Indutância. 1 Resumem da aula anterior. 2 Propriedades magnéticas da matéria. Aula de março de 2011

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1 Indutânia Aula 2 22 de março de Resumem da aula anterior Na aula anterior estudamos o iruito RL e vimos que a orrente no iruito, quando a fem externa está ligada está dada por i(t) = E ) (1 e R L t (1) R A diferença de potenial através da indutânia é V = E e R L t (2) O sinal negativo reflete o fato de que a orrente experimenta uma queda no potenial quando passa pelo indutor. Definimos a onstante de tempo indutiva do iruito omo: τ L = L R Quando a bateria se desliga e se oloa o iruito em urto, a orrente está dada por i(t) = E R R e L t (3) A diferença de potenial, por sua vez é V = E e R L t O sinal positivo onfirma o razonamento anterior que levou a esperar um aumento do potenial através da indutânia em nessa ondições, pareido ao assoiado a uma bateria. Também vimos omo quantifiar a energia armazenada no elemento indutivo: U B = 1 2 Li2 (4) Vimos que resulta natural definir a densidade de energia magnétia está dada por U B V ol = B2 2 (5) 2 Propriedades magnétias da matéria onforme foi estudado no urso de Físia III, a origem do magnetismo em ultima instania são as orrentes elétrias, então pq. há matérias magnétios se por eles não irula uma orrente elétria. Na verdade sim há orrentes elétrias assoiadas a todos os materiais, Devemos lembrar que todo átomo é onstituído por uma serie de elétrons que se movem em torno do núleo, onsequentemente há uma orrente elétria assoiada a esse movimento de arga e assim um momento magnétio. Além dessa orrente, ada elétron tem assoiado uma outra orrente vinulada à um movimento propriedade da partíula que não tem analogia lássia (alguns gostam de assoiar ao giro do elétron no seu eixo), essa propriedade é onheida omo spin. Agora, porque alguns materiais são 1

2 Figura 1: orrente superfiial resultado da soma de todas as orrentes internas. magnétios, outros são não magnétios e até há alguns que podem ser onvertidos em magnétios, se todos eles tem elétrons? A resposta é que o magnetismo marosópio está assoiado a uma luta de dois efeitos ompetitivos, o ampos apliados exteriormente ou os ampos de origem atômios que tendem a alinhar os dipolos magnétios e a agitação térmia que provoa movimentos ao azar das partíulas, produzindo uma distribuição ompletamente aleatória de momentos magnétios orrespondente a um momento neto igual a zero 1. Assim, para entender a origem do magnetismo em um material magnétio ou magnetizável devemos onsiderar as orrentes atômias existentes no material. onsideremos que temos um material onde todos os dipolos estão alinhados (lembremos que o momento dipolar magnétio de uma espira se define omo µ = i A, onde A é a o vetor área que tem direção dada pela regra da mão direita), dessa forma as orrente todas giram no mesmo sentido. omo se pode observar na figura 1 o resultado dessa onfiguração é uma orrente elétria superfiial i m, assim podemos onsiderar esta orrente omo a fonte do magnetismo do material, assim o momento magnétio assoiado a essa orrente é µ m = i m A (6) 1 O primeiro a supor que o magnetismo tem origem em orrentes internas dentro do material foi Ampère. Figura 2: Material om forma toroidal magnetizado uniformemente. onde A é a área transversal. Vale lembrar que essa orrente superfiial é resultado da superposição de uma plano espeífios de átomos, por tanto, esperamos ter inúmero planos similares ao longo do orpo. Observe que podemos onsiderar que ada ela (que supomos ontem uma orrente fundamental, omo um átomo) possui um pequeno momento magnétio: µ m = i m A onde A é a área de ada ela. Vamos definir uma grandeza que mede o momento magnétio assoiado a um dados volume µ m M = lim V 0 V = d µ m dv (7) essa grandeza reebe o nome de magnetização assoiada ao elemento de volume. É evidente que, o momento dipolar total, independente da onfiguração atômia, é igual a µ m = M dv A fim de enontrar uma relação entre i m e M (M pode ser medido em lab. failmente ) onsideremos uma bobina toroidal de N voltas, onstruída sobre um núleo feito de um material que pode adquirir uma magnetização (isto é, os ampos internos venem a agitação térmia). Pelos fios da bobina irula uma orrente i, e pela superfíie do material magneti- 2

