MEEC Mestrado em Engenharia Electrotécnica e de Computadores. MCSDI Modelação e Controlo de Sistemas Dinâmicos. Exercícios de.
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- Benedito Leão das Neves
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1 MEEC Metrdo em Engenhri Electrotécnic e de Computdore MCSDI Modelção e Controlo de Sitem Dinâmico Eercício de Plno de Fe Conjunto de eercício elbordo pelo docente Joé Tenreiro Mchdo (JTM, Mnuel Snto Silv (MSS, Vítor Rodrigue d Cunh (VRC e Jorge Etrel d Silv (JES.
2 Plno de Fe. Motre que decriçõe eguinte ão equivlente: d b dt d b dt e b, b, b b b. nlie no plno de fe o item decrito pel equçõe: g in l b in c d. Conidere o item decrito pel equção,5. nlie o trçdo no plno de fe. 4. Conidere o item não-liner decrito por: d f(, dt d f (, dt onde f (, f (,,,,5,,88,47,75,88 Verifique que o ponto (,44, -,997, (,984, -,746 e (,678,,7664 ão ponto ingulre e nlie trjectóri no plno de fe. 5. Conidere o item de Vn der Pol decrito por: nlie trjectóri no plno de fe. ( 6. Conidere o item ω e u repreentção no plno de fe (, indicd n figur. Então verific-e: /ω C ω D ω
3 Plno de Fe 7. Conidere o item ω e u repreentção no plno de fe (, indicd n figur. O ponto é um: Foco etável Foco intável C Ponto de el D Centro b prtir do vlore indicdo conclui-e que: ω / rd/eg ω rd/eg C ω / rd/eg D ω rd/eg 8. Conidere um item f (,, e u repreentção no plno de fe (, indicd n figur. O ponto (, é um: Foco etável Foco intável C Ponto de el D Centro 9. Conidere o item e u repreentção no plno de fe (, indicd n figur. O ponto é um: Foco etável Foco intável C Ponto de el D Centro
4 Plno de Fe. Conidere um item não-liner f (, e u repreentção no plno de fe ( figur. d/dt, indicd n O lugr geométrico é um: Ciclo-limite Foco etável C Centro D Outro reultdo. Conidere o item, 5 ( ( e u repreentção no plno de fe ( figur. O ponto ão do tipo Foco etável O ponto ão do tipo Foco intável C O ponto ão do tipo Ponto de el D O ponto ão do tipo Centro b O ponto é do tipo Foco etável O ponto é do tipo Foco intável C O ponto é do tipo Ponto de el D O ponto é do tipo Centro, indicd n. Conidere o item O ponto é do tipo Foco etável O ponto é do tipo Foco intável C O ponto é do tipo Ponto de el D O ponto é do tipo Centro b O ponto é do tipo Foco etável O ponto é do tipo Foco intável C O ponto é do tipo Ponto de el D O ponto é do tipo Centro e u repreentção no plno de fe (, indicd n figur.
5 Plno de Fe. Conidere o item in ( co( e u repreentção no plno de fe (, indicd n figur. No plno de fe ( (, k, (, k,, o item tem ponto ingulre do tipo ponto de el pr (k, ±, ±, : C Não eitem ponto de el D Outro reultdo, o item tem ponto ingulre do tipo foco intável pr (k, ±, ±, : b No plno de fe ( (, k, (, k, C Não eitem foco intávei D Outro reultdo e u repreentção no plno de fe ( 4. Conidere o item O ponto é um: Foco etável Foco intável C Ponto de el D Centro b O ponto é um: Foco etável Ciclo-limite C Ponto de el D Centro, indicd n figur. 5. Conidere o item co ( e u repreentção no plno de fe ( O ponto é um: Foco etável Foco intável C Ponto de el D Centro b O lugr geométrico é um: Ciclo - limite etável Ciclo - limite intável C Ciclo - limite emi-etável D Outro co c O lugr geométrico C é um: Ciclo - limite etável Ciclo - limite intável C Ciclo - limite emi-etável D Outro co, indicd n figur. 4
