Ábacos de concreto armado solicitado à flexão reta

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1 Ábaos e onreto armao soliitao à fleão reta Graphis of reinfore onrete with uniaial bening moments Elias Antonio Niolas (); Flávio e Oliveira Costa (); Clayton Reis e Oliveira (); Nilson Taeu Maa(3) () Professor Doutor, Univerae Aventista e São Paulo () Professor Doutor, Departamento e Estruturas - Univerae Estaual e Campinas (3) Professor Mestre, Departamento e Estruturas e Eifiações - Univerae o Estao e Minas Gerais (Passos) (4) Professor Livre Dosente, Departamento e Estruturas - Univerae Estaual e Campinas eliasni@hotmail.om Resumo Esta pesquisa refere-se ao estuo e ritérios e restênia e peças e onreto armao soliitaos à fleão reta. O objetivo prinipal este trabalho foi eterminar as equações e equilíbrio o onreto e o aço e através as equações onstruir ábaos e imenonamento e esenvolver um programa e omputaor para alular a armaura e forma rápia e ireta. Foi utilizao o iagrama tensão-eformação parábola-retângulo o onreto. O álulo manual a armaura em pilares e onreto armao é muito trabalhoso e eige muito tempo, portanto o uso e um programa omputaional é inispensável para resolução o problema. Os ábaos poem ser utilizaos urante o enno e onreto armao, enquanto o programa omputaional poe ser utilizao na via profisonal o engenheiro ivil. Palavra-Chave: onreto armao, imenonamento, fleão reta, ábao, programa omputaional Abstrat This researh eals with the stuy of failure riteria of reinfore onrete with uniaial bening moments. The main objetive this work was to etermine the equilibrium equations of onrete an steel an to onstrut iagrams an to evelop a software to alulate the reinforement of fast an iret wise. It was use the paraboli-retangular stress-strain urve of onrete. The manual alulation of reinforement in reinfore onrete olumns is very iffiult an slow, therefore the use of software is neessary for solve of problem. Diagrams an be use uring the euation of reinfore onrete, while the software an be use in profesonal life of ivil engineer. Keywors: reinfore onrete, uniaial bening moment, iagram, software ANAIS DO 54º CONGRESSO BRASILEIRO DO CONCRETO - CBC0 54CBC

2 Introução O objetivo prinipal este trabalho foi eterminar as equações e equilíbrio o onreto e o aço e através as equações onstruir ábaos e imenonamento para peças e onreto armao soliitaos à fleão reta. Com essa finaliae foi esenvolvio um programa e omputaor para a onfeção os ábaos e álulo a armaura e forma rápia e ireta. Foi utilizao o iagrama tensão-eformação parábola-retângulo o onreto. O álulo manual a armaura em pilares e onreto armao é muito trabalhoso, o que justifia a utilização e programas e omputaores. Os ábaos foram omparaos os e outros autores, e os resultaos foram quase iguais. Hipóteses e álulo De aoro om a NBR 68 (004), para análises no estao limite último, poe-se ser utilizar o iagrama mplifiao mostrao na figura. σs + fy - % - 0,07% 0 0,07% % s - fy Figura - Diagrama tensão-eformação paras aços e armauras pasvas Os valores mostraos abaio foram obtios para o aço CA 50A. E 00tf / m f yk 5 f,5,5 f y E 483 y y One: 4,348tf / m 0, ,07% ANAIS DO 54º CONGRESSO BRASILEIRO DO CONCRETO - CBC0 54CBC