3 zável temos a orrente de magnetização atômia i m devido aos dipolos magnétios. No interior do toro teremos dois ampo, o ampo B e o ampo M. A partir da equação 6 e 7 podemos enontrar uma relação entre i m e M. Para isso vamos onsidera um elemento do toro, omo mostra a figura 2 M = dµ m dv = Adi m A (rdθ) = di m rdθ A quantidade de orrente 2 distribuída sobre a superfíie depende da quantidade de momentos que ontribuem e essa quantidade está diretamente relaionado om a largura do elemento do toro. Si em todo o toro temos uma orrente i m então num elemento ds = rdθ teremos = M ds dando um aráter vetorial obtemos e oloando M dentro da integral (o M independe do aminho de integração nesse exemplo) i m = M d s Agora, apliando a lei de Ampère a todo o toro B d s = µ o i t onde i t é a orrente total dentro do ontorno ampereana de integração, evidentemente i t = i + i m dessa forma ou di m = rdθ 2πr i m = dθ 2π i m M = 1 rdθ ( ) dθ 2π i m = i m 2πr assim B d s = µ o i t B d s = Ni + i m B d s = Ni + M d s i m = 2πrM (8) Observe que de 7 µ e M são paralelos, da figura 2 observamos µ e B são paralelos, onsequentemente M e B são paralelos, de fato eles sempre são paralelos. Observando a equação 8 perebemos que ela é o produto de um ampo vezes o omprimento do toro: i m = M (2πr) 2 Quantidade signifia o número de loop que existem nessa seção fina do toroide. Ao longo de todo ele esperamos que exista um número infinito desse loops. Isso é muito similar ao que aontee om a diferença entre o ampo gerado por um solenoide, B = 1/2 (N/l) i, enquanto que para uma espira é B = 1/2 i/r, isto é, no aso da espira temos que ele aumenta om N. onde ( ) B M µ d s = Ni 0 se definimos a intensidade magnétia (ou intensidade de ampo magnétio) omo podemos esrever H B M H d s = i (9) onde i é a orrente om origem nas argas moveis enerrada no ontorno ampereana de integração. Similarmente à M, a unidade de H é A/m. Ainda que esse resultado tenha sido 3

