve onstatar que seu relógio registra (21 para o intervalo 4.1. Construção do referenial de Bob Seguindo a definição de referenial feita na Seção 2.1, na onstrução do referenial uniformemente aelerado S, no qual Bob está em repouso, onsideramos Bob omo sendo apenas um dos infinitos observadores que onstituem tal referenial. A partir do onjunto de réguas e relógios-padrão arregados por tais observadores, podemos loalizar eventos no espaçotempo por meio de oordenadas ( x, t deste referenial. Para que S seja um referenial rígido, seus observadores devem estar em repouso relativo um ao outro, de modo que a separação δ x entre observadores adjaentes nuna mude. Do ponto de vista do referenial inerial S, a separação δx entre estes observadores adjaentes deve satisfazer, em ada instante, a ontração do omprimento prevista pela TRE, δx = δ x/γ, sendo γ = γ(t o fator de Lorentz instantâneo entre o par de observadores adjaentes de S e o referenial S [25, 26]. 18 Exigir que o referenial S seja rígido implia que os observadores que o ompõem não podem possuir a mesma aeleração própria. Para entender isso, imagine se este não fosse o aso. Considere um par de observadores, um satisfazendo x 1 (0 = 2 /α e o outro x 2 (0 = 2 /α + δx, sendo δx o omprimento da régua que mede a separação entre os dois no referenial S. Se ambos possuem a mesma aeleração própria α, a trajetória do primeiro observador é desrita pela hipérbole x 2 2 t 2 = 4 /α 2 e a do segundo por (x δx 2 2 t 2 = 4 /α 2. Isso signifia que, do ponto de vista de S, o omprimento da régua entre os dois é δx em todos instantes, independente de sua veloidade. A situação está ilustrada na Fig. 6, onde as hipérboles em verde representam os observadores e as retas em marrom representam a régua entre eles em diferentes instantes. Como a ontração do espaço prevê que δx = δ x/γ, sendo γ = γ(t, estes dois observadores não podem estar em repouso relativo do ponto de vista do referenial S. Pelo ontrário, para t > 0, por exemplo, eles devem estar afastando-se um do outro, tensionando a régua onforme δ x aumenta, de modo a manter δx inalterado. Portanto, um referenial uniformemente aelerado não pode ser rígido aso todos observadores que o ompõem, junto às Figura 5 18 Como apresentada aqui, a ontração do omprimento satisfaz a hipótese do omprimento [10]. Esta diz que δ x/δx = 1/ 1 v 2 (t/ 2, onde δ x é o omprimento infinitesimal de uma régua no seu referenial de repouso S e δx é o seu omprimento omo observado em S. Segundo esta hipótese, a ontração do omprimento depende apenas do módulo da veloidade instantânea relativa entre S e S. Revista Brasileira de Ensino de Físia, vol. 41, nº 3, e , 2019

10 e Dilatação do tempo, refereniais aelerados e o paradoxo dos gêmeos Figura 6 suas réguas-padrão, movam-se om a mesma aeleração própria.19 Considerando que ada observador de S move-se, do ponto de vista de S, om um valor espeífio αobs de aeleração própria, esolheremos ondições iniiais análogas às de Bob para o movimento de ada um: o observador em x de S satisfaz x(0 = 2 /αobs e u(0 = 0. Isso garante que Bob mantém-se sempre em repouso relativo ao referenial S. De modo análogo à Bob, a trajetória em S de ada observador de S será desrita pela hipérbole x2 2 t2 = (2 /αobs 2. Esta equação junto à ondição de rigidez (δx = δ x /γ determina a aeleração própria de ada observador em função de x [29]. Em partiular, enontramos αobs (x = 2 /x.20 Este resultado arrega a esolha de que a origem do referenial S oinide om a origem do referenial S no instante t = 0 e também que o observador em x = 2 /α possui aeleração própria α, identifiando-o omo sendo Bob. Uma esolha onveniente é ajustar a oordenada temporal t do referenial S para sempre oinidir om o tempo próprio registrado pelo relógio de Bob. Para isso, a definimos omo t 2 τ obs /αx. Nesta