Transformadas de Laplace

Transcrição

1 Trnformd de Lplce Mtemátic Aplicd Artur Miguel Cruz Ecol Superior de Tecnologi Intituto Politécnico de Setúbl 4/5 verão de Dezembro de 4

2 Trnformd de Lplce Nete cpítulo ver-e-á como trnformd de Lplce permitem reolver equçõe diferencii. Motrr-e-á que, com recuro à trnformd de Lplce, pode-e reduzir um equção diferencil um problem lgébrico. Ete método é um d mi importnte ferrment em mtemátic plicd e engenhri. Sej f um função rel ou complex definid em [, + [ integrável em cd intervlo itdo. Chm-e trnformção de Lplce à plicção L : f F () e t f(t)dt em que é um número complexo. A função F () diz-e trnformd de Lplce de f e repreent-e por L[f(t). Ecreve-e então: L[f(t) F (). Note-e que função originl f depende de t e nov função F depende de. A funçõe origini erão denotd com minúcul e u trnformd por miúcul. Exemplo. Função Unitári. Sej Então, f (t), t. L[f(t) e t dt T [ e t pr >. e t dt e T + Exemplo. Função Unitári de Heviide. Et função define-e por: {, e t H(t), e t < Como é igul à função unitári pr t, então L[H(t) pr >. Exemplo. Ditribuição de Dirc. Supondo ε >, conidere-e fmíli de funçõe {, e t [, ε f ε (t) ε, e t / [, ε A ditribuição de Dirc, repreent-e por δ e pode er identificd com o ite de f ε qundo ε. Como L[f ε (t) ε e t ε e ε dt, ε

3 vem Conequentemente, Exemplo. Função exponencil. Sej em que é um contnte. Então, L[e t e ε L[δ(t) L[f ε (t) ε ε ε e t e t dt dede que > >. L[δ(t). f(t) e t T [ e ( )t. e ( )T, Teorem. A trnformd de Lplce é um operção liner, ou ej dd funçõe f e g que tenhm trnformd de Lplce e dd contnte λ e µ, tem-e que L[λf(t) + µg(t) λl[f(t) + µl[g(t). Exemplo. Funçõe hiperbólic. Coniderem-e, pr t, funçõe hiperbólic coh t et + e t enh t et e t em que R +. Então,, pr >, L[coh t ( L[e t + L[e t ) ( + ) + e L[enh t ( L[e t L[e t ) ( ) +.. Exemplo. Funçõe trigonométric. Coniderem-e, pr t, funçõe co ωt e en ωt em que ω R +. D fórmul de Euler (e iωt co ωt + i en ωt) i que e Então, pr >, e L[co ωt L[en ωt i e iωt + e iωt co ωt e iωt e iωt i en ωt. ( L[e iωt + L[e iωt ) ( iω + ) + iω ( L[e iωt L[e iωt ) ( i iω ) + iω 3 + ω ω + ω.

4 Exemplo. Função potênci. Sej f(t) t n, com n N. Por integrção por prte obtém-e, Como pr > L[f(t) e t t n dt ( [e t t n T + n e T T n + n L[tn. ( e T T n ), então L[t n n L[tn. e t t n dt e t t n dt ) Logo L[t L[, L[t L[t 3 e, por indução, conclui-e que L[t n n! n+ pr >. Propriedde d trnformd de Lplce Teorem. Sej f um função eccionlmente contínu em qulquer intervlo finito contido em [, + [ e que tifç f(t) Me αt, t pr M > e α R. Então, trnformd de Lplce de f exite pr todo o > α. Exemplo. A função f (t) en t verific en t e t pr todo o t. Btrá im coniderr M e α pr e grntir exitênci d trnformd de Lplce d função f. Note-e que e trnformd de Lplce de um dd função exite, então é únic. Reciprocmente, pode-e motrr que dd du funçõe f e g contínu, então L[f(t) L[g(t) f(t) g(t), t. Ou ej, nete co, trnformd inver de Lplce é únic. Qundo F () L[f(t) diz-e que f(t) é trnformd inver de Lplce ou originl de F () e ecreve-e f(t) L [F (). 4