4 obtido para o aso do toroide, ele é ompletamente geral. Assim vemos que o ampo H tem uma origem físia totalmente diferente de o ampo B. O ampo H é produto das orrentes resultantes do movimento das argas ( orrentes verdadeiras ) em um meio ondutor, enquanto o ampo B B = ( H + M ) resulta da ontribuição das orrentes verdadeiras e as orrentes atômias. Uma forma de entender está diferença é dizendo que o ampo H é um ampo de origem externa apliada ao material, enquanto que B é o ampo medido no material, entanto que M é o ampo próprio do material. É importante ter laro que a lei de Ampère 9 só garante que a integral H d s em torno de uma trajetória fehada será somente determinada pelas orrente verdadeiras que estão dentro da orrente ontudo, é possível que M afete o vetor H mas não a integral H d s. Por exemplo, num ímã permanente não há nenhuma ampereana que englobe uma orrente real e mesmo assim há ampo H. É razoável supor que deve existir alguma relação entre H e M. Sabemos que o número de momentos magnétios atômios dependem da intensidade do ampo H apliado. A forma mais simple que podemos supor para essa relação é um omportamento linear M = χ m H (10) Tabela 1: Suseptividades magnétias Substania χ m Alumínio 2, Bismuto 1, obre 1, Ouro 3, humbo 1, Magnésio 1, Platina 2, Prata 2, Agua 0, rk(so 4 ) 2 12H 2 O 2, u(so 4 ) 5H 2 O 1, Gd 2 (SO 4 ) 3 58HO 2, MnF 2 4, ol 2 3, F el 2 3, F el 3 2, Nil 2 1, Ferro (doe) 5000 dade magnétia do material. Para alguns materiais a relação linear que define a suseptibilidade magnétia deixa de ser válida se o ampo H é muito intenso. Mas existem materiais omo o o Ferro, Níquel, obalto onde não é valida a relação 10, nem mesmo para valores pouo intenso de ampo, mas desses materiais uidaremos mas à frente. Agora suporemos que temos materiais magnetiamente lineares, nessa situação B = ( H + M ) = (1 + χ m ) H = µ H onde a onstante De fato, experimentalmente se observa que para uma ampla faixa de ondições e para diversos materiais essa relação é válida. A onstante χ m é uma grandeza que arateriza o material e reebe o nome de suseptivi- µ = (1 + χ m ) se onhee omo permeabilidade magnétia (absoluta) do material. As vezes resulta útil também falar da permeabilidade relativa 4

5 do material K m = µ 1 + χ m Esses resultados expliam o porque quando temos um solenoide de ar (µ = ) o ampo é menor do que quando oloamos dentro do solenoide um núleo magnetizável onde µ = (1 + χ m ). ontudo, em geral a suseptividade magnétia é pequena na maioria dos materiais, uma exepção é o ferro que ainda que não se omporte de forma linear, a suseptividade efetiva é muito maior do que qualquer material (ver tabela 1). A razão deste omportamento tão díspar observado para o ferro e outros materiais ferromagnétios é que os dipolos magnétios atômios tendem a se alinhar uns om outros quando sujeitos a um ampo externo. Há outras substanias om suseptividade magnétia positiva pequena e independente da intensidade magnétia apliada (para ampos pequenos). Em tais materiais os dipolos se alinham ao ampo externo apliado porém não se influeniam mutuamente de forma signifiativa omo no aso dos ferroelétrios. Essa substanias reebem o nome de materiais paramagnétias. Da tabela 1 observamos que há substania om suseptividade negativa. Nesse materiais, de foma similar ao que aontee nos materiais paramagnétios, os momentos são independente entre si, a tendenia dos momentos magnétios é de se alinhar na direção oposta. Esse materiais reebem o nome de materiais diamagnétios. orbita irular de raio r = 0, m om veloidade angular onstante ω. A atração eletrostátia entre o elétron e o próton é proporional à força entrípeta neessária para reter o elétron na sua orbita irular. Utilizando oneitos lássios de que o momento magnétio é o produto da orrente pela área dentro da irunferênia perorrida pelo elétron, determine o momento magnétio orbital do átomo de hidrogênio. Qual é a relação entre o momento magnétio à quantidade de movimento angular do elétron? Exemplo 2 Uma bobina toroidal fina, tem raio médio de 10 m e uma área transversal de 3, 0 m 2, om 3142 voltas de fio ondutor (50 voltas/m ao longo da irunferênia média). Suponha que a bobina está enrolada sobre a superfíie de um núleo paramagnétio toroidal de suseptibilidade χ m = 4, Se faz fluir uma orrente onstante de 3, 5 A nas espiras. Enontre (a) a intensidade magnétia H dentro da bobina, (b) a magnetização M,() a indução magnétia B dentro da bobina e (d) a orrente superfiial total de magnetização i m. Qual seria a indução B si não tivesse o núleo paramagnétio?. Suponha agora um núleo ferromagnétio om permeabilidade relativa de 1200 om omportamento linear. Exemplo 1 Em um átomo de hidrogênio se pode onsidera que um elétron gira na volta de um próton num 5