CONTROLO MEEC. Cap 5 Estabilidade

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1 Cpítulo 5- Etilidde CONTROLO MEEC º emetre /5 Trnprênci de poio à ul teóric Cp 5 Etilidde Iel Rieiro António Pcol Todo o direito reervdo Et not não podem er ud pr fin dimnto dquele pr que form elord (lecionção no InMtuto Superior Técnico) em utorizção do utore Iel Rieiro, António Pcol CONTROLO º em 5/6 Cp 5 -

2 OjecMvo e Sumário Cpítulo 5- Etilidde CONTROLO º em 5/6 Ø Etilidde de SLIT o Definição o Exemplo momvdore o A etilidde e loclizção do pólo o Etilidde no enmdo BIBO Ø Critério de Routh- Hurwitz Ø Exemplo Ø Referênci o o Cp. do livro de Frnklin, Powel, Nemi, 7ª edição (referênci principl) Cp 6 do livro Control Sytem Engineering, Normn S. Nie, 6ªedição, Wiley, (ver internet) Cp 5 - Iel Rieiro, António Pcol

3 Exemplo momvdor (controlo veloc. motor corrente conjnu) Cpítulo 5- Etilidde Sitem de controlo de velocidde ngulr de um motor de corrente conjnu E () (+ ) Equem propoto de controlo W m () Ω E m () () = (+ ) Dinâmic d velocidde ngulr R() + _ k E () + W m () Ωm() k G() = = Como é repot um entrd de R() + (+ k) comndo eclão unitário? Iel Rieiro, António Pcol CONTROLO º em 5/6 Cp 5 -

4 Exemplo momvdor (controlo veloc. motor corrente conjnu) Cpítulo 5- Etilidde Como é repot um entrd de comndo eclão unitário? G() = Ωm() R() = k + (+ k) k k Ω m () = R() = + (+ k) + (+ k) Ω k k () = m (+ k) (+ k) + ( + k) k k (+ k)t ω(t) = e pr (+ k) (+ k) t Repot forçd Repot nturl Trnform de Lplce unilterl inver Iel Rieiro, António Pcol CONTROLO º em 5/6 Cp 5 -

5 Exemplo momvdor (controlo veloc. motor corrente conjnu) Cpítulo 5- Etilidde ω(t) = k (+ k) k (+ k)t e (+ k) Ecolh do gnho k do controldor A) k = B) k = - ω(t) = G() = + e t Repot nturl tende pr zero - item etável - ω(t) = Polo em rd - (negmvo) Repot nturl + repot forçd G() = t e Repot nturl + repot forçd Repot nturl tende pr infinito - item intável - Polo em + rd - (poimvo) Iel Rieiro, António Pcol CONTROLO º em 5/6 Cp 5-5

6 Cpítulo 5- Etilidde Etilidde de SLIT: Definição Um SLIT é Etável e repot nturl tender pr zero qundo o tempo tende pr infinito Intável e repot nturl crecer em limite qundo o tempo tende pr infinito Mrginlmente etável e repot nturl nem decir nem umentr m e mnmver contnte ou ocilr qundo o tempo tende pr infinito A etilidde de um SLIT implic que ó componente forçd d repot e mntenh qundo o tempo tende pr infinito, um vez que componente nturl tende pr zero Iel Rieiro, António Pcol CONTROLO º em 5/6 Cp 5-6

7 Etilidde de SLIT: Definição Cpítulo 5- Etilidde A nturez de um SLIT no que repeit etilidde Depende d nturez d componente nturl d repot Depende d loclizção do pólo do item Loclizção do pólo Pólo no pce conduzem componente nturi que ão exponencii que deciem pr zero ou componente inuoidi mortecid Ø SLIT com todo o pólo no pce é Etável Pólo no pcd - conduzem componente nturi que ão exponencii não mortecid ou componente inuoidi que crecem exponencilmente. Ø A componente nturl de um SLIT com, pelo meno, pólo no pcd crece em limite qundo o tempo tende pr infinito Ø SLIT com, pelomeno, pólo no pcd é Intável Iel Rieiro, António Pcol CONTROLO º em 5/6 Cp 5-7

