Métodos Numéricos Integração Numérica Regra de Simpson. Professor Volmir Eugênio Wilhelm Professora Mariana Kleina

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1 Métodos Numérios Integrção Numéri Regr de Simpson Proessor Volmir Eugênio Wilelm Proessor Mrin Klein

2 Revisão Integrção Numéri n d p d p I ()d p... m m n n- mn d As ténis mis omuns de integrção numéri são: m Polinômio liner qudrátio uio Fórmul Trpezoidl Simpson/ Simpson/8 Erro O( O( O( ) ) ) Proessor Volmir Eugênio Wilelm Proessor Mrin Klein

3 Integrção Numéri Regr dos Trpézios Revisão Um mneir de ver o método trpezoidl pr integrção é que urv que está sendo usd pr estimr integrl é um lin poligonl (um grupo de segmentos de lins onetds) e então lul-se áre io de d segmento de ret. () () d () Proessor Volmir Eugênio Wilelm Proessor Mrin Klein

4 Integrção Numéri Regr de Simpson (/) Proessor Volmir Eugênio Wilelm Proessor Mrin Klein

5 Regr de Simpson Integrção Numéri () representção grái regr de Simpson /: Consiste em tomr áre so um práol que lig três pontos. () representção grái d regr de Simpson /8: Consiste em tomr áre so um equção úi que onet qutro pontos. Proessor Volmir Eugênio Wilelm Proessor Mrin Klein

6 Regr de Simpson Integrção Numéri Proessor Volmir Eugênio Wilelm Proessor Mrin Klein 6

7 Integrção Numéri Regr de Simpson O método de Simpson us um polinômio de segundo gru (ou sej, um unção qudráti) pr estimr urv pr qul voê está tentndo enontrr integrl. Est é um urv d orm p () = + + Os pontos são ssumidos uniormemente espçdos. Pr oter estimtiv pr integrl esreve-se o polinômio de gru usndo pontos onseutivos, em seguid integr-se. =- =+ =() =(+) =() =- Proessor Volmir Eugênio Wilelm Proessor Mrin Klein =+ 7

8 8 Integrção Numéri Regr de Simpson Dedução d Equção Sej o so espeil om =. Será integrdo o polinômio de º gru p (t) = t + t+. t t t dt t t - =(-) =() =() Sustituindo e 6 Proessor Volmir Eugênio Wilelm Proessor Mrin Klein

9 Integrção Numéri Regr de Simpson Dedução d Equção Um intervlo edo [,] suintervlos =- =+ =() =(+) =() () () d () pontos pr interpolr > suintervlos Proessor Volmir Eugênio Wilelm Proessor Mrin Klein 9

10 Integrção Numéri Regr de Simpson Dedução d Equção Um intervlo edo [,] suintervlos () ()d ()d ()d ( ) () () suintervlos > /= práols Proessor Volmir Eugênio Wilelm Proessor Mrin Klein

11 Integrção Numéri Regr de Simpson Dedução d Equção Usndo órmul de Lgrnge pr oter órmul de integrção resultnte d proimção de () por um polinômio interpoldor de gru. Sej p () que interpol () nos pontos: =, = + e = +=. p () () () () p () =- =+ p () () () Proessor Volmir Eugênio Wilelm Proessor Mrin Klein

12 Integrção Numéri p ) ( ) ( ) ( d d d d p d () () d ) ( ) ( ) ( d Regr de Simpson Dedução d Equção suintervlos Proessor Volmir Eugênio Wilelm Proessor Mrin Klein

13 Integrção Numéri Regr de Simpson Equção Gerl Um intervlo edo [,] n suintervlos A órmul gerl d Regr de Simpson pr lulr integris é dd por: ()d n n/ k k n/ k k n ()d n/ n/ n () (k ) (k) () k k () d () n... () Proessor Volmir Eugênio Wilelm Proessor Mrin Klein

14 Integrção Numéri Regr de Simpson Equção Gerl () d () n... () Os pesos reltivos d integrl são representdos im dos vlores d unção. Note-se que o método só pode ser utilizdo se o número de segmentos/suintervlos é pr. Proessor Volmir Eugênio Wilelm Proessor Mrin Klein

15 Integrção Numéri Regr de Simpson Eemplo Estimr om prtições integrl π π sind em [ ]=[, ] ttp:// Proessor Volmir Eugênio Wilelm Proessor Mrin Klein ontinu...