6 6. Conidere repreentção de um item no plno de fe (, indicd n figur. Plno de Fe Pode firmr-e que o lugr geométrico é um: Ciclo - limite etável Foco etável C Centro D Outro co 7. Conidere um item mecânico, envolvendo um mol, um trito não-liner e um m, com o modelo (. N figur encontrm-e repreentd lgum trjectóri no plno de fe (, nlindo diferente regiõe dinâmic do item pode-e firmr: Reltivmente ciclo limite, que Eite um ciclo-limite intável Eite um ciclo-limite emi-etável C Eite um ciclo-limite etável D Não eite um ciclo-limite b Reltivmente ponto ingulre, que: Eite omente um ponto ingulr do tipo nó etável Eite omente um ponto ingulr do tipo nó intável C Não eitem ponto ingulre D Outro reultdo d/dt. 8. Conidere um item mecânico, envolvendo um mol, um trito e um m, com o modelo liner M K, M,,K R. Então, nlindo trjectóri no plno de fe pode-e firmr que: Pode eitir omente um ciclo-limite (pr certo vlore de M,,K Podem eitir vário ciclo-limite (pr certo vlore de M,,K C Não podem eitir ciclo-limite (quiquer que ejm o vlore de M,,K 9. Conidere um item mecânico, envolvendo um mol, um trito e um m, com o modelo, R. Então, nlindo trjectóri no plno de fe pode-e firmr que no ponto,, eite um ponto ingulr do tipo centro pr: ( ( C D. Conidere um item mecânico, envolvendo um mol, um trito e um m, com o modelo. Então, nlindo trjectóri no plno de fe pode-e firmr que no ponto (, (, eite um ponto ingulr do tipo: Nó etável Centro C Ponto de el D Não eitem ponto ingulre 5
7 Plno de Fe C(. Conidere o item liner com função de trnferênci R( ( ( fe ( c,c pr vári condiçõe inicii e r(t conduz : Um centro em ( c,c (, Um ponto de el em (,c C Um foco etável em ( c,c (, D Um foco intável em (,c. repreentção no plno de c (, c (,. Conidere um item com o modelo (. N figur encontrm-e repreentd repot. (t pr um dd condição inicil e u derivd d(t/dt bem como o correpondente plno de fe (, d/dt (t - t Então, pode concluir-e que o vlore de,b R, repectivmente ecl do eio e d/dt ão: b. b. C b. D b 4.. Conidere um item f (, e u repreentção no plno de fe ( trjectóri, (, e (, t,. Pr doi ponto num, obtido pr doi intnte tempori próimo, t e t, verific-e: t t t C t t D t t 4. Conidere um item f (, e u repreentção no plno de fe ( imetri d trjectóri em (, reltivmente o eio e: f (, f (, f (, f (, C f (, f (, D f (, f (,,. Então, verific-e um 6
8 Plno de Fe 5. Conidere o item não-liner d figur, compoto por um inérci J e um trito de Coulomb, bem como e,e pr vári condiçõe inicii e r(t. u repreentção no plno de fe ( trito de Coulomb F c r e K m F c J c c de/dt e Sbendo que J e F c então prtir d zon, de erro em regime permnente devido o trito de Coulomb, pode concluir-e que: K K C K D K b No co de F c (ito é, uênci de trito repreentção no plno de fe do item (com K p preentr: Um centro em ( e,e (, Um ponto de el em ( e,e (, C Um foco etável em ( e,e (, D Um foco intável em ( e,e (,. 6. Conidere o item decrito pel equção diferencil não liner co( nlie imetri d trjectóri no plno de fe. b Indique o ponto ingulre no plno de fe. c nlie o comportmento do item n vizinhnç do ponto ingulre. 7
9 Plno de Fe 7. Conidere o item decrito pel eguinte equção não liner. d d co( dt dt Indique o ponto ingulre no Plno de Fe. b nlie o comportmento do item n vizinhnç dee ponto. 8. Conidere o item decrito pel eguinte equção diferencil não liner. d d ( dt dt Indique o ponto ingulre no Plno de Fe. b nlie o comportmento do item n vizinhnç dee ponto. 