CONTROLO. Cap 5 Estabilidade

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1 Cpítulo 5 Etilidde CONTROLO º emetre 7/8 Trnprênci de poio à ul teóric Cp 5 Etilidde Mri Iel Rieiro António Pcol Aril de 8 Todo o direito reervdo Et not não podem er ud pr fin ditinto dquele pr que form elord (leccionção no Intituto Superior Técnico) em utorizção do utore

2 Ojectivo esumário Cpítulo 5 Etilidde Etilidde de SLIT no entido BIBO o o o Definição Exemplo motivdore A etilidde e loclizção do pólo Critério derouth Hurwitz Exemplo Referênci o Cp. (Secção.7) do livro de Frnklin, Powel, Nemi, 5ª edição (referênci principl)

3 Exemplo motivdor (controlo veloc. motor corrente contínu) Cpítulo 5 Etilidde Sitem de controlo de velocidde ngulr de um motor de corrente contínu Ε () ( ) Equem propoto de controlo Ω m () Ω E m () () ( ) Dinâmic d velocidde ngulr R() _ k Ε () Ω m () Ωm() k G() Como é repot um entrd R() ( k) de comndo eclão unitário?

4 Exemplo motivdor (controlo veloc. motor corrente contínu) Cpítulo 5 Etilidde Como é repot um entrd de comndo eclão unitário? G() Ωm() R() k ( k) k k Ω m () R() ( k) ( k) Ω k k () m ( k) ( k) ( k) Trnform de Lplce unilterl inver ω(t) k k ( k)t e pr ( k) ( k) t Repot nturl Repot forçd

5 Exemplo motivdor (controlo veloc. motor corrente contínu) Cpítulo 5 Etilidde ω(t) k ( k) k ( k)t e ( k) Ecolh do gnho k do controldor A) k B) k ω(t) G() e t Repot nturl tende pr zero item etável ω(t) G() Polo em rd (negtivo) t e Repot nturl tende pr infinito item intável Polo em rd (poitivo) Repot nturl repot forçd Repot nturl repot forçd

6 Etilidde BIBO Cpítulo 5 Etilidde BI Bounded Input BO Bounded Output Sitem BIBO etável e pr qulquer entrd limitd, íd éum inl limitdo

7 Etilidde BIBO Cpítulo 5 Etilidde Repot ini limitdo (BI Bounded Input) U() Conider e u(t) limitdo G() G() n() d() Y() Y() Trnformd inver de Lplce y(t) yforçdo (t) Loclizção do pólo de G() determinm o comportmento qulittivo d repot nturl y nturl (t) Pergunt: A repot nturl é limitd (BOBounded Output)? ESTABILIDADE Pólo de G() com prte rel negtiv INSTABILIDADE Pólo de G() com prte rel poitiv Repot nturl tende pr zero Repot nturl explode y(t) limitdo y(t) ilimitdo

8 Etilidde BIBO Cpítulo 5 Etilidde Repot ini limitdo (BI Bounded Input) G() n() d() Pólo de G() com prte rel Multiplicidde Multiplicidde uperior Repot nturl exie termo contnte (polo rel) ou ociltório (pr de pólo complexo conjugdo) Repot nturl explode ESTABILIDADE MARGINAL INSTABILIDADE

9 Cpítulo 5 Etilidde Sitem BIBO etável SISTEMA ESTÁVEL RESPOSTA NATURAL TENDE PARA ZERO SINAIS LIMITADOS DE ENTRADA PRODUZEM SINAIS LIMITADOS NA SAÍDA SISTEMA ESTÁVEL PÓLOS DE G() COM PARTE REAL NEGATIVA

10 Cpítulo 5 Etilidde Sitem BIBO intável SISTEMA INSTÁVEL RESPOSTA NATURAL EXPLODE (É NÃO LIMITADA) SINAIS LIMITADOS DE ENTRADA PRODUZEM SINAIS ILIMITADOS NA SAÍDA SISTEMA INSTÁVEL PELO MENOS UM PÓLO G() COM PARTE REAL POSITIVA, OU PÓLOS SOBRE O EIXO IMAGINÁRIO COM MULTIPLICIDADE MAIOR DO QUE UM

11 Cpítulo 5 Etilidde Sitem BIBO mrginlmente etável SISTEMA MARGINALMENTE ESTÁVEL RESPOSTA NATURAL EXIBE TERMO CONSTANTE, OU É OSCILATÓRIA (com ocilçõe de mplitude contnte) HÁ SINAIS LIMITADOS DE ENTRADA QUE PRODUZEM SINAIS ILIMITADOS NA SAÍDA HÁ SINAIS LIMITADOS DE ENTRADA QUE PRODUZEM SINAIS LIMITADOS NA SAÍDA SISTEMA MARGINALMENTE ESTÁVEL G(S) TEM PÓLOS COM PARTE REAL NULA E MULTIPLICIDADE E NÃO TEM PÓLOS NO SPCD