relação, ressaltamos que o tempo próprio de ada observador, τ obs, é uma função de x. Essa dependênia é esperada, pois ada observador de S possui uma aeleração própria diferente, de modo que, segundo o referenial S, seus relógios exibem gradual perda de sinronia devido à dilatação do tempo ausada por suas veloidades relativas. Da definição de t, o relógio de ada observador de S está ajustado para marar τ obs = 0 em t = 0. Como, na Se. 3.2, ajustamos o relógio de Bob para indiar τ = 0 em t = 0, neste mesmo instante também temos t = 0 no referenial S. A inemátia de ada observador de S é análoga a de Bob, resumida pelas equações (13, (15 e (16 da Se. 3.2, mas om aeleração própria dada por αobs (x = 2 /x e tempo próprio dado por τ obs = αx t /2. Primeiramente, segundo o referenial S, a trajetória de ada um desses observadores é uma hipérbole no espaçotempo, x2 2 t2 = x 2. Cada uma destas hipérboles representa uma linha de x onstante em S. Por fim, a razão entre a oordenada t e a oordenada x de um observador de S fornee a relação t/x = tanh(αobs τ obs /, que pode ser reesrita omo t/x = tanh(αt /. Portanto, linhas de simultaneidade em S, isto é, linhas de t onstante, são retas de inlinação tanh(αt / segundo o referenial S. Desta análise, representamos o referenial S, omo observado de S em t = 0, na Fig. 7. Outros dois aspetos mereem destaque na Fig. 7. O primeiro é que, omo αobs > 0 para todos observadores de S, a relação αobs (x = 2 /x nos diz que o sistema de oordenadas (x, t restringe-se à região x > 0. O segundo é que nenhum destes observadores pode oupar a posição x = 0. Da equação da trajetória de ada observador (x2 2 t2 = x 2, um observador em x = 0 deveria desloar-se tão rápido quanto à luz, o que é impossível. Logo, x = 0 é um ponto singular no referenial S. Por isso, destaamos em vermelho a linha de x = 0 na Fig. 7. Consequênias disso serão disutidas na Se Transformações de oordenada entre S e S Construído o referenial de Bob, o próximo passo é obter as transformações que relaionam as oordenadas do seu referenial às do referenial de Ana. Para isso, utilizamos o resultado αobs = 2 /x e a definição t 2 τ obs /αx junto às versões de (15 e (16 para um observador de S qualquer. O resultado é t = x senh αt, x = x osh αt. (23 19 Essa é uma das sutilezas que residem por trás do hamado paradoxo das espaçonaves de Bell, originalmente publiado em [27] e popularizado por John S. Bell em [28]. 20 Para deduzir isso, onsidere dois observadores de S om aelerações próprias diferindo de δαobs. A separação δx entre os dois em um instante t é obtida variando-se x em x2 2 t2 = (2 /αobs 2, resultando em δx = (4 /α3obs xδαobs. O fator γ entre S e S neste instante vale αobs x/2, obtido utilizando-se a veloidade da Eq. (13 om αobs no lugar de α. Com estes resultados e a ondição δx = δ x /γ, uma integração simples resulta em αobs (x = 2 /x ao esolher-se αobs = α em x = 2 /α. Revista Brasileira de Ensino de Físia, vol. 41, nº 3, e , 2019 Figura 7

11 Freitas e Gomes e Estas são as transformações que relaionam as oordenadas (x, t do referenial inerial S om as oordenadas ( x, t do referenial aelerado S, também hamadas de transformações de Rindler [30]. As transformações inversas são t = 2 α tanh 1 ( t x, x = x 2 2 t 2. (24 Enquanto as transformações de Lorentz (1 e suas inversas (3 são estruturalmente idêntias, o mesmo não pode ser dito a respeito das transformações de Rindler e suas inversas. Isso, laro, é fruto da não- equivalênia entre os refereniais S e S. Em partiular, uma onsequênia é que, enquanto eventos em qualquer ponto do espaçotempo são identifiáveis pelas oordenadas (x, t, somente aqueles dentro da região 0 < x < e x < t < x podem ser identifiados por oordenadas ( x, t. 21 Fisiamente, isso signifia que somente eventos nesta região podem ser observados pelos observadores