3 E: móulo e elastiiae o aço; f : tensão e esoamento araterístia o aço; yk f y y : tensão e esoamento e álulo o aço; : eformação orresponente ao iníio a fase o esoamento. De aoro om a NBR 68 (004) para análises no estao limite último, poem ser empregaos o iagrama tensão-eformação iealizao mostrao na figura. σ 0,85 f 0 0,0% 0,35% FIGURA Diagrama tensão-eformação iealizao o onreto. As equações as urvas apresentaas na figura são: One: 0 0,% σ 0,85 f (Equação ) 0,% 0,% 0,% σ 0, 85 (Equação ) f σ : tensão o onreto; : eformação o onreto; f : tensão e álulo o onreto. De aoro om a NBR 68 (004) o estao limite último é araterizao quano a istribuição as eformações na seção transversal pertener a um os omínios na figura 3. ANAIS DO 54º CONGRESSO BRASILEIRO DO CONCRETO - CBC0 54CBC 3

4 ' ALONGAMENTO ENCURTAMENTO 0,% 0,35% a 3/7 h 3 b h ' % 0,07% 4 5 4a Figura 3 Domínios e eformações: estaos limites últimos 3 Equações e equilíbrio A resultante a força normal poe ser obtia multipliano-se a tensão o onreto pela respetiva área a seção omprimia, somaa a tensão e aa barra e aço multipliaa pela respetiva área e aa barra, tanto na tração quanto na ompressão. A resultante o momento é obtia pela multipliação a fora normal e onreto e o aço pelo seus respetivos braços e alavana. One: M N M N + M + N s s n A + A i n σ σ A (Equação 3) z A + σ A A i σ z (Equação 4) z + y (Equação 5) N : força normal e álulo; M :é o momento restente e álulo; z: é o braço a alavana (istânia o elemento ao entro e graviae a seção); : onreto; s: aço; y: istânia e um ponto genério até o entro geométrio a seção transversal. 4 Equações Aimenonais A seção genéria e onreto armao poe ser vista na figura 4. One: ANAIS DO 54º CONGRESSO BRASILEIRO DO CONCRETO - CBC0 54CBC 4

5 n: número e amaas e barras e aço; b: base a seção e onreto; h: altura a seção e onreto; : istânia a bora superior a seção até o.g. a primeira amaa e barras; : istânia a bora superior a seção até o.g. a última amaa e barras, e também a istânia a bora inferior a seção até o.g. a primeira amaa e barras; i : istânia a bora superior a seção até o.g. a amaa i ; ' amaa: n i h.g. amaa: i ' amaa: b Figura 4 Seção genéria e onreto armao Para que as equações se tornem aimenonais é neessário introuzir o valor e k, mostrao na equação 5. k (Equação 5) h A linha neutra é efinia pela equação 6: (Equação 6) A taa e armaura é efinia pela equação 7: w A f s y (Equação 7) A f é a força normal e álulo aimenonal, é o momento restente e álulo aimenonal. σ A + σ A n N A i (Equação 8) A f b h f ANAIS DO 54º CONGRESSO BRASILEIRO DO CONCRETO - CBC0 54CBC 5

6 σ A + n σ A 0,85 b h f k y A f s y A i A i + (Equação 9) b h f b h f b h f n k y + w A i K A + w s n K (Equação 0) De forma análoga a feita para enontrar o valor e, enontramos o valor e. M u + wus (Equação ) A h f 5 Compatibiliae e eformações o onreto Com a substituição as eformações e aa omínio o onreto é possível eterminar os aimenonais as equações e 3. y (Equação ) A 0,% 0,% + y y A 0,% 0,% (Equação 3) 5. Domínio Na figura 5 poe ser visto as eformações a peça orresponentes ao omínio. i i.g. % Figura 5 - Domínio ANAIS DO 54º CONGRESSO BRASILEIRO DO CONCRETO - CBC0 54CBC 6

7 0 i % (Equação 4) i ef (Equação 5) α ef % α 5. Domínio a Na figura 6 poe ser visto as eformações a peça orresponentes ao omínio a. L.N. y,00 i.g. i- - % FIGURA 6 Domínio a. 0 / 6 i % (Equação 6) i ef (Equação 7) α ef % α % (Equação 8) ( k) ( ) y ( ) ( 3 8 ) k ( ) 5 (Equação 9) 3 ANAIS DO 54º CONGRESSO BRASILEIRO DO CONCRETO - CBC0 54CBC 7