8 Etilidde de SLIT: Definição Cpítulo 5- Etilidde A nturez de um SLIT no que repeit etilidde Depende d nturez d componente nturl d repot CONTROLO º em 5/6 Depende d loclizção do pólo do item Loclizção do pólo (cont.) Pólo no eixo imginário Com mulmplicidde componente nturi d form Aco(wt+f) não deciem pr zero, m não crecem indefinidmente; ão limitd Ø SLIT em pólo no pcd e pólo ore o eixo imginário de mullplicidde é Mrginlmente Etável Com mulmplicidde mior do que componente nturi d form At n co(wt+f) crecem em limite qundo o tempo tende pr infinito Ø SLIT com pólo ore o eixo imginário de mullplicidde mior do que é Intável Cp 5-8 Iel Rieiro, António Pcol

9 Repot nturi: exemplo Cpítulo 5- Etilidde Repot nturl um entrd eclão unitári. Sitem em zero e gnho etámco unitário CONTROLO º em 5/6 Cp 5-9 Iel Rieiro, António Pcol

10 Repot nturi: exemplo Cpítulo 5- Etilidde Repot nturl um entrd eclão unitári. Sitem em zero e gnho etámco unitário CONTROLO º em 5/6 Cp 5 - Iel Rieiro, António Pcol

11 Repot nturi: exemplo Cpítulo 5- Etilidde Repot nturl um entrd eclão unitári. Sitem em zero e gnho etámco unitário CONTROLO º em 5/6 Cp 5 - Iel Rieiro, António Pcol

12 Etilidde Cpítulo 5- Etilidde U() G() Y() Y() Trnformd inver de Lplce y(t) = yforçdo (t) + y nturl (t) G() = n() d() Loclizção do pólo de G() determinm o comportmento qulit9vo d repot nturl Pergunt: A repot nturl é limitd? ESTABILIDADE Pólo de G() com prte rel neg9v Repot nturl tende pr zero INSTABILIDADE Pólo de G() com prte rel poi9v Repot nturl explode Iel Rieiro, António Pcol CONTROLO º em 5/6 Cp 5 -

13 Etilidde Cpítulo 5- Etilidde G() = n() d() Pólo de G() com prte rel = MulLplicidde MulLplicidde uperior Repot nturl exie termo contnte (polo rel) ou ociltório (pr de pólo complexo conjugdo) Repot nturl explode Iel Rieiro, António Pcol CONTROLO º em 5/6 ESTABILIDADE MARGINAL INSTABILIDADE Cp 5 -

14 Etilidde no enmdo BIBO Cpítulo 5- Etilidde A definição de etilidde etá ed n nturez d repot nturl Anlindo repot totl pode er divcil eprr repot nturl d repot forçd, m Se entrd for limitd e repot totl não tender pr infinito qundo o tempo tende pr infinito (i.e., íd limitd) à repot nturl não tende pr infinito qundo o tempo tende pr infinito Se entrd não for limitd oerv- e um íd não limitd, m não é poível perceer e repot nturl é limitd ou não. Definição lternlv de etilidde, que nli repot totl de um SLIT BI = Bounded Input BO = Bounded Output Um SLIT é BIBO etável e pr qulquer entrd limitd, íd é um inl limitdo, CONTROLO º em 5/6 i.e., TODAS, entrd limitd conduzem íd limitd Cp 5 - Iel Rieiro, António Pcol

15 Sitem BIBO etável Cpítulo 5- Etilidde SISTEMA ESTÁVEL SISTEMA BIBO ESTÁVEL RESPOSTA NATURAL TENDE PARA ZERO QUALQUER SINAL LIMITADO DE ENTRADA PRODUZ UM SINAL LIMITADO NA SAÍDA SISTEMA ESTÁVEL TODOS OS PÓLOS DE G() COM PARTE REAL NEGATIVA A ytem i BIBO tle if every ounded input yield ounded output (from Normn Nie) Iel Rieiro, António Pcol CONTROLO º em 5/6 Cp 5-5

16 Sitem BIBO intável Cpítulo 5- Etilidde SISTEMA INSTÁVEL SISTEMA BIBO INSTÁVEL RESPOSTA NATURAL EXPLODE (É NÃO LIMITADA) HÁ SINAIS LIMITADOS DE ENTRADA QUE PRODUZEM SINAIS ILIMITADOS NA SAÍDA SISTEMA INSTÁVEL PELO MENOS UM PÓLO G() COM PARTE REAL POSITIVA, OU PÓLOS SOBRE O EIXO IMAGINÁRIO COM MULTIPLICIDADE MAIOR DO QUE UM A ytem i BIBO untle if ny ounded input yield n unounded output (from Normn Nie) Iel Rieiro, António Pcol CONTROLO º em 5/6 Cp 5-6