5 Exemplo. Vito que L[e 3t +3 tem-e L [ +3 e 3t. Teorem. Se f tem trnformd de Lplce e g é um delocmento de f, ito é, { f(t ), e t g(t), e t < com, tem-e L[f(t ) e L[f(t). Demontrção. Or L[g(t) + e t g(t)dt e t g(t)dt + e t g(t)dt e t f(t )dt e (+u) f(u)du e e e u f(u)du e L[f(t), pó relizção, n 4 iguldde, d mudnç de vriável t u. e u f(u)du Exemplo. Sej g(t) (t ) 3 pr t. Como L[t 3 3! 4 vem L[g(t) 3! 4 e. Teorem. Se L[f(t) F (), então trnformd de Lplce d função f(t) ( > ) que reult de f(t) por um mudnç de ecl, é dd por L[f(t) F ( ), >. Exemplo. Como L[en t vem L[en 3t + 3 ( 3) Teorem. Sej f um função diferenciável que tem trnformd de Lplce. Então, L[f (t) L[f(t) f(). Demontrção. Integrndo por prte obtém-e: L[f (t) e t f (t)dt [ e t f(t) T f() + L[f(t). e t f (t)dt e t f(t)dt 5

6 Exemplo. Reolv-e o problem de vlore inicii: { y + 4y t. y() Aplique-e trnformção de Lplce mbo o membro d equção diferencil e obtém-e Como L[y + 4y L[t L[y + 4L[y L[t L[y y() + 4L[y ( + 4)L[y L[y ( + 4). ( + 4) e, o plicr-e trnformd inver, obtem-e olução [ y L ( + 4) 8 + t + 8 e 4t. Teorem. Se f (n) é eccionlmente contínu e de ordem exponencil, é válid iguldde L[f (n) (t) n L[f(t) n f() n f () f (n ) () f (n ) (). Em prticulr, pr n tem-e L[f (t) L[f(t) f() f (). Teorem. Se f é eccionlmente contínu e de ordem exponencil em [, + [ é válid iguldde [ t L f(u)du L[f(t). Demontrção. Deignemo por ϕ(t) o integrl indefinido t f(u)du. Então, ϕ (t) f(t). Como L[ϕ L[ϕ ϕ() e ϕ(), tem-e L[ϕ(t) L[ϕ [ t L [ t Exemplo. Tem-e L en udu ( +4) f(u)du L[f(t) poi L[en t +4. Propriedde d trnformção inver de Lplce O proceo de reolução de equçõe diferencii com recuro à trnformd de Lplce conite no eguinte:. Aplicr trnformção de Lplce mbo o membro d equção diferencil dd. 6

7 . Reolver equção lgébric obtid. 3. Obter trnformd inver de Lplce d olução d equção lgébric. Em fce dete procedimento import poi etudr lgun proceo de obtenção d trnformd inver de Lplce. Teorem. A trnformd inver de Lplce é liner, ou ej, ddo F () L[f(t) e G() L[g(t), tem-e em que λ, µ C. L [λf () + µg() λl [F () + µl [G(), Exemplo. Sej Como obtém-e, F () 3 ( )( ). 3 ( )( ) + [ L [F () L + L [ e t + e t (t ). + L [ Teorem. Se f(t) L [F () tem-e, L [F ( + ) e t f(t). Exemplo. Det propriedde reultm imeditmente du iguldde muito útei n reolução de exercício prático: [ L + e t co ωt (t ) ( + ) + ω e Teorem. Se f(t) L [F () tem-e, [ L ω e t en ωt (t ). ( + ) + ω L [F () f ( t ). 7

8 Tbel No qudro eguinte preentm-e propriedde d trnformd de Lplce. f(t) F () Lineridde λf + µg λf + µg Delocmento f(t )H (t ), e F () e t f(t) F ( + ) Mudnç de ecl f(t), > F () Derivd f (t) F () f() t Integrl F () No qudro eguinte preentm-e trnformd de Lplce etudd. f(t) F () L[f(t) δ Vlidde H(t) > t > t n n! > n+ e t + > + te t + > ( + ) co ωt > + ω ω en ωt ω > + e t co ωt + > ( + ) + ω ω e t en ωt + > ( + ) + ω coh t > ω enh t > 8