8 ( ) ( 3 8 ) k ( ) ( 4 9 ) ( ) ( k) (Equação 0) Domínio b Na figura 7 poe ser visto as eformações a peça orresponentes ao omínio b.,00 0,% a y a' L.N. i.g. i- % FIGURA 7 Domínio b. 6 3,5 3,5 i % (Equação ) i ef (Equação ) α ef % α % (Equação 3) ( k) ( ) y a ( k) (6 ) 5 a' ( k) ( ) 5 ( 6 ) ( k ) (Equação 4) 5 ANAIS DO 54º CONGRESSO BRASILEIRO DO CONCRETO - CBC0 54CBC 8

9 ( 6 ) ( ) ( 7 + ) ( ) k + k (Equação 5) Domínio 3, 4 e 4a Na figura 8 poe ser visto as eformações a peça orresponentes ao omínio 3, 4,e 4a. 0,35%,00 i L.N. y 0,0% 3/7 4/7.g. i- Domínio 3: 3,5 3,5,6905,6905,6905 Domínio 4:,6905 Domínio 4a: k FIGURA 8 Domínios 3, 4 e 4a. % i 0,35 (Equação 6) i ef α ef 0,35% α 0 0,35% y (Equação 7) ( k) 7 ( k ) (Equação 8) ANAIS DO 54º CONGRESSO BRASILEIRO DO CONCRETO - CBC0 54CBC 9

10 7 33 ( ) ( ) k k (Equação 9) Domínio 5 Na figura 9 poe ser visto as eformações a peça orresponentes ao omínio 5. 0,35%,00 i 3/7h 0,0%.g. 4/7h y -i FIGURA 9 Domínio 5. k + i 0,% (Equação 30) 3 7 ( k) i ef α ef 0,% 3 α 7 ( k) 0,% y (Equação 3) 3 ( k) ( ) 7 ( k) ANAIS DO 54º CONGRESSO BRASILEIRO DO CONCRETO - CBC0 54CBC 0

11 ( k) ( k) 3/ 7 ( k ) ( k ) 3/ 7 (Equação 3) 4 +7 (Equação 33) 0 ( ) 47 (Equação 34) Na Tabela poe ser visto as equações aimenonais a ontribuição o onreto e aa omínio. Tabela Força normal ( ) e momento ( ) aimenonal o onreto Domínio 0 0 a 5 ( ) ( ) k ( ) ( ) k k 3 6 b ( ) ( ) ( k) 5 ( ) ( ) ( 4 9 ) ( ) 6 ( 6 ) ( ) ( 7 + ) ( ) 30 k 3, 4, 4a 7 7 ( ) ( ) 33 k ( k ) 5 6 Fluograma k ( ) 47 Na figura abaio poe ser visto o fluograma para álulo os valores e e 300 k. Com esses valores, alulaos e moo rápio e preiso, utilizou-se um programa gráfio para onfeção o ábao e fleão reta em peças retangulares e onreto armao. Epliano o fluograma e uma forma mplifiaa, temos: - leitura o arranjo a armaura (quantiae e barras na primeira (b) e última amaa (bn), valor e k ( /h); - álulo o números e barras totais (nb) e a eformação e esoamento o aço (es); - estrutura e repetição que ontrola a poção a linha neutra (ese 0 + ); - verifiação a poção a linha neutra ( ) para álulo a força normal o onreto ( ) e momento o onreto ( ), e aoro om o omínio orresponente a linha neutra; - estrutura e repetição que ontrola aa amaa e barras a armaura para álulo a força normal o aço ( s ) e momento o aço ( s ); ANAIS DO 54º CONGRESSO BRASILEIRO DO CONCRETO - CBC0 54CBC