de S Espaçotempo observado por Bob Por ausa da onlusão que enerra a seção anterior, Bob observa o espaçotempo de modo diferente do de Ana. Enquanto Ana observa que distânias e intervalos de tempo infinitesimais se relaionam por ds 2 = 2 dt 2 + dx 2, Bob observa que estes se relaionam por 22 ds 2 = ( 2 α x 2 2 d t 2 + d x 2. (25 Para Bob, é omo se ele vivesse em um espaçotempo om araterístias diferentes daquele onde Ana vive. Ambos estão no espaçotempo de Minkowski, araterizado por (9. Apesar disso, somente a região 0 < x < e x < t < x deste espaçotempo pode ser observada por Bob. 23 Por este motivo, suas medições de d x e d t equiparem-se às feitas em um espaçotempo araterizado por (25, o hamado espaçotempo de Rindler. Por ausa do seu movimento aelerado, Bob observa a luz propagar-se om veloidade diferente de [31]. O motivo disso reside em omo Bob observa o próprio espaçotempo. De aordo om Ana, o movimento da luz é tal que o desloamento espaial (dx sempre oinide om o temporal (dt, pois = dx/dt. Logo, o intervalo invariante (9 para o movimento da luz sempre se anula. Isso é verdade em qualquer referenial inerial e, em partiular, 21 Isso pode ser onstatado pela Fig. 7. De modo mais formal, a primeira relação em (24 é válida para 1 < t/x < 1, ou seja, para x < t < x. A mesma ondição garante a validade da segunda relação. Por fim, tal ondição é respeitada somente para 0 < x <. 22 Esta relação pode ser obtida alulando-se as difereniais dx e dt em termos de d x e d t por meio de (23 e substituindo-as em ds 2 = 2 dt 2 + dx Cuidado om a diferença entre ver e observar (nota de rodapé 5. Bob pode até ver um evento fora da região 0 < x < e x < t < x, mas não pode observá-lo, pois, fora desta região, não há observadores de S para registrar as oordenadas do evento. ds 2 = 0 é verdade também em um referenial inerial que esteja em repouso instantâneo junto à Bob. Por observar um espaçotempo de Rindler, Bob alula ds 2 segundo (25 e observa a luz propagar-se om veloidade v = d x/d t = ±α x/ que varia de aordo om a posição x da luz. Por exemplo, sinais luminosos propagando-se em direção a x = 0 movem-se de modo ada vez mais lento onforme aproximam-se do seu destino, nuna efetivamente hegando nele, omo se fiassem ongelados em suas proximidades. 24 Apesar deste omportamento peuliar, o espaçotempo observado por Bob exibe urvatura nula [29], pois nada mais é do que o espaçotempo de Minkowski observado segundo um referenial aelerado todas peuliaridades desritas sumiriam se, em algum momento, o movimento de Bob se tornasse inerial. Na próxima seção, desejaremos ilustrar o movimento de Ana, omo observado por Bob, em um diagrama de espaçotempo. Para interpretá-lo, ajudará saber qual é a equação da trajetória de raios luminosos no referenial S. Esta é obtida integrando-se a expressão para a veloidade da luz, sendo o resultado t = ±(/α ln( x/ x o, onde x o é a posição do raio luminoso no instante t = 0. Essa equação define o one de luz no referenial de Bob. Por exemplo, neste referenial, o one de luz de Bob no instante t = 0 é desrito por t = ±(/α ln(α x/ 2, ilustrado pelas linhas traejadas em vermelho na Fig Cinemátia de Ana segundo Bob No referenial S, Bob enontra-se em repouso em x = 2 /α e Ana, por sua vez, está em movimento. A equação da trajetória de Ana é obtida tomando-se x = X A k( 2 /α na segunda expressão de (23, sendo dada por ( x( t = k2 α t α seh. (26 Figura 8 24 Esse omportamento é análogo ao observado para raios luminosos próximos ao horizonte de eventos de um burao negro [30]. Em partiular, pode-se mostrar que o espaçotempo observado por alguém em repouso a uma erta distânia do horizonte de eventos de um burao negro de Shwarzshild é loalmente indistinguível do espaçotempo observado por Bob [31]. Revista Brasileira de Ensino de Físia, vol. 41, nº 3, e , 2019