9. Conidere o item decrito pel eguinte equção diferencil não liner. d d dt dt. Indique o ponto ingulre no Plno de Fe..b nlie o comportmento do item n vizinhnç dee ponto. ( (.. Conidere o item decrito pel equção diferencil não liner ( ( Indique o ponto ingulre no plno de fe. b nlie o comportmento do item n vizinhnç dee ponto. d. Conidere o item não liner: dt d dt Determine o ponto ingulre do item. b Linerize o item em torno d origem, (,. nlie ete ponto de equilíbrio. (. Conidere o item de egund ordem decrito por.4 ( Indique o ponto ingulre no plno de etdo (,. b nlie o comportmento do item n vizinhnç dee ponto. (. Conidere o item de egund ordem decrito por ( Indique o ponto ingulre no plno de etdo (,. b nlie o comportmento do item n vizinhnç dee ponto
10 Plno de Fe 4. Conidere o item decrito pel equção diferencil não liner ( ( Indique o ponto ingulre no plno de fe. b nlie o comportmento do item n vizinhnç dee ponto. co en 5. Conidere o item não liner. Determine o ponto de equilíbrio. b Linerize o item em torno d origem (, (, c prtir d repreentção no plno de etdo ( zon de etbilidde/intbilidde.. nlie o tipo dete ponto de equilíbrio., d figur indique eventui ponto ingulre, ciclo limite e 6. Conidere repreentção em digrm de bloco preentd bio de um item com controlo em mlh fechd. vriávei e decrevem o etdo do item controlr, com entrd u e íd y, ilutrdo no digrm de bloco trvé d u repreentção em epço de etdo. Conidere um referênci SP. e um gnho K em tod quetõe eguinte. SP u e m u K. m y 5in( u y Defin epreão de u(t em função de (t, tendo em cont diferente zon de operção do elemento turdor. b Verifique que (, (.96779, é um ponto de equilíbrio do item preentdo. c nlie o comportmento do item n vizinhnç do ponto de equilíbrio referido n líne nterior e eboce repectiv trjectóri no plno de fe. Not: função in( pode er proimd por in( co( (, pr vlore de n vizinhnç de. 9
11 Plno de Fe 7. Conidere um pêndulo imple com trito e o correpondente plno de fe (,. N egund figur encontr-e repreentd repot (t pr um dd condição inicil. 6.E d/dt 4.E.E.E -8.E -6.E -4.E -.E.E.E 4.E 6.E 8.E -.E -4.E -6.E t.e.e -.E 5.E-.E.5E.E.5E.E -.E -.E -4.E -5.E -6.E -7.E (t -8.E -9.E Fc um eboço indicndo, no plno de fe, um trjectóri correpondente à repot temporl (t d figur.
12 Plno de Fe (Soluçõe Soluçõe. [ ] ( ( ( ( ( X b b b X b b X X b X X b X X b X b b L ou b.. Equção do pêndulo imple: in l g in in l g d d l g d d Como, ( in, ( f f o trçdo é imétrico v. Ponto ingulre ±,..., Pr, vem in. Equção crcterític vem: l g j l g ±, é um centro. Pr, vem in. Equção crcterític vem: l g l g ±, é um ponto de el b Pr g9,8m/ e lm
13 Plno de Fe (Soluçõe. b d in d, ±,... Ponto ingulre Pr, vem in. Equção crcterític vem: ± j, é um foco etável. Pr, vem in. 5 Equção crcterític vem: ±, é um ponto de el c Pr > vem. Equção crcterític vem:, ± j, é um foco etável. Pr < vem. 5 Equção crcterític vem:, ±, é um ponto de el.
14 Plno de Fe (Soluçõe d. d d Como f (, f (, o trçdo é imétrico v. Ponto ingulre Pr >, vem. Equção crcterític vem:, ± j, é um foco etável. Pr <, vem. Equção crcterític vem:, ± j, é um foco intável
15 Plno de Fe (Soluçõe. d,5,5 (, Ponto ingulre d Pr, Linerizndo, equção crcterític vem:,5, ± j, é um foco etável. 4 4 Pr, y Mudnç de vriável y y,5 y ( y y y, y Linerizndo vem: y,5y y endo equção crcterític:,5, ±, é um ponto de el Pr o vlore indicdo f, e f, pelo que ão ponto ingulre. ( (
16 Plno de Fe (Soluçõe 5. d ( d Ponto ingulre Linerizndo, equção crcterític vem:, ± j, é um foco intável C Equção d trjectóri (contnte C depende d condiçõe inicii: ω C Logo, pr (ponto : C e, pr (ponto : C ω pelo que C ω ω C 7. D 7. b (ver eercício 6 8. C 9. D. 5