12 - somatório a ontribuição o onreto, para aa poção a linha neutra, om a ontribuição e aa barra e armaura. - nova iteração alterano-se a poção a linha neutra, e novamente somatório a ontribuição o onreto, om a ontribuição e aa barra e armaura. - para aa poção a linha neutra enontra-se um par e oorenaas ( e poeno-se plotar os pontos e obter os ábaos. Iníio ), n, b, bn, k nb b + bn + (n-) * es / 483 j : 300 b não b não m (omínio,),, ef, α m (om.3,4,4a) (omínio 5),, ef, α,, ef, α i : n es ef * (b - i) / (b - α zi -0,5+k+(i-)/(n-) * (-k) i 0,5 - zi /( - k ) es > -es es < + es s abs(es)/es s zi *abs(es)/es s 483 * es s 483 * es *zi + w*s + w*s 7 Ábaos e imenonamento Fim Figura 0 Fluograma Nas figuras e poem ser observaos ábaos geraos pelo programa, o primeiro om a relação /h 0, e o seguno om a relação /h 0,05. Os arranjos a armaura são os mesmos para os ois ábaos ( barras na amaa inferior e superior). Caa urva ANAIS DO 54º CONGRESSO BRASILEIRO DO CONCRETO - CBC0 54CBC

13 as figuras e representam um valor a taa e armaura (w). ao too são urvas variano e w 0,0 até w,. Para um maior entenimento a utilização o ábao será ao um eemplo: - arranjo e armaura o ábao a figura ( /h 0,05); - seção transversal o pilar: 0,0 0,0 m; - fk 5 MPa; - N 000 kn; - M,40 knm; Com os valores aos aima, alula-se e, obteno-se os valores e,4 e 0,5, respetivamente. Proura-se no ábao o ponto e oorenaa (,4 ; 0,5). A urva que mais se aproima esse ponto orrespone ao valor a taa e armaura (w). Para esse eemplo o valor enontrao foi e w 0,90. O mesmo valor foi obtio onsultano o ábao e VENTURINI et al. (996). Outros valores foram utilizaos para omparação, om outros arranjos e armaura, obteno-se sempre valores iêntios ao e VENTURINI et al. (996). 0,50 0,45 '/h 0, 0,40 0,35 0,30 0,5 0,0 0,5 0,0 0,05 0,00 0,0 0, 0, 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9,0,,,3,4,5,6,7,8 Figura Ábao: barras na primeira e última amaa ( /h 0,0) ANAIS DO 54º CONGRESSO BRASILEIRO DO CONCRETO - CBC0 54CBC 3

14 0,55 0,50 '/h 0,05 0,45 0,40 0,35 0,30 0,5 0,0 0,5 0,0 0,05 0,00 0,0 0, 0, 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9,0,,,3,4,5,6,7,8 Figura Ábao: barras na primeira e última amaa ( /h 0,05) 8 Conlusão Os ábaos geraos pelo programa e álulo, utilizano a linguagem e programação visual ba, foram omparaos om os ábaos e VENTURINI et al. (996), e os resultaos foram pratiamente iguais. O uso e programação torna rápia a onfeção os ábaos para qualquer arranjo e armaura. Além e gerar os ábaos, o programa poe ser utilizao para enontrar o valor a área e aço neessária para eterminaa onfiguração e armaura. Os ábaos poem ser utilizaos no enno a iplina e onreto armao. 9 Referênias ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS, Rio e Janeiro. NBR 68: Projeto e estruturas e onreto. Rio e Janeiro, 004. PINHEIRO, L. M., BARALDI, L. T, POREM, M. E.. Ábaos para fleão oblíqua. Apostila a Univerae e São Paulo Esola e Engenharia e São Carlos, 995. VENTURINI, W. S., RODRIGUES, R. O.. Dimenonamento e peças retangulares e onreto armao soliitaas à fleão reta. Apostila a Univerae e São Paulo Esola e Engenharia e São Carlos, 996. ANAIS DO 54º CONGRESSO BRASILEIRO DO CONCRETO - CBC0 54CBC 4