( AB ) é o segmento orientado com origem em A e extremidade em B.

Transcrição

1 FUNDÇÃO EDUIONL UNIFID MPOGRNDENSE (FEU) FULDDES INTEGRDS MPO-GRNDENSES (FI) OORDENÇÃO DE MTEMÁTI Estrada da aroba, 685, ampo-grande/rj - Tel: Sites: Disciplina: nálise Vetorial ssnto: Vetores no R 2 e no R 3 I - VETORES om grande aplicação em Física, Engenharia, Matemática, Informática e otros ramos das iências, os etores estão associados a certos tipos de grandezas e se torna a ferramenta mais adeqada para sa representação. lém disso, as operações com etores agilizam cálclos e facilitam cálclos importantíssimos, fndamentais ao desenolimento tecnológico. Dessa forma, amos aproeitar para conhecer os dois grandes grpos de grandezas e perceber qando se dee aplicar os conteúdos relatios a etores. Grandezas como temperatra, pressão, massa, potência e otras podem ser completamente definidas por m único alor nmérico, qe está associado a sa intensidade (módlo). Essas grandezas são denominadas grandezas escalares. Otras grandezas (como elocidade, força, etc.) precisam, além da intensidade (módlo), de ma direção e de m sentido. Essas otras grandezas são denominadas grandezas etoriais. 1 - Segmento Orientado Um segmento de reta possi apenas módlo (comprimento) e direção (dada pela reta sporte). Qando se dá a ele m sentido, passa a ser m segmento orientado. r ( ) é o segmento orientado com origem em e extremidade em. Módlo: é a distância de até ( ). Direção: é a mesma da reta r (sporte). Sentido: é dado pela origem () e pela extremidade (), isto é, de para. 2 Eqipolência Dois segmentos orientados são ditos eqipolentes qando têm: mesma direção, mesmo módlo e mesmo sentido. 3 Vetor É a representação de m conjnto de segmentos orientados eqipolentes, o seja, m etor pode representar qalqer segmento orientado de mesma direção, mesmo módlo e mesmo sentido. Todos os segmentos orientados com a mesma direção, mesmo módlo e mesmo sentido podem ser representados por m único etor. 1

2 Vetores no R2 e no R3 nálise Vetorial 4 omponentes de m Vetor Para encontrar os componentes do etor, efetamos a sbtração das coordenadas dos pontos e : (extremidade menos origem) 5 Vetor no Plano (R2) Verificando atraés do cálclo das coordenadas: Obsere a figra: y D OP (2,4) (5,2) ( 3,2) D D (1, 2) (4, 4) ( 3,2) OP P O ( 3,2) (0,0) ( 3,2) P O D x Nesse exemplo, é o etor ( ) aplicado em e Nela, o mesmo etor ( ) está representado pelos três segmentos orientados:, D e OP. D é o etor ( ) aplicado em. Obs.: Procra-se estdar o etor na origem do sistema cartesiano, por isso o representaremos apenas por m par ordenado. 6 - Vetor no Espaço (R3) Tdo qe foi isto até agora nos axiliará no entendimento do espaço etorial R3, onde passamos a ter três dimensões: abscissa (x), ordenada (y) e cota (z) Obsere: z (eixo das cotas) P O y (eixo das ordenadas) x (eixo das abscissas) De maneira análoga, m etor do R 3 é dado por: x, y, z x, y, z x x, y y, z z 2

3 nálise Vetorial Vetores no R 2 e no R 3 EXERÍIOS 1 - Represente graficamente os etores do R 2 : 1,5 a) b) 4, 2 w c) 0, Represente graficamente os etores do R 3 : a) 5,2, 4 b) 0, 2, 0 w c) 2, 3, Dados os pontos do R 3 : (2,5,7), (1,7,9) e (0,1,3), determine as coordenadas dos etores: a) c) e) b) d) f) 4 - onsidere o paralelepípedo reto-retânglo da figra abaixo no qal os értices,, D e E estão sobre os eixos z coordenados. E H F... G D y x Se o ponto G tem coordenadas (3, 5, 4), determine as coordenadas dos etores: a) G b) F c) d) H e) E f) DF 3

