10. Análise da estabilidade no plano complexo (s)
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- Carlos Godoi
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1 . Análie d etilidde no plno omplexo ( A nálie d etilidde de um item liner em mlh fehd pode er feit prtir d lolizção do pólo em mlh fehd no plno. Se qulquer do pólo e lolizr no emiplno direito, então qundo t ele drão origem o modo dominnte, poi repetiv repot trnitóri umentrá monotonmente ou oilrá om mplitude reente ( o item é intável. Num item dete, íd ument om o tempo. Por io num item de ontrolo liner não devem exitir pólo no emi-plno direito. A etilidde ou intilidde é um propriedde do item, não dependendo d entrd plid o item. O pólo devido à entrd não fetm etilidde do item ontriuindo pen pr repot etionári. Pr grntir repot trnitóri rápid e em morteid, é neeário que o pólo em mlh fehd etejm num região prtiulr do plno.
2 .. Critério de etilidde de Routh Um item de ontrolo é etável e e ó e todo o pólo em mlh fehd e lolizrem no emi-plno equerdo. A mior prte do item linere em mlh fehd têm funçõe de trnferêni em mlh fehd d form: m m C(... m m B( n n R(... n n A( em que m n e i, i ão ontnte. Pr determinr o pólo em mlh fehd eri neeário ftorizr A(. O ritério de etilidde de Routh permite determinr o numero de pólo no emi-plno direito em ter que e ftorizr o polinómio, permitindo determinr exitêni ou não de ríze poitiv. Algoritmo o Ereve-e o polinómio em n eguinte form: n n... n n O oefiiente ão quntidde rei. Supõe-e que n, ito é que não exitem ríze nul. o Se um do oefiiente for zero ou negtivo, n preenç de um oefiiente poitivo, exite um riz ou ríze que ão imginári ou que têm prte rei poitiv. Nete o item não é etável. Etndo pen interedo n etilidde olut, não é neeário ontinur o proedimento. Todo o oefiiente têm que er poitivo (ondição neeári. o Se todo o oefiiente forem poitivo, dipõem-e em linh e olun do eguinte modo: n 6... n... o Complet-e o digrm de Routh juntndo mi linh o equem nterior. n 6... n... n... n... M e e f g Onde
3 6 6 O álulo do ontinu té o último erem zero. Do memo modo e lulm o e d et...,, d, d O proeo ontinu té e ompletr fil de ordem n. A mtriz omplet é tringulr. O ritério de Routh diz que o nº de ríze om prte rel poitiv é igul o número de vriçõe de inl d primeir olun do digrm: Exemplo - 6 Nete exemplo há mudnç de inl ( -. Exitem portnto ríze om prte rei poitiv. Co epeii o Exite zero n primeir olun (pen um zero. Nete o o zero é utituído por um número poitivo ε muito pequeno, e o reto do rry é luldo. ε Se o inl do oefiiente em im do zero (ε, é o memo que o inl por ixo dele, então exitem ríze imginári. Nete o ríze imginári ão ±j.
4 Se o inl do oefiiente ore o zero for o opoto do que etá por ixo dele, há um mudnç de inl. Por exemplo: ( ( ε ε Há mudnç de inl n primeir olun ( o Exite um linh de zero n primeir olun. Ete o ontee qundo equção rteríti ontém ríze lolizd imetrimente em relção à origem do plno, ou ej ríze rei de ini ontrário ou ríze omplex onjugd. Nete o o álulo do reto do rry pode er feito formndo um polinómio uxilir om linh que preede linh de zero. O gru d equção uxilir é empre pr e indi o nº de ríze imétri. 8 8 Polinómio uxilir P( Um-e o oefiiente d derivd do polinómio P( n linh eguinte O elemento d linh ão todo nulo. O polinómio uxilir é então formdo prtir do oefiiente d linh. O polinómio uxilir é: P ( 8 Exitem portnto doi pre de ríze de módulo igul e inl ontrário. Ee pre ão otido reolvendo equção polinomil uxilir P(. P( 8 96 O termo n linh de ão utituído pelo oefiiente 8 e 96. Fi então: Exite um mudnç de inl n primeir olun d nov tel. Conequentemente equção originl tem um riz om prte rel poitiv.