17 Sitem mrginlmente etável Cpítulo 5- Etilidde SISTEMA MARGINALMENTE ESTÁVEL RESPOSTA NATURAL EXIBE TERMO CONSTANTE, OU É OSCILATÓRIA (com ocilçõe de mplitude contnte) SISTEMA MARGINALMENTE ESTÁVEL G(S) TEM PÓLOS COM PARTE REAL NULA E MULTIPLICIDADE E NÃO TEM PÓLOS NO SPCD HÁ SINAIS LIMITADOS DE ENTRADA QUE PRODUZEM SINAIS ILIMITADOS NA SAÍDA HÁ SINAIS LIMITADOS DE ENTRADA QUE PRODUZEM SINAIS LIMITADOS NA SAÍDA Ete item ão coniderdo como BIBO intávei Iel Rieiro, António Pcol CONTROLO º em 5/6 Cp 5-7

18 Análie d Etilidde de SLIT Cpítulo 5- Etilidde Como etudr etilidde do item Determinr loclizção do pólo Fctorizr o polinómio denomindor d F.T. Pode não er fácil pr orden elevd Ur Mtl É precio er loclizção exct do pólo? Ou t er e há polo no pcd ou ore o eixo imginário? Critério de Routh- Hurwitz Permite concluir ore etlidde em fctorizr o polinómio denomindor de G() Iel Rieiro, António Pcol CONTROLO º em 5/6 Cp 5-8

19 Análie d Etilidde de SLIT Cpítulo 5- Etilidde Crcterizr etilidde do SLIT com FT G() N() N() G() = = 6 5 D() Código mtl >> d=[ ]; >> p=root(d) p = i i i i pólo no pcd SLIT intável Iel Rieiro, António Pcol CONTROLO º em 5/6 Cp 5-9

20 Etilidde (item de ª ordem) Cpítulo 5- Etilidde Exemplo item de ª ordem: Sitem de controlo de velocidde ngulr de um motor de corrente conjnu R() + _ k E () + W m () G() = Ωm() R() k = + (+ k) Num item de primeir ordem, é condição neceári e uficiente pr o item er etável que o coeficiente do polinómio denomindor ejm todo poi9vo Pólo = p= - (+k) Sitem etável e p < + k > k > Pr k>-, o coeficiente do polinómio denomindor ão poi9vo. Iel Rieiro, António Pcol CONTROLO º em 5/6 Cp 5 -

21 Etilidde (item de ª ordem) Cpítulo 5- Etilidde Exemplo item de ª ordem: Sitem de controlo de poição ngulr de um motor de corrente conjnu Dinâmic d velocidde ngulr Integrdor(poição ngulr é o integrl d velocidde ngulr) R() + _ K E () K W m () (+ ) Q m () Θm() G() = = R() Hipótee poívei pólo rei KK + + KK pólo complexo conjugdo pólo Iel Rieiro, António Pcol CONTROLO º em 5/6 Cp 5 -

22 Etilidde BIBO (item de ª ordem) Cpítulo 5- Etilidde Exemplo item de ª ordem: Sitem de controlo de poição ngulr de um motor de corrente conjnu Hipótee poívei CONTROLO º em 5/6 Θm() KK G() = = pólo R() + + KK pólo rei pólo = p ( + p)( + p) = + (p + p)+ pp, p p >,p > + p >,pp p >,p < pp < pólo complexo conjugdo pólo = + j, j Num item de egund ordem, é condição neceári e uficiente pr o item er etável que o coeficiente do polinómio denomindor ejm todo poi9vo > ( + + j)( + j) = > > > NÃO É GENERALIZÁVEL PARA ORDENS SUPERIORES Cp 5 - Iel Rieiro, António Pcol

