log = logc log 2 x = a P2 logc Logaritmos Logaritmos Logaritmos Logaritmos Logaritmos Matemática Básica

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1 Mtemáti Bái Unidde 8 Função Logrítmi RANILDO LOPES Slide diponívei no noo SITE: Logritmndo Be do ritmo Logritmo Condição de Eitêni > > Logritmo Logritmo Logritmo Logritmndo Be do ritmo Logritmo Logritmndo Be do ritmo Logritmo Logritmo Logritmo Conequêni d deinição P P n P n P P Propriedde Operátóri ri P ( ) P n ( ) n P

2 Logritmo Mudnç de Be Logritmo (UDESC 6-) Se, e, pode-e irmr que: Logritmo (UDESC 7-) ) A epreão que repreent olução d equção é: ) ) ) d) e) Domínio Função Logrítmi Deinição : R R ( ) D * * R * ( ) R Imgem Im( ) R R Função Logrítmi Função Logrítmi ( ) Repreentção Grái g ( ) Repreentção Grái

3 Função Logrítmi Função Eponenil Repreentção Grái ( ) > Creente g ( ) < < Dereente < E: (/ ) > E: Função Logrítmi Função Inver < / () - () > Creente > Função Inver Eeríio io () - () < Dereente (UDESC 7-) ) A epreão que repreent inver d unção é: ) ) ) ão ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) d) e) ( )

4 Equção Logrítmi ( ) g( ) ( ) g( ) ( ) S { } > > Equção Logrítmi ( ) g( ) ( ) g( ) ( )( 9) ( ) > 9 > > > 7 S {} Equção Logrítmi ( ) g( ) ( ) g( ) ( ) ( ) 8 > > > > > ( ) ( ) 8 8 S {} Eeríio io (UDESC 6-) ) O vlor de que torn epreão ( ) verddeir é: ( ) > > ( ) 9 Eeríio io Inequção Logrítmi (UDESC 6-) Se 8 8, então o vlor de é: ( ) ( ) 6 ± 8 > > ( ) g( ) ( ) > > > 8 ( ) g( ) > > < < ( ) g( ) S { R / > } S ], [

5 Inequção Logrítmi > ( ) g( ) ( 8) < ( ) 8 > > 6 ( ) g( ) I 8 > > < < ( ) g( ) I II > II > > < 8 Inequção Logrítmi ( ) ( ) < ( ) ( ) ( ) ( ) < < < < < Inequção Logrítmi ( ) ( ) < < < < > > > > > { R / < < } S Funçõe inver Inver De modo náo, de tod poívei e pr o ritmo, veremo que eolh mi onveniente é e. A unção rítmi é inver d unção. Seu gráio é releão de om relção ret. Enqunto é um unção que ree muito rpidmente, é um unção de reimento muito lento. Eemplo Eemplo Um plição d unção rítmi A el Rihter é um el rítmi de medição d energi lierd pelo terremoto o orm de ond que e propgm pel rot terretre. Nel é udo o ritmo deiml; O vlore det el ão hmdo de mgnitude; Durnte um terremoto um imógro regitr e mgnitude durnte um erto intervlo de tempo; E mgnitude pode er luld prtir d eguinte equção: M ( A. ), Onde: M : mgnitude n el Rihter; A: mplitude do movimento d ond (regitrd em mirômetro); : reqüêni d ond (medid em hertz).