12 Repot nturi: exemplo Cpítulo 5 Etilidde Repot nturl um entrd eclão unitári. Sitem em zero e gnho etático unitário

13 Repot nturi: exemplo Cpítulo 5 Etilidde Repot nturl um entrd eclão unitári. Sitem em zero e gnho etático unitário

14 Repot nturi: exemplo Cpítulo 5 Etilidde Repot nturl um entrd eclão unitári. Sitem em zero e gnho etático unitário

15 Etilidde BIBO Cpítulo 5 Etilidde Como etudr etilidde BIBO do item Determinr loclizção do pólo Fctorizr o polinómio denomindor d F.T. Pode não er fácil pr orden elevd Ur Mtl É precio er loclizção exct do pólo? Ou t er e há polo no pcd ou ore o eixo imginário? Critério de Routh Hurwitz Permite concluir ore etlidde BIBO em fctorizr o polinómio denomindor de G()

16 Etilidde BIBO Cpítulo 5 Etilidde Crcterizr etilidde do SLIT com FT G() N() N() G() 6 5 D() Código mtl >> d[ ]; >> proot(d) p i i i i.8858 pólo no pcd SLIT intável

17 Etilidde BIBO (item de ª ordem) Cpítulo 5 Etilidde Exemplo item de ª ordem: Sitem de controlo de velocidde ngulr de um motor de corrente contínu R() _ k Ε () Ω m () G() Ωm() R() k ( k) Pólo p (k) Sitem etável e Num item de primeir ordem, é condição neceári e uficiente pr oitem er BIBO etável que o coeficiente do polinómio denomindor ejm todo poitivo p < k > Pr k>, o coeficiente do polinómio denomindor ão poitivo. k >

18 Etilidde BIBO (item de ª ordem) Cpítulo 5 Etilidde Exemplo item de ª ordem: Sitem de controlo de poição ngulr de um motor de corrente contínu Dinâmic d velocidde ngulr Integrdor(poição ngulr é o integrl d velocidde ngulr) R() _ K Ε () K Ω m () ( ) Θ m () Θm() G() R() KK KK pólo Hipótee poívei pólo rei pólo complexo conjugdo

19 Etilidde BIBO (item de ª ordem) Cpítulo 5 Etilidde Exemplo item de ª ordem: Sitem de controlo de poição ngulr de um motor de corrente contínu Θm() KK G() pólo R() KK Hipótee poívei pólo rei pólo p ( p)( p) (p p) pp, p p >,p > p p >,pp p >,p < pp < pólo complexo conjugdo pólo j, j > ( j)( j) Num item de egund ordem, é condição neceári e uficiente pr oitem er BIBO etável que o coeficiente do polinómio denomindor ejm todo poitivo > > > NÃO É GENERALIZÁVEL PARA ORDENS SUPERIORES

20 Etilidde BIBO: Critério de Routh Hurwitz Cpítulo 5 Etilidde ESTABILIDADE: G() éetável e todo o pólo tiverem prte rel negtiv. G() n() d() CONDIÇÃO NECESSÁRIA: o coeficiente do polinómio denomindor devem er miore que zero NÃO É UMA CONDIÇÃO SUFICIENTE! Se o coeficiente do polinómio denomindor tiverem todo o memo inl (todo poitivo ou todo negtivo) e etiverem todo preente É precio fzer ANÁLISE DE CRITÉRIOS PARA ESTUDO DE ESTABILIDADE CRITÉRIO DE HURWITZ um condição neceári (m não uficiente) de etilidde BIBO de um SLIT cul é que todo o coeficiente do polinómio denomindor d FT ejm poitivo (ou tenhm omemo inl)

21 Etilidde. Critério de Hurwitz: exemplo Cpítulo 5 Etilidde G() 5 5 O coeficiente não têm todo o memo inl. Sitem não etável G() 5 5 Há um coeficiente que é nulo. O item não éetável Pode er intável ou mrginlmente etável G() O coeficiente têm todo o memo inl Só pelo critério de Hurwitz não é poível tirr concluõe ore etilidde

22 Etilidde BIBO: Critério de Routh Hurwitz Cpítulo 5 Etilidde G ( ) n( ) U() Contrução d tel de Routh G() Y() TABELA INICIAL A du primeir linh ão contruíd prtir do coeficiente do polinómio denomindor de G()

23 Cpítulo 5 Etilidde Etilidde BIBO: Critério de Routh Hurwitz TABELA DE ROUTH COMPLETADA c d c c c c c c Contrução d mtriz de Routh

24 Cpítulo 5 Etilidde Etilidde BIBO: Critério de Routh Hurwitz CRITÉRIO DE ROUTH c d c c c c c c O número de pólo no emiplno complexo direito é igul o número de mudnç de inl n primeir colun d tel de Routh. Um SLIT éetável e todo o elemento d colun pivot d tel de Routh tiverem o memo inl (*) (*) e, n contrução d mtriz de Routh, não tiver hvido zero n colun pivot

