Aula Teste de Controle de Sistemas e Servomecanismos

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Adriano Barateiro Álvares
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1 Aul Tete de Controle de Sitem e Servomecnimo Crlo Edurdo de Brito Nove crlonov@gmil.com 3 de mio de 202 Expnão em frçõe prcii A expnão em frçõe prcii é um procedimento pr otenção de um frção lgéric de numerdor ou denomindor de gru reduzido. Noo interee em teori de controle et relciondo à otenção d trnformd inver de Lplce L { } de um inl. A idei fundmentl é reecrever um equção no domínio de Lplce pr qul não emo trnformd inver o reultdo não et teldo, como um om de prcel cuj trnformd inver ejm conhecid. De mneir genéric, vmo oter o coeficiente r j rei que poiilitem. n d j r j d j O lgorítimo é o eguinte:. Algorítimo pr Expnão em Frçõe Prcii com ríze ditint. Dd um frção lgéric do tipo n, onde o gru de n é menor ou igul o gru de d e pr qul d d + α + α 2 + α j com α i ditinto, exitirão tnt frçõe prcii qunt forem j ríze do denomindor d. 2. Ecrevemo iguldde n d r + α + r 2 + α r j + α j 3. Se houverem ríze múltipl, por exemplo + α + α 2 + α j 2 que preent um riz dupl em α j, ecreveremo: n d r + α + r 2 + α r j, + α j + r j,2 + α j 2 ou ej, pr cd ríz de multiplicidde k, ecreveremo tmém k denomindore prcii n form + α l com l vrindo de té k. 4. Reolvendo iguldde, encontrremo um conjunto de j equçõe que poderemo reolver pr encontrr cd um d contnte r i. Otid expnão em frçõe prcii trnformd inver de Lplce de cd um det pode er otid em tel. Somndo et oteremo trnformd inver de Lplce d função originl. Pode-e ovimente relizr integrl e oter o reultdo diretmente, m em gerl ete procedimento é muito mi complicdo do que o uo d expnão em frçõe prcii pr oter funçõe menore que etejm teld.

2 2 Repot de um item dinâmico um entrd ritrári. Ddo um item dinâmico com função de trnferênci entre entrd e íd conhecid e um etímulo ritrário plicdo à entrd, como podemo oter o inl de íd do item? Um exemplo típico é um item de poicionmento compoto por um motor, onde entrd é tenão elétric plicd o motor e íd é poição que pode er monitord por um enor do tipo encoder ou potenciométrico. Aumindo um função de trnferênci do tipo: ϕ V M + onde e ão prâmetro do item, ϕ é íd medid e V M é entrd. Aumindo ind um entrd do tipo: V M t u t u t 2 onde u t repreent função degru unitário. A trnformd de Lplce de V M t erá: A íd do item erá então repreentd por: V M e e 2 ϕ e 2 + e A exponencil e α repreent um delocmento no tempo tro puro de α, im, devemo clculr trnformd inver do termo que multiplic exponencil e utituir t por t α. Como exitem du exponencii em finl entrd é compot por doi degru unitário, devemo clculr trnformd inver de Lplce de cd um d du prcel e relizr du utituiçõe de t, um pr cd prcel clculd. Por coincidênci, à exceção d exponencil em, prcel ão idêntic e vlem: p p 2 Utilizndo o método de expnõe prcii, ecrevemo 2 + e 2 + e como: r 2 + r 2 + r 3 + r + + r r de onde encontrmo que: r + + r r 3 2 r + r + r r 2 + r 3 2 r + r + r 2 + r 2 + r 3 2 Cometemo um pequeno uo de notção o repreentr x como trnformd de Lplce de x t. 2

3 Aim, pr dequr o numerdor: r 0 r + r r 2 + r 3 2 e finlmente encontrmo coeficiente: r r 2 2 r 3 2 levndo à frçõe prcii: tod com trnformd de Lplce devidmente teld. Reecrevemo então du prcel que erão delocd no tempo p p e e 2 + E trnformd inver erão não equecer do delocmento no tempo: p t p 2 t t e t u t t e t 2 u t 2 Então: L { e 2 + } e t + e t u t t 2 + e t 2 u t 2 A íd poderá er expre como: ϕ t 0 t < t + e t t < 2 + e t e t 2 t 2 Pr, função d íd tem o pecto d figur 3

4 Figur : Repot do item pr Um modelo implificdo de motor DC Em ix velocidde, um motor DC é proximdmente um trndutor de torque, um vez que o torque produzido é proporcionl à corrente elétric e à tenão de entrd. Det mneir, celerção do eixo do motor é tmém proximdmente proporcionl à tenão plicd em u oin. A medid que velocidde do rotor ument, tenão contr eletromotriz induzid ument e det form tenão diponível pr gerr corrente diminui. Além dio, o trito do item tum como torque que diipm prte do torque gerdo pelo motor. Definido o ímolo: I B R B K T V M V CEM K CEM τ ϕ ϕ ϕ J Corrente elétric n oin do motor Reitênci elétric d oin do motor Contnte de Torque do motor Tenão elétric plicd o termini do motor Tenão contr-eletromotriz Contnte contr eletromotriz do motor Torque gerdo pelo motor Poição ngulr do eixo Velocidde ngulr do eixo Acelerção ngulr do eixo Inerci equivlente copld o eixo do motor e por implicidde deprezrmo o efeito de trito e coniderrmo um item em cix de redução direct-drive, então podemo equcionr um modelo pr noo motor: I B V M V CEM R B τ K T I B ϕ τ J V CEM K CEM ϕ 4

5 A celerção pode er expre como um função d tenão V M plicd e d velocidde ϕ tul: ou, pr plicção em noo exemplo: ϕ K T V M K CEM ϕ K T V M K T K CEM ϕ onde V M erá entrd do item e ϕ erá íd. Podemo deenhr um digrm em loco do item: ϕ V M ϕ de onde podemo ecrever: Figur 2: Digrm do Modelo do Motor ϕ ϕ ϕ ϕ 2 ϕ V M ϕ ϕ ϕ V M + ϕ V M ϕ V M + E por fim, função de trnferênci erá: ϕ V M + 5

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