23 Etilidde: Critério de Routh- Hurwitz Cpítulo 5- Etilidde ESTABILIDADE: SLIT com Função de Trnferênci G() é etável e todo o pólo Mverem prte rel negmv. G() = n() d() CONDIÇÃO NECESSÁRIA: o coeficiente do polinómio denomindor devem ter todo o memo inl NÃO É UMA CONDIÇÃO SUFICIENTE! CONTROLO º em 5/6 Se o coeficiente do polinómio denomindor 9verem todo o memo inl (todo poi9vo ou todo neg9vo) e e9verem todo preente É precio fzer ANÁLISE DE CRITÉRIOS PARA ESTUDO DE ESTABILIDADE CRITÉRIO DE HURWITZ um condição neceári (m não uficiente) de etilidde de um SLIT cul é que todo o coeficiente do polinómio denomindor d FT ejm poimvo (ou tenhm o memo inl) Cp 5 - Iel Rieiro, António Pcol

24 Cpítulo 5- Etilidde Etilidde. Critério de Hurwitz: exemplo 5 G() = O coeficiente não têm todo o memo inl. Sitem não etável + 5 G() = Há um coeficiente que é nulo. O item não é etável Pode er intável ou mrginlmente etável G() = O coeficiente têm todo o memo inl Só pelo critério de Hurwitz não é poível Lrr concluõe ore etilidde Iel Rieiro, António Pcol CONTROLO º em 5/6 Cp 5 -

25 Cpítulo 5- Etilidde Etilidde: Critério de Routh- Hurwitz G( ) = + n( ) U() Contrução d tel de Routh G() Y() CONTROLO º em 5/6 TABELA INICIAL A du primeir linh ão contruíd pr9r do coeficiente do polinómio denomindor de G() Cp 5-5 Iel Rieiro, António Pcol

26 Cpítulo 5- Etilidde CONTROLO º em 5/6 Iel Rieiro, António Pcol Cp 5-6 Etilidde: Critério de Routh- Hurwitz TABELA DE ROUTH COMPLETADA = = = c = = = d c c = = c c = c c Contrução d mtriz de Routh

27 Cpítulo 5- Etilidde Etilidde: Critério de Routh- Hurwitz CRITÉRIO DE ROUTH = = = c = c = d = c c = c c c = = Ø Um SLIT é etável e todo o elemento d colun pivot d tel de Routh 9verem o memo inl (*) Ø O número de pólo no emiplno complexo direito é igul o número de mudnç de inl n primeir colun d tel de Routh. (*) e, n contrução d mtriz de Routh, não 9ver hvido zero n colun pivot Iel Rieiro, António Pcol CONTROLO º em 5/6 Cp 5-7

28 Critério de Routh- Hurwitz: Exemplo Cpítulo 5- Etilidde R() + _ ( + )( + )( + 5) C() C() R() = ( ) Todo o coeficiente poimvo Critério de Hurwitz não permite concluir ore etlide Critério de Routh Ø mudnç de inl n primeir colun d tel Ø pólo no emiplno complexo direito: SISTEMA INSTÁVEL CONTROLO º em 5/6 N contrução d tel de Routh podemo implificr o cálculo mulmplicndo todo o elemento de um linh por um contnte poimv Cp 5-8 = 7 = = 7 7 = = 7 7 Iel Rieiro, António Pcol 7 = 7

29 Critério de Routh- Hurwitz: Co Epecii Cpítulo 5- Etilidde ( ) Zero ó n primeir colun ε 7 6ε 7 ε ε 9 6ε ε Iel Rieiro, António Pcol CONTROLO º em 5/6 Cp 5-9

30 Critério de Routh- Hurwitz: Co Epecii Cpítulo 5- Etilidde 5 ( ε = ) ε = + Um zero ó n primeir colun d tel de Routh EVOLUÇÃO DOS SINAIS DA COLUNA ε mudnç de inl 6ε 7 ε ε 9 6ε ε pólo no emiplno complexo direito SISTEMA INSTÁVEL Iel Rieiro, António Pcol CONTROLO º em 5/6 Cp 5 -

31 Critério de Routh- Hurwitz: Co Epecii Cpítulo 5- Etilidde G() N() = = D() + Aplicção do Critério de Hurwitz o Sitem não etável Será mrginlmente etável ou intável? A tel de Routh permite reponder e pergunt Um linh de zero n tel de Routh Sucede qundo D() tem pólo imetricmente colocdo relmvmente o eixo imginário Iel Rieiro, António Pcol CONTROLO º em 5/6 Cp 5 -

