Apresenta-se em primeiro lugar um resumo da simbologia adoptada na formulação do método dos elementos finitos.
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- Gilberto Ramalho Valgueiro
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1 CAPÍUO 4 EEMEOS FIIOS UIDIMESIOAIS Ante e epor o métoo o elemento finito (MEF) e m moo pliável meio ontíno biimenioni e triimenioni, preent-e om lgm etlhe o o niimenionl. Qno pen e onier m imenão, o métoo reltnte não tem grne interee prátio, m erve omo introção à téni qe mi inte erão epot pr o o mi genério. O métoo o elemento finito, qe inte erá epoto, bei-e no métoo o elomento e n iretizção e m etrtr em b-etrtr. C m e b-etrtr eign-e por elemento finito e tem omportmento onheio, eno o omportmento o too oniero omo om prte. C elemento finito tem n nó, eno pen oniero epliitmente o elomento generlizo nee nó. O elomento no retnte ponto o elemento finito obtêm-e por interpolção o elomento o nó Simbologi Apreent-e em primeiro lgr m remo imbologi opt n formlção o métoo o elemento finito. bel 4. - Simbologi reltiv o métoo o elemento finito. n úmero e nó o elemento finito Comprimento brr primáti Cooren rtein Cmpo e elomento Delomento nol Fnção interpolor o fnção e form 49
2 Elemento Finito Uniimenioni - Álvro F. M. Azeveo ε B V σ p F A E Deformção Mtriz e eformção Operor iferenil ( / ) Volme brr primáti enão norml Ação eterior itribí por nie e omprimento Forç noi eqivlente à ção eterior, no gr e libere o elemento finito, no referenil lol Áre eção trnverl brr primáti Mólo e eltiie o mólo e Yong D Mtriz e eltiie ( σ D ε ) K E A J Mtriz e rigiez o elemento finito no referenil lol Coefiiente e m termo e m polinómio Cooren rtein e m nó e m elemento finito Cooren lol Mólo e eltiie nm nó o elemento finito Áre eção trnverl nm nó o elemento finito Jobino trnformção (J / ) 4. - Fnçõe interpolor o fnçõe e form Figr 4. enontr-e repreento m elemento finito niimenionl om oi nó e om omprimento. 5
3 Elemento Finito Uniimenioni - Álvro F. M. Azeveo () ( -) Fig Elemento finito niimenionl e oi nó. O únio eio ooreno qe é oniero é o eio, oorreno too o elomento prlelmente. A fnção orrepone o mpo e elomento, verifino-e o eginte ( ) () eno portnto e o elomento o nó. Coniere-e gor, omo proimção, qe lei e vrição o elomento entre o nó e é liner. et irntâni, eginte fnção elomento porqe é liner em e repeit () repreent o mpo e () O vlore nmério o prâmetro e prão er onheio epoi e nli etrtr. Colono e em eviêni em (), heg-e à eginte epreão () Em () tem-e m om e proto e fnçõe linere e pelo elomento noi e. 5
4 Elemento Finito Uniimenioni - Álvro F. M. Azeveo 5 A eqção () poe er erit em form mtriil (4) o [ ] (5) eno (6) e (7) om [ ] [ ] (8) e (9) O gráfio fnçõe linere e ini em (6) enontr-e repreento n Figr 4..