17 Plno de Fe (Soluçõe 6.. b C.. b C. ( co( in( Ponto ingulre: ( k co( co( in( Pr (,, k temo 5.5 in co co( ± Pr (,, k temo:.5 in co co( j ±.. b 4. D 4. b C b 5. c Ponto ingulre: ( Equção do item n vizinhnç do ponto ingulre: j ± 7. C 7. b D (centro 8. C
18 Plno de Fe (Soluçõe 9. C ±.... ± 9 8 pr de pólo rei.. D verificr vlore de (t qundo d(t/dt é nulo e vice-ver. (t t t t Método Sbendo que: d dt t t d d Então: d d d d t t dt dt d t t d onde Método Integrção pel regr do trpézio: ( t t 4. D 7
19 Plno de Fe (Soluçõe 5. (ver últim págin do pontmento b ( d f 6. co, d 6. f (, f (, imetri em relção o eio do. f, f, uênci de imetri em relção o eio. ( ( 6. b d co (k, k, ±,... d 6. c Pr k, co( equção crcterític vem: λ λ, ±, é um ponto de el. Pr k, co( equção crcterític vem: λ λ ± j, é um centro., Repreentção no plno de fe:. Ecrever equção pr trçr o plno de fe d co( d 8
20 Plno de Fe (Soluçõe. nlir imetri no plno de fe (, d f f (, d f (, f (, uênci de imetri em relção o eio do. f, f, uênci de imetri em relção o eio. ( (. Determinr o ponto ingulre no plno de fe São ponto ingulre o ponto que verificm condição: co( k ±, k,,, b d co( d 4. nlir o comportmento do item n vizinhnç do ponto ingulre Pr k, co( equção crcterític vem: λ λ λ Pr k, co(, equção crcterític vem: λ λ λ, ± ± j 5, é um ponto de el., é um foco etável d d Ponto ingulre 9
21 Pr, equção crcterític vem: λ λ λ, ± j, é um foco etável. Plno de Fe (Soluçõe Pr,, fzendo um mudnç de vriável y y y y ( y y y y y y y y y y equção crcterític vem: λ λ λ, ± 5, é um ponto el d Ponto ingulre d Pr, equção crcterític vem: λ λ λ λ, é um ponto de el. Pr,, fzendo um mudnç de vriável y y, y, y y y ( y ( y ( y y y y 5y 5y equção crcterític vem: λ λ 5 λ ± j, é um foco etável., Pr,, fzendo um mudnç de vriável y y, y, y y y y y y ( y ( y ( y 7y y equção crcterític vem: λ λ λ, ± j 44, é um foco etável.
22 Plno de Fe (Soluçõe d ( ( Ponto ingulre d Pr, equção crcterític vem: λ λ λ 9, ± 7, é um ponto de el. Pr,, fzendo um mudnç de vriável y y, y, y y y ( y y( y 6 y y y 9y 8y equção crcterític vem: λ λ 8 λ, ± j 7, é um foco etável. Pr,, fzendo um mudnç de vriável y y, y, y y y ( y ( y 6 y y y y 9y 8y equção crcterític vem: λ λ 8 λ, ± j 7, é um foco etável.
23 Plno de Fe (Soluçõe d d d Ponto ingulre d 5 Linerizndo em redor : X X X X X X equção crcterític vem: 5 ± j, é um foco etável
24 Plno de Fe (Soluçõe. d d,4 ( d Ponto ingulre d X X Linerizndo em redor d origem:,4 X X,4X equção crcterític vem:,4,8,, é um ponto de el d d (,4 ( Linerizndo em redor : d (,4 Ponto ingulre ( d X X,4 X X,4X equção crcterític vem:,4, ± j, 98, é um foco etável
25 Plno de Fe (Soluçõe 4. d ( co( in( co( in( in( ± k, k,,,... Ponto ingulre d b (ver eercício. 5. c D C C Zon de intbilidde Ciclo-limite C Zon de etbilidde D Ponto ingulr 4
26 Plno de Fe (Soluçõe 6. K,SP. SP u e m u K. m y 5in( u y 6. m( t K( SP, K ( SP <. u( t m( t,. K ( SP. m( t.., K( SP >., >. u( t 5(.,.8., <.8 6.b Undo função definid n líne nterior temo:., > SP K.., SP SP K K., < SP K -5 5 in( ( Um vlor mi ecto pr poderi er obtido reolvendo eguinte equção: 5in( 5(. in( (. 6.c z z z in( z ( in( co( z z (. z (. z 5 co( z 5z 55 mtriz do item preent doi vlore próprio compleo conjugdo. Logo, proimção liner pont pr um comportmento do tipo centro n vizinhnç do ponto de equilíbrio. Nete co (centro, ete tipo de nálie não permite determinção do comportmento do item não-liner. De fcto, preenç do termo indic que o item terá mortecimento pr, pelo que o item tenderá comportr-e como um foco etável. 5
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