6 Eemplo Eemplo Suponh que pr um erto terremoto oi regitrd mplitude A μm e um reqüêni de, Hz. A mgnitude dee terremoto é: M ( A. ), M (.,), M, M, M, Pr e ter um idéi, um mgnitude de 9 gru provori detruição totl d ontruçõe de um grnde idde. Como el é de e, um tremor de mgnitude 8 eri veze menor em relção à mgnitude de intenidde 9. Ou ej, d gru meno, energi lierd diminui veze. O vlor im é oniderdo moderdo. O reord é de 9, gru, regitrdo no terremoto que tingiu o Chile, no éulo XX. Funçõe inver Eemplo A vid médi do etrônio-9 9 Sr, é de no. Io ignii que metde de qulquer quntidde de 9 Sr vi e deintegrr em no. Conidere que um motr de 9 Sr tem um m de mg. Como m de mg e reduz metde d no, então: m() m() m() () m() m(). () () m(7) m(). () () t m( t)....().() t Funçõe inver Portnto, unção pr ete o é: Eemplo m( t). Como unção rítmi inver de unção é: Se quiermo er, por eemplo, o tempo neeário pr que um m de mg e deintegre, t utituir m por n órmul: t ( m) (ln ln m) ln () (ln ln) ln.(,78,69) 9, () 6,6no,69,69 ( m) (ln ln m) ln Funçõe Logritmo Neperino Funçõe Logritmo Neperino Como tod outr unçõe rítmi om e mior que, o ritmo neperino é um unção reente deinid m (, ) tendo o eio omo íntot vertil. ) Contruir o gráio de ln; ) depoi, delomo unidde pr direit, otendo o gráio ln(-);

7 Funçõe Logritmo Neperino ) deloque novmente pr io de um unidde pr oter ln( - ) -; Método de Cálulo I Aíntot Deinição: A ret é hmd íntot vertil d urv () e pelo meno um d eguinte ondiçõe etiver tieit: lim ( ) lim ( ) lim ( ) lim ( ) lim ( ) lim ( ) Método de Cálulo I Método de Cálulo I Eemplo Um outro eemplo de um unção ujo gráio tem um íntot vertil é unção ritmo nturl ln lim ( ) - - lim ( ) O eio union omo um íntot. Método de Cálulo I Em ontrprtid, o gráio d unção eponenil e tem o eio omo íntot horizontl. Eeríio lim e Pr lim e t tomr t/ poi emo que qundo -, t -, portnto: t lim e lim e t 7

8 Repond Repot ) Qundo um unção rítmi é oniderd reente? E dereente? ) Qul o domínio? E qul imgem de um unção rítmi? ) Em que qudrnte e loliz o gráio de um unção rítmi? d) Qul ondição de eitêni de um unção rítmi? - Dereente e Creente e Eeríio Eeríio O número de téri de um ultur, t hor pó o iníio de erto eperimento, é ddo pel epreão N.,.t. Ne ondiçõe, qunto tempo pó o iníio do eperimento ultur terá 8 téri? Num ert ultur, há téri num determindo intnte. Apó min, eitem. Qunt téri eitirão em h, endo que el umentm egundo órmul P P.e kt, em que P é o número de téri, t é o tempo em hor e k é t de reimento? Eeríio Eeríio Etim-e que populção de um ert idde reç % d 8 no. Qul erá o reimento etimdo pr um período de no? Reolv equção. Ddo,;,8 e,7; reolv equção 7.. 8

9 Eeríio Eeríio Semo que o número de téri num ultur, depoi de um tempo t, é ddo por N N.e r.t, em que é o número iniil (qundo t ) e r t de reimento reltivo. Em qunto tempo o número de téri dorrá e t dereimento é de % o minuto? Em qunto no g de um utâni rdiotiv, que e deintegr um t de % o no, e reduzirão g? Ue Q Q.e -r.t, em que Q é m d utâni, r é t e t é o tempo em no. Eeríio Eeríio Segundo o Bno Mundil, previão do reimento demográio n Améri Ltin, no período de à, é de,% o no, proimdmente. Em qunto no populção d Améri Ltin vi dorr e t de reimento ontinur mem? Um peo olo R$., num undo de plição que rende, em médi,,% o mê. Em qunto mee e peo terá no mínimo R$.,? Ue um luldor pr zer o álulo. Eeríio O dono de um oneionári de veíulo u epreão V.(,96) t pr lulr, em rei, o vlor de um erto tipo de utomóvel pó t no de uo. Pr o álulo do vlor de um utomóvel de outr mr, é ud epreão V.(.9) t. Undo ritmo, determine pó qunto tempo o veíulo terão o memo vlor de merdo. RANILDO LOPES Slide diponívei no noo SITE: 9