25 Critério de Routh Hurwitz: Exemplo Cpítulo 5 Etilidde R() _ ( )( )( 5 ) C() C() R() ( ) Todo o coeficiente poitivo Critério de Hurwitz não permite concluir ore etlide Critério de Routh mudnç de inl n primeir colun d tel pólo no emiplno complexo direito: SISTEMA INSTÁVEL N contrução d tel de Routh podemo implificr o cálculo multiplicndo todo o elemento de um linh por um contnte poitiv

26 Critério de Routh Hurwitz: Co Epecii Cpítulo 5 Etilidde ( ) Zero ó n primeir colun ε 7 6ε 7 ε ε 9 6ε ε

27 Critério de Routh Hurwitz: Co Epecii Cpítulo 5 Etilidde ( ) Um zero ó n primeir colun d tel de Routh ε ε 5 EVOLUÇÃO DOS SINAIS DA COLUNA ε mudnç de inl 6ε 7 ε pólo no emiplno complexo direito ε 9 6ε ε SISTEMA INSTÁVEL

28 Critério de Routh Hurwitz: Co Epecii Cpítulo 5 Etilidde G() N() D() Um linh de zero n tel de Routh Aplicção do Critério de Hurwitz o Sitem não etável Será mrginlmente etável ou intável? A tel de Routh permite reponder e pergunt Sucede qundo D() tem pólo imetricmente colocdo reltivmente o eixo imginário

29 Critério de Routh Hurwitz: Co Epecii Cpítulo 5 Etilidde G() N() D() Um linh de zero n tel de Routh Código Mtl >> d[ ]; >> proot(d) Sucede qundo D() tem pólo imetricmente colocdo reltivmente o eixo imginário p...

30 Critério de Routh Hurwitz: Co Epecii Cpítulo 5 Etilidde Um linh de zero n tel de Routh Q() A ríze dete polinómio etão imetricmente colocdo reltivmente o eixo imginário A ríze dete polinómio ão pólo de G() Polinómio uxilir dq() d d( ) d mudnç de inl n colun pivot polo no emiplno complexo direito SISTEMA INSTÁVEL

31 Aplicção critério Routh Hurwitz: Exemplo Cpítulo 5 Etilidde Q() dq() d 6

32 Aplicção critério Routh Hurwitz: Exemplo Cpítulo 5 Etilidde 6 O comportmento d tel de Routh depoi d linh correpondente o polinómio uxilir Q() é reultdo do zero dee polinómio uxilir N colun pivot, depoi do polinómio uxilir, não há troc de inl O polinómio uxilir não tem ríze no emi plno complexo direito (SPCD) Por imetri, o polinómio uxilir Q() não tem ríze no SPCE Q() tem ríze no eixo imginário >> q[ ]; >> rroot(q) r.i.i.i.i

33 Aplicção critério Routh Hurwitz: Exemplo Cpítulo 5 Etilidde Análie d outr rize 8 5 linh Du troc de inl pólo no SPCD pólo no SPCE Do polinómio uxilir pre de pólo ore oeixo imginário SISTEMA INSTÁVEL

34 Aplicção critério Routh Hurwitz: Exemplo Cpítulo 5 Etilidde Controlo de um item intável em mlh ert Controldor Sitem Controlr θ i () _ K ( ) ( ) θ o () Ojectivo: Fzer nálie de Etilidde como função de K θ i () K( ) _ ( )( ) θ o () Função de Trnferênci em Cdei Fechd K( ) 99 (K ) K

35 Aplicção critério Routh Hurwitz: Exemplo Cpítulo 5 Etilidde K( ) 99 (k ) K K Condição de etilidde: 99 (98/99)K K K > ; (98/99)K > K K >. Pr K Sitem Etável (é precio gnho elevdo pr etilizr o item intável!)

36 Aplicção critério Routh Hurwitz: Exemplo Cpítulo 5 Etilidde Controldor PI (Proporcionl Integrl) Sitem Controlr R() _ K K I ( )( ) Y() Controldor PI (Proporcionl Integrl) R() _ KI K ( )( ) Y() Y() R() K K I Que vlore de K ek ( K) K I grntem que o I item em cdei fechd é etável?

37 Aplicção critério Routh Hurwitz: Exemplo Cpítulo 5 Etilidde Y() R() K KI ( K) K I K K I I K K I K K K I KI K > K > I KI K > K > I K Condiçõe neceári e uficiente de etilidde K I

38 Aplicção critério Routh Hurwitz: Exemplo Cpítulo 5 Etilidde Repot entrd eclão do item em cdei fechd K,KI 5 Amo têm erro etático nulo K,KI K,KI K I Controldor P (proporcionl) Erro etático é não nulo