5 Elemento Finito Uniimenioni - Álvro F. M. Azeveo () () - - Fig Gráfio fnçõe () e (). A prinipl rteríti o gráfio fnçõe () e () é lient n bel 4. e onite no fto e fnção () mir o vlor nitário no nó e nlo no retnte nó. A fnção () me o vlor nitário no nó e nlo no retnte nó. Et rteríti erá lrifi inte qno e preentrem eemplo e elemento finito om mi o qe oi nó. bel 4. - Crteríti fnçõe () e (). - () () Apreentm-e em egi fnçõe e form () e () pr o o brr e oi nó e omprimento (verfigr4.). () ( - /) ( /) Fig Elemento finito niimenionl e oi nó om omprimento. 5
6 Elemento Finito Uniimenioni - Álvro F. M. Azeveo 54 De m moo emelhnte o qe foi erito pr o elemento e omprimento, tem-e eivmente () () () () 4. - Cmpo e eformçõe O mpo e eformçõe n brr é efinio o eginte moo ε (4) Ateneno (5) tem-e [ ] ε (5) Um vez qe o elomento noi e não epenem e, erivção relt ε (6) qe em notção mtriil fi ε (7)
7 Elemento Finito Uniimenioni - Álvro F. M. Azeveo Deignno por B mtriz B (8) e teneno (9), tem-e ε B (9) Deignno por o eginte operor iferenil () eqção (4) ereve-e ε () Ateneno (7) tem-e ε () Comprno () om (9), onli-e qe B () De oro om (8) e om (6), pr o o brr e omprimento, o elemento mtriz B ão o eginte (4) B (5) o o brr e omprimento, e (8) e () heg-e 55
8 Elemento Finito Uniimenioni - Álvro F. M. Azeveo B (6) (7) De (9), (9) e (7) onli-e qe, no o brr e omprimento,etem ε B (8) ete eemplo imple, epreão o mpo e eformçõe orrepone o qe e onier hbitlmente pr m brr jeit m eforço il. Um vez qe ε não epene ooren, ete elemento finito preent eformção ontnte Prinípio o trblho virti Coniere-e m orpo jeito m onjnto e forç e volme e e perfíie qe lhe provom m eformção. Com be no e eto e eqilíbrio etátio, onfigrção o orpo é moifi por m onjnto e elomento mito peqeno e omptívei om oniçõe fronteir, qe e eignm elomento virti. O prinípio o trblho virti o prinípio o elomento virti etbelee qe o trblho relizo pel tenõe intern n eformção virtl o orpo é igl o trblho relizo pel forç eteriore no elomento virti o e ponto e plição [4.] [4.]. De m moo mi implit é omm firmr qe o trblho interno e eformção é igl o trblho eterno forç pli. rblho Interno rblho Eterno (9) Apreent-e em egi m verão implifi o prinípio o trblho virti (PV) pt o o brr jeit elomento e forç pen ii. epreõe qe e egem, o prefio δ ini qe o elomento o eformçõe ão virti. 56
9 Elemento Finito Uniimenioni - Álvro F. M. Azeveo ε σ V δ V δ p () et epreão o vetor δε pen tem omponente orreponente à etenão egno o eio brr, o vetor σ pen ontem tenão norml n eção trnverl brr, o mpo e elomento ( δ ) e ção eterior itribí ( p ) pen referem omponente egno o eio brr (ver Figr 4.4). () p F F ( - /) ( /) Fig Elemento finito niimenionl jeito m ção il niformemente itribí. ete o epreão o PV () p er eginte ε σ V δ V δ p () Mtriz e rigiez e vetor oliitção Com be no prinípio o trblho virti preento n eção nterior, vi-e em egi proeer à eção epreõe mtriz e rigiez e o vetor oliitção qe ão tilizo no métoo o elomento. Deignno por A áre eção trnverl brr, tem-e V A () Um vez qe o eio brr oinie om o eio,tem-e () 57
10 Elemento Finito Uniimenioni - Álvro F. M. Azeveo A eqção (9) referi à eformção virtl é eginte δ ε B δ (4) qe é eqivlente δ ε δ B (5) A relção ontittiv o relção tenão-eformção é nete o σ D ε (6) preentno mtriz e eltiie D pen m elemento qe onite no mólo e Yong (E). Sbtitino (9) em (6) tem-e σ D B (7) A eqção (7) referi à eformção virtl é eginte δ δ (8) qe é eqivlente δ δ (9) Sbtitino to et eqçõe em () p ter-e o PV epreo por δ B D B A δ p (4) Um vez qe o elomento noi não epenem e poem pr pr for o integrl δ B D B A δ p (4) 58