4 nálise Vetorial Vetores no R 2 e no R 3 II - OPERÇÕES OM VETORES 1 - Mltiplicação de m Vetor por m Escalar Dado m número k R e m etor, tem-se: - no R 2 : x, y k. kx, ky - no R 3 : x, y, z k. kx, ky, kz Obserações importantes: I) O etor qando mltiplicado mantém a mesma direção e se k > 0 mantém o mesmo sentido, caso contrário, k < 0, o noo etor terá sentido oposto em relação ao original. k. k 0 k. k 0 II) Se k > 1, se módlo amenta, porém qando 0 < k < 1, o módlo dimini. 2 - dição de Vetores onsiderando os etores s, e, temos: - no R 2 : s s x x, y y - no R 3 : s s x x, y y, z z OS: O etor diferença d é obtido atraés da soma do etor com o etor ( ), qe é o etor oposto de. Visalização: Regra do Paralelogramo Regra da Poligonal w w t t 4

5 2.1 - plicações nálise Vetorial Vetores no R 2 e no R 3 a) Ponto médio de m segmento. M Se M é ponto médio do segmento, então: M M M - = - M 2M = + M 2 b) aricentro de m Triânglo. G Se G é o baricentro do triânglo, então: G 2 GM G - = 2(M - G) G - = 2M - 2G 3G = 2M + (I) omo sabemos, M é ponto médio de, portanto: M ( II ). 2 De (I) e (II) tem-se: 3 G 2. 2 G 3 M EXERÍIOS 1 - Dados os etores (3,4) e (5,1), determine: a) b) c) d) Sabendo qe os etores (3,4), ( 2x,7) é o etor nlo, determine os alores de x e y. e w ( 1,3 y) estão relacionados por: 2 3 w 0, onde 0 3 Sabe-se qe é m triânglo e M é ma de sas medianas. Se, no R³ as coordenadas de dois dos ses értices são = (3, 2, -6) e = (-5, 0, 2), qais são as coordenadas de M? 4 - Sendo, = (3,2) e (5,8), calcle as coordenadas de. 5

6 nálise Vetorial Vetores no R 2 e no R Sejam os pontos, e, do R², colineares e tais qe. Se = (2, 5) e = (4, -1), determine. 6 alcle, no R³, as coordenadas do baricentro do triânglo cjos értices têm as segintes coordenadas: P(6, 1, 3), Q(2, 1, 4) e R (-2, 1, 2). 7 - No hexágono reglar da figra abaixo, O e O, então F é igal a: a) ( ) D b) ( ) O c) 2( ) F d) 2( ) e) 2 o2 8 - Na figra a segir D é m paralelogramo e é ponto médio do segmento E. Se afirmar qe E é: D e D, pode-se a) 2 b) 2 c) 2( ) D d) 2( ) e) 2 E 9 - onsidere os etores = (-1, 2, -3) e = (x, y, 6). Determine o alor de x + y, de modo qe esses etores sejam colineares íblia nos conta sobre a iagem de braão à Terra Prometida. braão sai da cidade de Ur, na Mesopotâmia (atal Iraqe) e caminho até a cidade de Harã. Depois, caminho até anaã, a Terra prometida (atal Israel). Fixando m sistema de coordenadas cartesianas retanglares, em m mapa do Mndo ntigo, considere a cidade de anaã localizada no ponto O = (0,0), a cidade de Harã localizada no ponto H = (2, 7/2), a cidade de Ur localizada no ponto U e o etor UH = (- 1/2, 11/2). Nesse sistema de coordenadas, pode-se afirmar qe o ponto U é: a) (5/2, -2) b) (2, -2/5) c) (-2, 2/5) d) (-2/5, 5/2) e) (5, 2/5) 6

7 nálise Vetorial Vetores no R 2 e no R onsidere os etores do R 2 abaixo representados: 3 2 alcle a b 5c Na figra a segir, DEFGH é m octógono reglar. H G F E Se, H, t e D w, determine, em fnção de,, t e w : a) E D b) G 13 - Qalqer paralelogramo tem ses lados opostos paralelos e de mesma medida. Sabe-se qe três dos qatro értices do paralelogramo D são dadas por: (1, 3), (- 3, 5) e (0, 6). ssim, determine as coordenadas: a) do ponto de interseção das diagonais desse paralelogramo; b) do értice D. 7