16 Integrção Numéri... ontinução Regr de Simpson Eemplo π π sind (vlor eto) π ()d π Δ ()d Δ π n π π π π sind () π π π Δ π Δ π () π () n/ k ( k π ) n/ k ( k ) () π π sin 6 π 6 π sinπ 9sin π 6 (π( π π 9 ( 8),8879 Proessor Volmir Eugênio Wilelm Proessor Mrin Klein 6

17 Integrção Numéri Regr de Simpson Eemplo Clule integrl deinid. π π sin sind π os Utilize Regr de Simpson e lule integrl proimdmente. Simpson Integrl Trpézio Integrl - - -,8879 -,9 -,8879 -,867 -, -,867 -, -,997 -, -, , -,99998 (Intervlos) (Intervlos) Proessor Volmir Eugênio Wilelm Proessor Mrin Klein 7

18 Integrção Numéri Regr de Simpson Eemplo Método prátio. Use suintervlos pr lulr ln d Proessor Volmir Eugênio Wilelm Proessor Mrin Klein ontinu... 8

19 ... ontinução Integrção Numéri Regr de Simpson Eemplo ln()d () ln()d 9 9 ln() ln(k ) ln(k) ln() k k () k k(),,,,,6,9,8,878,76,,788,8,6,9,9,,986,9,,8,76,8,,,,,87,6,6 6,,,69,69 i k, i, i, d,,7 ln Proessor Volmir Eugênio Wilelm Proessor Mrin Klein 9

20 Integrção Numéri Regr de Simpson Estimtiv do Erro De modo nálogo à Regr do Trpézio, n Regr de Simpson reliz-se um proimção e omete-se um erro. ()d {... ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( m ) ( m ) ( m ) } m/ i iv 9 i... I SR Erro I SR... Este erro é ddo por: n iv m i Erro 9 Erro m m iv m 8n [,] m Proessor Volmir Eugênio Wilelm Proessor Mrin Klein ontinu...

21 ... ontinução Integrção Numéri Regr de Simpson Estimtiv do Erro O erro é ddo por: Erro iv m 8 [,] ou Erro iv m 8n [,] Proessor Volmir Eugênio Wilelm Proessor Mrin Klein

22 Integrção Numéri Regr de Simpson Erro Eemplo Integre e - d pel Regr de Simpson usndo dois suintervlos. Clule o erro. n Proessor Volmir Eugênio Wilelm Proessor Mrin Klein ontinu...

23 ... ontinução Integrção Numéri Regr de Simpson Erro Eemplo e - d - e d Erro e e e, n Erro iv iv, e m m e Erro 8 m, 8 [,] [,] iv iv [,],... e e e - - d,8666 d,8689 Erro,9 iv m [,] (vlor eto) (simpson intervlos) (errorel) Proessor Volmir Eugênio Wilelm Proessor Mrin Klein

24 Integrção Numéri Regr de Simpson Erro Eemplo Integre (), de = té =,8 pel Regr de Simpson usndo dois suintervlos. (), 67 9 n,,,,,,8 Proessor Volmir Eugênio Wilelm Proessor Mrin Klein ontinu...

25 Integrção Numéri... ontinução m [,] Regr de Simpson Erro Eemplo Erro Erro iv iv m 68 (), [,.8],8 Erro 68,96 8(6) 67 9,8,8,,,,,,8,8 d,,8, iv m 8n [,],8 8 m [,] iv 6 8 iv d,6 (vlor eto) d, (simpsonsuintervlos) Erro,76666 (errooservdo) Proessor Volmir Eugênio Wilelm Proessor Mrin Klein

26 Integrção Numéri Regr de Simpson Erro Eemplo Integre (), de = té =,8 pel Regr de Simpson usndo suintervlos. (), 67 9 n, {[,], [,,], [,,6], [,6,8]} (), 67 9 Erro m [,],8 8,8,8 Erro 8() d,66666 iv 6 8 iv iv m 68 [,.8] m [,] iv 68,966,8,8 d,6 d,66666 Erro,76667 Proessor Volmir Eugênio Wilelm Proessor Mrin Klein (vlor eto) (simpson (errooservdo) suintervlos) 6