11 Elemento Finito Uniimenioni - Álvro F. M. Azeveo De oro om o PV, eqção (4) é vereir pr qlqer onjnto e elomento virti, onlino-e im qe B D B A p (4) Comprno et eqção om relção e rigiez qe é tiliz no métoo o elomento K F (4) tem-e no o brr niimenionl K B D B A (44) F p (45) A epreõe (4)-(45) ão pliávei qno eginte grnez ão vriávei o longo brr: mólo e Yong (E), áre eção trnverl (A) e rg itribí (p). Apreent-e em egi o eenvolvimento epreõe (44) e (45) pr o o e E, A e p erem ontnte. K E A B B (46) Ateneno (7) K E A [ ] (47) E A E A K (48) E A E A 59
12 Elemento Finito Uniimenioni - Álvro F. M. Azeveo ete o imple o elemento mtriz e rigiez oiniem om o qe e obtêm iretmente pelo métoo o elomento. Prtino e (45), tem-e nete o em qe p é ontnte F p (49) Ateneno (8) e () tem-e F p (5) p F p (5) Et epreão tmbém oinie om qe e obtém por proeo mi imple Elemento finito niimenionl om trê nó Coniere-e o elemento finito niimenionl om trê nó repreento n Figr 4.5, jo omprimento é. () ( -) Fig Elemento finito niimenionl e trê nó. 6
13 Elemento Finito Uniimenioni - Álvro F. M. Azeveo 6 De m moo emelhnte o qe foi preento n Seção 4., onier-e qe fnção é proim pelo eginte polinómio e egno gr (5) Pretene-e qe fnção (5) repeite no nó o vlore o repetivo elomento, eno (5) Ateneno (5) tem-e (54) qe é eqivlente (55) Epliitno, e tem-e (56) Sbtitino epreõe e, e em (5), heg-e (57) qe é eqivlente (58)
14 Elemento Finito Uniimenioni - Álvro F. M. Azeveo 6 Em notção mtriil tem-e [ ] (59) Conierno [ ] (6) tem-e (6) ete o [ ] [ ] (6) (6) (64) Figr 4.6 etão repreento o gráfio fnçõe (), () e () ini em (6)
15 Elemento Finito Uniimenioni - Álvro F. M. Azeveo () - () - () - Fig Gráfio fnçõe (), () e (). bel 4. enontrm-e lgm rteríti fnçõe e form repreent n Figr 4.6 (omprr om bel 4.). bel 4. - Crteríti fnçõe (), () e (). - () () () 6
16 Elemento Finito Uniimenioni - Álvro F. M. Azeveo Generlizno epreão (8) pr o ooelementoetrênó,relt B (65) Ateneno (6), o elemento mtriz B ão nete o o eginte B (66) O állo mtriz e rigiez K e o vetor oliitção F poe er efeto por m proeo emelhnte o inio n Seção 4.5, não eno qi eenvolvio Elemento finito niimenionl om btitição e vriável Figr 4.7 enontr-e repreento m elemento finito niimenionl om trê nó e geometri qlqer. () ( ) ( ) Fig Elemento finito niimenionl e trê nó om geometri rbitrári. A ooren o nó ão, e. l omo no o erito nteriormente, E repreent o mólo e Yong, A é áre eção trnverl e p é ção il itribí. o et grnez poem eventlmente epener e. É poível llr mtriz e rigiez K e o vetor oliitção F om (44) e (45), tilizno omo vriável ooren. Conto, e teno em vit generlizção ete eto o o biimenioni e triimenioni, vi er efet m btitição e vriável o tipo 64
17 Elemento Finito Uniimenioni - Álvro F. M. Azeveo 65 () (67) A fnção (), nete o eleion, orrepone m interpolção oiniente om qe foi efet n Seção 4.6 pr fnção elomento, em qe foi tiliz interpolção (6), onjntmente om fnçõe e form (6). () () () () [ ] (68) () () () () (69) () () () (7) De m moo emelhnte o qe e verifio em (5), tem-e (7) A btitição e vriável (67) enontr-e eqemtiz n Figr 4.8.