5 .. Aplição do ritério de Routh à nálie de item de ontrolo O ritério de etilidde de Routh é de utilidde limitd n nálie de item de ontrolo liner porque não ugere form de melhorr etilidde reltiv do item. No entnto e poível determinr o efeito d mudnç de um ou doi prâmetro num item. Pr o exemplo que e eguem, determine o vlore de pr o qui o item e tornm etávei.... Sitem A função de trnferêni d mlh fehd é: C( R( ( ( A equção rteríti é: A tel do oefiiente é: / 9 Pr que o item ej etável, tem que er poitivo e todo o oefiiente d primeir olun têm que er poitivo. Logo: 9
6 ... Sitem A função de trnferêni d mlh fehd é: ( ( R Y ( ( A equção rteríti é: A tel do oefiiente é: d d Pr que o item ej etável, tem que er poitivo e, d
7 ... Sitem A função de trnferêni d mlh fehd é: ( ( ( ( ( ( R Y A equção rteríti é: ( A tel do oefiiente é: ( d d ( 8 ( Pr que o item ej etável, tem que er poitivo e 8 ( 8 ( d 6 6,, 6
8 .. O Método do lugr de ríze Um método imple pr determinr ríze d equção rteríti é o método do lugr de ríze. Nete método ríze d equção rteríti ão repreentd pr todo o vlore de um prâmetro do item, gerlmente do gnho. O lugre d ríze d equção rteríti do item, à medid que o gnho vri entre zero e infinito dão o método o eu nome.... Exemplo d otenção do Lugr de ríze ( Coniderndo o item derito por G ( ( º - Determinr equção rteríti G ( ( ( Qul o que nul equção rteríti ( ( ( ( º - Nº de zero de G(H m - Nº de pólo de G(H n º - Nº de rmo eprdo Mx(n, m n rmo eprdo º - n-m- rmo tende pr infinito. O Lugr de ríze prte do pólo pr o zero. Qundo há mi pólo que zero, diz-e que há zero no infinito e vie-ver. º - Aimtot: Número de intot n - m n p z ( Ponto de origem d imtot σ n (q π (q π Ângulo d intot φ π n q,,,... 6º - Ponto de diperão ou ponto de quer (PD
9 d d ( d (( ( ( d (, d tem que er poitivo pr que ej ponto de diperão 8,8 d º - Ponto onde o lugr de ríze ruz o eixo imginário. Podem er enontrdo utilizndo o Critério de Routh Equção rteríti G ( ( ( ( A tel do oefiiente é: Não exite intereção om o eixo jw. O item é empre etável. 8º - Ângulo de prtid e ângulo de hegd. Não ão neeário poi não há ríze imginári. 9º - Eoço do lugr de ríze
10 ... Exemplo d otenção do Lugr de ríze Coniderndo o item derito por G ( ( º - Determinr equção rteríti G ( ( Qul o que nul equção rteríti ( ( ( º - Nº de zero de G(H m Nº de pólo de G(H n º - Nº de rmo eprdo Mx(n, m n rmo eprdo º - n-m- rmo tendem pr infinito. º - Aimtot: Número de intot n - m n p z Ponto de origem d imtot σ n (q π (q π π π Ângulo d intot φ, n q,,,... 6º - Ponto de diperão ou ponto de quer (PD d d( ( d( d d d º - PC: Routh - Não exite intereção om o eixo jw. O item é empre etável. 8º - Ângulo de prtid e ângulo de hegd. Não ão neeário poi não há ríze imginári.
11 9º - Eoço do lugr de ríze... Exemplo d otenção do Lugr de ríze Coniderndo o item derito por G ( ( ( º - Determinr equção rteríti G ( ( ( ( ( Qul o que nul equção rteríti ( ( ( ( º - Nº de zero de G(H m Nº de pólo de G(H n º - Nº de rmo eprdo Mx(n, m n rmo eprdo º - n-m- rmo tendem pr infinito. º - Aimtot: Número de intot n - m n p z Ponto de origem d imtot σ, n (q π (q π π π Ângulo d intot φ, π, n q,,,...
12 6º - Ponto de diperão ou ponto de quer (PD d d( d d,9,9 LR,88 º - PC: Routh Etável e No limite, ±,6j 8º - Ângulo de prtid e ângulo de hegd. Não ão neeário poi não há ríze imginári. 9º - Eoço do lugr de ríze
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Grupo A 4. lterntiv A O denomindor d frção é D = 4 7 = ( 0 ) = 4. 46. ) O sistem ddo é determindo se, e somente se: m 0 m 9m 0 9 m b) Pr m, temos: x + y = x = y x + y z = 7 y z = x y + z = 4 4y + z = x
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LISTA DE EXERCÍCIOS 2º ANO
Cálculo d entlpi-pdrão, em kj mol, de vporizção do HC : 0 HC (g) : H = 9,5kJ mol 0 HC ( ) : H = 108,7kJ mol vporizção 1 HC ( ) 1HC (g) 08,7 kj 9,5 kj ÄHvporizção = 9,5 ( 08,7) ÄHvporizção =+ 16, kj / mol
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MATRIZES ) (CEFET) Se A, B e C são mtrizes do tipo, e 4, respectivmente, então o produto A.B.C () é mtriz do tipo 4 () é mtriz do tipo 4 (c) é mtriz do tipo 4 (d) é mtriz do tipo 4 (e) não é definido )
Apresenta-se em primeiro lugar um resumo da simbologia adoptada no âmbito da determinação de funções interpoladoras.
CAPÍTUO 7 FUÇÕES ITERPOADORAS ete pítulo ão derito divero modo de obtenção de funçõe interpoldor, tmbém deignd funçõe de form. São preentdo eemplo reltivo meio unidimenioni, bidimenioni e tridimenioni.
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Álgebra Linear e Geometria Analítica
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Simulo 7 Mtrizes, eterminntes e sistems lineres. b... e 6. 7. 8.. 0. b.. e. Simulo 8 Cirunferêni / Projeções / Áres. b 6. e 7. 8.. 0. Simulo Análise ombintóri / Probbilie / Esttísti. e.. e.. b... e.....
Transformada de Laplace AM3D. Delta de Dirac
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Capítulo IV. Funções Contínuas. 4.1 Noção de Continuidade
Cpítulo IV Funções Contínus 4 Noção de Continuidde Um idei muito básic de função contínu é de que o seu gráfico pode ser trçdo sem levntr o lápis do ppel; se houver necessidde de interromper o trço do