32 Critério de Routh- Hurwitz: Co Epecii Cpítulo 5- Etilidde G() N() = = D() + Um linh de zero n tel de Routh Código Mtl >> d=[ - - ]; >> p=root(d) Sucede qundo D() tem pólo imetricmente colocdo relmvmente o eixo imginário p = Iel Rieiro, António Pcol CONTROLO º em 5/6 Cp 5 -

33 Critério de Routh- Hurwitz: Co Epecii Cpítulo 5- Etilidde Um linh de zero n tel de Routh Q() = q A ríze dete polinómio etão imetricmente colocdo relmvmente o eixo imginário q A ríze dete polinómio ão pólo de G() Polinómio uxilir dq() d = d( ) d mudnç de inl n colun pivot polo no emiplno complexo direito SISTEMA INSTÁVEL = Iel Rieiro, António Pcol CONTROLO º em 5/6 Cp 5 -

34 Aplicção critério Routh- Hurwitz: Exemplo Cpítulo 5- Etilidde Q() = dq() = d Iel Rieiro, António Pcol CONTROLO º em 5/6 Cp 5 -

35 Aplicção critério Routh- Hurwitz: Exemplo Cpítulo 5- Etilidde 6 CONTROLO º em 5/6 O comportmento d tel de Routh depoi d linh correpondente o polinómio uxilir Q() é reultdo do zero dee polinómio uxilir N colun pivot, depoi do polinómio uxilir, não há troc de inl O polinómio uxilir não tem ríze no emi- plno complexo direito (SPCD) Por imetri, o polinómio uxilir Q() não tem ríze no SPCE Q() tem ríze no eixo imginário >> q=[ ]; >> r=root(q) r = Iel Rieiro, António Pcol +.i -.i +.i - Cp.i 5-5

36 Aplicção critério Routh- Hurwitz: Exemplo Cpítulo 5- Etilidde Análie d outr rize 8 5 linh Du troc de inl pólo no SPCD pólo no SPCE Do polinómio uxilir pre de pólo ore o eixo imginário SISTEMA INSTÁVEL Iel Rieiro, António Pcol CONTROLO º em 5/6 Cp 5-6

37 Aplicção critério Routh- Hurwitz: Exemplo Cpítulo 5- Etilidde Controlo de um item intável em mlh ert Controldor Sitem Controlr θ i () + + _ K ( + ) ( ) θ o () OjecLvo: Fzer nálie de Etilidde como função de K θ i Função de Trnferênci em Cdei Fechd () + K( + ) _ ( + )( ) K( + ) (K ) + K θ o () Iel Rieiro, António Pcol CONTROLO º em 5/6 Cp 5-7

38 Cpítulo 5- Etilidde Aplicção critério Routh- Hurwitz: Exemplo K( + ) (k ) + K K Condição de etilidde: 99 (98/99)K K K > ;(98/99)K > K Pr 98 K 99 K >. Sitem Etável (é precio gnho elevdo pr etilizr o item intável!) Iel Rieiro, António Pcol CONTROLO º em 5/6 Cp 5-8

39 Aplicção critério Routh- Hurwitz: Exemplo Cpítulo 5- Etilidde Controldor PI (Proporcionl Integrl) Sitem Controlr R() + _ K K I + + (+ )( + ) Y() Controldor PI (Proporcionl Integrl) R() + _ Y() R() = K K + K + KI + + (+ K) + K I I (+ )( + ) Y() Que vlore de K e K I grntem que o item em cdei fechd é etável? Iel Rieiro, António Pcol CONTROLO º em 5/6 Cp 5-9

40 Aplicção critério Routh- Hurwitz: Exemplo Cpítulo 5- Etilidde Y() R() = K + KI + + (+ K) + K I +K K I I + K K I K K + K I KI + K > K > I Condiçõe neceári e uficiente de etilidde KI K > K > I K - K I Iel Rieiro, António Pcol CONTROLO º em 5/6 Cp 5 -

41 Aplicção critério Routh- Hurwitz: Exemplo Cpítulo 5- Etilidde Repot entrd eclão do item em cdei fechd K =,KI = 5 Amo têm erro etámco nulo K =,KI = CONTROLO º em 5/6 K =,KI = K I = Controldor P (proporcionl) Erro etámco é não nulo Cp 5 - Iel Rieiro, António Pcol