18 Elemento Finito Uniimenioni - Álvro F. M. Azeveo ( ) ( ) ( -) Fig Sbtitição vriável. Apó btitição vriável, o integrl (44) p er K B D B A (7) om D, B, A e / epenente nov vriável. Se não forem ontnte, D (qe oinie om E) ea ão interpolo om mem fnçõe e form qe form tiliz pr interpolr ooren o nó, i.e., interpolção é efet tl omo em (69). () () E () E () E E (7) () () A () A () A A (74) et fnçõe, trnverl. Ei e Ai ão o vlore no nó i o mólo e Yong e áre eção A epreão e /, qe e p eignr por J, obtém-e por erivção e (69), reltno J (75) Por erivção e (7) em orem, obtém-e 66
19 Elemento Finito Uniimenioni - Álvro F. M. Azeveo (76) fino J ( ) (77) Pr vlir o integrl (7) é in neeário efinir mtriz B em fnção e. Ateneno à ptção e (8) o elemento e trê nó, qe foi tmbém tiliz em (65), eite neeie e llr eriv fnçõe e form em orem, m epre em fnção e. Com ete objetivo, e m vez qe fnçõe e form i (6) epenem e, qe por vez epene e (69), tem-e, reorreno à regr ei ( () ) i i (78) i i i (79) Mltiplino mbo o membro e (79) pel inver e / relt i i (8) Um vez qe / é m elr, poe erever-e i i (8) 67
20 Elemento Finito Uniimenioni - Álvro F. M. Azeveo 68 eno, e oro om (76) e (77) (8) (8) (84) Amtriz B preent o eginte omponente J B (85) Depoi e efinio too o omponente fnção integrn e (7), é poível efetr eginte implifiçõe B B E A J K (86) eno B B (87)
21 Elemento Finito Uniimenioni - Álvro F. M. Azeveo 69 B B (88) Ateneno (8) e o fto e er J /,tem-e J B B (89) A epreão genéri o elemento K ij mtriz K é J E A K j i ij (9) Como eemplo, preent-e em egi epreão o elemento K mtriz e rigiez o elemento finito, e oro om (9) e (76) J E A K (9) Coniere-e gor m o prtilr e m brr e omprimento totl e nó entro (ver Figr 4.7), om (9) ete o prtilr, epreão e J ll om (77) não epene e, eno
22 Elemento Finito Uniimenioni - Álvro F. M. Azeveo J (9) Se lém e J er ontnte, E e A tmbém forem ontnte, é imple llr o integrl (9), reltno E A K (94) Apreent-e em egi m eemplo nmério em qe o nó não e enontr entro no elemento finito e trê nó (ver Figr 4.7).. 5. (95) ete o onreto, epreão e J ll om (77) é J (96) Spono E e A ontnte, tem-e, e oro om (9) K E A 4 (97) práti é onveniente reolver o integri (9) e (97) reorreno m téni e integrção nméri, qe erá erit no Cpítlo Conierçõe fini A formlção pelo MEF qi efet no âmbito e m problem mito imple erve omo introção à téni qe e plim em meio ontíno om o trê imenõe, e qe ão eemplo o eto plno e tenão, e o ólio. Mit epreõe mtriii qe qi form preent oiniem om qe 7
23 Elemento Finito Uniimenioni - Álvro F. M. Azeveo rgem no o mi genério, eno pen neeário reefinir imenõe e o elemento o vetore e mtrize. BIBIOGRAFIA [4.] - Cook, R. D.; Mlk, D. S.; Pleh, M. E.; Witt, R. J. - Conept n Applition of Finite Element Anlyi, Forth Eition, John Wiley & Son, In.,. [4.] - Zienkiewiz, O. C.; ylor, R.. - he Finite Element Metho, Forth Eition, MGrw-Hill,
24 Elemento Finito Uniimenioni - Álvro F. M. Azeveo 7
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